8.Длина и направляющие косинусы вектора, связь между направляющими косинусами. Орт вектора. Координаты сумма векторов, произведение вектора на число.
Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными им с осями координат Ox, Oy, Oz. Косинусы этих углов (так называемые направляющие косинусы вектора) вычисляются по формулам:
Едини́чный ве́ктор или орт (единичный вектор нормированного векторного пространства) — вектор, норма (длина) которого равна единице.
Единичный вектор 
, коллинеарный с заданным 
(нормированный вектор), определяется по формуле
.
В качестве базисных часто выбираются именно единичные векторы, так как это упрощает вычисления. Такие базисы называют нормированными. В том случае, если эти векторы такжеортогональны, такой базис называется ортонормированным базисом.
Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению:
Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:
Координаты вектора суммы двух векторов удовлетворяют соотношениям:
Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению:
Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:
Вектор суммы двух векторов:
Сумма нескольких векторов:
Произведение вектора на число:
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Произведением вектора на число называют вектор, коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением при > 0 и противоположное при < 0.
СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ НАД ВЕКТОРАМИ
Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след. свойствами:
9.Выражение координат вектора через координаты его начала и конца. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка.
Расстояние d между точками A(x1) и B(x2) на оси:
Расстояние d между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) плоскости определяется по формуле:
Деление отрезка в данном отношении. Если x1 и y1 — координаты точки A, а x2 и y2 — координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении 
, определяются по формулам
Если 
, то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам
10. Скалярное произведение векторов. Геометрические свойства скалярного произведения, угол между векторами. Условия ортогональности векторов. Алгебраические свойства скалярного произведения. Выражение скаляроного произведения через координаты множителей.
Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.
Скалярным произведением в векторном пространстве 
над полем 
называется функция 
для элементов 
, принимающая значения в , определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:
для любых трех элементов 
и 
пространства и любых чисел 
справедливо равенство 
(линейность скалярного произведения по первому аргументу);
для любых 
и справедливо равенство 
, где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);
для любого имеем 
, причем 
только при 
(положительная определенность скалярного произведения).
Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.
Заметим, что из п.2 определения следует, что 
действительное. Поэтому п.3 имеет смысл несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.
Углом между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм): 
Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением..
11.Векторное произведение векторов. Геометрические приложения векторного произведения. Условие коллинеарности векторов. Алгебраические свойства смешанного произведения. Выражение векторного произведения через координаты множителей.
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:
1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е. 
3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Геометрические приложения:
Установление коллинеарности векторов
Нахождение площади параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а| * |b |sing , т. е. S пар = |а х b |. И, значит, DS =1/2|а х b |.
Определение момента силы относительно точки
Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О называется вектор М, который проходит через точку О и:
1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
2) численно равен произведению силы на плечо
3) образует правую тройку с векторами ОА и A В.
Стало быть, М=ОА х F .
Нахождение линейной скорости вращения
Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr , где r =ОМ, где О—некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).
Условие коллинеарности векторов — необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора 
и вектора 
является существование такого числа 
, которое удовлетворяет равенству 
.
Алгебраические свойства смешанного произведения
Смешанное произведение векторов не изменяется при круговой перестановке сомножителей и изменяет знак на противоположный при перестановке двух сомножителей, сохраняя при этом свой модуль.
Знак » 
» векторного умножения внутри смешанного произведения может быть поставлен между любыми его сомножителями.
Смешанное произведение дистрибутивно относительно любого его сомножителя: (например) если , то
Выражение векторного произведения через координаты
система координат правая
система координат левая
12.Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл смешанного произведения, условие компланарности векторов. Алгебраические свойства смешанного произведения. Выражение смешанного произведения через координаты множителей.
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов (a,b,c) называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий.
Как найти орт вектора
Вектором в геометрии называют направленный отрезок или упорядоченную пару точек евклидова пространства.Ортом вектора является единичный вектор нормированного векторного пространства или вектор, норма (длина) которого равна единице.Вам понадобится
Для начала необходимо вычислить длину вектора. Как известно, длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов координат. Пусть дан вектор с координатами: a(3, 4). Тогда его длина равна |a| = (9 + 16)^1/2 или |a|=5.
Чтобы найти орт вектора a, необходимо поделить каждую его который называется ортом или единичным вектором. Для вектора а(3, 4) ортом будет являться вектор а(3/5, 4/5). Вектор a’ будет являться единичным для вектора а.
