Докажите что заданная функция убывает на r y cos3x 4x

Упр.44.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Помогите,пожалуйста! Тема: Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы.

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Сколькими способами можно разделить 15 одинаковых монет между 7 нумизматами так, чтобы каждому досталось хотя бы по монете

Человек массой 70 кг прыгает горизонтально с тележки массой 120 кг со скоростью 3 м/с, совершая при этом работу А. Тележка после прыжка проходит до остановки расстояние 2 м. Найти работу А и силу трения Fтр. Пожалуйста, с объяснением!

Возрастание и убывание функции

В начале прочитаем определение возрастания функции.

Запомните!

Функция « y(x) » называется возрастающей на некотором промежутке, если
для любых « x₁ » и « x₂ » принадлежащих данному промежутку, таких, что « x₂ > x₁ » выполняется неравенство
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Определение сложно понять без наглядного примера. Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.

По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x » соответствует бóльшее значение « y », значит, функция « y(x) » возрастает.

Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.

Разбор примера

Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?

Построим график функции
« y = 9x − 4 ». Так как функция
« y = 9x − 4 » линейная, ее график — прямая.

Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.

Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа, поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».

Для второй точки возьмем « x = 1 ».

Отметим две полученные
точки « (0; −4) » и « (1; 5) » на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Докажем, что функция « y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и аналитически (по ее формуле).

Как определить по графику, что функция возрастает

По определению возрастания функции мы знаем, что если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.

На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 » «идет в гору». Другими словами, при увеличении « x » ↑ растет значение « y » ↑ .

В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».

У второй точки « (·)B » координаты:
x₂ = 1 ; y₂ = 5

На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что при увеличении
« x ↑ ( x₂ > x₁ ) » растет
« y ↑ ( y₂ > y₁ ) ». Поэтому график зрительно «идет в гору».

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».

По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает, так как ее график «идет в гору». Но как доказать по формуле, что функция возрастает на всей своей области определения?

Запомните!

Функция возрастает на всей области определения, когда при
« x₂ > x₁ »
выполняется условие
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.

По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при « x₂ > x₁ » увеличивается значение функции
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Но как нам найти значения функции
« y( x₁ ) » и « y( x₂ ) »?

Для нахождения « y( x₁ ) » и « y( x₂ ) » достаточно подставить « x₁ » и « x₂ » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».

Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.

Подставим в неравенство
« y( x₂ ) > y( x₁ ) » полученные формулы
« y( x₁ ) = 9x₁ − 4 » и
« y( x₂ ) = 9x₂ − 4 » .

Разделим левую и правую часть на « 9 ».

9(x₂ − x₁) > 0 | : 9

9 (x2 − x1)

9

>

0

9

При делении нуля на любое число получается ноль.

Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции « x₂ > x₁ ». Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.

В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».

Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.

Разбор примера

Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1

По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.

Вместо « y( x₁ ) » и « y( x₂ ) » запишем формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.

13x₂ − 1 > 13x₁ − 1
13x₂ − 13x₁ > 1 − 1
13(x₂ − x₁) > 0 |: 13

13 (x2 − x1)

13

>

0

13

x₂ − x₁ > 0
x₂ > x₁

Что и требовалось доказать.

Что такое убывание функции

Запомните!

Функция « y(x) » называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
« x₁ » и « x₂ » принадлежащих данному промежутку, таких,
что « x₂ > x₁ » выполняется неравенство « y( x₂ ) ».

Как по графику понять, что функция убывает

Разбор примера

Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x

По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x » ↑ растет, то « y » ↓ должен уменьшаться.

Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.

Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа, поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 » и « x = 1 ».

Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».

На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении « x » ↑ уменьшается
значение « y » ↓ .

Как по формуле доказать, что функция убывает

Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».

По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле, что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?

Запомните!

Чтобы доказать, что функция убывает требуется доказать, что при любых « x₂ > x₁ » выполняется
« y( x₂ ) y( x₁ ) ».

Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает на всей своей области определения.

Что и требовалось доказать.

Как по графику функции определить
возрастание и убывание

Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.

Разбор примера

На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает («спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).

Запишем через знаки неравенств, какие значения принимает « x » на полученных промежутках. Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.

Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.

