Как найти первое неполное делимое и количество цифр в частном?
В самом начале обучения навыку деления чисел дети часто допускают ошибки. Одними из самых распространенных, помимо ошибок непосредственно в совершении промежуточных вычислений, являются появление «лишних» цифр и потеря нулей в частном. Их возникновение зачастую связано с такими причинами:
- отсутствие у ученика навыка определять количество цифр в частном до начала деления;
- непонимание или ошибочное восприятие способа формирования неполных делимых при вычислении промежуточных результатов.
Этой статьей я хочу помочь школьникам восполнить пробелы в вышеупомянутых базовых знаниях, чтобы в дальнейшем они смогли избегать ошибок при совершении действия деления в столбик.
Как найти первое неполное делимое?
Рассмотрим подробно по шагам на таком примере \( <\color
1. Смотрим, сколько разрядов в делимом и какая цифра стоит на позиции самого старшего разряда этого числа.
У нас пятизначное число, а значит, самый старший разряд – это десятки тысяч. Там стоит цифра 7 .
1. 1. Проверяем, можно ли это количество единиц этого разряда разделить на делитель так, чтобы получилось натуральное число?
В нашем примере делитель 12 , а в 7 не содержится ни одного числа 12 , поэтому в частном на месте разряда десятков тысяч должен быть нуль. Но так как в начале числа мы нуль не пишем, значит просто переходим к следующему действию.
1. 2. Если разделить нельзя, смотрим на количество единиц следующего разряда и проверяем, можем ли мы их разделить на делитель?
Каждой ваше пожертвование увеличивает количество полезной и интересной информации на сайте Easy-Math.ru!
В числе 75184 всего 75 единиц разряда тысяч. 75 тысяч можно разделить на 12 – получится 6 полных тысяч, и 3 тысячи неразделенные.
2. Если можно разделить количество единиц разряда на делитель, то это количество единиц и будет первым неполным делимым.
В нашем примере это 75 тысяч.
Каждая оставшаяся цифра делимого будет участвовать в формировании остальных неполных частных, о чем подробно рассказано в уроке Деление натуральных чисел.
Как найти количество цифр в частном?
Так как первое неполное делимое в данном примере – это 75 тысяч, то есть, мы делим единицы тысяч, тогда самый старший разряд частного также будет тысячи. Значит, помимо цифры самого большого разряда, будут ещё три цифры: в сотнях, десятках и простых единицах.
Итак, чтобы узнать количество цифр в частном, нужно:
1. Найти первое неполное делимое.
2. Посчитать, сколько в делимом остальных цифр.
3. Прибавить к этому количеству единицу (цифра частного, полученная после деления первого неполного делимого).
4. Результат и будет количеством цифр в частном.
Проверим это на нашем примере \( <\color
Первое неполное делимое – 75 тысяч. Оставшихся цифр в делимом три. \( <\color
Поделим, и убедимся:
Как видите, в частном получилось четырехзначное число 6265 , и остаток составил 4 единицы.
В конце хочу сказать, что определение количества цифр в частном помогают развить и укрепить очень необходимый для младших школьников навык – самоконтроль.
Деление в стоблик
Существуют элементарные вещи, не требующие объяснения. Но даже элементарное забывается, поэтому сегодня мы будем вспоминать деление в столбик.
Для примера разделим число 984 на 8. В любой операции деления есть делимое, делитель и частное. В нашем случае 984 – делимое, 8 – делитель, а результат деления – частное. Итак, будем искать частное от деления 984 на 8. Записываем рядом делимое и делитель, разделяя их уголком.
Теперь, двигаясь слева направо по цифрам делимого, найти в нем наименьшее число, которое больше делителя. Чисел тут три: 9, 98 и 984. Все они больше делителя (8), но наименьшим является 9. Теперь нужно ответить на вопрос: сколько раз наш делитель (8) содержится в числе 9? Один раз. Поэтому под чертой пишем 1– это первая цифра частного, которое мы пытаемся найти.
