Как искать определитель матрицы 4 на 4

Нахождение определителя матрицы 4 на 4

Есть несколько основных используемых способов для вычисления матричных определителей размерности 4×4. Первый из них — это приведение матрицы к ступенчатой форме посредством разрешённых преобразований, а второй — это разложение матрицы по строчке или столбцу.

Способ Гаусса

Способ разрешённых преобразований для нахождения определителей 4х4 интуитивно довольно прост и понятен: нужно преобразовать матричную таблицу так, чтобы снизу под главной диагональю стояли только нули, а после этого найти произведение элементов с этой самой диагонали. В процессе можно пользоваться свойствами определителей.

Свойства детерминанта

Также в процессе нахождения детерминанта можно пользоваться свойствами определителя, вот самые полезные из них:

• Определитель будет равен нулю, если какие-либо его строчки или столбцы полностью нулевые или пропорциональны между собой (то есть отличаются лишь каким-либо множителем);
• Общий множитель, присутствующий у всех элементов строчки или столбца, можно вынести за скобки и тем самым упростить процесс вычисления;
• При перестановке строчек или столбцов знак конечного вычисленного значения меняется на противоположный.

Разложение по строчке

Тут нужно записывать определитель через сумму алгебраических дополнений элемента строчки или столбца, по которой производится разложение.

Алгебраическое дополнение одного элемента $a_ij$ вычисляется по формуле:

$(-1)^ \cdot Δ_$, здесь $Δ_$ — минор элемента, он определяется путём вычёркивания строчки и столбца, в которой стоит рассматриваемый элемент.

Единица в степени $i+j$ по сути нужна для определения знака перед соответствующим минором, поэтому для простоты можно просто принять, что знаки чередуются в шахматном порядке, причём для элемента 1-ой строчки 1-ого столбца знак будет положительный.

Найдите определитель для $A$:

$A=\begin 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & -9 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end$

Решение:

Здесь всё просто, в строчке четыре стоят только нули, а это значит, что $Δ = 0$.

Посчитайте определитель для $B$:

$B=\begin 1 & 0 & -1 & -5 \\ 1 & 6 & 4 & -5 \\ 1 & 2 & -2 & -5 \\ 1 & 3 & 0 & -5 \\ \end$

Первый столбец отличается от последнего лишь множителем для всей строки, равным $-5$, а это значит, что здесь, как и в первом примере $Δ = 0$.

Дана матрица $C$. Найдите детерминант методом Гаусса:

$C = \begin 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -4 \\ \end$

Решение:

Ищем детерминант посредством составления треугольной матрицы. Для этого осуществляем следующие преобразования, для удобства обозначения осуществляемых со строками арифметических операций будем обозначать строчку как (n):

$\begin 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \\ \end$

Теперь можно найти произведение с главной диагонали:

$Δ = 1 \cdot (-3) \cdot 2 \cdot (-5) = 30$.

Проверьте себя и найдите определитель матричной таблицы $C$ разложением по строчке.

Решение:

Нулевых элементов в строчках и столбцах нет, поэтому разложим определитель по первой строчке, так как она имеет минимальные по модулю элементы. Знаки при каждом произведении запишутся в следующем порядке: $(+;-;+;-)$.

$\begin <|cccc|>1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -4 \\ \end= 1 \cdot \begin <|ccc|>-2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end – 1 \cdot \begin <|ccc|>1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end + 1 \cdot \begin <|ccc|>1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end — \begin <|ccc|>1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end $

Теперь вычислим каждый минор по отдельности, воспользуемся правилом Саррюса:

Как вычислить определитель?

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей, он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (более подробно см. Действия с матрицами)

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два»:

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу:

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Пример вычисления определителя (детерминанта) матрицы

Определитель матрицы — является многочленом от элементов квадратной матрицы (если элементы матрицы это числа, тогда определитель матрицы тоже будет числом).

Для нахождения определителя матрицы, исходная матрица должна быть квадратной.

