Как доказать ограниченность функции

2.2.Основные свойства функций

Определение 1. Функция , заданная на множестве , называется ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство ():

.

Определение 2. Функция называется ограниченной на множестве , если существует такое , что для всех :

.

Пример 1. Докажем, что функция ограничена.

Решение. Так как , то для любого выполняются неравенства . Значит функция ограничена на .

При доказательстве ограниченности функций оказываются полезными следующие утверждения:

а) Если функция ограничена на множествах и , то она ограничена и на объединении этих множеств.

б) Если функции и ограничены на множестве , то их сумма и произведение ограничены на .

в) Если функция ограничена на множестве сверху, то ограничена на снизу.

г) Если функция положительна на и ограничена на снизу положительным числом, то функция ограничена на .

Пример 2. Докажем, что функции и ограничены на отрезке .

Решение. Функция ограничена на , так как на этом отрезке выполняется неравенство . Постоянные функции и также ограничены на . Заданную функцию можно представить как сумму произведений ограниченных функций: , а тогда по утверждению б) функция ограничена на . Так как значения функции на не меньше, чем 3, и она ограничена, то по утверждению г) функция ограничена на .

Сформулируем теперь отрицания введенных понятий.

Определение 3. Функция

– неограниченна сверху на : ;

– неограниченна снизу на : ;

– неограниченна на : .

Пример 3. Докажем, что функция не является ограниченной на .

Решение. Возьмем произвольное и докажем, что существует , такое, что , т.е. . Это и будет означать неограниченность функции на . Возьмем . Тогда . Неограниченность функции доказана. Заметим, что на любом интервале , где , эта функция ограничена: если , то .

Пример 4. Докажем, что функция , , не ограничена.

Решение. При , , имеем , и потому принимает сколь угодно большие значения.

Если функция ограничена на множестве , то множество ее значений на имеет точную верхнюю и точную нижнюю грани. Их обозначают и . Индекс обычно опускают. Числа и могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству значений функции.

Пример 5. Для функции , , имеем , . Значения 1 и –1 принадлежат множеству значений функции.

Пример 6. Для функции , , имеем , . Значение 0 функция принимает при . Значение 1 эта функция не принимает ни при каком . Но среди значений функции есть сколь угодно близкие к 1. Так, при имеем . Это значение отличается от 1 меньше чем на 0,000004.

2. Монотонность

Определение 4. Функция называется:

– возрастающей на : ;

– убывающей на : ;

– неубывающей на : ;

– невозрастающей на :

При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика возрастающей функции увеличивается (рис. 1), а ордината графика убывающей функции уменьшается (рис. 2).

Графики неубывающей функции (рис. 3) и невозрастающей функции (рис. 4) могут иметь «площадки».

Если функция возрастает (убывает, не возрастает, не убывает) на , то говорят, что она монотонна на .

Пример 7. Докажем, что функция возрастает на всей числовой прямой.

Решение. Пусть . Тогда

.

Так как и то Итак, . Значит функция возрастает на всей числовой прямой.

Пример 8. Докажем, что функция возрастает на отрезке .

Решение. Пусть . Тогда

.

Так как , , , то , а так как , , то . Значит, , а потому . С другой стороны, из получаем, что , и потому . Но тогда и , т.е. возрастает на отрезке .

При исследовании функций на монотонность бывают полезны следующие утверждения:

а) Если функции и возрастают (убывают) на множестве , то их сумма возрастает (убывает) на этом множестве.

б) Если функция возрастает (убывает) на множестве , то функция возрастает (убывает) на этом множестве.

в) Если функции и неотрицательны на множестве и возрастают (убывают) на этом множестве, то их произведение возрастает (убывает) на множестве .

г) Если функция положительна на множестве и возрастает (убывает) на этом множестве, то функция возрастает (убывает) на множестве .

