Как рисовать фазовый портрет

Фазовые портреты «на пальцах» или что можно узнать о решениях диффура, не решая его

Очень часто в ряде наук встречается ситуация, когда модель рассматриваемого процесса сводится к дифференциальному уравнению. Причём, в большинстве реальных задач это уравнение довольно сложно решить, или совсем невозможно. И вот тут в полный голос звучит извечный вопрос: как быть?

Встречайте: фазовые портреты (они же фазовые диаграммы). Простым языком, фазовый портрет — это то, как величины, описывающие состояние системы (a.k.a. динамические переменные), зависят друг от друга. В случае механического движения это координата и скорость, в электричестве это заряд и ток, в известной популяционной задаче это количество хищников и жертв и т.д.

Чем хороши фазовые портреты? А тем, что их можно построить не решая динамические уравнения системы. В некоторых случаях построение фазового портрета становится совсем простой задачей. Однако, одновременно с этим, фазовые портреты дают вдумчивому наблюдателю очень много информации о поведении системы.

Начнём с простого примера — малых колебаний (так же называемых гармоническими). Малые колебания встречаются почти в каждой сфере естественных наук. Для определённости, будем рассматривать колебания металлического стержня, подвешенного за один из концов (частный случай так называемого физического маятника). Можно показать, что его колебания описываются следующим дифференциальным уравнением:

Где x — угол отклонения стержня от вертикали, точка над x означает производную по времени, а коэффициент перед синусом зависит от размера и массы стержня.

Если амплитуда (размах) колебаний достаточно мала, синус можно приближенно заменить его аргументом (вы ведь помните первый замечательный предел, нет?). В таком случае, уравнение принимает следующий вид:

Это уравнение легко решается регулярными методами, но, давайте, попробуем применить к нему метод фазовых портретов. Для этого, домножим уравнение на производную и проинтегрируем его один раз по времени:

Получилось выражение, первый член которого выглядит как кинетическая энергия. Это не случайно — на самом деле мы получили именно закон сохранения энергии. Постоянная Е в правой части (полная энергия системы на единицу массы) может принимать различные значения, которые соответствуют разным начальным состояниям системы.

Полученный нами закон сохранения превратился в уравнение кривой на плоскости (x,u):

Для разных значений Е мы получим разные кривые. Нарисуем несколько таких линий для разных значений энергии:

По горизонтальной оси отложена величина x, по вертикальной — u

Каждая из полученных линий называется фазовой траекторией. Когда меняется состояние системы, изображающая её точка движется по одной из этих траекторий, стрелки указывают направление движения изображающей точки.

По графику видно, что значения скорости и координаты меняются циклическим образом, то есть периодически повторяются. Отсюда можно сделать вывод, что описываемая рассмотренным уравнением система будет совершать колебания. Бинго! Именно так ведёт себя маятник, и если решить уравнение, решение будет иметь вид периодических функций (а именно — комбинации синуса и косинуса).

Следует однако помнить, что замена синуса его аргументом оправдана лишь для малых углов отклонения (от 10 градусов и меньше), поэтому мы не можем доверять тем траекториям, которые выходят за границы области, ограниченной жирными пунктирными линиями, то есть из четырех приведенных траекторий лишь оранжевая достоверно отображает реальность. Кроме того, поскольку x это угол, то его значения, соответствующие 180 и -180 градусам описывают одно и то же положение стержня, то есть правая и левая пунктирные линии (тонкие) на графике это на самом деле одна и та же линия.

Теперь, поскольку нам понятна суть, можно перейти к чему-то посложнее. Выше мы очень сильно упростили уравнение и при этом ограничили себя только малыми колебаниями. Математик бы сказал, что мы линеаризовали уравнение и пренебрегли нелинейными эффектами. Так давайте включим в рассмотрение нелинейность. Вернёмся к самому первому уравнению — с синусом. Если мы повторим с ним то, что проделали с линейным уравнением, мы получим следующий закон сохранения:

В зависимости от значения энергии, мы опять получаем разные кривые, которые приведены на следующем рисунке, причем выбраны те же значения энергии, что и на первой диаграмме, и те же цвета для линий.

По горизонтальной оси отложена величина x, по вертикальной — u

Как видите, процессы происходящее в системе стали более разнообразными:

При малых энергиях (оранжевая и синяя траектории) существует колебательный режим, но колебания уже не являются гармоническими — фазовые траектории уже не имеют форму эллипсов.

