Вычисление матриц Якоби и Гессе
Пусть задана система функций от переменных. Матрицей Якоби или якобианом данной системы функций называется матрица, составленная из частных производных этих функций по всем переменным.
Если в некоторой точке очень сложно или невозможно вычислить частные производные, , то для вычисления матрицы Якоби применяются методы численного дифференцирования.
Вычисление матрицы Гессе
Матрицей Гессе функции переменных называется матрица, составленная из вторых производных функции по всем переменным
Если в некоторой точке очень сложно или невозможно вычислить частные производные, , то для вычисления матрицы Гессе применяются методы численного дифференцирования.
Методы вычисления матрицы Якоби
Прямое вычисление частных производных
Для вычисления матрицы Якоби в заданной необходимо найти частные производные всех функций системы по всем переменным. Для вычисления производной применяются методы вычисления первой производной.
Формула для элемента якобиана при использовании правой разностной производной:
Формула для элемента якобиана при использовании центральной разностной производной:
Вычисление якобиана с использованием правой разностной производной требует вычислять значения функций в точках. Если использовать центральную производную, то нужно находить значения функций в точках. С другой, стороны погрешность правой производной имеет порядок а центральной — . В большинстве случаев вычисление значения функции — это затратная по времени операция, поэтому используется правая разностная производная.
Оценка погрешности метода
Основная проблема при вычислении каждого элемента матрицы Якоби — как правильно выбрать шаг метода . Шаг выбирается независимо для каждого элемента матрицы.
Проанализируем зависимость погрешности метода от величины шага в случае использования правой разностной производной. Для сокращения записи введём обозначения . Остаточный член в соотношении имеет вид . Если , то Если значения и заданы с погрешностями , то погрешность будет содержать ещё одно слагаемое . Таким образом, оценка суммарной погрешности имеет вид . Эта оценка достигает минимума при . При этом . Оценка погрешности имеет один глобальный миниум. Поэтому выбор очень маленького шага не привидёт к росту точности. При величине шага, близкой к погрешность имеет порядок .
Метод Бройдена
Чаще всего вычисление якобиана является одной из подзадач в различных методах оптимизации и решения систем нелинейных уравнений. При решении систем нелинейных уравнений методом Ньютона требуется вычислять якобиан на каждой итерации. Вычисление якобиана требует вычисления функций в точках. Это сложная и затратная по времени операция. Суть метода Бройдена состоит в том, чтобы вычислить якобиан аналитически или с помощью метода конечных разностей на первой итерации, а после этого на каждой итерации обновлять якобиан, не вычисляя значения функций и их производных.
Пусть задана система нелинейных уравнений , где . Тогда якобиан на -ой итерации выражается по формуле
После этого следующее приближение вычисляется по формуле
Методы вычисления матрицы Гессе
Как и матрица Якоби, матрица Гессе может быть вычислена с помощью разностной аппроксимации производных. , где — вектор переменных, а и — единичные вектора. Эта формула требует вычисления значений функции в точках. Погрешность формулы имеет порядок .
Численный эксперимент
В качестве примера рассчитаем с помощью вышеизложенного метода матрицу Гессе функции в точке (1, 1)
17. Вычисление матрицы Гессе
Для минимизации дважды дифференцируемой целевой функции , зависящей от 
переменных 
, 
, …, 
, все варианты метода Ньютона, которые являются методами второго порядка, используют матрицу Гессе вторых частных производных
.
По теореме Шварца
, 
, 
.
Поэтому матрица Гессе является симметрической матрицей, для которой симметричные относительно главной диагонали элементы совпадают: 
. В силу этого свойства при транспонировании матрица Гессе не изменяется 
.
Во многих задачах оптимизации, которые встречаются на практике, целевые функции представляются сложными выражениями или вычисляются алгоритмически, поэтому матрица Гессе в методах второго порядка определяется численно с помощью конечных разностей.
Для вычисления матрицы Гессе целевую функцию 
разложим в ряд Тейлора, учитывая слагаемые второго порядка малости:
.
Вначале рассмотрим квадратичную функцию двух переменных при 
:
. (2.13)
Для такой функции
, 
.
Рис. 2.10. Точки для вычислений
В силу симметричности матрицы Гессе 
. Поэтому функция (2.13) имеет шесть неизвестных параметров: 
, 
, 
, 
, 
, 
. Эти параметры вычислим по шести значениям функции в различных ее точках (рис. 2.10). Положим 
, зададим точки 
, 
, 
, 
, 
, 
и вычислим значения функции в этих точках: 
, 
, 
, 
, 
, 
. Подставляя эти значения в уравнение (2.13), получим систему шести уравнений с шестью неизвестными, решая которую имеем:
, 
, 
,
, 
,
.
