Задачи B6 с монетами
Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:
где искомая вероятность, число устраивающих нас событий, общее число возможных событий.
Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строчку — достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа В этом и состоит вся сложность.
Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:
- — стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
- — стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.
Для решения задачи B6 надо знать оба метода. К сожалению, в школах изучают только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, поехали!
Метод перебора комбинаций
Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов:
- Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например: ОР, РО, ОО, РР. Число таких комбинаций —
- Среди полученных комбинаций отмечаем те, которые требуются по условию задачи. Считаем отмеченные комбинации — получаем
- Осталось найти вероятность:
К сожалению, этот способ работает лишь для малого количества бросков. Потому что с каждым новым броском число комбинаций удваивается. Например, для 2 монет придется выписать всего 4 комбинации. Для 3 монет их уже 8, а для 4 — 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.
Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O — орел, P — решка):
Итого варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи:
Таких вариантов оказалось Находим вероятность:
Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек:
OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Всего получилось вариантов. Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, Осталось найти вероятность:
Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Лично я — не уверен. Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения.
Специальная формула вероятности
Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что я решил оформить ее в виде теоремы. Взгляните:
Теорема. Пусть монету бросают Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно можно найти по формуле:
Где Cn k — число сочетаний которое считается по формуле:
Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.
На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться — и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше.
Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.
По условию задачи, всего бросков было Требуемое число орлов: Подставляем в формулу:
С тем же успехом можно считать число решек: Ответ будет таким же.
Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
Снова выписываем числа Поскольку монету бросают 3 раза, А поскольку решек быть не должно, Осталось подставить числа в формулу:
Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C 3 0 = 1.
Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.
Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.
Пусть вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда Имеем:
Теперь найдем вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае Имеем:
Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p 1 и p 2. Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем:
монету бросают трижды. какова вероятность того, что орел выпадет три раза?
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Есть равнобедренный треугольник АВС и точка М в нем. Угол МАС 10 градусов, МСА 30 градусов, АВС 80 градусов. Нужен угол ВМС и решение. Заранее благодарен
Составить предложения в Present Cont о том, что ваша мама, папа, бабушка, дедушка и вы делаете в канун нового года. К каждому придумать по 3 предложения. Итого у вас должно получится 15 предложений! Использовать можно фразы только уч: стр 46 упр 1. Другие фразы использовать НЕЛЬЗЯ. Если вы не помните, какой глагол ставить впереди, то используйте словарь в конце учебника стр WL5. Пример: Mum is doing the dusting; Grandma is doing the washing-up. 2) Уч: стр 46 упр 2 — контрольное чтение письма. 3) Из письма выписать все предложения, где есть PRESENT Cont..
Монету подбросили 3 раза. Какова вероятность того, что “орел” выпадет 3 раза. Ответы: а) 3/8 б)1/2 в)7/8 г)1/8
Мы отправили письмо со ссылкой на смену пароля на username@mail.ru.
Если письма нет, проверь папку «Спам».
Чтобы вопрос опубликовался, войди или зарегистрируйся
Нужна регистрация на Учи.ру
«Ваш урок» теперь называется Учи.Ответы. Чтобы зайти на сайт, используй логин и пароль от Учи.ру. Если у тебя их нет, зарегистрируйся на платформе.
Монету бросают трижды, орел выпадет все три раза
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.
Решение
- Данную задачу будем решать по формуле:
Где Р(А) – вероятность события А, m – число благоприятствующих исходов этому событию, n – общее число всевозможных исходов.
- Применим данную теорию к нашей задаче:
- А – событие, когда орел выпадет все 3 раза;
- Р(А) – вероятность того, что орел выпадет все 3 раза.
- Определим m и n:
m — число благоприятствующих этому событию исходов, то есть число исходов, когда орел выпадет все 3 раза. В эксперименте бросают монету трижды, которая имеет 2 стороны: решка (Р) и орел (О). Нам необходимо, чтобы выпало 3 орла, а это возможно тогда, когда выпадет следующая комбинация: ООО, то есть получается, что
m = 1, так как возможен 1 вариант, когда орел выпадут все 3 орла;
n – общее число всевозможных исходов, то есть для определения n нам необходимо найти количество всех возможных комбинаций, которые могут выпасть при бросании монеты трижды. Кидая первый раз монету может выпасть либо решка, либо орел, то есть возможно два варианта. При бросании второго и третьего раз монету возможны точно такие же варианты. Получается, что