Как найти ортогональное дополнение к подпространству

14.Ортогональное дополнение подпространства унитарного и евклидова пространства. Теорема о представлении унитарного пространства в виде прямой суммы линейных подпространств

─ подпространство всех в-в, перпендикулярных данной плоскости.

Ортогональное дополнение произвольного подпространства пространства V само является подпространством данного пространства

Доказательство: В самом деле, : #

Лемма 2 (критерий):

Пусть ─ базис в подпространстве . Вектор ;

Доказательство:

Необходимость: Пусть , тогда в том числе .

Достаточность: Пусть , поскольку : , то #

Унитарное (евклидово) пространство есть прямая сумма произвольного подпространства и его ортогонального дополнения , т. е. (прямая сумма)

Доказательство:

Пусть ── ОНБ в подпространстве .

Возьмем произвольный в-р и сопоставим следующий в-р:

имеем (скалярное умножение на ):

Следовательно по Лемме 2

Следовательно по Лемме 1

<θ>, откуда по определению прямой суммы вытекает, что #

Доказательство: Доказательство следует из Теоремы 2 § 5 гл. III #

§ 5.3. Ортогональное дополнение. Ортогональные суммы подпространств

Два подпространства называются ортогональными, если каждый вектор одного подпространства ортогонален каждому вектору другого подпространства . Ортогональность подпространств и обозначается

Для того чтобы вектор был ортогонален к подпространству необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален ко всем векторам какого-либо базиса подпространства

Для того чтобы два подпространства были ортогональными, необходимо и достаточно , чтобы каждый вектор какого-либо базиса одного подпространства был ортогонален ко всем векторам какого-либо базиса другого подпространства.

Сумма подпространств называется ортогональной и обозначается если подпространства попарно ортогональны.

Ортогональная сумма ненулевых подпространств всегда является прямой суммой.

Совокупность всех векторов, ортогональных к линейному подпространству евклидова пространства называется ортогональным дополнением подпространства и обозначается

Евклидово пространство есть ортогональная сумма любого своего линейного подпространства и его ортогонального дополнения т.е.

Любой вектор из евклидова пространства всегда можно представить, причём единственным образом, в виде

где принадлежит некоторому подпространству , ортогонален к Вектор называется ортогональной проекцией вектора на подпространство а — перпендикуляром, опущенным из на

Пример 1. Докажите, что

Доказательство. Пусть Тогда В силу того, что где , а . Следовательно, Если в последнем равенстве выбрать то из условия заключаем, что Полагая получаем, что или Другими словами, из условия вытекает, что Пусть теперь . Тогда , т.к. и . Значит, . Таким образом, мы получили, что если , то . И, наоборот, если , то . Сказанное равносильно равенству .

Пример 2. Линейное подпространство задано системой уравнений:

Найдите базис ортогонального дополнения .

Решение. Найдем базис . Для этого решим данную однородную систему уравнений:

— свободные переменные;

Таким образом, общее решение имеет вид: . Выбирая значения свободных переменных в соответствии с таблицей

Ортогональные дополнения евклидова пространства

Ортогональным дополнением непустого подмножества [math]M[/math] евклидова пространства [math]\mathbb[/math] называется множество векторов, ортогональных каждому вектору из [math]M[/math] . Ортогональное дополнение обозначается

\forall \mathbf\in M \Bigr\>.[/math]

Рассмотрим примеры ортогональных дополнений евклидова пространства.

1. Ортогональным дополнением нулевого подпространства [math]\ <\mathbf\> \triangleleft \mathbb[/math] служит все пространство [math]\mathbb \colon\, \ <\mathbf\>^<\perp>= \mathbb[/math] . Ортогональным дополнением всего пространства является его нулевое подпространство [math]\mathbb^<\perp>= \ <\mathbf\>[/math] .