д) Если функция возрастает (убывает) на множестве , а функция возрастает (убывает) на множестве , то их композиция возрастает (убывает) на множестве .

Пользуясь утверждениями а) – д), легко доказать, что разность возрастающей и убывающей функций возрастает, а также, что функция , где и положительны, возрастает, а убывает на , является возрастающей функцией на . Отметим еще, что прибавление к функции любого числа, а также умножение функции на любое положительное число не изменяют характера монотонности этой функции.

Сформулируйте самостоятельно утверждения аналогичные а) – д) для неубывающих и невозрастающих функций.

Пример 9. Докажем, что функция () возрастает на .

Решение. Функция является произведением функций, каждая из которых равна . Так как множители неотрицательны и возрастают на , то и функция () возрастает на .

Пример 10. Докажем, что на функция () при четном убывает, а при нечетном возрастает.

Решение. Если , то , и потому . Если четно, то отсюда получаем, что , чем доказано убывание функции на . Если же нечетно, то получаем, что , т.е. что , и потому при нечетном функция возрастает на .

Пример 11. Докажем, что функция возрастает на .

Решение. Данная функция является суммой числа 4 и функций , , возрастающих на , а потому она возрастает на .

Пример 12. Докажем, что функция () возрастает на .

Решение. Пусть . Из следовало бы, что , т.е. вопреки предположению. Значит , а потому функция () возрастает на .

Пример 13. Докажем, что функция возрастает на .

Решение. Данная функция является композицией функций и , причем возрастает на и принимает значения от 4 до , а функция возрастает на . Поэтому функция возрастает на от до .

Упр.10.10 ГДЗ Мордкович 9 класс (Алгебра)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Как доказать ограниченность функции?

Как доказать ограниченность функции и найти её верхние и нижнии границы?

Я не пойму, как это доказывается в учебнике. Объясните пожалуйста.

задан 12 Июл ’12 13:01

3 ответа

А чем можно пользоваться? Мне смутно помнится, что @ВладиславМСК — школьник.
По условию $%5 \le x \le 6$%, это двойное неравенство можно умножить на положительное число 2, получим $%10 \le 2x \le 12$%, вычтем из всех частей неравенства 3, получим, что $%7 \le 2x — 3 \le 9$%, откуда и следует, что значения функции $%2x — 3$% на этом отрезке ограничены числами 7 (снизу) и 9 (сверху).

отвечен 12 Июл ’12 23:15

1)Легко доказать , что функция возрастает в $%R$%. Тогда $% f(5)\le f(x)\le f(6),$% при $% x\in[5;6].$% Значит функция ограничена, верхняя граница $%f(6),$% а нижняя $%f(5).$%

2)По теореме Вейерштраса непрерывная функция в отрезке достигает наибольшего и наименьшего значения в критических точках или на границах отрезка.Функция $%f(x)$% не имеет критических точек, значит наибольшее и наименшьее значения это $%f(6)$% и $%f(5).$%

отвечен 12 Июл ’12 13:24

Функция вида f(x)=кx−а — линейная, критических точек нет, по теореме Вейерштраса- границы отрезка являются наибольшим и наименьшим значением. Т.е. inf f(x)= 7,а sup f(x)=9.

отвечен 12 Июл ’12 13:40

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Как доказать ограниченность функции

Как доказать ограниченность функции и найти её верхние и нижнии границы?

Я не пойму, как это доказывается в учебнике. Объясните пожалуйста.

задан 12 Июл ’12 13:01

ВладиславМСК
351 ● 7 ● 28 ● 67
99&#037 принятых

3 ответа

А чем можно пользоваться? Мне смутно помнится, что @ВладиславМСК — школьник.
По условию $%5 le x le 6$%, это двойное неравенство можно умножить на положительное число 2, получим $%10 le 2x le 12$%, вычтем из всех частей неравенства 3, получим, что $%7 le 2x — 3 le 9$%, откуда и следует, что значения функции $%2x — 3$% на этом отрезке ограничены числами 7 (снизу) и 9 (сверху).