При больших энергиях (зеленая траектория) колебаний уже нет, вместо этого мы получаем вращательное движение с переменной скоростью. И действительно, если достаточно сильно «толкнуть» стержень, он будет вращаться, замедляясь при подъёме и ускоряясь при спуске.

При определенном промежуточном значении энергии получается особый набор траекторий, которые отделяют друг от друга области соответствующие разным типам движения и поэтому называются сепаратрисами. И да, значение энергии для красной кривой было выбрано мной именно так, чтобы в нелинейном случае получилась сепаратриса. Каждая ветвь сепаратрисы это траектория, соответствующая особому типу движения. Посмотрим на диаграмму: движение начинается с очень маленькой скоростью от одного крайнего положения стержня, при приближении к положению равновесия скорость растёт, а после изображающая точка все более замедляясь уходит к крайнему положению, где и останавливается. Это соответствует тому, что мы поднимаем стержень вертикально вверх и отпускаем его, проносясь через положение равновесия он поднимается к верхней точке с другой стороны и останавливается.

А теперь давайте посмотрим насколько близки к истине наши выводы, сделанные на основе фазовых портретов. Перед вами график решения линейного уравнения:

По горизонтальной оси отложено время, по вертикальной — x

По горизонтальной оси отложено время, по вертикальной — x

Цветовая маркировка на этих графиках такая же, как и на фазовых портретах. Судить о том, насколько верные выводы были сделаны на основе фазовых портретов я предоставлю вам, дорогие читатели. Обращу ваше внимание только на один момент — колебания в линейном случае происходят синхронно — с одной и той же частотой. В нелинейном же случае, частота колебания с большей амплитудой (синяя линия) оказывается меньше, чем у колебания с малой амплитудой (оранжевая линия). Это служит еще одним подтверждением того, что нелинейные колебания не являются гармоническими.

Ну и напоследок: это всего лишь поверхностный экскурс в метод фазовых портретов, и словосочетание «на пальцах» попало в заголовок неспроста. Те же, кто решит углубиться в перипетии данного предмета, увидят, что за фазовыми портретами скрывается намного большее.

2.2. Методы построения фазовых портретов

При построении фазовых портретов используют методы решения уравнений по участкам, изоклин, Льенара, d -метод.

Метод решения уравнений по участкам. Поясним этот метод на примере.

Пусть НСАУ имеет структуру, приведенную на рис. 2.11.

v = 0

Построение фазового портрета в 2D и 3D в Xcos

В представленных ранее примерах, мы рассмотрели вывод графической составляющей моделируемых систем двумя способами: с помощью осциллографов CMSCOPE и CSCOPE и путём задания контекста. Однако в обоих случаях графики строились в системах координат, где на горизонтальной оси откладывались временные отсчеты, а по вертикальной – значения функции в указанные моменты времени. И, хотя вопрос разложения дифференциальных уравнений на фазовые переменные был затронут в статье, не освещенным остался вопрос построения фазового портрета. Этой, столь полезной для анализа поведения решений моделируемых систем дифференциальных уравнений, процедуре и будет посвящён данный материал.

Мы рассмотрим два подхода к построению фазовых траекторий динамической системы на примере аттрактора Рёсслера. Данная система дифференциальных уравнений выбрана не случайно. Дело в том, что при моделировании системы Рёсслера, именно фазовый портрет представляет интерес, построение же интегральных кривых, как функций времени, не даёт полной картины происходящих в системе процессов.

Аттрактор Рёсслера — это хаотический аттрактор, которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера вида:

При значениях параметров \( a=b=0.2 \) и \( 2.6 \leq c \leq 4.2 \) уравнения Рёсслера обладают устойчивым предельным циклом. При этих значениях параметров период и форма предельного цикла совершают последовательность удвоения периода.

Сразу же за точкой \( c=4.2 \) возникает явление хаотического аттрактора. Чётко определённые линии предельных циклов расплываются и заполняют фазовое пространство бесконечным счетным множеством траекторий, обладающим свойствами фрактала. Именно случай бесконечных самоповторяющихся траекторий мы и замоделируем.

Построим блок-схему системы (1), задав параметры в контексте со значениями \( a=b=0.1, с=14 \).

