Найдите все значения параметра а при которых неравенство

Найдите все значения параметра а при каждом из которых неравенство
(a^2-4)x^2+2(a+2)x-1<0 выполнено при любом значении x

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Спишите, поставьте пропущенные знаки препинания, в том числе тире в неполных предложениях.

1. От учёного набирайся ума а от мастера сноровки. (Пословица)

2. Мир освещается солнцем а человек знаниями. (Пословица)

3. Сухие деревья горят живые плоды приносят. (Пословица)

4. Сабля ранит тело а слово душу. (Пословица)

Спишите, поставьте пропущенные знаки препинания, в том числе тире в неполных предложениях.

Неравенства с параметром

Напомню, что два неравенства называются равносильными, если их решения совпадают. При решении неравенств нужно понимать, какие преобразования будут равносильными, и какие нет:

1. Перенос какого-либо члена неравенства из одной части в другую, при этом знак этого члена меняется на противоположный.
2. Умножение или деление всего неравенства (левой и правой частей) на одно и то же положительное число.
3. Умножение или деление всего неравенства на отрицательное число, при условии, что вы меняете знак неравенства.

Разберем несколько примеров простейших неравенств с параметром. Рассуждения здесь примерно такие же, что и при анализе уравнений. Как аналитически исследовать квадратные уравнения, можно познакомиться здесь.

Решить неравенство \((a-2)x>a^2-4\) для любого значения параметра \(a\).

Первый случай: Если \(a=2\), получим неравенство \(0*x>0\), которое не имеет решений.

Внимание! Важно помнить, что если вы делите неравенство на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный. Поэтому, нужно рассмотреть еще два случая.

Второй случай: Если \(a > 2 ⇔ x > \frac ⇔ x > a+2;\)

Третий случай: Если \(a 2\) $$ x > a+2;$$ при \(a Пример 2

Решить неравенство \(ax^2-4x-4>0\) при всех значениях параметра \(a\).

Первый случай: Если \(a=0\) , неравенство примет вид \(-4x-4>0 ⇔ x

Получаем, что дискриминант больше нуля при \(a > -1; D 0\) ветки параболы направлены вверх, а при \(a 0,D > 0\)

Неравенства с параметром

При каких значениях параметра a среди решений неравенства $$\log_<2>(x-100)-\log_<\frac<1><2>>\frac<|x-101|><105-x>+\log_<2>\frac<|x-103|(105-x)>> a$$ содержится единственное целое число?

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3209

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство $$\frac-4x-5>-4x-5>\geq1$$ имеет ровно четыре целочисленных решения. Для каждого такого a укажите эти решения.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 5341

Найдите все значения параметра $$3a(a-7)-8(a-7)(2^+1)\leq (8x^<2>-16x)(2^+1)-3ax^<2>+6ax$$ , при каждом из которых неравенство имеет решения на промежутке $$[-1;0)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Преобразуем данное неравенство: $$(a-7)(3a-8(2^+1))\leq 8x(x-2)(2^+1)-3ax(x-2) \Leftrightarrow$$$$(a-7)(3a-8(2^+1))\leq x(x-2)(8(2^+1)-3a) \Leftrightarrow$$$$(a-7)(3a-8(2^+1)) + x(x-2)(3a-(2^+1))\leq 0 \Leftrightarrow$$$$(8(2^+1)-3a)(x^<2>-2x+a-7) \geq 0 (1)$$

Рассмотрим по отдельности обе скобки и представим их как функции $$a(x)$$:

$$8(2^+1)-3a = 0\Leftrightarrow$$$$a=\frac<2^><3>+\frac<8><3>$$ — график степенной функции

$$x^<2>-2x+a-7=0 \Leftrightarrow$$$$a=-x^<2>+2x+7\Leftrightarrow$$$$a=-(x^<2>-2x-7)\Leftrightarrow$$$$a=-(x^<2>-2x+1-1-7)\Leftrightarrow$$$$a=-(x-1)^<2>+8$$ — график квадратичной функции.

По условии задачи необходимо, чтобы решения были на промежутке $$[-1;0)$$, тогда так же построим графики $$x=-1 ; x=0$$ и графики полученных функции в системе координат AoX.

Найдем пересечение степенной функции с прямыми $$x=-1 ; x=0$$:

Как видим по графикам мы получили три области, необходимо проверить, точки каких областей удовлетворяют неравенству (1). Для этого будем брать из каждой области точку, и подставлять координаты в наше неравенство:

1) Возьмем точку (0;0) : $$(8(2^<0>+1)-3*0)(0^<2>-2*0+0-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$16*(-7)\geq 0$$ — неравенство неверно, следовательно, первая область не подходит

2) Возьмем точку (0;6): $$(8(2^<0>+1)-3*6)(0^<2>-2*0+6-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$-2*(-1)\geq 0$$ — неравенство верно, следовательно, вторая область подходит и по а она находится в промежутке [4;7) (7 не входит, так как по условию $$x \neq 0$$)

3) Возьмем точку (0;8) : $$(8(2^<0>+1)-3*8)(0^<2>-2*0+8-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$-8*1 \geq 0$$ — неравенство неверно, следовательно, третья область не подходит

Задача 44973 найти все значения параметра а, при.

Существует шесть случаев расположения квадратного трехчлена в зависимости от коэффициента а и дискриминанта D
см. рис.

На каждом рисунке неравенство
ax^2+bx+c >0
имеет решения или не имеет

При a > 0
(см. верхние рисунки) ветви параболы направлены вверх

На первом рисунке неравенство верно при любом х
На втором — верно при всех х, кроме одного значения.
На третьем верно при x_(1) < x < x_(2)

Поэтому если в вопросе задачи спрашивается про неравенство, которое верно для любых х, значит спрашивают про случай рис. 1