Полученные для квадратичной функции (2.13) формулы обобщаются для вычисления градиента и матрицы Гессе произвольной функции переменных с использованием ортов системы координат 
, 
.
Проекции градиента вычислим по формуле центральных разностей (1.22):
, . (2.14)
Диагональные элементы матрицы Гессе вычисляются по формуле конечной разности второго порядка:
, . (2.15)
Недиагональные элементы матрицы Гессе вычислим по формуле
, (2.16)
Где 
, 
.
Формулы (2.14)–(2.16) кроме значения целевой функции в точке 
требуют 
дополнительных вычислений значений функции. При этом точность вычисления градиента и матрицы Гессе существенно зависит от величины приращения аргумента 
, которую связывают со значением машинного эпсилон 
. Обычно полагают 
. По формулам (2.14)–(2.16) составлен алгоритм вычисления градиента и матрицы Гессе для функции многих переменных.
Алгоритм вычисления градиента и матрицы Гессе.
Входные параметры: и 
– точка, в которой вычисляется градиент, и значение в ней функции; – процедура вычисления целевой функции; – параметр приращения аргумента.
Выходные параметры: 
– градиент, 
– матрица Гессе.
1. Положить 
, 
, 
, 
, 
, 
.
2. Вычислить 
, 
, 
, 
.
3. Вычислить 
, 
.
4. Положить 
, 
, 
.
5. Если 
, то положить 
и перейти к шагу 2.
6. Положить .
7. Положить , 
.
8. Вычислить 
, , 
.
9. Положить 
, 
.
10. Если 
, то положить 
и перейти к шагу 8.
11. Положить .
12. Если 
, то положить и перейти к шагу 7.
В этом алгоритме на шагах 2–5 вычисляются градиент и диагональные элементы матрицы Гессе, а на шагах 6–12 вычисляются недиагональные элементы матрицы Гессе. В примерах 2.1–2.10 градиент и матрица Гессе вычислены по приведенному алгоритму со значением параметра 
.
10.5.3.Второй дифференциал функции. Матрица Гессе
Вернемся к формуле (25). Она означает, что второй дифференциал является квадратичной формой от переменных 
. Как известно из курса алгебры, квадратичной форме сопоставляется матрица квадратичной формы, в рассматриваемом случае имеющая вид 
, где все производные вычислены в рассматриваемой точке и называемая иногда матрицей Гессе.
§.10.6.Формулы Тейлора.
Теорема 10.7.Пусть функция 
,
имеет непрерывные производные до порядка 
включительно в окрестности 
точки
и непрерывные производные порядка
в
. Тогда для любой точки 
существует число
,
такое, что 
(29) ,
где все дифференциалы вычислены при 
.
►Соединим в пространстве 
точку 
с точкой
прямолинейным отрезком; запишем параметрические уравнения этого отрезка: любая его точка
имеет вид
(30) .
При 
получаем
, при
получаем
.
Рассмотрим функцию одной переменной 
, определенную на отрезке
. Уравнение (30) имеет вид уравнения (28).
Поэтому, при вычислении 
получаем, в соответствии с (26), что
,
,
(31)
Осталось применить к функции 
теорему 7.5:
(32)
Подставляя в (32) равенства (31), получаем утверждение теоремы.◄
Теорема 10.8. Пусть функция 
имеет непрерывные производные до порядка
включительно в
точки
. Тогда
, где 
. (33)
►Для доказательства достаточно использовать теорему 10.7.с заменой числа 
числом 
:
(34)
и заметить, что 
представляет собой конечную сумму слагаемых вида
.
По условию теоремы, все производные до порядка 
включительно непрерывны в окрестности , поэтому применима теорема 10.6 и, кроме того,
,
.
Таким образом,
можно представить в виде 
и суммы конечного числа слагаемых вида 
.Так как
и
,каждое слагаемое 
представляет собой 
, при 
.
Экстремумы функций двух и трёх переменных
Поздравляю всех читателей сайта с большим событием – после кропотливой и технически сложной разработки темы функций нескольких переменных, наконец-то появилась на свет эта долгожданная статья! Сегодня на уроке мы научимся находить максимумы и минимумы функций двух и трёх переменных, а также обобщим алгоритм решения данной задачи на случай бОльшего количества аргументов. С понятиями точек экстремума и экстремумов вы уже знакомы из статьи об экстремумах функции одной переменной, и для «старших сестёр» эти понятия имеют родственный смысл. Освежим в памяти элементарную терминологию:
– точки экстремума – это общее название точек минимума и максимума;
– экстремумы – это общее название минимумов и максимумов.