Пример №1

Дана матрица размером 2х2;

Что бы вычислить определитель матрицы 2х2 нужно из произведения элементов главной диагонали, вычесть произведение элементов побочной диагонали;

Пример №2

Дана матрица размером 3х3;

Что бы вычислить определитель матрицы 3х3 нужно воспользоваться формулой;

Подставляем наши значения в формулу;

Пример №3

Дана матрица размером 4х4;

Есть два способа вычисления определителя матрицы:

1. По определению — через разложение по строке или столбцу;
2. По методу Гаусса — приведение матрицы к треугольному виду (этот способ лучше использовать для решения матриц, размером 4х4 и более).

Решим пример первым способом (по определению — через разложение по строке или столбцу)

Чтобы вычислить определитель матрицы, нужно воспользоваться следующей формулой, в ней рассмотрен пример разложения матрицы по первой строке;

Итак, начнём

1. Выбираем строку или столбец (любую), лучше всего выбирать строку или столбец, где больше нулей, для удобства вычисления;
   В данном случае мы выбираем третью строку, так как в ней присутствует ноль;

1. Берём первый элемент этой строки (2);
   Теперь вычёркиваем третью строку и первый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Согласно формуле, мы умножаем выбранный нами элемент на определитель получившейся матрицы;

Вычисление определителя матрицы 3х3, мы рассматривали в примере №2

1. Далее делаем всё тоже самое, что и в шаге два, только берём второй элемент данной строки (0) и вычёркиваем третью строку и второй столбец;

Так как этот элемент равен нулю, то ни чего не нужно считать и так всё ясно;

1. Теперь берём третий элемент строки (6) и вычёркиваем третью строку и третий столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (6)

1. Берём четвёртый элемент строки (-3) и вычёркиваем третью строку и четвёртый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (-3)

1. Чтобы вычислить определитель исходной матрицы, нужно сложить полученные результаты;

Опишем решение примера вторым способом (по методу Гаусса — приведение матрицы к треугольному виду)

Суть способа заключается в том, чтобы перед вычислением определителя, привести матрицу к треугольному виду. Если в ходе приведения матрицы к треугольному виду вы умножаете (делите) строку на число, то на это же число нужно будет умножить (разделить) полученный в конце определитель;

Пример приведения матрицы к треугольному виду мы уже рассматривали здесь

Итак, мы привили матрицу к треугольному виду;

Теперь чтобы вычислить определитель приведённой матрицы, нужно перемножить все элементы, стоящие на главной диагонали;

Скачать пример вычисления определителя (детерминанта) матрицы:

Что бы скачать, нажмите правой кнопкой мыши и выберите «Сохранить ссылку как. «

Если Вам не понятен какой-либо шаг или у Вас есть вопросы по вычислению определителя матрицы, вы всегда можете оставить свой комментарий внизу или вычислить определитель её, воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.

Определитель матрицы

Определитель (детерминант) квадратной матрицы A — это число, обладающее определенными свойствами, которое может быть получено из элементов матрицы рядом методов.

Обозначения

Пусть $ A = \begin 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end$

$det(A) = \left|A\right| = \begin 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end$

Свойства определителя

1. Если матрица имеет строку или столбец, все элементы которого равны нулю, то ее определитель равен 0.

Минор матрицы

Определитель матрицы, полученной вычеркиванием некоторых строк и столбцов матрицы, называется минором этой матрицы.

Один из миноров матрицы A есть $\begin 1 & 4\\ 5 & 3 \end$ (он получается вычеркиванием строки 3 и столбца 3 из матрицы A)

Другим минором является $\begin 1 & 2 \\ 6 & 1 \end$ (получается вычеркиванием строки 2 и столбца 2 из матрицы A)

Один из миноров матрицы B есть $ \begin 1 & 7 & 9\\ 8 & 3 & 2\\ 8 & 1 & 4 \end$ (получается вычеркиванием строки 1 и столбца 1 из матрицы B)

Другим минором является $\begin 1 & 7 \\ 8 & 3 \end$ (получается вычеркиванием строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)

Можно определить минор $\Delta_$, полученный вычеркиванием строки i и столбца j, для любого элемента $a_$ квадратной матрицы A. Такой минор называется дополнительным.

