Придумайте три разные правильные несократимые дроби сумма которых целое число
a) Придумайте три правильные несократимые дроби, сумма которых – целое число, а если каждую из этих дробей «перевернуть» (то есть заменить на обратную), то сумма полученных дробей тоже будет целым числом.
б) То же, но числители дробей – не равные друг другу натуральные числа.
Подсказка
а) Подберите три дроби с числителями, равными 1.
б) Найдите сначала три дроби с разными знаменателями, дающие в сумме 1.
Придумайте три разные правильные несократимые дроби сумма которых целое число
6. 
В примерах на сложение заменили цифры буквами: одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные цифры — разными буквами. Получилось: а) КРОТ + СЛОН = ЗАВОД; б) АБВГ + ДЕЖ = ЗИКЛ. Восстановите исходные примеры. (Нужно найти все возможные варианты и показать, что других нет.)
Решение. Подсчёт последнего среднего арифметического даёт следующее значение
| M | = | a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + 2( b 1 + b 2 + b 3 + b 4) + 4 c | , |
| 16 |
где a i — числа в углах, b j — числа в средних клетках на краю, c — число в центре таблицы. Тогда
| M | = | ( a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ b 1+ b 2+ b 3+ b 4+ c )+( b 1+ b 2+ b 3+ b 4+ c )+2 c | = |
| 16 |
| = | 45 + ( b 1 + b 2 + b 3 + b 4 + c ) + 2 c |
| 16 |
и
| M | ≤ | 45 + (5 + 6 + 7 + 8) + 2·9 | = | 98 | = | 6,125, |
| 16 | 16 |
M ≤ dfrac<45 + (5 + 6 + 7 + 8 + 9) + 2·9><16>=dfrac<98><16>=6,125 ,—> а наибольшее возможное целое значение равно 6. Приведем пример такой таблицы:
| 1 | 5 | 2 |
| 6 | 8 | 9 |
| 3 | 7 | 4 |
Левая часть делится на 3, значит, либо s , либо c делится на 3.
1) Пусть s делится на 3, тогда s = 3 k . 3( c + 3 k ) = 3 kc , c + 3 k = kc , 3 k = c ( k − 1). k = 1 решением не является, также числа k и k − 1 взаимно просты, тогда k − 1 = 1 или k − 1 = 3. В первом случае получим c = 6, во втором c = 4.
2) Если c делится на 3, с = 3 k , аналогичным образом получим k = 2 и k = 4, т.е. c = 6 и c = 12.
Приведем примеры для c = 4, 6.
1) c = 4. Числа 4, 6, 6.
2) c = 6. Числа 6, 6.
3) c = 12. Тогда s = 4, но такого не может быть, т.к. s ≥ c .
Придумайте три разные правильные несократимые дроби сумма которых целое число
6. В примерах на сложение заменили цифры буквами: одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные цифры — разными буквами. Получилось: а) КРОТ + СЛОН = ЗАВОД; б) АБВГ + ДЕЖ = ЗИКЛ. Восстановите исходные примеры. (Нужно найти все возможные варианты и показать, что других нет.)
Решение. Подсчёт последнего среднего арифметического даёт следующее значение
примеры_и_контрпримеры — Три правильные несократимые дроби, как их придумать?
Условие
Автор: Голенищева-Кутузова Т.И.
a) Придумайте три правильные несократимые дроби, сумма которых – целое число, а если каждую из этих дробей «перевернуть» (то есть заменить на обратную), то сумма полученных дробей тоже будет целым числом.
б) То же, но числители дробей – не равные друг другу натуральные числа.
Авторское решение: $%\dfrac<2><11>,\quad \dfrac<3><11>,\quad \dfrac<6><11>.$%
Желаю предложить два других решения (разумеется, сразу ко второму пункту задачи):
1) $%\quad\dfrac<5><9>,\quad \dfrac<2><27>,\quad \dfrac<10><27>.$%
2) $%\quad\dfrac<5><14>,\quad \dfrac<3><28>,\quad \dfrac<15><28>.$%
(Питошка мне не помогал,
Он просто мимо проползал,
Ведь знать сперва необходимо,
Как сделать дробь несократимой!)
а) Как «накидать» ещё хотя бы дюжину решений?
б) Как в Питоне устроить в проверку дроби на сократимость?
задан 14 Окт ’21 12:51
б) Как в Питоне устроить в проверку дроби на сократимость?
if math.gcd(numerator, denominator) == 1:
Хотел придумать три дроби, чтобы все числители и знаменатели были разные, но потерпел неудачу)
1 ответ
Сумма трёх правильных дробей, будучи целой, может быть равна 1 или 2. Для второго случая (о котором чуть ниже) я примеров не знаю; возможно, их и не имеется.
Для первого случая, в котором знаменатель можно считать общим, и тогда дроби можно считать равными a/S, b/S, c/S, где S=a+b+c, я проверил на компьютере все решения в пределах a,b,c<=500. Проверялось условие целочисленности суммы S/a+S/b+S/c, что означает делимость симметрического многочлена a^2b+b^1a+a^2c+c^2a+b^2c+c^2b на abc. Вот варианты, которые при этом возникли (не считая трёх уже названных):
[3/52, 7/52, 21/26], [6/175, 39/175, 26/35], [3/245, 11/245, 33/35], [5/126, 11/36, 55/84], [5/297, 2/27, 10/11], [2/51, 7/51, 14/17], [7/255, 2/51, 14/15], [5/294, 17/42, 85/147], [3/364, 57/182, 19/28], [3/532, 23/266, 69/76], [2/627, 50/209, 25/33], [2/77, 5/77, 10/11], [6/295, 34/295, 51/59], [2/171, 13/513, 26/27], [14/275, 6/55, 21/25], [2/345, 7/115, 14/15].
Я оставил только те 16 новых вариантов, где нет совпадений у числителей. Среди них выделяется 10 вариантов, где среди знаменателей также нет совпадений. Обращает на себя внимание тот факт, что произведение двух числителей часто равно третьему, а если это не так, то имеет место другая связь, когда числители имеют вид uv, uw, vw. Видимо, тут не очень трудно должно получить какие-то бесконечные серии.
Что касается случая, когда сумма дробей равна 2, то при a/S+b/S+c/S=2 получается a+b+c=2S, и тогда 2a < 2S=a+b+c, то есть a < b+c вместе с двумя другими неравенствами треугольника. При этом задача сводится, по сути, к предыдущей, где сумма дробей равна 1, но числа a, b, c должны быть сторонами треугольника. Таких примеров не нашлось: одна из дробей всегда больше 1/2, но я не знаю, всегда ли это так.