Для построения трёх уравнений системы (1) нам понадобятся блоки INTEGRAL_m, BIGSOM_f, PRODUCT, CONST и GAINBLK.

Двумерный фазовый портрет в Xcos

В рамках первого подхода к построению фазового портрета, воспользуемся
блоком , который располагается на палитре «Регистрирующие устройства» и осуществляет построение графика зависимости \( y(x) \), где \( x \) отвечает за значения по оси абсцисс, а значения \( y(x) \)откладываются на оси ординат.

Приступим к построению блочной диаграммы Xcos.

1. Для начала, добавьте на рабочую область 3 блока интегратора INTEGRAL_m с нулевыми начальными значениями, 4 блока BIGSOM_f, блок умножения переменных PRODUCT и блоки для задания коэффициентов CONST и GAINBLK.

Расположите указанные блоки в порядке использования в уравнениях. В результате должна получиться заготовка, приближенная к изображённой на рис. 57.

Рисунок 57. Заготовка для создания блок-схемы системы (1)

2. На построении соединительных линий между блоками Xcos для первых двух уравнений системы Рёсслера не будем подобно останавливаться, так как оно представляется легко осуществимым на основе приобретённого читателем опыта. Результат установления связей для переменных \( y, x \) отображен на рис. 58.

Рисунок 58. Первые два уравнения системы (1)

3. Сбор блок-схемы третьего уравнения системы Рёсслера нужно начать со второго слагаемого, то есть осуществить произведение переменной \( z \) и скобки \( (x-c)\), см. рис. 59.

Рисунок 59. Блок схема части третьего уравнения системы (1)

4. Осталось только подвести нужные соединительные линии на регулярные входы последнего сумматора и направить его выход на соответствующий интегратор, \( z \).

Результатом данных манипуляций будет схема, блок-изображённая на рис. 60.

Рисунок 60. Блок-схема системы Рёсслера трёх диф. уравнений

5. Далее, необходимо добавить блоки для осуществления моделирования CLOCK_c, END, проведя соединительные линии и настроив внутренние параметры блоков для моделирования на протяжении 300сек.

Для вывода фазовых траекторий, добавьте блок CSCOPXY, на регулярные входы которого направьте интересующие нас переменные \( y, x \) для вывода графика \( y(x) \), а на управляющий вход – соединительную линию от индикатора отсчетов CLOCK_c.

Обратите внимание, что названия входов блока CSCOPXY иллюстрируют построение функции \( y(x) \).

В результате блок-схема, реализующая построение траекторий аттрактора Рёсслера на фазовой плоскости примет вид, такой, как показано на рис. 61.

Рисунок 61. Блок-схема моделирования системы Рёсслера

Запустите моделирование на протяжении 300сек., настройте внутренние параметры блока CSCOPXY так, чтобы странный аттрактор хорошо вписывался бы в координатную сетку, как показано на рис. 62.

Рисунок 62. Аттрактор Рёсслера на фазовой плоскости

Итак, результатом моделирования бифуркаций аттрактора Рёсслера будет фазовая траектория \( y(x) \), иллюстрирующая сценарий перехода к хаосу через каскады бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума, субгармонические каскады и гомоклинический каскад бифуркаций.

Построение трёхмерного графика в Xcos

Для большей наглядности результата моделирования, заменим блок CSCOPXY блоком CSCOPXY3D.

Функциональный блок располагается на палитре «Регистрирующие устройства» и служит он для отображения трёхмерной системы координат, что становится понятно из его названия.

Изменённая часть блок-схемы и результат моделирования аттрактора Рёсслера представлены на рис. 63а,б.

Рисунок 63a.Моделирование 3D системы Рёсслера — добавление блока CSCOPXY3D в блок-схему

Рисунок 63б.Результат использования Xcos блока генерации трёхмерной сетки координат

Построение 3D графика с помощью контекста в Xcos

Рассмотрим ещё один способ построения фазового портрета систем дифференциальных уравнений, теперь уже с использованием контекста и блоков буферизации данных TOWS_c.

Добавьте 3 блока буферизации TOWS_c – по одному для каждой переменной моделируемой системы.

Во внутренних параметров каждого из блоков TOWS_c укажите число запоминаемых точек = 10000 и задайте ассоциируем имена переменных x_var, y_var, z_var в соответствии с сигналами, подающимися на регулярные входы TOWS_c (см. рис. 64).