Определить дополнительный минор элемента 2. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 1, видно, что это $a_<2,1>$.

Нужно вычеркнуть строку 2 и столбец 1 из матрицы A, после чего получаем

Минор, дополнительный к элементу 2, есть $\Delta_ <2,1>= 7$.

Нужно найти минор, дополнительный к элементу 7. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 3, видно, что это $a_<2,3>$.

Мы должны вычеркнуть строку 2 и столбец 3 из матрицы B, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 7, — это $\Delta_<2,3>= \begin 1 & 4\\ 6 & 2 \end$

Нужно найти минор, дополнительный к элементу 5. Так как данный элемент находится в строке 1, столбце 2, видно, что это $a_<1,2>$.

Мы должны вычеркнуть строку 1 и столбец 2 из матрицы C, после чего мы получаем

Минор, дополнительный к элементу 5, — это $\Delta_<1,2>= \begin 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end$

Алгебраическое дополнение элемента матрицы

Каждому элементу $a_$ матрицы A соответствует алгебраическое дополнение $(-1)^\cdot\Delta_$. Например, алгебраическое дополнение $(-1)^<2+5>\cdot\Delta_<2,5>=(-1)^<7>\cdot\Delta_<2,5>= -\Delta_ <2,5>$ соответствует элементу $a_<2,5>$.

Порядок определителя

Порядок определителя матрицы равен числу ее строк и столбцов.

Пример 26
$\begin 1 & 4\\ 6 & 2\\ \end$ (матрица имеет 2 строки и 2 столбца, так что порядок определителя равен 2)

Пример 27
$\begin 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end$ (матрица имеет 3 строки и 3 столбца, так что порядок определителя равен 3)

Вычисление определителя матрицы

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца и их алгебраических дополнений.

Можно посчитать определитель, например, используя строку i:

Либо же можно посчитать определитель, используя столбец j:

Вычисление определителя матрицы 2×2

Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.

Заметим, что $ \Delta_<1,1>= a_ <2,2>$ и $ \Delta_<1,2>=a_<2,1>$

$ \left| A\right| =a_ <1.1>\cdot a_<2,2>— a_ <1.2>\cdot a_<2,1>$

Пример 28
$\begin 2 & 5\\ 3 & 8 \end =2 \cdot 8 — 3 \cdot 5 = 16 -15 =1$

Пример 29
$\begin -4 & 7\\ -2 & 9 \end =-4 \cdot 9 — 7 \cdot (-2) = -36 -(-14) =-36 + 14 = — 22$

Вычисление определителя матрицы 3×3

Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.

Упростить получение последней формулы можно следующим образом.

Начнем с того, что перепишем первые две строки под определителем как показано ниже.

Умножаем элементы на каждой из трех красных диагоналей (на главной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:
$\color\cdot a_<2,2>\cdot a_<3,3>+ a_<2,1>\cdot a_<3,2>\cdot a_<1,3>+a_<3,1>\cdot a_<1,2>\cdot a_<2,3>>$

Умножаем элементы на каждой из трех синих диагоналей (на побочной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:

Вычитая вторую сумму из первой, получаем формулу определителя:

$= 3\cdot4\cdot9 + 1\cdot1\cdot1 + 7\cdot5\cdot2 -(1\cdot4\cdot7 + 2\cdot1\cdot3 + 9\cdot5\cdot1) =$ $ 108 + 1 + 70 -(28 + 6 + 45)=79-79=100$

Элементы матрицы могут быть обозначены буквами. Вычисление их определителей можно упростить, используя свойства определителей. Например, можно вычислить определитель матрицы, в которой к какой-либо строке (или столбцу) прибавлена линейные комбинация других строк (столбцов).