Теперь умножаем 8 на 1 и получаем 8. Записываем полученный результат под первым числом делимого. Далее вычитаем в столбик, то есть из 9 вычитаем 8 и получаем 1.
Если вы все сделали правильно, результат вычитания должен быть меньше делителя. У нас 1 меньше 8! Если у вас получилось больше, значит вы неправильно определили, сколько раз 8 содержится в 9.
Переходим к следующему этапу деления, для этого нужно увеличить наш результат вычитания. Делают это с помощью следующей цифры делимого. Первую цифру (9) мы уже использовали, значит, берем следующую (8) и приписываем к единице.
И снова отвечаем на знакомый вопрос. Сколько раз 8 содержится в 18? Два раза. Приписываем двойку к единице под чертой — это вторая цифра частного. Умножаем 2 на 8, получаем 16 и записываем результат под 18.
Дальше идем по уже знакомому пути. Вычитаем 16 из 18, получаем 2 (2 меньше 8, значит все сделано правильно). Используем следующую и последнюю цифру делимого – 4, сносим ее вниз и приписываем к двойке, получая 24.
Снова отвечаем на знакомый вопрос. Сколько раз 8 содержится в 24? Три раза. Пишем тройку под чертой. Умножаем 8 на 3, получаем 24 и записываем в столбик под 24. Вычитаем 24 из 24, получаем 0. Деление выполнено без остатка! Ответ – 123.
Если вы использовали все цифры делимого, а ноль так и не получился, значит или деление без остатка невозможно, или вы ошиблись в вычислениях.
Здесь вроде все просто, а как быть в случае, если при ответе на вопрос «Сколько раз делитель содержится в числе?» ответ – нисколько? Рассмотрим второй пример: теперь разделим 808 на 8: результат первого же вычитания равен нулю и приписываем к нулю тоже нуль. В этом случае в ноле восемь не содержится ни разу или нуль раз, значит записываем в результат нуль и сносим следующую цифру 8, а дальше повторяем знакомый алгоритм:
Все рассмотренные выше примеры заканчивались делением нацело, а как быть, если деление без остатка не возможно? В этом случае, когда цифры делимого закончились, в частном ставят десятичную запятую и приписывают к остатку от вычитания нули, продолжая известные действия деления в столбик. Например, при делении числа 804 на 8 приходим к случаю, когда в остатке вычитания нуль и приписанная цифра нуль – в результате записываем нуль и приписываем следующую цифру делимого (4), в которой 8 тоже содержится нуль раз. Снова в результат записываем нуль и ставим десятичную запятую, так как цифры делимого закончились, а приписываем 0. Теперь нужно определить сколько раз 8 содержится в 40. Пять раз. Продолжая деление в столбик, получаем в результате вычитания 0. Деление окончено.
И последний момент – это деление десятичных дробей. Для того, чтобы использовать приведенный алгоритм для деления десятичных дробей, необходимо умножить каждую из них на число 10 в степени, равной наибольшему количеству десятичных знаков после запятой в этих дробях. Например, нужно разделить 2025,255 на 2,5. Наибольшее количество знаков после запятой в делимом и оно равно 3. Значит умножить оба этих числа нужно на 10 в 3 степени, т. е. на 1000. Поэтому в столбик будем делить 2025255 на 2500. А это мы уже умеем.
Как определить сколько цифр будет в частном
Деление столбиком используют, когда нужно разделить простые или сложные многозначные числа. Оно помогает найти ответ за счёт разбивания решения на ряд более простых шагов. В статье объясним на примерах, как делить в столбик и дадим пошаговый алгоритм.
Какие арифметические действия используют при делении в столбик
При знакомстве с делением в столбик у школьника могут возникнуть трудности и недопонимания. Отчасти потому, что при сложении в столбик мы только складываем, а при вычитании только вычитаем. Когда же мы делим в столбик, то по очереди выполняем: деление, умножение и вычитание. Кроме того, нужно знать таблицу умножения, уметь делить с остатком и аккуратно писать цифры, каждую в своей клетке, чтобы не ошибиться в расчётах.