Начнём с функции двух переменных , применительно к которой точки экстремума – это точки плоскости , а экстремумы – соответствующие значения функции («высоты»). Также экстремумами иногда называют точки самой поверхности.
Да, и сразу важное напутствие для «чайников», нормальных студентов =) и сомневающихся – рассматриваемый материал сам по себе прост, но требует базовых знаний и навыков в нескольких разделах высшей математики. Поэтому если у вас возникнет (или уже возникло) какое-либо недопонимание по ходу изложения, то проставленные ссылки в помощь.
Итак, «действующие лица» следующие: функция , внутренняя точка её области определения и -окрестность данной точки. Для удобства считаем, что окрестность представляет собой круг радиуса с центром в точке (в учебной литературе чаще встречается окрестность-квадрат).
Определение: если в некоторой -окрестности точки выполнено неравенство , то говорят, что функция имеет минимум в точке .
При этом точка называется точкой минимума, а соответствующее значение функции («высота») – минимумом. Ещё раз призываю не путаться в терминах!
Простейший пример минимума – это вершина эллиптического параболоида, чаша которого направлена вверх:
Давайте ещё раз внимательно перечитаем определение и вдумаемся в его суть. Сформулированное определение говорит нам о том, что функция достигает минимума в точке , если существует хоть какая-то -окрестность этой точки, в которой значение высоты меньше ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ значений .
Следует отметить, что в нашем примере под определение подходит вообще любая -окрестность, т.к. поверхность уходит вверх на бесконечность и никаких точек ниже – нет в принципе. Такой минимум называют глобальным.
А теперь мысленно разверните чашу параболоида вниз – чтобы красная точка стала «вершиной горы».
Определение: если в некоторой -окрестности точки выполнено неравенство , то говорят, что функция имеет максимум в точке .
Соответственно, точка называется точкой максимума, а значение – максимумом функции.
В случае с нашим параболоидом максимум, естественно, тоже глобальный, но на практике гораздо чаще встречаются локальные экстремумы. Так, например, функция на нижеследующем чертеже достигает локального максимума (слева вверху) и локального минимума (справа внизу):
Наверное, всем понятно, в чём различие, но всё-таки закомментирую: почему, например, такой максимум называют локальным? Потому что функция на своей области определения достигает и бОльших значений – по правую руку поверхность уходит «за облака», где о красной точке разве что легенды слагают. Таким образом, о «вершине горы» речь идёт лишь на локальном участке области определения. «Гора», кстати, «горЕ» рознь – бывают поверхности, у которых минимумы и максимумы если и различимы на глаз, то выглядят, как пупырышки =) Важно, чтобы существовала пусть даже очень малая -окрестность точки , где выполнено условие минимума или максимума (см. определения).
Из вышесказанного следует ещё одна важная вещь, которая опять же касается понятий. Пожалуйста, РАЗЛИЧАЙТЕ и будьте аккуратны в выражениях:
максимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимальное значение функции;
минимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что минимальное значение функции.
Да, в примере с эллиптическим параболоидом соответствующие понятия совпадают, но вот у только что рассмотренной поверхности «красный» максимум – это отнюдь не наибольшее, а «оранжевый» минимум – отнюдь не наименьшее значение функции. Задачу нахождения минимального и максимального значений функции мы рассмотрим в самом ближайшем будущем, а пока что вернёмся к теме сегодняшнего урока:
Как исследовать функцию на экстремум?
Прежде всего, нужно ориентироваться на необходимое условие экстремума:
если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то обе частные производные 1-го порядка в данной точке равны нулю:
Точку, удовлетворяющую этим условиям, называют критической, а чаще – стационарной точкой.
! Примечание: условие необходимо именно для дифференцируемой в точке функции. Как мы увидим в Примере 6, экстремум может существовать и при других обстоятельствах.
Обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Иными словами, если известно, что в некоторой точке частные производные равны нулю, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что там есть экстремум. Его там может и не быть.
Так, например, у функции , которая как раз задаёт эллиптический параболоид, частные производные обращаются в ноль в точке – и в данной точке действительно существует минимум функции («дно чаши»).
