Операции отношения или сравнения
П
равила использования операций AND и OR
Операция целочисленного деления и операция — остаток от деления
Остановимся немного подробнее на операции целочисленного деления (div) и операции, выдающей остаток от деления (mod).
Так, результатом целочисленного деления 17 на 5 будет 3:
17 div 5 = 3, а результатом деления меньшего числа на большее, будет 0:
Делаем вывод, что при целочисленном деление дробная часть отбрасывается, сам термин «целочисленное деление» или «деление нацело» говорит сам за себя.
Операция a div b осуществляет целочисленное деление целого a на целое b.
Дробная часть при этом отбрасывается.
Еще одна интересная операция — остаток от деления a на b.
Понятно, что остатком от деления 17 на 5 будет число 2:
а вот чему будет равен остаток от деления меньшего числа на большее, например, 46 mod 200?
Оказывается, в этом случае, результатом операции будет число 46. Вот другие примеры:
Интересно, что остаток от деления любого целого числа на 10 будет равен последней цифре этого числа:
543 mod 10 = 3, 45 mod 10 = 5, 7 mod 10 = 7.
Константа в программе на Паскале — это идентификатор, являющийся обозначением конкретного числа, которое называется значением константы; отличие же константы от переменной в том, что ее значение нельзя изменять с помощью операторов программы, а также в том, что значение константы закрепляется в ней еще до выполнения операторов, в разделе описаний.
Каждая константа должна быть описана в программе. Примеры описания:
Такого рода описание может охватывать и несколько констант.
Const n = 100; m = 25; k = 1000;
Константы такого вида называются нетипизированными. Существуют константы, в описании которых кроме значения есть тип, например:
Const m: integer = 25;
Такие константы являются типизированными и их значения можно изменять с помощью операторов программы. Типизированные константы отличаются от переменных только тем, что описываются после ключевого слова Const и их значения указываются в разделе описаний.
Кроме арифметических операций, в Паскале существуют так называемые стандартные или встроенные функции, которые выполняются сразу после указания их имени, заведомо объявленных в Паскале, после которого в скобках записывается аргумент функции.
Деление с остатком
Деление c остатком (деление по модулю, нахождение остатка от деления, остаток от деления) — арифметическая операция, результатом которой является два целых числа: неполное частное и остаток от деления целого числа на другое целое число.
Содержание
Определение
Разделить целое число 
на натуральное число 
с остатком означает представить его в виде:
называется неполным частным, а 
— остатком от деления 
на 
Например, при делении с остатком 
на 
получаем неполное частное 
и остаток 
В программировании
| Язык | Оператор | Знак результата |
|---|---|---|
| ActionScript | % | Делимое |
| Ada | mod | Делитель |
| rem | Делимое | |
| ASP | Mod | Не определено |
| Си (ISO 1990) | % | Не определено |
| Си (ISO 1999) | % | Делимое [источник не указан 316 дней] |
| C++ | % | Не определено [1] |
| C# | % | Делимое |
| ColdFusion | MOD | Делимое |
| Common Lisp | mod | Делитель |
| rem | Делимое | |
| Delphi | mod | Делимое |
| Microsoft Excel | =MOD() (англ. версия) =ОСТАТ() (рус. версия) |
Делитель |
| Euphoria | remainder | Делимое |
| FileMaker | Mod | Делитель |
| Fortran | mod | Делимое |
| modulo | Делитель | |
| GML (Game Maker) | mod | Делимое |
| div | Делитель | |
| J | | |
Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получении случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.
Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа. Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:
Важно отметить, что операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Для нахождения минимального неотрицательного остатка от деления числа a на положительное число b , где a может принимать как положительные, так и отрицательные значения, можно воспользоваться следующей формулой:
См. также
Целочисленное деление указано простейшей операцией, приносящей системные сбои, не выполнимой правильно в свойствах деления меньшего на большее.