Термины «делимое», «делитель», «частное», «неполное делимое»
Деление двузначного числа на однозначное
Разделим 86 на 2
1. Для начала определим первое неполное делимое и узнаем, сколько будет цифр в частном. 8 можем разделить на 2, значит, 8 — первое неполное делимое, в частном будет первая цифра. После 8 есть ещё одна цифра, значит, и в частном будет ещё одна цифра — всего две цифры.
2. Разделим первое неполное делимое 8 на делитель 2, получим первую цифру частного — 4.
3. Умножим делитель 2 на цифру частного 4, получим ответ — 8. Этот результат записываем под первым неполным делимым.
4. Находим остаток 8 — 8 = 0. Остаток 0 меньше делителя 2, значит, продолжаем вычисления. Остаток 0 можно не писать.
5. Сносим (переписываем) цифру 6 — это новое неполное делимое.
6. Делим неполное делимое 6 на делитель 2, получаем — 3. Результат записываем в частное.
7. Умножаем делитель 2 на новую цифру частного 3, получаем 6. Результат записываем под вторым неполным делимым.
8. Записываем последний остаток 0. Больше мы не можем снести ни одной цифры, значит, неполных делимых не осталось. Деление в столбик закончено.
Деление трёхзначного числа на однозначное
Разделим 486 на 3
1. Сначала определим, сколько цифр в частном: первая цифра делимого — 4, мы можем разделить 4 на 3, значит, в частном будет первая цифра. После первого неполного делимого ещё две цифры, значит, и в частном будет ещё две цифры — всего три.
2. Затем разделим первое неполное делимое 4 на делитель 3. В результате получим 1.
3. Далее умножим делитель на полученную цифру частного: 3 · 1 = 3. Запишем 3 под первым неполным делителем.
4. Теперь нужно найти остаток при помощи вычитания.
5. Остаток 1 меньше делителя 3, значит, продолжаем вычисления. Рядом с цифрой остатка 1 пишем следующую цифру делимого — 8. Следующее неполное делимое — 18.
6. Разделим 18 на 3 и получим вторую цифру частного — 6.
7. Теперь умножим делитель на полученную цифру частного: 3 · 6 = 18 и найдём остаток — 0. Его можно не писать.
8. Сносим цифру 6 — это последнее неполное делимое. Делим 6 на 3 и получаем — 2. В частное пишем 2.
9. Далее умножим делитель на полученную цифру частного: 3 · 2 = 6 и найдём остаток — 0. Вычисления закончены.
Пример деления с нулём в частном, или сколько раз можно сносить цифру делимого, чтобы получить одно новое неполное делимое
Разделим 816 на 8
1. Первое неполное делимое 8, а за ним ещё две цифры. Значит, в частном будет 3 цифры.
2. Разделим первое неполное делимое 8 на делитель 4 и запишем в частное ответ — 2.
3. Умножим делитель 4 на цифру частного 2, получим 8. Запишем число под первым неполным делимым.
4. Сносим цифру 1 — это новое неполное делимое. Остаток 0 не пишем.
5. Вспомним деление с остатком и разделим 1 на 4. В результате получим 0, остаток — 1. Цифру 0 записываем в частное.
6. Умножим делитель 4 на цифру частного 0, результат 0 запишем под вторым неполным делимым. Остаток 1.
7. Сносим 6 и получаем новое неполное делимое 16. Делим 16 на 4, получаем цифру частного 4.
8. Умножаем делитель 4 на цифру частного 4 и пишем результат под неполным делимым.
9. Записываем последний остаток 0 — деление выполнено.