Но у функции с производными , равными нулю в этой же точке, не наблюдается ничего подобного. Это гиперболический параболоид или «седло»:
Для точки не существует -окрестности, в которой поверхность располагалась бы только вверху или только внизу . Грубо говоря, в любой -окрестности точки куски поверхности есть и сверху, и снизу.
Точку такого рода так и называют – седловой, а иногда, по известной географической ассоциации – точкой перевала.
Читатели, знакомые с материалами статьи Производная по направлению и градиент, наверное, уже поняли геометрический смысл выкладок: из условий
следует равенство нулю производной и по всем направлениям: . То есть, если мы сделаем бесконечно малый «шажок» из точки в любую сторону, то наша высота останется неизменной. И этот факт справедлив, как для точек экстремума, так и для точки перевала.
Итак, условия необходимы для существования экстремума дифференцируемой там функции, но на основании только этой информации мы ещё не можем сделать вывода о характере точки . С достаточным условием экстремума познакомимся прямо по ходу практической задачи, а то что-то мы засиделись в теории:
Исследовать на экстремум функцию
Решение: на первом шаге нужно отыскать стационарные точки. Для этого найдём частные производные 1-го порядка:
и решим систему:
В данном случае получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить несколькими способами. Но мудрить здесь не надо – как проще, так и решаем. Из 2-го уравнения выразим и подставим в 1-е уравнение:
– стационарная точка. Тут, главное, не перепутать координаты.
Выполним промежуточную проверку:
Отлично. А точнее, хорошо, поскольку пройдено всего лишь пол пути. В найденной точке может быть минимум, максимум либо перевал, и выяснить, что же там на самом деле, нам поможет
достаточное условие экстремума функции двух переменных,
для применения которого нужно вычислить частные производные 2-го порядка в точке Для компактности обычно используют следующие обозначения:
Если , то функция имеет экстремум в точке , причём, если , то это минимум, а если – то максимум.
Примечание: здесь также можно ориентироваться и на букву «цэ», т.к. неравенство выполняется только в том случае, если и – одного знака.
Если , то в точке нет экстремума.
Если же , то требуется дополнительное исследование, о котором загадочно умалчивают практически все источники. Впрочем, беспокоиться особо не нужно – встретите вряд ли.
В нашем примере все частные производные 2-го порядка равны константам:
а значит, соответствующим константам они равны и в частности в точке :
Таким образом: , следовательно, в точке есть экстремум, и так как , то это – минимум. Осталось его найти. Перепишем функцию , чтобы она была перед глазами, и ОЧЕНЬ внимательно проведём вычисления:
Надо сказать, момент весьма неприятный, поскольку здесь существует ненулевая вероятность запороть всё задание. Правда, в данном случае вычисления здОрово облегчил нулевой «икс».
Ответ:
Признаюсь честно, привык я рисовать значки , что не есть хорошо, т.к. они обычно используются для обозначения минимального и максимального значений функции. От чего вас и предостерегаю.
И справка для любознательных: поверхность представляет собой не что иное, как «подзашифорованный» эллиптический параболоид – весьма похожий на тот, который мы видели на 1-й картинке урока.
Пара разминочных примеров для самостоятельного решения:
Исследовать на экстремум функцию двух переменных
Исследовать на экстремум функцию двух переменных
Решение 3-го примера осложняется тем, что получается система нелинейных уравнений. Подумайте, что и откуда выгоднее выразить. Примерный образец чистового оформления задач в конце урока.
Когда я подбирал материалы к этой статье, то обнаружил у себя целую тьму подобных примеров (даже сам удивился) и поэтому рекомендую со всей ответственностью отнестись к предлагаемым заданиям.
Нередко приходится разбираться с двумя или даже бОльшим количествам стационарных точек. Типовая задача с экспонентой:
Исследовать функцию на экстремум
Решение: чтобы определить стационарные точки, найдем частные производные 1-го порядка и приравняем их к нулю. Техническая сложность дифференцирования состоит в применении правила , после чего, руководствуясь здравой логикой, нужно «загонять» слагаемые в одну скобку и по необходимости «наводить там порядок»:
На всякий пожарный проверим, что (тем более, находить всё равно придётся):
Поскольку экспоненты не могут равняться нулю, то их можно с чистой совестью убрать:
В подобных системах нужно проявить смекалку: где-то удаётся удачно выразить одну переменную через другую, где-то можно выделить полный квадрат, ну а у нас решение лежит на поверхности:
Теперь подставляем соотношение в любое, например, во 2-е уравнение системы:
В результате получены 2 стационарные точки:
Не упущу возможности позанудствовать и напомнить о проверке – координаты найденных точек должны удовлетворять каждому уравнению системы.