A\B = 0 при A<B (A mod B) = A
Примечания
- ↑««ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++»», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003 . «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
- ↑К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0
- Деление
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое «Деление с остатком» в других словарях:
Деление (математика) — Запрос «Деление» перенаправляется сюда; для просмотра других значений см. Деление. Деление (операция деле … Википедия
ДЕЛЕНИЕ — действие, обратное к умножению;заключается в нахождении такого х, что Ъх=а или xb = a при заданных аи b. Результат Д. хназ. частным, или отношением аи b; при этом аназ. делимым, а b делителем. Для обозначения Д. употребляются знаки двоеточия (а:… … Математическая энциклопедия
Деление — В Викисловаре есть статья «деление» Деление: Деление (биология) бесполый способ размножения живых организмов. Деление клетки Деление (математика) математическая операция. Деление с остатком … Википедия
Деление (значения) — В Викисловаре есть статья «деление» Деление: Деление (биология) бесполый способ размножения живых организмов. Деление клетки Деление (математика) математическая операция. Деление с остатком … Википедия
Деление по модулю — Операция деления по модулю в различных языках программирования Язык Оператор Знак результата Делимое Ada mod Частное rem Делимое ASP Mod Не определено C (ISO 1990) % Не определено C (ISO 1999) … Википедия
Деление с остастком — Операция деления по модулю в различных языках программирования Язык Оператор Знак результата Делимое Ada mod Частное rem Делимое ASP Mod Не определено C (ISO 1990) % Не определено C (ISO 1999) … Википедия
Деление (математич.) — Деление, действие, обратное умножению; заключается в нахождении одного из двух сомножителей, если известны произведение их и др. сомножитель. Т. о., разделить а на b ‒ это значит найти такое х, что bx = а или xb = а. Результат Д. х называется… … Большая советская энциклопедия
Деление — I Деление действие, обратное умножению (См. Умножение); заключается в нахождении одного из двух сомножителей, если известны произведение их и др. сомножитель. Т. о., разделить а на b это значит найти такое х, что bx = а или xb = а.… … Большая советская энциклопедия
Деление столбиком — Процесс деления столбиком (американо британский вариант) числа 1 260 257 на число 37 Деление столбиком стандартная процедура в арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания деления на ряд… … Википедия
Деление на бумаге — Процесс деления столбиком Деление столбиком стандартная процедура в арифметике, предназначенная для деления простых или сложных многозначных чисел за счёт разбивания деления на ряд более простых шагов. Как и во всех задачах на деление, одно… … Википедия
Деление с остатком
Деление c остатком — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел, алгебре и криптографии. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом [1] . Пусть [math]\displaystyle< a >[/math] и [math]\displaystyle< b >[/math] — целые числа, причём [math]\displaystyle< b \ne 0. >[/math] Деление с остатком [math]\displaystyle< a >[/math] («делимого») на [math]\displaystyle< b >[/math] («делитель») означает нахождение таких целых чисел [math]\displaystyle< q >[/math] и [math]\displaystyle< r >[/math] , что выполняется равенство:
Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: [math]\displaystyle< q >[/math] называется неполным частным от деления, а [math]\displaystyle< r >[/math] — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: [math]\displaystyle< 0 \leqslant r \lt |b|, >[/math] то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел, то есть существует единственное решение уравнения [math]\displaystyle< a = b \cdot q+r >[/math] при заданных выше условиях. Если остаток равен нулю, говорят, что [math]\displaystyle< a >[/math] нацело делится на [math]\displaystyle< b. >[/math]
Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка или, неформально, делением по модулю (однако последний термин стоит избегать, так как он может привести к путанице с делением в кольце или группе вычетов по аналогии со сложением или умножением по модулю).
- При делении с остатком положительного числа [math]\displaystyle< a = 78 >[/math] на [math]\displaystyle< b = 33 >[/math] получаем неполное частное [math]\displaystyle< q = 2 >[/math] и остаток [math]\displaystyle< r = 12 >[/math] .