Рисунок 64. Блоки буферизации, включенные блок-схему системы (1)

Теперь значения переменных \( x,y,z \) для всех временных отсчетов записываются в одноимённые переменные x_var, y_var, z_var. Эти переменные можно использовать в контексте для построения графиков посредством стандартных Scilab – функций, например plot() и param3d().

Для того, чтобы отобразить две системы координат в одном графическом окне, добавьте в контекст следующие строки:

После запуска моделирования, появится одно графическое окно: на первой координатной сетке будут зависимости \( x(t), y(t), z(t) \), а на второй – трёхмерный график аттрактора Рёсслера. как на рис. 65.

Рисунок 65. Результат использования блоков буферизации и контекста для вывода графиков системы Рёсслера (1)

Как рисовать фазовый портрет

С векторным изображением тесно связано представление колебаний в так называемой фазовой плоскости. Однако изображение в фазовой плоскости более наглядно и особенно хорошо представляет негармонические колебания. Фазовый портрет колебания получается следующим образом: скорость движения откладывается по оси ординат, а отклонение х — по оси абсцисс фазовой плоскости. Каждому движению в момент времени t соответствует изображающая точка на указанной плоскости с координатами однозначно определяемая мгновенными значениями отклонения х и скорости Изображающая точка с течением времени перемещается, описывая фазовую траекторию (рис. 11). В этом представлении время играет роль параметра: уравнение фазовой траектории задано зависимостью между координатой и скоростью

Рис. 11. Фазовая траектория, т. е. траектория движения в скости х, V.

Недостатком фазового портрета является невозможность непосредственного представления процесса во времени, но этот недостаток компенсируется большим преимуществом: здесь из чисто геометрического представления фазовой траектории или семейства фазовых траекторий можно сделать важные заключения о свойствах колебаний

Рассмотрим прежде всего простой пример: определим фазовую траекторию гармонического колебания, для которого

Возведение в квадрат и порледующее сложение позволяют исключить время, так что зависимость между х и v принимает вид

На фазовой плоскости такое уравнение описывает эллипс с полуосями А и (рис. 12). В случае этот эллипс превращается в окружность. Однако окружность можно получить и для любой частоты , изменив масштаб по оси ординат и откладывая по ней не .

Для изображенного на рис. 3, а колебания треугольной формы скорость v кусочно постоянна: ее направление скачкообразно меняется на противоположное в каждой поворотной точке движения. Как легко видеть, в этом случае фазовая траектория представляет собой прямоугольник (рис. 13). Такая же фазовая траектория, но при другой зависимости от времени t, получается для трапецеидального колебания (рис. 3, в).

Рис. 12. Фазовая траектория гармонического колебания.

Рис. 13. Фазовая траектория треугольного колебания.

Фазовая траектория пилообразного колебания тоже будет прямоугольником, только нижняя сторона прямоугольника сдвинута в сторону большего отрицательного значения и. Наконец, в случае фазовой траектории прямоугольного колебания оба горизонтальных участка траектории скользят в бесконечность соответственно вверх и вниз, так что остаются только две прямые, параллельные оси ординат и пересекающие ось абсцисс в точках +А и —А.

Процесс изменения во времени, который не представляется в явном виде уравнением фазовой траектории, можно определить интегрированием. Если уравнение траектории задано в виде , то, разделяя переменные, получаем

и, интегрируя, находим

Таким образом, для гармонического колебания с фазовой траекторией (1.19) в силу зависимости

Рассмотрим теперь некоторые общие свойства фазовых траекторий. Непосредственно видно, что каждая фазовая траектория в верхней полуплоскости может проходить только слева направо, а в нижней полуплоскости — только справа налево. В верхней полуплоскости всегда и, следовательно, величина х может только возрастать; в нижней полуплоскости, наоборот, и величина х может только убывать. Таким образом, направление движения изображающей точки по фазовой траектории определяется однозначно; на рис. 11—13 оно показано стрелками.