отвечен 12 Июл ’12 23:15

1)Легко доказать , что функция возрастает в $%R$%. Тогда $% f(5)le f(x)le f(6),$% при $% xin[5;6].$% Значит функция ограничена, верхняя граница $%f(6),$% а нижняя $%f(5).$%

2)По теореме Вейерштраса непрерывная функция в отрезке достигает наибольшего и наименьшего значения в критических точках или на границах отрезка.Функция $%f(x)$% не имеет критических точек, значит наибольшее и наименшьее значения это $%f(6)$% и $%f(5).$%

отвечен 12 Июл ’12 13:24

Функция вида f(x)=кx−а — линейная, критических точек нет, по теореме Вейерштраса- границы отрезка являются наибольшим и наименьшим значением. Т.е. inf f(x)= 7,а sup f(x)=9.

отвечен 12 Июл ’12 13:40

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Ограниченные и неограниченные функции

Обозначим буквой X некоторое множество чисел, входящих в область определения D ( f ) функции y = f (x) .

Определение 1. Функцию y = f (x) называют ограниченной сверху на множестве X , если существует такое число a , что для любого x из множества X выполнено неравенство

Определение 2. Функцию y = f (x) называют ограниченной снизу на множестве X , если существует такое число b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

Определение 3. Функцию y = f (x) называют ограниченной на множестве X , если существуют такие числа a и b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

Определение 4. Функцию y = f (x) называют неограниченной сверху на множестве X , если для любого числа a существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

Определение 5. Функцию y = f (x) называют неограниченной снизу на множестве X , если для любого числа b существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

Определение 6. Функцию y = f (x) называют неограниченной на множестве X , если эта функция или неограничена сверху, или неограничена снизу, или неограничена и сверху, и снизу.

Проиллюстрируем эти определения следующими примерами.

Пример 1. Функция y = x 2 (рис. 1) является ограниченной снизу и неограниченной сверху на множестве

Пример 2. Функция y = – x 2 (рис. 2) является ограниченной сверху и неограниченной снизу на множестве

Пример 3. Функция y = x (рис. 3) неограничена сверху и неограничена снизу на множестве

Пример 4. Функция y = arctg x (рис. 4) ограничена на множестве

Монотонные и строго монотонные функции

Определение 7. Функцию y = f (x) называют возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ выполнено неравенство

Замечание 1. Возрастающие функции также называют неубывающими функциями .

Определение 8. Функцию y = f (x) называют убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ выполнено неравенство

Замечание 2. Убывающие функции также называют невозрастающими функциями .

Определение 9. Функцию y = f (x) называют строго возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ выполнено неравенство

f (x₁) Определение 10. Функцию y = f (x) называют строго убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ выполнено неравенство

Определение 11. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными , строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными .

Пример 5. Функция y = x 2 (рис. 1) является строго убывающей функцией на множестве и строго возрастающей на множестве

Пример 6. Функция y = – x 2 (рис. 2) является строго возрастающей функцией на множестве и строго убывающей на множестве

Пример 7. Функция y = x (рис. 3) является строго возрастающей функцией на множестве

Пример 8. Функция y = arctg x (рис. 4) является строго возрастающей на множестве

Четные и нечетные функции

Определение 12. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют четной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

Определение 13. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют нечетной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

Пример 9. Функции y = x 2 и y = – x 2 являются четными функциями (рис. 1 и рис. 2), а функции y = x и y = arctg x являются нечетными функциями (рис. 3 и рис. 4).

Пример 10. Примерами функций, которые не являются ни четными, ни нечетными функциями, являются показательные и логарифмические функции.

Утверждение. Любую функцию y = f (x) , определенную на симметричном относительно точки x = 0 множестве X , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Доказательство. Рассмотрим две функции:

сумма которых равна f (x) , и заметим, что функция g₁ (x) является четной функцией, а функция g₂ (x) является нечетной функцией. Действительно,

что и завершает доказательство утверждения.