$\begin a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end$ $ \xlongequal+C_<2>+C_<3>> \begin a + b + c & b & c\\ c + a + b & a & b\\ b + c + a & c & a \end = (a + b + c) \cdot \begin 1 & b & c\\ 1 & a & b\\ 1 & c & a \end$

Вычисляем последней определитель:

$ = a^ <2>+ b^ <2>+ c^ <2>-a\cdot c — b\cdot c — a\cdot b =$ $\frac<1><2>\cdot(2a^ <2>+2b^<2>+2c^ <2>-2a\cdot b -2a\cdot c-2b\cdot c) =$ $\frac<1><2>\cdot(a^<2>-2a\cdot b + b^<2>+ a^<2>-2a\cdot c +c^<2>+b^<2>-2b\cdot c + c^<2>)=$ $\frac<1><2>\cdot[(a-b)^<2>+(a-c)^<2>+(b-c)^<2>]$

В итоге получаем:

Пример 32
Вычислим определитель матрицы Вандермонде.
$\begin 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^ <2>& b^ <2>& c^ <2>\end$

Используя свойства определителей, модифицируем строку 1 так, чтобы два элемента обратились в 0. В этом случае, когда мы используем полученную выше формулу для определителя матрицы 3×3, нет необходимости вычислять алгебраические дополнения этих элементов, поскольку их произведение будет равно 0.

Вычисление определителя матрицы 4×4

Вычислить определитель матрицы 4×4 можно с использованием общей формулы для определителя матрицы 3×3.

1. Проверим, не выполняется ли одно из условий того, что определитель равен 0.
2. Проверим, нельзя ли вынести общий множитель из одной или нескольких строк или столбцов.
3. Проверим, не является ли данная матрица матрицей Вандермонде, возможно, такой, в которой некоторые строки или столбцы переставлены.

В любом из этих случаев нам пригодятся соответствующие методы вычисления определителей матриц 3×3. Модифицируем строку или столбец так, чтобы все его элементы, кроме одного, обратились в 0. Определитель будет равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение. В этом случае, алгебраическое дополнение — это определитель матрицы 3×3, который считается по уже известной формуле.

Замечаем, что все элементы в строке 3 равны нулю, а значит, определитель равен 0.

Пример 34
$\begin 1 & 3 & 1 & 2\\ 5 & 8 & 5 & 3\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 2 & 8 \end$
Замечаем, что $C_<1>$ равно $C_<3>$, следовательно, определитель равен 0.

Пример 35
$\begin 1 & 3 & 9 & 2\\ 5 & 8 & 4 & 3\\ 10 & 16 & 18 & 4\\ 2 & 3 & 1 & 8 \end$
Замечаем, что строки 2 и 3 пропорциональны друг другу, следовательно, определитель равен 0.

Поскольку в столбце 1 только один элемент отличен от нуля, применяем общую формулу, используя этот столбец. Алгебраические дополнения нулевых элементов считать не надо, так как их произведения на эти элементы все равно будут равны нулю.

=
$=4(1\cdot3\cdot1 +(-1)\cdot1\cdot3+3\cdot(-3)\cdot3$ $-(3\cdot3\cdot3+3\cdot1\cdot1 +1\cdot(-3)\cdot(-1)))$ $=4(3-3-27-(27+3+3))=4\cdot(-60)=-240$

Чтобы изменить строку так, чтобы в ней стало больше нулей, нужно совершать операции со столбцами, и наоборот. Выбираем строку или столбец, содержащий элемент 1, поскольку из него можно получить любое число простым умножением.

Заметим, что в строке 2 уже есть два нулевых элемента. Достаточно обратить лишь еще один элемент в 0, чтобы осталось посчитать только одно алгебраическое дополнение единичного элемента.

$\begin 4 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 1 & -1 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 1 & 1 \end \xlongequal+2C_<2>>$ $\begin 4 & 3 & 2 & 8\\ 0 & \color <1>& 0 & 0\\ 1 & -1 & 3 & 1\\ 2 & 3 & 1 & 7 \end=$ $=$br />

$= 1\cdot(-1)^<2+2>\cdot \begin 4 & 2 & 8\\ 1 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 7 \end=$
$=4\cdot3\cdot7 + 1\cdot1\cdot8 + 2\cdot2\cdot1$ $-(8\cdot3\cdot2 + 1\cdot1\cdot4 + 7\cdot2\cdot1) =$ $ 84 + 8 + 4- 48-4-14=30$

Можно вынести множитель 3 из строки 3:
$3\cdot \begin 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 4 & 2 & 1\\ \end$

Поскольку в строке 3 все элементы равны 1, легко обратить получить нули.