Как можно сократить запись деления
Когда мы получили неполное делимое 1, которое меньше делителя 4, сносим вторую цифру делимого, чтобы новое неполное делимое было больше делителя. А в частное ставим 0. И далее выполняем деление в установленном порядке.
В этом примере мы дважды сносили цифру делимого, чтобы получить неполное делимое, которое больше делителя.
Надеемся, что теперь у вашего ребёнка не возникнет трудностей с делением в столбик. А если вдруг они есть, наши репетиторы с удовольствием готовы вам помочь!
Урок 53. Письменное деление на двузначное число
Алгоритм — система последовательных шагов, схема действий, приводящих к желаемому результату.
Частное — число, полученное от деления одного числа на другое.
Двузначное число — это число, состоящее из двух знаков.
Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):
1. Петерсон Л. Г. Математика. 4 класс. 1 ч. – М.: 2013. – стр. 37.
2. Математика. Учебник для 4 кл. нач. шк. В 2 ч./М.И. Моро, М. А. Бантова – М.: Просвещение, 2017.
3. Математика. 4 класс. Учебник. Часть1/ Н. Б. Истомина, Т. Н. Миракова, Т. Б. Бука. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2012. – стр. 58-64.
4. Математика. Учебник для 4 класса нач. шк. Часть 2/ В. Н. Рудницкая, Т. В. Юдачёва. – М.: Вентана-Граф, 2015. – стр. 80-81.
5. Математика. Учебник. 4 класс. Часть 1.И.И.Аргтнская, Е. И. Ивановская, С. Н. Кормишина. Самара: Издательский дом «Федоров», 2012. – с.132
Открытые электронные ресурсы по теме урока (при наличии);
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Посмотрите, как выполняется деление на двузначное число.
Найдём значение частного 492: 82
1.Образую неполное делимое.
2.Определю количество цифр в частном.
3.Делю неполное делимое на делитель.
4.Умножаю делитель на пробную цифру.
5. Нахожу остаток от деления вычитанием.
6. Сравниваю остаток с делителем.
Определяем неполное делимое – это само число четыреста девяносто два. Находим количество цифр в частном. В частном будет одна цифра. Четыреста девяносто два разделим на 10, будет 49, 82 разделим на 10, получим 8. Делим получившиеся числа, как при делении на однозначное число. Разделим 49 на 8, будет 6. Цифру 6 нельзя сразу записывать в частном, поскольку это пробная цифра. Сначала нужно проверить, подойдет ли она.
Чтобы проверить цифру частного, нужно выполнить умножение. Проверяем: умножим 82 на 6, получим 492. Цифра 6 подошла, записываем её в частном. Закончим запись деления столбиком. Умножим 82 на 6, получим 492. Найдем остаток. Вычтем 492 из 492, получится 0. Сравниваем остаток, он меньше делителя. Деление закончено. Частное чисел 492 и 82 равно 6. Иногда при делении пробная цифра частного не подходит, и тогда ее нужно поменять, уменьшить или увеличить на единицу.
Разделим 228 на 38. Первое неполное делимое, это само число, 228. Поэтому в частном будет только одна цифра. Чтобы легче было найти цифру частного, будем делить 228 не на 38, а на 30. Для этого 22 разделим на 3, получим 7. Это пробная цифра, так как она получена при делении не на 38,а на меньшее число 30. Проверим, подходит ли цифра 7. Умножаем 38 на 7. 30 умножить на 7 будет 210. 8 умножить на 7, будет 56. В сумме 266. Это больше, чем делимое 228. Значит, в частном число должно быть меньше, чем 7. Попробуем, подходит ли цифра 6. Умножаем 38 нa 6. 30 умножить на 6 получится 180. 8 умножить на 6 – 48. В сумме 228. Это число равно делимому. Значит, пробная цифра шесть подходит. Записываем ее в частном. Закончим запись деления столбиком. Умножаем 38 на 6, будет 228. Находим остаток от деления, он равен нулю. Остаток меньше делителя, деление закончено.