4.3.5 Линейный оператор и его матрица
Определение. Пусть даны два пространства и 
. Если по закону 
каждому вектору 
поставлен в соответствие вектор 
, то говорят, что задан оператор (функция, отображение), отображающий 
в и пишут 
.
Обозначение: 
; 
– образ, 
– прообраз.
Определение. Если для любых и из и любых вещественных чисел 
и 
имеет место 
, то оператор называется линейным.
Произвольные отображения линейных пространств изучаются в курсе математического анализа. В курсе линейной алгебры изучаются лишь линейные отображения.
Пример 6. Оператор действует из 
в по закону 
, где 
, и 
– фиксированный вектор, например, 
. Оператор переводит вектор из в другой вектор из . Докажем, что он линейный: 
. Здесь воспользовались свойствами векторного произведения.
Пример 7. Линеен ли оператор 
, где произвольный вектор, а вектор – фиксированный?
Решение. 
, так как 
, 
. Следовательно, оператор – нелинейный.
Пусть даны два пространства 
и 
и оператор , действующий из в . Пусть в есть базис 
, а в – базис 
.
Подействовав оператором на базисные векторы пространства , получим векторы из , которые можно разложить по базису 
с коэффициентами линейных комбинаций 
:
Строим матрицу таким образом, чтобы в ее столбцах стояли координаты образов базисных векторов пространства относительно базисных векторов пространства :
.
Матрица называется матрицей линейного оператора , действующего из в . Таким образом, если оператор 
, то матрица этого оператора имеет размер 
, то есть у нее 
строк и 
столбцов.
Замечание. Если в и выбрать другие базисы, то в этих базисах матрица линейного оператора будет иметь другой вид.
Из определения матрицы линейного оператора следует, что, зная закон (оператор), по которому вектору 
сопоставляется вектор 
, можно построить матрицу, и наоборот, любой матрице соответствует некоторый линейный оператор.
Пример 8. Построить матрицу линейного оператора, действующего из в по закону 
, где векторы и 
заданы относительно канонического базиса.
Решение. Подействуем оператором на базисные векторы 
:
;
;
.
Таким, образом, 
– искомая матрица.
Пример 9. Пусть в выбран базис 
, 
, 
, а в 
выбран базис 
, 
. Найти матрицу линейного оператора, действующего из в 
по закону 
, где 
.
Решение. 
; 
;
; 
.
Пример 10. Дана матрица 
. Найти линейный оператор (закон, по которому действует оператор).
Решение. Матрица – это матрица линейного оператора, действующего из в . Пусть в базис 
, в базис 
. Так как в столбцах матрицы стоят координаты векторов 
относительно базиса , то
(1)
Пусть 
произвольный вектор из , где 
– координаты этого вектора в базисе , тогда 
. Действуя оператором на вектор и учитывая линейность оператора, получим: 
.
Учитывая (1), имеем:
.
Таким образом, оператор действует по закону
.
Зная матрицу оператора , результат его действия на вектор можно найти в матричной форме. Пусть известна матрица оператора размера с элементами . В этом случае оператор с такой матрицей действует из в . Если 
– любой вектор из , то результат действия оператора на вектор можно найти по формуле:
,
Где 
– координаты вектора 
.
Пример 11. Операторы и 
действуют в пространстве 
по законам 
, 
, где 
; 
( 
– скалярное произведение векторов и 
). Найти координаты вектора 
в каноническом базисе.
Решение. Координаты вектора 
можно найти двумя способами:
А) найдем матрицу 
.
Строим матрицу в каноническом базисе:
; 
;
.
.
Строим матрицу в каноническом базисе:
; 
;
.
;
.
.
Этот способ решения называется матричным;
Б) операторный способ.
. Подействуем оператором на вектор :
, теперь на полученный вектор подействуем оператором :
.
Для самостоятельной работы.
1. Оператор действует по закону:
.
Найти его матрицу в каноническом базисе.
Ответ: 
.
2. Оператор действует в плоскости 
и осуществляет зеркальное отражение относительно прямой 
. Доказать, что он линейный и найти его матрицу в каноническом базисе.
Ответ: 
.
3. Дана матрица 
.
А) Найти оператор, матрицей которого является матрица .
Б) Найти образ вектора 
.
Ответ: 
.
Глава III. Линейные операторы
3.1. Определение и примеры линейных операторов. Матрица линейного оператора
Пусть задано отображение A : L 1 → L 2 из линейного пространства L 1 в линейное пространство L 2 , сопоставляющее каждому элементу x L 1 один
элемент Ax L 2 , называемый образом элемента x .