- При делении с остатком отрицательного числа [math]\displaystyle< a = -78 >[/math] на [math]\displaystyle< b = 33 >[/math] получаем неполное частное [math]\displaystyle< q = -3 >[/math] и остаток [math]\displaystyle< r = 21 >[/math] .
- При делении с остатком отрицательного числа [math]\displaystyle< a = -9 >[/math] на [math]\displaystyle< b = -13 >[/math] получаем неполное частное [math]\displaystyle< q = 1 >[/math] и остаток [math]\displaystyle< r = 4 >[/math] .
- При делении с остатком положительного числа [math]\displaystyle< a = 9 >[/math] на [math]\displaystyle< b = 90 >[/math] получаем неполное частное [math]\displaystyle< q = 0 >[/math] и остаток [math]\displaystyle< r = 9 >[/math] .
- При делении с остатком числа [math]\displaystyle< a = 78 >[/math] на [math]\displaystyle< b = 26 >[/math] получаем неполное частное [math]\displaystyle< q = 3 >[/math] и остаток [math]\displaystyle< r = 0 >[/math] , то есть деление выполняется нацело.
Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.
Содержание
Определение
Оставаясь строго в рамках натуральных чисел, приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль [2] , либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше [1] .
Для вычисления неполного частного от деления [math]\displaystyle< a >[/math] на положительное число [math]\displaystyle< b >[/math] следует разделить (в обычном смысле) [math]\displaystyle< a >[/math] на [math]\displaystyle< b >[/math] и округлить результат до ближайшего целого в меньшую сторону:
где полускобки [math]\displaystyle< \left\lfloor \cdot\right\rfloor >[/math] обозначают взятие целой части. Значение неполного частного [math]\displaystyle< q >[/math] позволяет вычислить значение остатка [math]\displaystyle< r >[/math] по формуле:
Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:
Операция «mod» и связь со сравнениями
Величина остатка может быть получена бинарной операцией «взятия остатка» от деления [math]\displaystyle< a >[/math] на [math]\displaystyle< b >[/math] , обозначаемой mod :
Не следует путать это обозначение с обозначением сравнения по модулю [math]\displaystyle< b >[/math] . Формула для [math]\displaystyle< r >[/math] влечёт выполнение сравнения:
однако обратная импликация, вообще говоря, неверна. А именно, это сравнение не подразумевает выполнения неравенства [math]\displaystyle< 0 \leqslant r \lt |b| >[/math] , необходимого для того, чтобы [math]\displaystyle< r >[/math] было остатком.
В программировании
| Язык | Неполное частное |
Остаток | Знак остатка |
|---|---|---|---|
| ActionScript | % | Делимое | |
| Ada | mod | Делитель | |
| rem | Делимое | ||
| Бейсик | \ | MOD | Не определено |
| Си (ISO 1990) | / | % | Не определено |
| Си (ISO 1999) | / | % | Делимое [3] |
| C++ (ISO 2003) | / | % | Не определено [4] |
| C++ (ISO 2011) | / | % | Делимое [5] |
| C# | / | % | Делимое |
| ColdFusion | MOD | Делимое | |
| Common Lisp | mod | Делитель | |
| rem | Делимое | ||
| D | / | % | Делимое [6] |
| Delphi | div | mod | Делимое |
| Eiffel | // | \\ | Делимое |
| Erlang | div | rem | Делимое |
| Euphoria | remainder | Делимое | |
| Microsoft Excel (англ.) | QUOTIENT() | MOD() | Делитель |
| Microsoft Excel (рус.) | ЧАСТНОЕ() | ОСТАТ() | |
| FileMaker | Div() | Mod() | Делитель |
| Fortran | mod | Делимое | |
| modulo | Делитель | ||
| GML (Game Maker) | div | mod | Делимое |
| Go | / | % | Делимое |
| Haskell | div | mod | Делитель |
| quot | rem | Делимое | |
| J | | |
Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получения случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.
Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа. Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:
Знак остатка
Операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:
- Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
- Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к [math]\displaystyle< -\infty >[/math] .
Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.
