Докажите что число является квадратом натурального числа
Известно, что x, y и z – целые числа и xy + yz + zx = 1. Докажите, что число (1 + x ²)(1 + y ²)(1 + z ²) является квадратом натурального числа.
Решение
1 + x ² = xy + yz + zx + x ² = ( x + y )( x + z ).
Аналогично 1 + y ² = ( x + y )( y + z ) и 1 + z ² = ( x + z )( y + z ).
Таким образом, (1 + x ²)(1 + y ²)(1 + z ²) = (( x + y )( y + z )( x + z ))². Кроме того, (1 + x ²)(1 + y ²)(1 + z ²) ≥ 1.
Sorry, you have been blocked
This website is using a security service to protect itself from online attacks. The action you just performed triggered the security solution. There are several actions that could trigger this block including submitting a certain word or phrase, a SQL command or malformed data.
What can I do to resolve this?
You can email the site owner to let them know you were blocked. Please include what you were doing when this page came up and the Cloudflare Ray ID found at the bottom of this page.
Cloudflare Ray ID: 7a6d6386e81a2d8b • Your IP: Click to reveal 88.135.219.175 • Performance & security by Cloudflare
Докажите что число является квадратом натурального числа
Докажите, что десятичная запись квадрата натурального числа не может состоять из одинаковых цифр.
Решение
Квадрат натурального числа может оканчиваться только на цифры 0, 1, 4, 5, 6, 9. Число 0 ј 0 натуральным не является. Число 5. 5 не может быть квадратом, так как оно делится на 5, но не делится на 25. Аналогично 6. 6 ≠ n 2 , так как это число делится на 2, но не делится на 4. Числа 4 ј 4 и 9 ј 9 являются полными квадратами в том и только том случае, когда полным квадратом будет 1 ј 1.
Докажем, что 1. 1 ≠ n 2 . Предположим, что это не так: существует такое натуральное число n, что 1. 1 = n 2 . Тогда n = 10k ± 1 и, следовательно, 100k 2 ± 20k = 1. 10 ⇔ 10k 2 ± 2k = 1. 1. Получили противоречие: нечетное число равно четному.
Докажите что число является квадратом натурального числа
У натурального числа n есть такие два различных делителя а и b , что ( а – 1)( b + 2) = n – 2.
Докажите, что число 2 n является квадратом натурального числа.
Решение
( а – 1)( b + 2) = n – 2 ⇔ ab – b + 2 a = n . Так как n делится на a и делится на b , то и левая часть полученного равенства делится и на a , и на b . Следовательно, b делится на a , a 2 а делится на b . Второе условие означает, что b ≤ 2 a . Учитывая, что b ≠ a , имеем b = 2 a .
Подставив этот результат в исходное равенство, получим 2 а ² – 2 а + 2 а = n , откуда 2 n = 4 a ².