Замечание 3. Раскладывая функцию y = e x в сумму четной и нечетной функций, получаем:

Функцию g₁ (x) называют гиперболическим косинусом и обозначают ch x :

Функцию g₂ (x) называют гиперболическим синусом и обозначают sh x :

Таким образом, справедливо равенство

Периодические и непериодические функции. Период функции

Определение 14. Число называют периодом функции y = f (x) , если для любого числа числа x + T и x – T также принадлежат области определения D ( f ) и справедливы равенства

Определение 15. Если функция имеет период, то ее называют периодической. Если же у функции периода нет, то ее называют непериодической.

Замечание 4. Если число T является периодом некоторой функции, то и число kT , где k – любое целое число, отличное от нуля, также является периодом этой функции.

Пример 11. Функции y = sin x и y = cos x являются периодическими функциями с периодом 2π , функции y = tg x и y = ctg x являются периодическими функциями с периодом π .

Пример 12. Показательные, логарифмические и степенные функции являются непериодическими функциями.

График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций

Рассмотрим плоскость с заданной прямоугольной системой координат Oxy .

Определение 16. Графиком функции y = f (x) называют множество всех точек, координаты которых имеют вид (x; f (x)) , где .

Замечание 6 . График периодической функции не изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс Ox на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника). Поэтому для того, чтобы построить график периодической функции с периодом T , достаточно построить график этой функции на любом отрезке оси абсцисс Ox длины T , а затем сдвигать его влево и вправо на расстояния nT , где n – любое натуральное число.

В 7-м и 8-м классах вы изучали некоторые свойства функций. Сейчас мы их соберем вместе, в один параграф, напомним их суть и геометрический смысл и договоримся о том, в каком порядке будем перечислять эти свойства при чтении графика функции. Обратите внимание: во всех определениях фигурирует числовое множество X, являющееся частью области определения функции: X с D(f). На практике чаще всего встречаются случаи, когда X — числовой промежуток (отрезок, интервал, луч и т.д.).

Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве X с D(f), если для любых двух точек х₁ и х₂ множества X, таких, что х₁ f(x₂).

На практике удобнее пользоваться следующими формулировками: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

В 7-м и 8-м классах мы использовали следующее геометрическое истолкование понятий возрастания или убывания функции: двигаясь по графику возрастающей функции слева направо, мы как бы поднимаемся в горку (рис. 55); двигаясь по графику убывающей функции слева направо, как бы спускаемся с горки (рис. 56).
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.

Отметим еще одно обстоятельство: если функция возрастает (или убывает) в своей естественной области определения, то обычно говорят, что функция возрастающая (или убывающая) — без указания числового множества X.

Исследовать на монотонность функцию:

а) у = х 3 + 2; б) у = 5 — 2х.

Итак, из х₁ f(х₂), а это означает, что заданная функция убывает (на всей числовой прямой).

Функцию у — f(х) называют ограниченной снизу на множестве X с D (f), если все значения функции на множестве X больше некоторого числа (иными словами, если существует число m такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) >m).

Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве X с D (f), если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число М такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) f(х ).

Число М называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X С D(f), если:
1) в Х существует такая точка х , что f(x ) = М;
2) для всех x из X выполняется неравенство
Наименьшее значение функции мы обозначали и в 7-м, и в 8-м классах символом у, а наибольшее — символом у.

Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об отыскании наименьшего или наибольшего значения функции во всей области определения.

Достаточно очевидны следующие полезные утверждения:

1) Если у функции существует Y, то она ограничена снизу.
2) Если у функции существует Y, то она ограничена сверху.
3) Если функция не ограничена снизу, то Y не существует.
4) Если функция не ограничена сверху, то Y не существует.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции
Решение.