Определение. Отображение A : L 1 → L 2
из линейного пространства L 1
в линейное пространство L 2
называется линейным оператором , если для
любых элементов x , y L 1
действительного числа λ R
1) A ( x + y ) = Ax + Ay
2) A ( λ x ) = λ Ax (образ произведения элемента
произведению образа элемента на число).
Из условий 1) – 2) вытекают следующие утверждения.
1. Линейный оператор сохраняет линейные комбинации, т.е. переводит линейную комбинацию элементов в линейную комбинацию их образов с
теми же коэффициентами:
λ i x i = ∑ λ i Ax i
Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.
2. Линейный оператор переводит нулевой элемент пространства L 1 в нулевой элемент пространства L 2 : A ( θ L 1 ) = θ L 2 , где θ L 1 , θ L 2 нулевые элементы пространств L 1 и L 2 соответственно.
3. Линейный оператор сохраняет линейную зависимость (независимость), т.е. переводит линейно зависимую (независимую) систему элементов в линейно зависимую (независимую).
Пусть L 1 и L 2
A – линейный оператор, действующий из L 1 в L 2 .
Зафиксируем в пространстве L 1 базис e = ( e 1 , e 2 . e n ) , а в пространстве L 2
Как доказать линейность оператора
Постановка задачи. Задан оператор 
, осуществляющий некоторое преобразование пространства геометрических векторов 
. Доказать линейность, найти матрицу, образ и ядро оператора .
1. По определению доказываем линейность оператора , используя свойства операций над геометрическими векторами в координатной форме, т.е. проверяем, что 
и 
и 
.
Если 
, то 
.
и .
Пусть Х и Y – множества элементов произвольной природы. Говорят, что задано Отображение 
(читается: отображение f множества X во множество Y), если задан закон, по которому каждому элементу 
ставится в соответствие вполне определенный элемент 
(рис. 1).
 |
Если 
, то 
называется Образом элемента 
, – Прообразом элемента при отображении F.
Примерами отображений являются функции, которые изучаются в школе и в математическом анализе, например, функция 
– это отображение 
. Классный журнал является примером отображения множества учеников в классе во множество всех фамилий.
Отображение 
называется Тождественным, если оно любой элемент оставляет на месте. Тождественное отображение множества X на себя будем обозначать 
. Таким образом, 
.
Отображение 
называется Взаимно однозначным (или биективным, или биекцией), если оно удовлетворяет двум условиям:
1. 
такой, что
.
2. 
3.
Такой, что 
Отображения и 
называются Равными, если 
.
Пусть заданы отображения и 
. Произведением (или композицией) отображений F и G называется отображение 
, такое, что 
(рис. 2)
 |
Лемма. Произведение отображений ассоциативно, т. е., если заданы отображения , и 
, то
.
UДля доказательства равенства отображений 
и 
нужно показать, что 
.
Итак, выберем произвольное . Тогда
; (1)
(2)
Сравнивая (1) и (2), видим, что 
и, поэтому, .t
Отображение 
называется Обратным к отображению , если 
и 
(рис. 3).
 |
Определение. Пусть 
и 
– линейные пространства над одним и тем же полем 
. Отображение 
называется Линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1*.
2*. 
Следствие. При линейном операторе образ линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации их образов, т. е. если – линейный оператор, то 
(1)
А) N=1: 
[2*] 
– истинно.
= [1*] =
[2* и предположение индукции] =
=
T
1. Нулевой оператор 
: 
. Очевидно, этот оператор удовлетворяет условиям 1* и 2*, значит, является линейным.
2. Тождественный оператор 
также, очевидно, является линейным.
3. Оператор дифференцирования 
, который каждой дифференцируемой функции ставит в соответствие ее производную, является линейным, т. к. производная суммы функций равна сумме их производных, а при умножении функции на число её производная умножается на это число.
4. Пусть 
– пространство свободных векторов, 
.
Покажем, что оператор проектирования на ось 
также является линейным.
►В аналитической геометрии доказывалось, что 
. Тогда
=
=
=
=
;
=
=
=
5. В пространстве 
Векторов плоскости, закрепленных в начале координат О, рассмотрим оператор 
поворота вектора на угол 
против часовой стрелки и докажем его линейность.
►1*. Пусть 
– произвольные векторы, 
,
(рис. 1). Построим 
и 
по правилу параллелограмма. Так как плоскость поворачивается
Рис.1. как жесткое целое, методами элементарной геометрии нетрудно показать, что при этом повороте диагональ 
переходит в диагональ 
. Значит, 
.