2. Пусть в пространстве [math][/math] радиус-векторов (с началом в точке [math]O[/math] ) за даны три взаимно перпендикулярных радиус-вектора [math]\overrightarrow[/math] , [math]\overrightarrow[/math] и [math]\overrightarrow< OC >[/math] . Тогда ортогональным дополнением вектора [math]\overrightarrow[/math] является множество радиус- векторов на плоскости, содержащей векторы [math]\overrightarrow< OB >[/math] и [math]\overrightarrow< OC >[/math] , точнее, [math]\<\overrightarrow\>^<\perp>= \operatorname(\overrightarrow,\overrightarrow)[/math] . Ортогональным дополнением векторов [math]\overrightarrow[/math] и [math]\overrightarrow[/math] служит множество радиус-векторов на прямой, содержащей вектор [math]\overrightarrow\colon \<\overrightarrow,\overrightarrow\>^<\perp>= \operatorname (\overrightarrow)[/math] . Ортогональным дополнение трех заданных векторов служит нулевой радиус-вектор: [math]\<\overrightarrow, \overrightarrow, \overrightarrow\>^<\perp>= \<\overrightarrow\>[/math] .

3. В пространстве [math]P_2(\mathbb)[/math] многочленов степени не выше второй со скалярным произведением (8.29) задано подмножество [math]P_0(\mathbb)[/math] — многочленов нулевой степени. Найдем ортогональное дополнение этого подмножества. Для этого приравняем нулю скалярное произведение многочлена [math]p_2(x)=ax^2+bx+c[/math] на постоянный многочлен [math]p_0(x)=d\colon[/math] [math]\langle p_2(x),p_0(x)\rangle= a\cdot0+b\cdot0+c\cdot d=0[/math] . Поскольку величина [math]d[/math] произвольная, то [math]c=0[/math] . Следовательно, ортогональным дополнением подмножества [math]P_0(\mathbb)[/math] является множество многочленов из [math]P_0(\mathbb)[/math] с нулевым свободным членом.

Свойства ортогонального дополнения

Рассмотрим свойства ортогональных дополнений подмножеств n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb[/math] .

1. Ортогональное дополнение [math]M^<\perp>[/math] непустого подмножества [math]M\subset \mathbb[/math] является линейным подпространством, т.е. [math]M^ <\perp>\triangleleft \mathbb[/math] , и справедливо включение [math]M\subset (M^<\perp>)^<\perp>[/math] .

В самом деле, множество [math]M^<\perp>[/math] замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число, так как сумма двух век торов, ортогональных [math]M[/math] , ортогональна [math]M[/math] , и произведение вектора, ортогонального [math]M[/math] , на любое число является вектором, ортогональным [math]M[/math] . До кажем включение [math]M\subset (M^<\perp>)^<\perp>[/math] . Пусть [math]\mathbf\in M[/math] , тогда [math]\langle \mathbf,\mathbf\rangle=0[/math] для любого вектора [math]\mathbf\in M^<\perp>[/math] . Но это означает, что [math]\mathbf\subset (M^<\perp>)^<\perp>[/math] .

2. Пересечение любого непустого подмножества [math]M\subset \mathbb[/math] со своим ортогональным дополнением есть нулевой вектор: [math]M\cap M^<\perp>= \<\mathbf\>[/math] .

Действительно, только нулевой вектор ортогонален самому себе.

3. Если [math]L[/math] — подпространство [math]\mathbb

(L\triangleleft \mathbb)[/math] , то [math]\mathbb=L\oplus L^<\perp>[/math] .

Действительно, возьмем в [math]L[/math] ортогональный базис [math](\mathbf)= (\mathbf_1, \ldots,\mathbf_k)[/math] . До полним его векторами [math](\mathbf)= (\mathbf_,\ldots, \mathbf_n)[/math] до ортогонального базиса [math](\mathbf),\,(\mathbf)[/math] всего пространства [math]\mathbb[/math] . Тогда произвольный вектор [math]\mathbf\in \mathbb[/math] можно представить в виде суммы

где [math]\mathbf\in L[/math] , а [math]\mathbf\in L^<\perp>[/math] , так как [math]\langle \mathbf,\mathbf_i\rangle= \sum_^\mathbf\langle \mathbf_j, \mathbf_i \rangle_<<>_<=0>>=0[/math] для [math]i=1,\ldots,k[/math] . Следовательно, любой вектор пространства [math]\mathbb[/math] раскладывается по подпространствам [math]L[/math] и [math]L^<\perp>[/math] , т.е. [math]\mathbb= L+L^<\perp>[/math] . Эта алгебраическая сумма является прямой суммой по свойству 2, поскольку [math]L\cap L^<\perp>=\<\mathbf\>[/math] . Следовательно, [math]\mathbb=L\oplus L^<\perp>[/math] .