• функция убывает при
  x ≤ −2; 0 ≤ x ≤ 3,5
• функция возрастает при
  −2 ≤ x ≤ 0 ; x ≥ 3,5

Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных математических символов.

• функция убывает на промежутках x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5]
• функция возрастает на промежутках x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]

При каких значениях
« m » функция является убывающей или возрастающей

Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких « m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.

Разбор примера

При каких значениях « m » функция
« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?

Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.

Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в задаче. Вместо « x » подставим « x₁ » и « x₂ ».

Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.

Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.

Преобразуем исходное условие убывания функции « x₂ > x₁ ». Перенесем все в левую часть.

По условию убывания функции
« x₂ − x₁ > 0 », значит, чтобы
произведение « ( x₂ − x₁) (m + 2) » было меньше нуля, требуется, чтобы множитель « (m + 2) » был меньше нуля. Так как по правилу знаков: плюс на минус даёт минус.

математика — Доказать, что функция убывающая

Доказать, что функция $%f=(cosy-cosx)sinx$% убывающая. При условиях: $%y=- \sqrt<-3 x^<2>+4 \pi x- \pi ^ <2>>$%; $%x \in [ \frac< \pi ><3>; \frac< \pi ><2>]$%.

задан 16 Дек ’20 20:27

Сорри, это я не так прочитал. Мне показалось, что там итерация синуса.

Старайтесь писать не sin, а \sin, а то первое плохо читается — как произведение чисел s, i, n.

1 ответ

У меня есть следующее решение:

Я подставил вместо $%y$% его значение в функцию, с учётом чётности косинуса получил выражение: $%f(x)=(cos \sqrt<<-3 x^<2>+4 \pi x- \pi ^ <2>>> -cosx)\ sinx$%.

Затем нашёл производную, преобразовал её и получил: $% f’ (x)= \frac<(3x-2 \pi)sinxsin \sqrt<<<-3 x^<2>+4 \pi x- \pi ^ <2>>>> >< \sqrt<<<-3 x^<2>+4 \pi x- \pi ^ <2>>>> >+cosxcos \sqrt<<-3 x^<2>+4 \pi x- \pi ^ <2>>> -cos2x $%

Затем с помощью оценки выражений составляющих эту производную доказывается, что производная меньше нуля. Например, вместо $%cos \sqrt<<-3 x^<2>+4 \pi x- \pi ^ <2>>>$% подставляем её наибольшее значение $%1$%, рассуждая следующим образом, т.к. это выражение прибавляется и если мы подставим его наибольшее значение, то значение производной увеличится и если она всё равно останется отрицательным, то и исходная производная тем более будет отрицательной. То есть, $% f’ (x) \leq \frac<(3x-2 \pi)\ sinx sin \sqrt<<<-3 x^<2>+4 \pi x- \pi ^ <2>>>> >< \sqrt<<<-3 x^<2>+4 \pi x- \pi ^ <2>>>> >+cosx -cos2x$%. Далее исследуем выражение $%\frac+4 \pi x- \pi ^ <2>>>> >< \sqrt<<<-3 x^<2>+4 \pi x- \pi ^ <2>>>> >$%. Оно имеет вид $%\frac$% . С помощью графика показал, что на нашем отрезке $%x \in [ \frac< \pi ><3>; \frac< \pi ><2>]$% это выражение убывает (интересно, а можно как-то это сделать без графика, аналитически?). Значит наименьшее значение оно достигает при $%x=\frac< \pi > <2>$% и оно равно При этом мы видим, что выражение $%(3x-2\pi )$% на нашем отрезке отрицательно, значит выражение $%\frac+4 \pi x- \pi ^ <2>>>> >< \sqrt<<<-3 x^<2>+4 \pi x- \pi ^ <2>>>> >$% должно принимать наименьшее значение, т.к. оно положительно на нашем отрезке и чем оно меньше, тем больше будет произведение $%(3x-2\pi )$% на это выражение $%\frac+4 \pi x- \pi ^ <2>>>> >< \sqrt<<<-3 x^<2>+4 \pi x- \pi ^ <2>>>> >$% и поставив вместо этой дроби, т.е. мы отрицательно число умножили на наименьшее положительное, то произведение будет отрицательным, но наибольшим и мы опять увеличили производную и если она останется отрицательно, то первоначальная производная тем более будет отрицательной. Наименьшее значение дроби равно $%\frac<2> < \pi >$%, подставив его получим $% f’ (x)\leq (3x-2\pi)sinx\cdot\frac<2>< \pi >+cosx-cos2x$%. После преобразования получим $%-4sinx+ \frac<6xsinx> <\pi>+cocx-cos2x=-3sinx+\frac<6xsinx><\pi>+cosx-cos2x-sinx$%. Исследуем функцию $%-cos2x-sinx$%. $%-1+2sin^2x-sinx=(2sinx+)(sinx-1)$%. Получается, что $%2sinx+1>0$% на нашем отрезке, а $%sinx-1\leq 0$%. Значит $%-cos2x-sinx\leq 0$% и если мы возьмём вместо этого выражения $%0$%, то мы получим, что $%f’ (x) \leq -3sinx+ \frac<6x>< \pi >+cosx$%. Исследуем функцию:$%g(x)= -3sinx+ \frac<6x>< \pi >+cosx$%. Найдём её производную $%g’ (x) = -3cos-sinx+ \frac<6>< \pi >=- \sqrt<10>sin(x+ \varphi )+\frac<6> < \pi >$%. На отрезке $%[ \frac< \pi ><3>; \frac< \pi ><2>]$% полученное уравнение имеет один корень $%x= x_ <0>$%. Теперь определим знак $%g’ (x)$% на границах отрезка, получим $%g’ (x=\frac< \pi ><3>)<0; g’ (x=\frac< \pi ><2>)>0$%. Т.е. наибольшее значение функции $%g(x)$% достигается либо в начале либо в конце отрезка $%[ \frac< \pi ><3>; \frac< \pi ><2>]$%. Подставив границы отрезка найдём наибольшее значение функции $%g(x)$%. Получим: $%g (x=\frac< \pi ><3>)<0; g (x=\frac< \pi ><2>)=0$%. Т.о. мы доказали, что наибольшее значение нашей основной производной, после того как мы несколько раз увеличивали её значение может быть равно только $%0$%.