2* . Пусть α>0, 
, 
, 
, 
(рис.2). Очевидно, вектор 
получен из 
поворотом на угол, следовательно, 
, а значит,
. Аналогично это свойство проверяется
И при 
, а при 
оно очевидно.◄
Теорема. Пусть 
и 
– линейные пространства над одним и тем же полем P и пусть в пространстве задан базис
, (2)
А в пространстве – произвольная система векторов
. (3)
Тогда существует единственный линейный оператор 
, переводящий базис (2) в систему (3), то есть такой, что
. (4)
►Построение. Выберем произвольный вектор 
и разложим его по базису (2): 
. Положим по определению
.
Линейность. Если 
— произвольные векторы, то , 
, 
. Тогда
= [определение F ] = 
;
.
Выполнение (4). Заметим, что все координаты вектора 
В базисе (2) равны нулю, за исключением K-й, которая равна 1. Таким образом, I-я координата вектора равна 
, то есть 
. Тогда
,
Единственность. Предположим, что существует еще один линейный оператор 
, 
, переводящий (2) в (3), то есть такой, что 
. Тогда 
– противоречие.◄
1º. Линейный оператор переводит нейтральный элемент пространства в нейтральный элемент пространства .
►Пусть – линейный оператор. Тогда 
.◄
2º. При линейном операторе линейно зависимые векторы пространства переходят в линейно зависимые векторы пространства .
►Пусть 
— линейно зависимые векторы. Это значит, что существуют числа 
, не все равные нулю, такие, что
. (5)
Подействуем линейным оператором на обе части равенства (5). Тогда
(5) 
[(1) и 1º]
. (6)
Так как среди чисел 
есть отличные от нуля, то система > линейно зависима.◄
Пусть в линейном пространстве над полем задан базис
(1)
И пусть 
– линейный оператор (читается так: 
в себя). Построим систему векторов
(
). (2)
(3)
. (4)
Расположим числа 
в матрицу А по нашей договоренности: верхний индекс обозначает номер строки, а нижний – номер столбца:
[
]=
.
Равенство (4) можно переписать и так: 
, откуда, руководствуясь правилом цепочки, (4) записываем в матричном виде:
. (5)
Матрицей линейного оператора в некотором базисе называется матрица А, столбцами которой являются координатные столбцы образов базисных векторов в том же базисе. Это матрица 
, элементы которой удовлетворяют системе равенств (3) или (4), а сама матрица удовлетворяет матричному равенству (5).
1. Матрицей нулевого оператора 
в любом базисе является нулевая матрица; матрицей тождественного оператора 
также в любом базисе является матрица единичная.
2. Пусть 
. Составим матрицу оператора проектирования на ось OX в базисе 
. Для этого находим образы базисных векторов и разлагаем их по базису:
.
3. Составим матрицу оператора 
поворота плоскости на угол (см.§2) в базисе 
. Из рисунков 1 и 2 видно, что
.
Итак, если в пространстве задан какой-либо базис, то каждому линейному оператору можно поставить в соответствие его матрицу в этом базисе, то есть квадратную матрицу A n-Ого порядка, причем эта матрица определяется однозначно.
Пусть теперь задана квадратная матрица А с элементами из поля P . Обозначим 
вектор, координатный столбец которого в базисе (1) совпадает с I-м столбцом матрицы А. Получим упорядоченную систему векторов
(
) (6)
Согласно теореме § 2 существует единственный линейный оператор такой, что 
. По определению, матрица этого оператора в базисе (1) совпадает с А.
Обозначим 
— множество всех линейных операторов линейного пространства над полем Р в себя. Из вышесказанного вытекает: если в задан базис, то определяется отображение
,
Которое ставит в соответствие каждому линейному оператору его матрицу в этом базисе, причем это отображение взаимно однозначно. Это дает возможность в конечномерных линейных пространствах линейные операторы изучать с помощью их матриц.
Пусть в линейном пространстве задан базис (1), и пусть –матрица линейного оператора В этом базисе. Выберем произвольный вектор и положим 
. Обозначим 
и 
– координатные столбцы векторов 
и 
соответственно в базисе (1). Тогда
[(1) § 2] = 
[(4)] = 
,
. (7)
(8)
Записав (8) по правилу цепочки (
), получаем
. (9)
Теорема. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:
(10)
, (11)
И пусть A= 
и 
– матрицы линейного оператора в базисах (10) и (11) соответственно. Тогда
, (12)
►Для того чтобы найти матрицу 
, следует образы векторов базиса (11) разложить опять же по этому базису. Имеем:
= [определение матрицы перехода] = 
= [(1) § 2] = 
= =[(4)]= 
= [свойство 6º §9 гл. 3] = 
.