- Есть сумма [math]\displaystyle< n >[/math] копеек, положительная или отрицательная. Перевести её в рубли и копейки: n div 100 и n mod 100 . Знак остатка совпадает со знаком делимого.
- Есть бесконечное клеточное поле, каждая клетка 16×16 пикселей. В какую клетку попадает точка ( [math]\displaystyle< x >[/math] , [math]\displaystyle< y >[/math] ), и каковы координаты относительно верхнего левого угла клетки? Ответ: x div 16, y div 16 и (x mod 16, y mod 16) соответственно. Знак остатка совпадает со знаком делителя.
Операция div в x86/x64 делит регистровую пару rdx:rax на любой другой регистр или число из памяти [10] . Неполное частное и остаток выходят по первому варианту — округляют к нулю.
Как запрограммировать, если такой операции нет?
При отсутствии команды mod остаток программируется как [math]\displaystyle< a - qb >[/math] .
Если [math]\displaystyle< b >[/math] положительно, а знак [math]\displaystyle< r >[/math] совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой [math]\displaystyle < r' = (b+(a \operatorname
Неполное частное и неотрицательный остаток от деления на степень двойки [math]\displaystyle< 2^n >[/math] — это битовый сдвиг [math]\displaystyle< a \gg n >[/math] (для чисел со знаком — арифметический) и [math]\displaystyle < a \operatorname<\&>(2^n — 1) >[/math] .
Обобщения
Вещественные числа
Если два числа [math]\displaystyle< a >[/math] и [math]\displaystyle< b >[/math] (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, [math]\displaystyle< a >[/math] может быть поделено на [math]\displaystyle< b >[/math] без остатка, и при этом частное также является вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.
если [math]\displaystyle< a,b\in \mathbb
Деление 7,9 на 2,1 с остатком даёт:
[math]\displaystyle< \left\lfloor \frac<7<,>9><2<,>1>\right\rfloor = 3 >[/math] (неполное частное); [math]\displaystyle< 7<,>9 — 3\cdot 2<,>1 = 1<,>6 >[/math] (остаток).
Гауссовы целые числа
Гауссово число — это комплексное число вида [math]\displaystyle< a+bi >[/math] , где [math]\displaystyle< a, b >[/math] — целые числа. Для них можно определить деление с остатком: любое гауссово число [math]\displaystyle< u >[/math] можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число [math]\displaystyle< v >[/math] , то есть представить в виде:
где частное [math]\displaystyle< q >[/math] и остаток [math]\displaystyle< r >[/math] — гауссовы числа, причём [math]\displaystyle< |r|\lt |v|. >[/math] Однако, в отличие от целых чисел, остаток от деления определяется неоднозначно. Например, [math]\displaystyle< 7+2i >[/math] можно разделить на [math]\displaystyle< 3-i >[/math] тремя способами:
Многочлены
При делении с остатком двух многочленов [math]\displaystyle< f(x) >[/math] и [math]\displaystyle< g(x) >[/math] для однозначности результата вводится условие: степень многочлена-остатка должна быть строго меньше степени делителя:
[math]\displaystyle< f(x) = q(x) g(x) + r(x) >[/math] , причём [math]\displaystyle< \deg(r) \lt \deg(g) >[/math] . Пример [math]\displaystyle< \frac<2x^2 + 4x + 5>
Какая арифметическая операция служит для получения остатка от деления
45 : ( — 15 ) = 45 : — 15 = — 45 : 15 = — 3
- найти модули делимого и делителя;
- делить по модулю;
- записать противоположное данному число и вычесть 1 ;
- использовать формулу для остатка d = a − b · c .
- найти модули делимого и делителя;
- разделить модуль делимого на модуль делителя с получением неполного частного с
- остатком;
- прибавление 1 к неполному частному;
- вычисление остатка, исходя из формулы d = a − b · c .
Разделить целое число на натуральное число с остатком означает представить его в виде:
называется неполным частным, а — остатком от деления на
Например, при делении с остатком на получаем неполное частное и остаток