Обратное число
Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) — это число, на которое надо умножить данное число, чтобы получить единицу. Пара чисел, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными.
Примеры: 5 и 1/5, −6/7 и −7/6, 
и 
Для всякого числа а, не равного нулю, существует обратное 1/a.
Обратной величиной нуля является бесконечность.
Обратные дроби — это две дроби, произведение которых равно 1. Например, 3/7 и 7/3; 5/8 и 8/5 и т. д.
См. также
- Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).
- Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Теория чисел
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое «Обратное число» в других словарях:
ОБРАТНОЕ ЧИСЛО — число, произведение которого на данное число равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, напр., 5 и 1/5, 2/3 и 3/2 и т. д … Большой Энциклопедический словарь
обратное число — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN inverse numberreciprocal number … Справочник технического переводчика
обратное число — число, произведение которого на данное число равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, например, 5 и 1/5, 2/3 и 3/2 и т. д. * * * ОБРАТНОЕ ЧИСЛО ОБРАТНОЕ ЧИСЛО, число, произведение которого на данное число равно… … Энциклопедический словарь
Обратное число — число, произведение которого с данным числом равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, например, 5 и а, не равного нулю, существует обратное … Большая советская энциклопедия
ОБРАТНОЕ ЧИСЛО — число, произведение к рого на данное число равно единице. Два таких числа наз. взаимно обратными. Таковы, напр., 5 и 1/5. 2/3 и 3/2 и т. д … Естествознание. Энциклопедический словарь
Число — У этого термина существуют и другие значения, см. Число (значения). Число основное понятие математики[1], используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей… … Википедия
Число (матем.) — см. также: Число (лингвистика) Число абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое … Википедия
Обратное закручивание воды при стоке — Обратное закручивание воды при стоке околонаучный миф, основанный на неверном применении эффекта Кориолиса к движению воды в водовороте, возникающему при её стоке в сливное отверстие раковины или ванны. Суть мифа состоит в том, что вода… … Википедия
ЧИСЛО ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ — ЧИСЛО, ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ, число, которое не может быть выражено в виде дроби. Примеры включают Ц2 и число p. Следовательно, иррациональные числа это числа с бесконечным числом (непериодических) знаков после запятой. (Однако обратное не является… … Научно-технический энциклопедический словарь
Обратное преобразование Лапласа — Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и … Википедия
Взаимно обратные числа, нахождение обратного числа.
Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.
Взаимно обратные числа. Определение
Взаимно обратные числа — такие числа, произведение которых дает единицу.
Если a · b = 1 , то можно сказать, что число a обратно числу b , так же как и число b обратно числу a .
Самый простой пример взаимно обратных чисел — две единицы. Действительно, 1 · 1 = 1 , поэтому a = 1 и b = 1 — взаимно обратные числа. Другой пример — числа 3 и 1 3 , — 2 3 и — 3 2 , 6 13 и 13 6 , log 3 17 и log 17 3 . Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел 2 и 2 3 , то числа не являются взаимно обратными.
Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел — натуральных, целых, действительных и комплексных.
Как найти число, обратное данному
Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно a , то обратное ему число запишется в виде 1 a , или a — 1 . Действительно, a · 1 a = a · a — 1 = 1 .
Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.
Число, обратное обыкновенной дроби
Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби a b — это дробь b a . Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.
Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби 28 57 обратным числом будет дробь 57 28 , а для дроби 789 256 — число 256 789 .
Число, обратное натуральному числу
Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a 1 . Тогда обратным ему числом будет число 1 a . Для натурального числа 3 обратным ему числом будет дробь 1 3 , для числа 666 обратное число равно 1 666 , и так далее.
Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.
Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует.
Число, обратное смешанному числу
Смешанное число имеем вид a b c . Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.
Например, найдем обратное число для 7 2 5 . Сначала представим 7 2 5 в виде неправильной дроби: 7 2 5 = 7 · 5 + 2 5 = 37 5 .
Для неправильной дроби 37 5 обратным числом будет дробь 5 37 .
Число, обратное десятичной дроби
Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее.
Например, есть дробь 5 , 128 . Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: 5 , 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125 . Для полученной дроби обратным числом будет дробь 125 641 .
Рассмотрим еще один пример.
Пример. Нахождение числа, обратного десятичной дроби
Найдем обратное число для периодической десятичной дроби 2 , ( 18 ) .
Переводим десятичную дробь в обыкновенную:
2 , 18 = 2 + 18 · 10 — 2 + 18 · 10 — 4 + . . . = 2 + 18 · 10 — 2 1 — 10 — 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11
После перевода можем легко записать обратное число для дроби 24 11 . Этим числом, очевидно, будет 11 24 .
Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3 , 6025635789 . . . обратное число будет иметь вид 1 3 , 6025635789 . . . .
Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.
К примеру, обратным числом для π + 3 3 80 будет 80 π + 3 3 , а для числа 8 + е 2 + е обратным числом будет дробь 1 8 + е 2 + е .
Взаимно обратные числа с корнями
Если вид двух чисел отличен от a и 1 a , то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе.
Обратимся к практике.
Пример. Взаимно обратные числа с корнями
Ответим на вопрос: являются ли взаимно обратными числа 4 — 2 3 и 1 + 3 2 .
Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.
4 — 2 3 · 1 + 3 2 = 4 — 2 3 + 2 3 — 3 = 1
Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.
Рассмотрим еще один пример.
Пример. Взаимно обратные числа с корнями
Запишите число, обратное числу 5 3 + 1 .
Сразу можно записать, что обратное число равно дроби 1 5 3 + 1 . Однако, как мы уже говорили, принято избавляться от корня в знаменателе. Чтобы сделать это умножим числитель и знаменатель на 25 3 — 5 3 + 1 . Получим:
1 5 3 + 1 = 25 3 — 5 3 + 1 5 3 + 1 · 25 3 — 5 3 + 1 = 25 3 — 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 — 5 3 + 1 6
Взаимно обратные числа со степенями
Допустим, есть число, равное какой-то степени числа a . Другими словами, число a , возведенное в степень n . Обратным числу a n будет число a — n . Проверим это. Действительно: a n · a — n = a n 1 · 1 a n = 1 .
Пример. Взаимно обратные числа со степенями
Найдем обратное число для 5 — 3 + 4 .
Согласно написанному выше, искомое число равно 5 — — 3 + 4 = 5 3 — 4
Взаимно обратные числа с логарифмами
Для логарифма числа a по основанию b обратным является число, равное логарифму числа b по основанию a .
log a b и log b a — взаимно обратные числа.
Проверим это. Из свойств логарифма следует, что log a b = 1 log b a , значит log a b · log b a .
Пример. Взаимно обратные числа с логарифмами
Найти число, обратное log 3 5 — 2 3 .
Числом, обратным логарифму числа 3 по основанию 3 5 — 2 будет логарифм числа 3 5 — 2 по основанию 3 .
Число, обратное комплексному числу
Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных.
Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде z = x + i y . Числом, обратным данному, будет дробь
1 x + i y . Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x — i y .
Пример. Число, обратное комплексному числу
Пусть есть комплексное число z = 4 + i . Найдем число, обратное ему.
Число, обратное z = 4 + i , будет равно 1 4 + i .
Умножим числитель и знаменатель на 4 — i и получим:
1 4 + i = 4 — i 4 + i 4 — i = 4 — i 4 2 — i 2 = 4 — i 16 — ( — 1 ) = 4 — i 17 .
Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:
z = r · cos φ + i · sin φ
Соответственно, обратное число будет иметь вид:
1 r cos ( — φ ) + i · sin ( — φ )
Убедимся в этом:
r · cos φ + i · sin φ · 1 r cos ( — φ ) + i · sin ( — φ ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r · e i · φ · 1 r e i · ( — φ ) = r r e 0 = 1
Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Пример. Найти число, обратное комплексному числу
Найдем число, обратное для 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .
Учитывая, что r = 2 3 , φ = π 6 , запишем обратное число
3 2 cos — π 6 + i · sin — π 6
Какое число будет обратным для 2 · e i · — 2 π 5 .
Ответ: 1 2 · e i 2 π 5
Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство
Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.
Сумма взаимно обратных чисел
Сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше или равна 2 .
Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:
Как найти обратное число
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 9 человек(а).
Количество просмотров этой статьи: 61 649.
Обратные числа нужны при решение всех типов алгебраических уравнений. Например, если вам нужно разделить одно дробное число на другое, вы умножаете первое число на обратное число второго. Кроме того, обратные числа применяют при нахождении уравнения прямой.
Обратные числа
Запомните! 
Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:
- записать его в виде неправильной дроби;
- полученную дробь «перевернуть».
Пример. Найти число обратное смешанному числу:
- Запишем смешанное число в виде неправильной дроби.
- Переворачиваем полученную дробь. Обратным числом для смешанного числа будет обыкновенная дробь:
Взаимно обратные числа обладают важным свойством.
Запомните!
Произведение взаимно обратных чисел равно единице.
Пример произведения обратных дробей.
Опираясь на свойство обратных дробей, можно дать определение взаимно обратных чисел.
Запомните!
Взаимно обратными числами называют два числа, произведение которых равно единице.
