Как найти дифференциал неявной функции

Дифференцирование функции, заданной неявно

Определение 1. Равенство F(x, y) = 0 определяет у как функцию у = у(х), задает эту функцию неявно.

Для нахождения производной функции у, заданной неявно, нужно продифференцировать равенство F(x, y) = 0 по аргументу х и решить уравнение относительно у’.

Примеры 1 – 4. Продифференцировать функцию у = у(х), заданную неявно.

х 3 + у 2 — 5х = 0.

Решение. Продифференцируем это равенство:

(х 3 + у 2 — 5х)’ = 0;

3х 2 + 2уу’ = 0;

Решим полученное равенство относительно у’:

ху 2 + sin y – 2x = 3.

Решение. Продифференцируем равенство по х, считая у функцией по х:

(ху 2 )’ + (sin y)’ – 2(x)’ = (3)’;

(х)’ у 2 + х (у 2 )’ + cos у  y’ – 2 = 0;

у 2 + х  2у  у‘ + cos y  y’ = 2;

Решим уравнение относительно у’:

2х  у  у‘ + cos y  y’ = 2 — у 2 ;

у‘(2х  у + cos y) = 2 — у 2 ;

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдем производные следующих функций.

Пример 1. Найти производные следующих функций

Пример 2. у = х 2 (cos x – 4 sin x).

Решение. Воспользуемся формулой 9 и таблицей производных.

Пример 3. у = (3х 2 + 5х – 1) 3 .

Решение. Имеем сложную функцию, последнее действие производится над выражением u = 3х 2 + 5х – 1.

Пример 4. y = arctg 8 x

Решение. Имеем сложную функцию, последнее действие – возведение в 8ую степень производится над u = arctg x.

Решение. Имеем дважды сложную функцию

Решение. Воспользуемся формулой 11

Пример 7. y = arctg (ln x) + ln (arctg x).

Решение. Имеем сумму двух сложных функций, воспользуемся правилами дифференцирования суммы функций, при вычислении значения функции в первом слагаемом последнее действие – (вычисление арктангенса) производится над логарифмом, значит, промежуточный аргумент – ln x, а во втором слагаемом (вычисление логарифма) – над arctg x, значит промежуточный аргумент – arctg x.

Решение. Имеем функцию у = у(х), заданную неявно. Продифференцируем это равенство, считая, что sin y, e – y – сложные функции:

В левой части группируем слагаемые с у’, в правую часть переносим слагаемые, не содержащие у’.

Решение. Имеем показательно-степенную функцию .

Прологарифмируем данное равенство:

Продифференцируем данное равенство:

Дифференциал функции и его приложение

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке х, тогда f ’(x) = , а по теореме о связи функции, имеющей предел и бесконечно-малой , т.е. приращение функции можно представить в виде двух слагаемых, одно зависит от х линейно, а второе содержит степени х не ниже второй.

Опр. 1. Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.

Для f (x) = x; dx = х, тогда dy = f ’(x)dx

Поэтому производную функции y = f(x) можно обозначить:

Из определения (4.29) следует, что свойства дифференциалов аналогичны свойствам производной:

Приложения дифференциала основываются на приближенной формуле:

Пусть известно значение функции y = f (x) в точке х₀, т.е. f (х₀). Тогда . Обозначим х = х₀ + х, получим

Пример. Вычислить приближенно значение

х = 4,01; х = х — х₀=0,01.

Имеем f (x) = sin x; x=33 0 = , берем

Пусть имеем зависимость y = f (x), а х измеряется с ошибкой х, тогда у получит ошибку у:

Например, найдем ошибку при вычислении ln 2,1. Т.к. х = 2,1, то ошибка х = 0,05, f (x) = ln x; поэтому

Производные различных порядков от неявных функций

Как найти первую и вторую производные параметрической функции

Параметрическое представление функциональной зависимости y от x для функции y = f(x) имеет вид:

Пусть функции x = x(t) и y = y(t) определены и непрерывны на интервале изменения параметра t. Продифференцируем данные функции.

Для нахождения первой производной необходимо разделить второе уравнение на первое:

Для нахождения второй производной:

Найти вторую производную параметрической функции

1. Найдем первую производную по формуле: \[y’_ =\frac >> \] \[y’_ =\left(t^ <3>\right)^ <<'>> =6t x’_ =\left(\ln t\right)^ <<'>> =\frac<1>\] \[y’_ =\frac<6t><\frac<1>> =6t^ <2>\]
2. Найдем вторую производную \[y»_ =\left(6t^ <2>\right)^ <<'>> =12t\]

Что такое неявно заданная функция, и как ее найти

Если функция вида y=y(x) задана уравнением F(x;y(x)) = 0, то функция является неявно заданной.

Для нахождения дифференциала неявной функции необходимо выполнить следующие действия:

1. Продифференцировать обе части уравнения по х.
2. Поскольку у — дифференцируемая функция, для ее нахождения используется правило вычисления производной сложной функции.
3. В правой части уравнения должно получится значение 0.

Это значит перенести все слева направо и привести к уравнению вида F(x;y(x)) = 0

1. Решить полученное уравнение относительно y`(x)

Пусть неявная функция у от x определяется равенством:

Дифференцируем по x все члены этого равенства:

Последнее равенство снова дифференцируем по х:

Заменим производную dy/dx ее выражением:

Поскольку $a^2y^2 + b^2x^2 = a^2b^2$, вторую производную можно представить в виде

Дифференцируя по х последнее равенство, найдем $\frac y> > $ и т. д.

Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Сложные функции одной и нескольких независимых переменных.

Если $u=f(x_1, x_2, . x_n)-$ дифференцируемая функция переменных $x_1, x_2, . x_n,$ которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной $t:$ $$x_1=\varphi_1(t),\quad x_2=\varphi_2(t),\quad, x_n=\varphi_n(t),$$ то производная сложной функции $u=f(\varphi_1(t)),\,\varphi_2(t),\, \varphi_n(t))$ вычисляется по формуле $$\frac