= . (13)
Равенство (13) есть не что иное, как разложение вектора по базису (11). С другой стороны, по определению матрицы линейного оператора,
. (14)
, (15)
. (16)
Так как 
(см. замечание в § 9 гл. 3), то из (16) получаем (12). ◄
Определение. Квадратные матрицы А и В называются Подобными, если существует невырожденная матрица Т такая, что 
.
Лемма. Подобные матрицы имеют одинаковые определители. ►
.◄
Определение. Определителем линейного оператора называется определитель его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .
Пусть 
– линейный оператор, 
— его матрица в некотором ортонормированном базисе 
, и пусть 
– некомпланарные векторы, а 
— их образы. Обозначим 
и 
координатные столбцы в выбранном базисе векторов 
и 
соответственно, 
, 
– объем параллелепипеда, построенного на векторах 
, а 
– объем параллелепипеда, построенного на векторах 
. Тогда, учитывая (9) §3, получаем:
[(9) § 3] 
[§ 5 главы 1] =
[§ 6 главы 1] 
. (1)
Рассмотрим теперь пространство 
. Выберем в нем точку 
и 
линейно независимых векторов 
, 
. Параллелепипедом в 
(-мерным параллелепипедом) будем называть множество точек в
. (2)
Обозначим 
координатный столбец вектора в каноническом базисе. По аналогии с трехмерным пространством, Объемом — мерного параллелепипеда (2) будем называть число
.
Точно так же, как и для трехмерного пространства, для пространства доказывается равенство (1).
Определения. Пусть 
и 
— линейные пространства над одним и тем же полем 
.
Суммой линейных операторов 
и 
называется отображение 
такое, что 
.
Произведением линейного оператора на число 
называется отображение 
, такое что 
.
Произведением линейных операторов и 
называется отображение 
такое, что 
(т. е. произведение линейных операторов – это просто произведение или композиция отображений).
Теорема. Сумма линейных операторов, произведение линейного оператора на число, а также произведение линейных операторов также являются линейными операторами. При этом, если 
, А и В – матрицы линейных операторов F и G соответственно в некотором базисе пространства , то матрицы операторов 
, 
и Gf в том же базисе совпадают соответственно с матрицами А+В, αА и ВА.
Пусть и — линейные операторы. Тогда
= [линейность F ] = 
=
=[ линейность G ] = 
= 
;
.
Пусть 
— матрицы линейных операторов 
и 
соответственно в базисе 
пространства 
, и пусть 
— матрица оператора Gf В том же базисе. Тогда, по определению матрицы линейного оператора
. (1)
[линейность G] =
(2)
Сравнивая (1) и (2), на основании единственности координат вектора в данном базисе, делаем вывод: 
, откуда и получаем матричную запись: С=ВА.◄
— линейный>
Всех линейных операторов пространства в пространство есть линейное пространство над тем же полем, что и пространства и Относительно введенных операций сложения линейных операторов и умножения их на число. Найдите размерность 
.
Определение. Линейный оператор называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой
Теорема 1. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом базисе пространства 
была невырожденной
►Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе, Х, как обычно, координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда
F – невырожденный> 
AX = O имеет единственное тривиальное решение> >.
Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор был невырожденным необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.
►Пусть — линейный оператор, А— его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов и соответственно. Тогда
невырожденный> 
Система 
имеет единственное решение> 
единственный 
, что >
единственный 
, что 
> F – взаимно однозначный>.◄
►Пусть и 
— невырожденные линейные операторы. Тогда
> />> />>.
Теорема. Для любого невырожденного линейного оператора существует единственный обратный оператор 
, который также является линейным. При этом, если А – матрица оператора 
в некотором базисе, то матрица оператора 
в том же базисе совпадает с матрицей 
.
►Единственность. Пусть некоторый оператор имеет два разных обратных: 
И 
. Тогда
—
Существование. Пусть А — матрица оператора в некотором базисе. Тогда, по теореме 1 § 6, 
, значит, существует . Обозначим — тот линейный оператор, матрица которого в выбранном базисе совпадает с .
Так как 
, и т. к. произведению матриц соответствует произведение операторов, то 
, и, таким образом, 
.◄
Замечание. МОжно доказать, что любой взаимно однозначный линейный оператор имеет единственный обратный, который тоже является линейным.
Определение. Изоморфизмом Линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства 
и 
называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так: 
.
Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.
1. 
— рефлективность (изоморфизм осуществляет тождественное отображение).
2. 
— симметричность (если первый изоморфизм осуществляет с помощью отображения F, то второй — с помощью 
).