Таким образом получили, что $%f’ (x)\leq 0$%, значит наша функция убывающая.

Мне интересно нет ли в этом решении каких то ошибок, неточностей, и кроме этого нет ли более рационального, обоснованного решения этой задачи. Т.к. это задача из школьной программы, то желательно решение без исследования выражения $%(cosy-cosx)\cdot sinx$% как функцию от двух переменных, при нижнем условии $%3x^2-4\pi x+y^2=-\pi^2$% т.к. в школе по-моему это не проходят. Я где-то видел, что такая методика есть, но это не школьный метод. Мне просто очень интересно, есть ли более простая методика, чем та, которую я привёл? Ну естественно без Wolframa, если это возможно. Заранее благодарен. С уважением.

отвечен 18 Дек ’20 1:12

@falcao: Извините за беспокойство. Очень хотелось бы понять как правильно решать эту задачу. Есть решение предложенное @kadavr: по ссылке можно посмотреть: math.hashcode.ru/questions/209078#210971. Но в тоже время Я нашёл критику данной методики решения: Тут проблема в том, что в его решении он никак не ссылаетесь на условие о сумме квадратов, а оно тут носит ключевое значение. Т.е. если бы у вас было условие такого вида: найти максимальную площадь, если $%x^2+y^2+z^2= \frac < \pi ^<2>> <2>$% (тут рассмотрено другое условие), (продолжение следует)

@falcao: (продолжение): то взяв допустим $%x=y$% у вас максимальное значение произведения синусов (а оно прямо пропорционально площади) вышло бы в районе 0,2 (если брать y=z выходит что-то в районе 0,3), а взяв x=1,54;y=0,8;z=0,66 (примерно) у вас произведение синусов выросло бы до 0,5. Т.е. некоторые условия на углы будут делать ваши равнобедренные треугольники слишком тупоугольными, что при фиксированной окружности уменьшает площадь по сравнению с не равнобедренными собратьями. (продолжение следует).

@falcao: (Продолжение): Согласны ли Вы с этим? Или я что-то не понял? Если он не прав, тогда остаётся только оценка производной и если да, то правильно ли я ее сделал выше? Очень хотелось бы разобраться и понять, если это Вас не очень затруднит. Ещё раз извините за беспокойство. Заранее благодарен. С уважением.