В точках пересечения с осью абсцисс все фазовые траектории имеют вертикальные касательные. Это следует из того, что точка пересечения с осью абсцисс характеризуется значением скорости, равным нулю. Однако когда скорость величина х имеет стационарное значение и, следовательно, касательная к фазовой траектории в точке пересечения с осью абсцисс должна быть вертикальной. Одновременно точки пересечения с осью абсцисс определяют экстремальные значения х, т. е. амплитуду колебания. Отсюда следует, что ни в одной точке верхней или нижней полуплоскости фазовая траектория не может иметь вертикальную касательную, ибо в каждой точке, где касательная вертикальна, будь то экстремальное значение или точка перегиба, скорость должна быть равной нулю. Возможны исключения, когда определенные вырожденные фазовые траектории пересекают абсциссу не вертикально, но тогда точка пересечения всегда является так называемой особой точкой. Подробнее об этом будет сказано ниже.

Отдельная фазовая траектория представляет некоторое вполне определенное движение. Если требуется общее представление о всех возможных движениях колебательной системы (осциллятора), то изображается семейство фазовых траекторий. Такое семейство траекторий называется фазовым портретом осциллятора. Подобно тому как портрет человека позволяет составить известное представление о нем, фазовый портрет показывает специалисту важные свойства осциллятора.

В качестве простого примера рассмотрим массу, подвешенную на пружине. После толчка масса совершает колебательное движение с некоторой амплитудой А, а соответствующая фазовая траектория является эллипсом или хотя бы подобна эллипсу. При других начальных условиях колебания происходят с другой амплитудой, но носят тот же характер, так что фазовый портрет осциллятора, состоящего из массы и пружины, представляется семейством концентрических эллипсов (рис. 14). В фазовый портрет целесообразно

включить и положение равновесия осциллятора, т. е. точку Из геометрических соображений следует, что это единственная особая точка фазовой плоскости.

Положение равновесия осциллятора всегда представляется особой точкой фазовой плоскости. Легко видеть, что такая точка может лежать только на оси х, так как в противном случае состояние покоя невозможно.

Рис. 14. Фазовый портрет гармонического осциллятора.

Рис. 15. Фазовая траектория демпфированного колебания.

Рис. 16. Фазовый портрет осциллятора с сильным демпфированием.

По виду фазовых траекторий, окружающих особые точки, различают следующие типы этих точек: центр, фокус, узел и седло. Эти понятия, заимствованные из теории дифференциальных уравнений оказались очень полезными для описания поведения колебательной системы.

На рис. 14 показана особая точка типа центра. Она характерна для незатухающих колебаний около положения равновесия. При наличии демпфирования каждый эллипс переходит в спираль (рис. 15), а особая точка в начале координат становится фокусом.

Если демпфирование слабое, то спираль состоит из большого числа близко расположенных витков. Чем сильнее демпфирование, тем дальше витки отстоят друг от друга. При очень сильном демпфировании фазовый портрет меняется и качественно, принимая вид, показанный на рис. 16. Здесь начало координат является узлом. В особой точке все фазовые траектории касаются проходящей через нее наклонной прямой и вдоль этой прямой стягиваются в особую точку.

Особая точка достигается лишь по истечении бесконечно большого времени. Это легко установить, исследуя процесс движения

во времени при помощи интеграла (1.20). В непосредственной окрестности особой точки любую фазовую траекторию можно приближенно представить прямой Подстановка этого уравнения в (1.20) дает

Таким образом, особая точка может быть достигнута лишь асимптотически и касательные к фазовым траекториям, пересекающим ось абсцисс в особой точке, не вертикальны.

Рис. 17. Фазовый портрет с особой точкой типа седла.

На рис. 17 представлен фазовый портрет системы с особой точкой типа седла. Он характеризуется тем, что через особую точку проходят две вырожденные фазовые траектории (сепаратрисы), а остальные траектории похожи на гиперболы. Ниже мы увидим, что особая точка такого типа соответствует неустойчивому положению равновесия осциллятора.

Приведенные здесь фазовые портреты являются «стандартными блоками», из которых строятся рассматриваемые в дальнейшем фазовые портреты реальных осцилляторов. Следует также заметить, что можно применять модифицированные фазовые плоскости. Так, чтобы получить фазовые траектории более простого вида, иногда целесообразно откладывать по оси ординат вместо скорости v ее подходящую функцию, а по оси абсцисс — подходящую функцию от х соответственно. Успешно применяются и фазовые плоскости, где оси координат не прямоугольные, а косоугольные.