Достаточно очевидно, особенно если прибегнуть к помощи графика функции (рис. 52), что />= 0 (этого значения функция достигает в точках х = -3 и х = 3), а />= 3 (этого значения функция достигает в точке х = 0.
В 7-м и 8-м классах мы упоминали еще два свойства функций. Первое назвали свойством выпуклости функции. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке X, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 59). непрерывность Функция выпукла вверх на промежутке X, если, функции соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 60).

Второе свойство — непрерывность функции на промежутке X — означает, что график функции на промежутке X — сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

На самом деле в математике все обстоит, как говорится, «с точностью до наоборот»: график функции изображается в виде сплошной линии (без проколов и скачков) только тогда, когда доказана непрерывность функции. Но формальное определение непрерывности функции, достаточно сложное и тонкое, нам пока не по силам. То же самое можно сказать и о выпуклости функции. Обсуждая указанные два свойства функций, будем по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления.

А теперь проведем смотр наших знаний. Вспомнив о тех функциях, которые мы с вами изучали в 7-м и 8-м классах, уточним, как выглядят их графики, и перечислим свойства функции, придерживаясь определенного порядка, например такого: область определения; монотонность; ограниченность; />, />; непрерывность; область значений; выпуклость.

Впоследствии появятся новые свойства функций, соответственно будет меняться и перечень свойств.

1. Постоянная функция у = С

График функции у = С изображен на рис. 61 — прямая, параллельная оси х. Это настолько неинтересная функция, что нет смысла перечислять ее свойства.

Графиком функции у = кх + m является прямая (рис. 62, 63).

Свойства функции у = кх + m:

1)
2) возрастает, если к > 0 (рис. 62), убывает, если к 2 является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх, если к > О (рис. 64), и вниз, если к 2 :

Для случая к> 0 (рис. 64):

1) D(f) = (-оо,+оо);
2) убывает на луче (-оо, 0], возрастает на луче [0, +оо);
3) ограничена снизу, не ограничена сверху;
4) />= />не существует;
5) непрерывна;
6) Е(f) = [0,+оо);
7) выпукла вниз.

Обратите внимание: на промежутке (-оо, 0] функция убывает, а на промежутке [0, +оо) функция возрастает. Эти промежутки называют промежутками монотонности функции у = кх 2 . Понятие промежутка монотонности будем использовать и для других функций.

Для случая к = (-оо, 0];
7) выпукла вверх.

График функции у = f(х) строится по точкам; чем больше точек вида (х; f(х)) мы возьмем, тем более точное представление о графике получим. Если этих точек взять достаточно много, то и представление о графике сложится более полное. Именно в этом случае интуиция и подсказывает нам, что график надо изобразить в виде сплошной линии (в данном случае в виде параболы). А уж затем, читая график, мы делаем выводы о непрерывности функции, о ее выпуклости вниз или вверх, об области значений функции. Вы должны понимать, что из перечисленных семи свойств «законными» являются лишь свойства 1), 2), 3), 4) — «законными» в том смысле, что мы в состоянии обосновать их, ссылаясь на точные определения. Об остальных свойствах у нас имеются только наглядно-интуитивные представления. Кстати, в этом нет ничего плохого. Из истории развития математики известно, что человечество часто и долго пользовалось различными свойствами тех или иных объектов, не зная точных определений. Потом, когда такие определения удавалось сформулировать, все становилось на свои места.

Графиком функции является гипербола, оси координат служат асимптотами гиперболы (рис. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+оо);
2) если к > 0, то функция убывает на открытом луче (-оо, 0) и на открытом луче (0, +оо) (рис. 66); если к 0, то функция выпукла вверх при х 0, т.е. на открытом луче (0, +оо) (рис. 66). Если к О и выпукла вниз при х 2 + Ьх + с
Графиком функции является парабола с вершиной в точке
и с ветвями, направленными вверх, если а > 0 (рис. 70), и вниз,
если а