Как найти массу кривой

2.15 Вычисление массы кривой с помощью определенного интеграла

Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ρ (x,y,z). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода

Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции , то ее масса описывается формулой

В случае плоской кривой, заданной в плоскости Oxy, масса определяется как

или в параметрической форме

2.16 понятие момента фиксированного порядка n>1, n=1 и соответствующегося ему центра у массы вдоль кривой.

Центр масс и моменты инерции кривой

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности ρ (x,y,z). Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами

− так называемые моменты первого порядка. Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами

3.Вопросы потеме «кратные интыгралы»

3.2 Свойство аддитивности кратного интеграла

Аддитивность по множеству интегрирования. Пусть множества G₁ и G₂ измеримы, и . Пусть также функция f определена и интегрируема на каждом из множеств G₁ и G₂. Тогда интеграл по G существует и равен

.

.3.3. свойство линейности для кратного интеграла

Линейность по функции. Пусть измеримо, функции и интегрируемы на , тогда

.

3.4.Сведенья кратного интеграла к интегралам одной переменной.

Кратным (n-кратным) интегралом функции на множестве называется число (если оно существует), такое что, какой бы малой -окрестностью числа мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:

: :

Здесь — мера множества .

Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения и множества точек рассмотрим интегральную сумму

Кратным интегралом функции называют предел

если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.

Интеграл обозначается следующим образом:

В векторном виде: ,

Либо ставят значок интеграла раз, записывают функцию и дифференциалов: .

Для двойного и тройного интегралов используются также обозначения и соответственно.

В современных математических и физических статьях многократное использование знака интеграла не применяется.

Такой кратный интеграл называется интегралом в собственном смысле.

4.1 два типа криволинейногоинтеграла

Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги)

Пусть в некоторой области D плоскости хоу (см. рис. 1) задана непрерывная функция f(x, y) и гладкая незамкнутая кривая L между точками А, В.

Составим интегральную сумму по уже известному алгоритму. Разобьём кривую L точками

А = А₀, А₁, . А_п = В

на п произвольных участков l_i, обозначив через длину i-го участка кривой между точками А_i-1, A_i, где I = 1, 2, …,п.

В каждом i-том участке выберем произвольно точку и подсчитаем в ней значение функции f_i = f(M_i).

Просуммировав произведения по всем i = 1, 2, …, п, получим интегральную сумму

Предел этой интегральной суммы, если он существует и не зависит от типа разбиения дуги L и способа нахождения точек M_i, где i = 1, 2, …, п, называется криволинейным интегралом первого типа от функции f(x, y), взятым по кривой L, и обозначается

Этому интегралу можно придать вполне определённый физический смысл: если в каждой точке дуги L задана переменная плотность — функция точки, то можно подсчитать массу материальной дуги АВ:

Сравните с задачей о вычислении массы неоднородного стержня, приводящей к понятию определённого интеграла .

Приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные; приложения в математике и механике.

Длина кривой

Длина кривой плоской или пространственной линии вычисляется по формуле .

Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая , лежащая в плоскости , а образующая параллельна оси (см. рис. 235), то площадь поверхности, задаваемой функцией находится по формуле .

Масса кривой

Масса материальной кривой (провод, цепь, трос,…) определяется формулой , где — плотность кривой в точке .

Разобьем кривую на элементарных дуг . Пусть — произвольная точка дуги . Считая приближенно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке , найдем приближенное значение массы дуги :

Суммируя, находим приближенное значение массы :

За массу кривой примем предел суммы (55.7) при условии, что , т. е.

или, согласно формуле (55.2),

(Заметим, что предел существует, если кривая alt=»приложения криволинейного интеграла I рода» width=»» />гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке alt=»приложения криволинейного интеграла I рода» width=»» />функцией.)

Статические моменты, центр тяжести

Статические моменты относительно осей и и координаты центра тяжести материальной кривой определяются по формулам

Моменты инерции

Для материальной кривой моменты инерции относительно осей , и начала координат соответственно равны:

Пример №55.3.

Найти центр тяжести полуокружности , лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице в каждой точке кривой ().

Решение:

Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести находится на оси (см. рис. 236). Поэтому . Ордината центра тяжести

Знаменатель дроби — длина полуокружности. Поэтому .

Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями окружности . Имеем:

Следовательно, . Итак, .

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Высшая математика. вычисление массы материальной кривой

Как известно, математика все больше и больше внедряет свои методы в технические науки. Целью такого внедрения является оптимизация решения данной задачи. Кроме того, зачастую решить задачу можно только математически. Рассмотрим одну из таких задач механики «Вычисление массы материальной кривой»»

Рассмотрим следующую механическую задачу. Пусть на некоторой плоской спремляемой дуге АВ некоторым образом распределена масса с линейной плотностью , причем эта плотность задана как непрерывная функция от координат х и у точки дуги АВ. Требуется определить массу m материальной дуги кривой.

С этой целью разобьем дугу АВ произвольным образом на n частей с помощью точек деления: , которые пронумерованы от точки А к точке В. Длину дуги обозначим через ). На каждой частичной дуге возьмем произвольно по точке и во взятых точках вычислим плотность распределения массы . Если предположить, что плотность во всех точках частичной дуги постоянна и равна ее значению в точке А, то величина массы частичной дуги будет равна .

Так как масса всей дуги АВ равна сумме масс ее частичных дуг, то при сделанном допущении о постоянстве плотности вдоль частичных дуг масса всей дуги выразится суммой:

Поскольку в действительности плотность распределения массы на каждой частичной дуге , вообще говоря, не постоянна, то сумма (1) не может быть принята за массу дуги АВ. Однако, если частичные дуги малы( точек деления n достаточно много), то в силу непрерывности функции значение плотности в различных точках какой- либо из этих дуг будет весьма мало отличаться от ее значения в точке А и масса (1) будет приближенно выражать массу дуги АВ, причем это приближение будет тем точнее, чем мельче по длине будут частичные дуги (чем на большее число частичных дуг будет разбита кривая АВ) . поэтому за массу дуги АВ можно принять предел суммы (1) , при условии что длина наибольшей частичной дуги стремится к нулю ( .

Сравнивая последнюю формулу с определением криволинейного интеграла первого рода, получим:

Найти массу дуги кривой между точками А и В, для которых и , если в каждой точке дуги АВ линейная плотность пропорциональна квадрату ординаты.

Применяя формулу (3),получим:

Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов – М. Высшая школа, 2001.- 345с.

Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов – М: Высшая школа, 1998.- 380с.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, в 2-х частях Ч.1,Ч.2.:Учебн. пособие для вузов – М.: Высшая школа, 1999.- 280с.