Достаточное условие экстремума, как вы понимаете, нужно проверить для каждой точки отдельно. И в том, и в другом случае нам потребуются частные производные 2-го порядка:
Смешанная производная уже найдена:
И, наконец, «двойная игрековая»:
. Это ещё не самый страх – пример я подобрал довольно гуманный =)
На очереди кропотливые вычисления:
1) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки :
, значит, в точке нет экстремума.
2) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки :
, значит, в точке существует экстремум, и поскольку , то это – максимум. Вспоминаем про функцию и НЕ ОШИБАЕМСЯ:
Ответ:
О точке перевала в ответе не упоминаем. Зачем? Нас же просили провести исследование на экстремум.
От следующего задания тоже трудно отказаться – почти баян:
Исследовать функцию на экстремум
Краткое решение и ответ в конце урока
Время от времени посетители сайта просят меня включать в уроки задания и посложнее… ну что же, нашёлся тут интересный экземпляр: . Здесь придётся разрулить не самую простую систему и проверить на экстремум несколько стационарных точек. Чтобы не убивать интригу, в конце урока не будет ни решения, ни ответа =)
И специально для всех читателей mathprofi.ru, можно сказать, эксклюзивная задача:
Исследовать функцию на экстремум
Решение начинается как обычно:
Но вот следующий шаг, казалось бы, сразу приводит к ответу об отсутствии экстремумов:
Система не имеет решений, поскольку единственная «подозрительная» точка обращает знаменатели в ноль, то есть функция – не дифференцируема в данной точке. Но неужели всё так просто? И действительно – ведь САМА-ТО функция там определена:
И более того, поверхность непрерывна в точке (да и вообще в любой точке плоскости ). Так почему же тут не может существовать минимум или максимум?
Сомнения не напрасны! По аналогии с похожим «плоским» случаем (см. Пример 8 урока Возрастание, убывание и экстремумы функции) такая точка тоже считается стационарной и в ней тоже может быть экстремум!
Но здесь возникает второй камень преткновения. В знаменателях частных производных 2-го порядка (проверьте самостоятельно) находятся корни , что делает невозможным вычисление значений .
Как быть? В трудной ситуации всегда есть смысл проанализировать самое простое решение. А самое элементарное в экстремумах – это непосредственно их определения!
Рассмотрим достаточно малую -окрестность точки . Любую точку данной окрестности, отличную от , можно представить в виде , где значения не равны нулю одновременно и достаточно малы для того чтобы точка входила в эту окрестность.
Примечание: оба числа могут быть положительны , отрицательны , разных знаков: либо ; и, кроме того, одно из них может равняться нулю (ещё 4 случая). Таким образом, обозначение действительно пригодно.
Вычислим значение функции в этой произвольной точке окрестности:
Так как не равны нулю одновременно, то корень будет хоть чуть-чуть, но больше нуля, а значит, . И вспоминая, что , записываем очевидный факт: . Грубо говоря, в рассматриваемой окрестности значение «самое низкое».
Вывод: для точки нашлась -окрестность, в которой выполнено неравенство , таким образом, – минимум по определению.
Нетрудно понять, что минимум глобальный. Геометрически поверхность представляет собой своеобразное пространственное остриё, а точнее – «шип».
Ответ:
Представленное решение полностью корректно и полноценно! Более того, данный способ можно попытаться применить и в ситуации, когда достаточное условие экстремума не даёт ответа . Однако дело осложняется тем, что неравенство либо нужно обосновать для каждого из восьми случаев (см. Примечание), что реально осуществимо далеко не всегда. Зависит от функции.
И заключительный, не менее интересный параграф:
Экстремумы функции трёх переменных
Плюс одно измерение. Рассмотрим функцию трёх переменных , внутреннюю точку её области определения и -окрестность данной точки, которая представляет собой шар с центром в точке радиуса .
Определение: если в некоторой -окрестности точки выполнено неравенство ( – точка -шара, отличная от ), то функция имеет минимум в точке ; если же – то максимум.
Вполне, кстати, понятное и не такое уж абстрактное определение.
Всё очень похоже. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то обязательно выполняются условия . Но с другой стороны, если в какой-либо точке производные 1-го порядка равны нулю, то это ещё не значит, что там есть экстремум.