$\begin 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 4 & 2 & 1 \end$ $ \xlongequal — C_<4>,C_<2>-C_<4>,C_<3>-C_<4>> \begin -1 & -4 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & \color<1>\\ -2 & 3 & 1 & 1 \end$ $=1\cdot(-1)^<3+4>\cdot$ $=(-1)\cdot \begin -1 & -4 & 1\\ 3 & 4 & 2 \\ -2 & 3 & 1\\ \end$
$=-((-1)\cdot 4\cdot 1 +3 \cdot 3\cdot1 + (-2)\cdot (-4)\cdot 2$ $- (1\cdot 4\cdot (-2) + 2\cdot 3\cdot (-1) + 1\cdot (-4)\cdot3))$ $=-(-4 + 9 + 16 + 8 + 6 + 12) =-47$

Здесь мы можем использовать единицу из последней строки и обратить остальные элементы первого столбца в нули.

$\begin 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 7 & 2\\ 1 & 0 & 2 & 4 \end$ $\xlongequal-2R_<4>,R_<2>-4R_<4>, R_<3>-5R_<4>> \begin 0 & 5 & -3 & -4\\ 0 & 1 & -2 & -13\\ 0 & 3 & -3 & -18\\ \color <1>& 0 & 2 & 4 \end=$ $=1\cdot(-1)^<4+1>\cdot \begin 5 & -3 & -4\\ 1 & -2 & -13\\ 3 & -3 & -18 \end=$ $(-1)\cdot \begin 5 & -3 & -4\\ 1 & -2 & -13\\ 3 & -3 & -18 \end$

Выносим общий множитель -1 из столбца 2 и еще раз -1 из столбца 3.
$ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot \begin 5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 13\\ 3 & 3 & 18 \end=$ $(-1)\cdot \begin 5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 13\\ 3 & 3 & 18 \end=$ $-[5\cdot 2\cdot 18 + 1\cdot 3\cdot 4+ 3\cdot 3\cdot 13 — (4\cdot 2\cdot 3\cdot + 13\cdot 3\cdot 5 + 18\cdot 3\cdot 1)]=$ $-(180+12+117-24-195-54)=36$

Мы видим элемент 1 в столбце 3, так что мы можем обратить остальные элементы строки 2 в нули.

$\begin 4 & 7 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 5 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end$ $\xlongequal-C_<3>, C_<2>-3C_<3>,C_<4>-2C_<3>> \begin 2 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & \color <1>& 0 \\ -1 & -4 & 3 & -2\\ -1 & -2 & 2 & -1 \end=$ $=1\cdot(-1)^<2+5>\cdot \begin 2 & 1 & -1\\ -1 & -4 & -2\\ -1 & -2 & -1 \end$

Выносим общий множитель -1 из строки 2 и еще раз -1 из строки 3.
$ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot \begin 2 & 1 & -1\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end=$ $(-1)\cdot \begin 2 & 1 & -1\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end=$ $-[2\cdot 4\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot (-1)+ 1\cdot 1\cdot 2 — ((-1)\cdot 4\cdot 1 + 2\cdot 2\cdot 2 + 1\cdot 1\cdot 1)]=$ $-(8-2+2+4-8-1)=-3$

Заметим, что все строки и все столбцы состоят из одних и тех же элементов, но в разном порядке. В таком случае мы можем сложить все строки или все столбцы.

$=10\cdot1\cdot(-1)^<1+4>$

$ = (-10)\cdot \begin -1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & -1 & -2 \end=$ $(-10)\cdot((-1)\cdot 3\cdot (-2) +2 \cdot (-1)\cdot2 + 1\cdot 1\cdot 1$ $-(2\cdot 3\cdot 1 + 1\cdot (-1)\cdot (-1) + (-2)\cdot1\cdot2))$ $= -10\cdot(6 -4 +1 -6 — 1 + 4) =0$