Для проверки, правильно ли найден орт, можно проделать следующее: найти длину полученного орта, если она равна единице, то все найдено верно, если нет, то в расчеты закралась ошибка. Проверим правильно ли найден орт a’. Длина вектора a’ равна: a’ = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Итак, длина вектора a’ равна единице, значит орт найден верно.
Как найти орту одного вектора
Единичный вектор (орты координатных осей) — это вектор, длина которого равна единице.
i — единичный вектор оси абсцисс;
j — единичный вектор оси ординат;
k — единичный вектор оси аппликат.
i⊥j⊥k, i=j=k=1
В прямоугольной системе координат в пространстве координаты векторов равны:
i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1)
Единичные векторы являются некомпланарными.
Любой вектор можно разложить в виде вектора по ортам координатных осей, формула ниже.
a=xi+уj+zk
где x, y, z — координаты вектора проекции на соответствующие координатные оси.
Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей.
Единичный вектор определяется по формуле:
Дан вектор а = (1; 2; -2)
Требуется найти длину (модуль) и единичный вектор e направления вектора а
Находим длину вектора a
затем вычисляем единичный вектор e
Векторное произведения единичных векторов
Если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму вектору совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, а если не совпадает, то третий вектор берется со знаком «минус» . Смотрите схему 1.
На основании схемы получаем таблицу векторного произведения единичных векторов
Пример 1
Найти векторное произведение iхj, где i, j — единичные векторы (орты) правой системы координат.
Решение
1) Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма MOKT численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.
2) Так как перпендикуляр к плоскости MOKT есть ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный с вектором k; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.
3) Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы i, j, k образуют правую систему (а векторы i, j, -k — левую).
iхj=k
Пример 2
Найти векторное произведение jхi.
Решение
Как в примере 1, заключаем, что вектор jхi равен либо k, либо —k. Но теперь надо выбрать -k, ибо векторы j, i, —k образуют правую систему (а векторы i, j, —k -левую).
jхi = −k
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 3.5 / 5. Количество оценок: 4
Что такое орты
Орт:
- это вектор,
- он лежит на оси,
- направлен туда же, куда направлена ось,
- его длина равна единице.
На рисунке 1 изображены орты для двумерного а) и трехмерного б) случаев.
Орты сонаправлены с осями, на которых они лежат:
- Орт \( \vec \) направлен вдоль оси Ox;
- Орт \( \vec \) направлен вдоль оси Oy;
- Орт \( \vec \) направлен вдоль оси Oz;
Орты обладают единичной длиной:
Все три орта взаимно перпендикулярны. Перпендикулярные векторы часто называют ортогональными.
Любые два орта из трех, лежат в одной плоскости:
- Орты \( \vec \) и \( \vec \) лежат в плоскости xOy;
- Орты \( \vec \) и \( \vec \) лежат в плоскости xOz;
- Орты \( \vec \) и \( \vec \) лежат в плоскости yOz;
Векторы, лежащие в одной плоскости, называют компланарными. Об этом подробно написано «здесь» (откроется в новой вкладке).
Координаты вектора можно указать двумя способами. Либо, перечислив эти координаты в скобках, либо, с помощью разложения вектора по ортам.
Как найти орт вектора
Формула
Примеры нахождения орта вектора
Задание. На плоскости задан вектор $\bar=(-2 ; 2)$ . Найти его орт.
Решение. Для нахождения орта заданного вектора воспользуемся формулой:
Подставляя заданные координаты, получим:
Задание. Даны точки $A(3 ;-1 ; 4)$ и $B(2 ; 0 ; 2)$ . Найти орт вектора $\overline$
Что такое орты
На рисунке 1 изображены орты для двумерного а) и трехмерного б) случаев.
Орты сонаправлены с осями, на которых они лежат:
- Орт \( \vec \) направлен вдоль оси Ox;
- Орт \( \vec
\) направлен вдоль оси Oy; - Орт \( \vec
\) направлен вдоль оси Oz;
Орты обладают единичной длиной:
Все три орта взаимно перпендикулярны. Перпендикулярные векторы часто называют ортогональными.
Любые два орта из трех, лежат в одной плоскости:
- Орты \( \vec \) и \( \vec
\) лежат в плоскости xOy; - Орты \( \vec \) и \( \vec
\) лежат в плоскости xOz; - Орты \( \vec
\) и \( \vec \) лежат в плоскости yOz;
Векторы, лежащие в одной плоскости, называют компланарными. Об этом подробно написано «здесь» (откроется в новой вкладке).
Координаты вектора можно указать двумя способами. Либо, перечислив эти координаты в скобках, либо, с помощью разложения вектора по ортам.