Алгоритм решения сохраняется прежним:
Найти экстремумы функции
Решение: переключаем передачу на частные производные функции трёх переменных:
Чтобы найти стационарные точки, составим и решим следующую систему:
Аккуратно расположим переменные в обычном порядке и, кроме того, разделим последнее уравнение на 2:
Систему можно решить методом Гаусса, но зачем такие сложности? Из 3-го уравнения выразим и подставим его в первые два уравнения:
Из 1-го уравнения выразим и подставим во 2-е уравнение:
Таким образом, – стационарная точка. Здесь, напоминаю, не помешает подставить найденное решение в каждое уравнение исходной системы и убедиться в выполнении условий .
Проверка достаточного условия экстремума осуществляется несколько по-другому. Сначала нужно найти все частные производные 2-го порядка, вычислить их в точке и составить так называемую матрицу Гессе:
Да не пугайтесь вы так =) Данная матрица является симметричной (или симметрической). Это значит, что её элементы симметричны относительно главной диагонали, на которой в данном случае расположены «однобуквенные» частные производные . Уловили закономерность?
Далее нужно вычислить угловые миноры. Это определители, которые «разрастаются» из левого верхнего угла:
1) Если , то функция достигает минимума в точке .
2) Если (так и только так!), то функция достигает максимума в точке .
3) Если получилось что-то другое и при этом , то – седловая точка. Здесь это уже во многом условное название.
4) Если , то признак не даёт ответа о характере точки .
Внимательные читатели заметили, что эту схему в варианте «два на два» мы использовали и в предыдущем параграфе – только оформление «детское» было. Но не будем отвлекаться.
В нашем примере все производные 2-го порядка равны константам:
а значит, они равны константам и в точке . Составим матрицу Гессе:
и вычислим её угловые миноры:
Вывод: функция достигает максимума в точке .
Для удобства вычислений скопирую функцию:
Ответ:
Аналогичное задание для закрепления материала:
Исследовать функцию на экстремум
Краткое решение и ответ рядом.
Рассмотренный алгоритм исследования распространяется и на функции бОльшего количества переменных. Я бы мог расписать его в общем виде, но заметная часть аудитории просто на дух не переносит общие формулы с нагромождением цифр и индексов. Поэтому разберём ещё случай функции 4 переменных, а дальше – будет понятно.
Чтобы исследовать на экстремум дифференцируемую функцию четырёх аргументов, нужно найти частные производные 1-го порядка и решить систему:
Предположим, что в результате решения найдена стационарная точка . Далее нужно найти частные производные 2-го порядка, вычислить их в точке и составить матрицу Гессе:
после чего вычислить её угловые миноры .
Если все миноры положительны, то в точке – минимум, если знакочередуются в следующем порядке: (и именно в таком!), то в точке – максимум. Если имеет место другой случай, но , то – седловая точка; если же , то признак не даёт ответа о характере точки .
Ну и для совсем продвинутых читателей сообщу, что это есть не что иное, как проверка квадратичной формы полного дифференциала 2-го порядка на знакоопределённость методом Сильвестра (для функций 2, 3, 4 и бОльшего количества переменных).
Удачных вам исследований!
На следующих уроках мы познакомимся с условными экстремумами, задачей нахождения минимального и максимального значений функции, а также известнейшим приложением темы – Методом наименьших квадратов.
Как наберётесь сил – приходите ещё! =)
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: найдём стационарные точки:
– стационарная точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
, в частности:
, значит, в точке нет экстремума.
Ответ: экстремумы отсутствуют
Пример 3: Решение: найдём стационарные точки:
Из 1-го уравнения выразим: – подставим во 2-е уравнение:
– стационарная точка.
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
Таким образом:
, значит, в точке существует экстремум, так как , то это – максимум:
Ответ:
Пример 5: Решение: найдем частные производные 1-го порядка:
Составим и решим систему:
Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е уравнение:
В результате получены 2 стационарные точки:
Проверим выполнение достаточного условия экстремума:
1) Для точки :
, значит, в точке нет экстремума.
2) Для точки :
, значит, в точке существует экстремум, и поскольку , то это минимум:
Ответ:
Пример 8: Решение: найдём стационарные точки:
Составим и решим систему:
Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 3-е уравнения:
Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е уравнение:
Таким образом:
– стационарная точка.
Найдём частные производные 2-го порядка:
Частные производные равны константами, а значит, они равны соответствующим константам и в точке . Составим матрицу Гессе:
и вычислим её угловые миноры:
Ответ: экстремумы отсутствуют
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!