3. , 
> 
— транзитивность (если первый изоморфизм осуществляется с помощью отображения , второй — , то третий изоморфизм осуществляется с помощью отображения ).
►Пусть 
и пусть 
— изоморфизм. Выберем в какой-либо базис
(1)
— (2)
Базис пространства . Действительно, в силу взаимной однозначности F, 
единственный 
такой, что . Тогда, если 
, то 
. Значит, (2) – система образующих в .
[линейность F]
[взаимная однозначность F ] 
[линейная независимость (1)] 
.
Таким образом, (2) – базис в , а значит, 
. ◄
►а) Докажем, что 
.
Выберем в какой-либо базис 
. Тогда . Обозначим 
. Очевидно, отображение 
— взаимно однозначное. Кроме того, 
, 
Поэтому F — линейный оператор, а значит, и изоморфизм. Итак, 
.
Б) Пусть теперь и 
— N-Мерные линейные пространства над одним и тем же полем Р. Тогда
и 
> [симметричность] и 
> [транзитивность] >.◄
Таким образом, мы показали, что с точки зрения математики единственным N-Мерным линейным пространством над полем Р является 
.
Определения. Образом Линейного оператора называется подмножество 
линейного пространства
.
Ядром линейного оператора называется подмножество 
линейного пространства
.
Теорема 1. Образ линейного оператора является подпространством пространства , а его ядро – подпространством пространства .
Размерность подпространства называется Рангом оператора 
и обозначается 
, а размерность подпространства 
называется Дефектом и обозначается 
.
Теорема 2. Если — — мерное линейное пространство, — линейный оператор, то
. (1)
►Обозначим 
. Так как 
— подпространство пространства , то 
. Рассмотрим сначала случай, когда 
. Выберем в какой-либо базис
. (2)
(3)
Пространства . Обозначим 
. Очевидно,
— (4)
Базис пространства 
. Докажем, что 
. Действительно,
Где 
, а 
. Таким образом, 
. Покажем, что сумма прямая. Пусть 
. Тогда можно разложить как по базису (2), так и по базису (4): 
и 
. Получаем
,
Откуда, в силу линейной независимости (3), вытекает, что 
. Поэтому 
, а значит, сумма действительно прямая.
Покажем теперь, что 
. Построим отображение
.
Очевидно, 
— линейный оператор. Кроме того, 
такой, что . Так как , то 
где 
, 
. Тогда. 
. Таким образом, 
такой, что 
. Предположим, что таких векторов два, т. е., что 
, но 
. Имеем: 
. Отсюда вытекает, что 
. Но 
, следовательно, 
, и поэтому 
. Итак, мы показали, что 
— взаимно однозначное отображение, следовательно, и изоморфизм. Так как изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности, то 
, откуда и вытекает доказываемое утверждение.
Рассмотрим теперь тривиальные случаи. Пусть 
, значит, 
. Тогда 
, 
. Если же 
, то 
. В обоих случаях равенство (1), очевидно, выполняется. ◄
Следствие. Если — линейный оператор, то 
(т. е. 
). Если же оператор — невырожденный, то 
, следовательно, 
, (т. е. 
).
- $A\left(a+b\right)=Aa+Ab$
- $A\left(\lambda a\right)=\lambda Aa$
Упражнение 2.
Найти значение выражения $4A+7B$
$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)$
$7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)$
$4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Ответ: $4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$
$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)$
$B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Ответ: $B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Задания
Оператор является линейным, если $\forall a,b\in \mathbb
- $A\left(a+b\right)=Aa+Ab$
- $A\left(\lambda a\right)=\lambda Aa$
Проверим условие 1:
$A\left(a+b\right)=A\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)=$
$=\left(a_2+b_2+a_3+b_3,5a_2+5_b2-a_1-b_1,a_1+b_1+8a_3+8b_3\right)=$
$=\left(a_2+a_3,5a_2-a_1,a_1+8a_3\right)+\left(b_2+b_3,5_b2-b_1,b_1+8b_3\right)=$
$=A\left(a_1,a_2,a_3\right)+A\left(b_1,b_2,b_3\right)=Aa+Bb$
Ответ: оба условия выполняются, значит оператор $A$ — линейный.
Упражнение 2.
Найти значение выражения $4A+7B$
$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb
$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)$
$7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)$
$4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Ответ: $4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$
$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb
$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)$
$B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Ответ: $B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Упражнение 4.
Найти значение выражения $Ax-3Bx$
$A, B$ — линейные операторы из $\Omega\left(M_2\left(\mathbb
$A=\begin
Ответ: $Ax-3Bx=-\begin