ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. СИЛОВЫЕ ЛИНИИ ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Электрическое поле можно представить в графической форме. Для этого можно измерить или рассчитать напряжённости электрического поля в различных точках и изобразить векторы напряжённости в этих точках. Полученное изображение будет содержать информацию о величине и направлении напряжённости электрического поля в различных точках.
На рисунке показан пример изображения электрического поля точечного положительного заряда (рисунок выполнен без соблюдения масштаба).
Однако такой способ представления полей в графической форме не совсем удобен. Гораздо удобнее изображать электрическое поле с помощью силовых линий.
Силовая линия — это линия, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором напряжённости поля в этой точке.
Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или в бесконечности). Соответственно силовые линии направлены от положительных зарядов к отрицательным.
Силовые линии принято изображать так, чтобы их густота была больше там, где больше напряжённость электростатического ноля.
Таким образом, если известна картина силовых линий электрического поля, то можно судить о величине и направлении напряжённости поля в различных точках.
Важно отметить, что силовые линии не мо-
гут пересекаться. Это видно из следующего.
Направление напряжённости совпадает с направлением касательной к силовой линии.
Если силовая линия псрссскастся в какой-либо точке с другой силовой линией, то касательные к этим линиям имеют разные направления.
Но напряжённость в любой точке имеет одно определённое направление, иметь два разных направления она не может. Поэтому и невозможно пересечение двух силовых линий.
Наряду с силовыми линиями для графического представления электростатических полей используют эквипотенциальные поверхности, т. с. поверхности, вес точки которых имеют одинаковый потенциал.
Пересечение эквипотенциальной поверхности с плоскостью листа даёт эквипотенциальную линию.
При построении картины поля с помощью эквипотенциальных линий важно, чтобы разность потенциалов между соседними эквипотен- циалями была одинакова для всей картины. Лишь в этом случае картина поля будет корректной.
Моделирование силовых линий электрического поля двух точечных зарядов вблизи проводящей плоскости
Всегда было интересно как же рисовать линии напряженности не только на интуитивном уровне — от плюсы к минусу, но и на практике. Как на самом деле они выглядят в каждой точке на нашем условном поле? Сейчас и разберемся по ходу дела рассматривать и более сложные системы точек, используя силу языка python .
Теория
Любой заряд создает вокруг себя поле, которое влияет на другие заряды — электрическое поле.
Также в сумме некоторое количество зарядов создает вокруг себя поле, с различным влиянием в каждой точке. Поэтому для обнаружения и исследования электрического поля нам нужен заряд, который называют пробным. Этот заряд мы берем, чтобы «попробовать», существует ли в той или иной точке пространства электрическое поле: если в какой-то точке на этот заряд действует электрическая сила.
Сила с которой взаимодействуют два заряда описывается законом Кулона.
Пусть у нас есть два неподвижных заряда, тогда силой Кулона называется силы, выражаемой формулой:
где радиус векторы первого и второго заряда, а диэлектрическая постоянная. Формула на самом деле очень похожа на формулу гравитационного взаимодействия. Можно сделать такую же аналогию — сила зависит от величины двух объектов и расстояния между ними, помноженную на какую-то константу.
Обобщение на случай распределенного заряда:
Здесь у нас не просто заряд, а какое-то тело. Не вдаваясь в подробности, мы пользуемся аддитивностью силы () и высчитываем силу от заряда до маленькой части тела . Уменьшив размеры части тела и сложив все такие силы, мы получим интеграл.
С помощью пробного заряда можно оценить “силу влияния” какого-то поля — этой величиной называется напряженность электрического поля.
Напряженность в точке пробного заряда пропорциональна силе и обратно пропорциональна заряду —
Соответственно напряженность поля в точке заряда :
Так же как и сила , напряженность электрического поля аддитивна
также это свойство называется принципом суперпозиции. То есть в рассматриваемой нами статье напряженность точки — точка пространства, можно получить сложив напряженность относительно и плоскости:
Моделирование
Для некоторого упрощения понимания результата работы было принято решение смотреть на плоскость — срез — проходящий через две точки и пересекающий перпендикулярно плоскость.
Для моделирования силовых линий электрического поля был использован язык python . В основе реализации лежит класс ElectricField описывающий электрическое поле с конструктором, принимающий на вход все объекты, имеющие заряд.
А именно две точки Point(number charge, number x, number y)
и прямую Line(number charge, number[] firstPoint, number[] secondPoint) .
Сигнатуру методов указана для упрощения понимания =)
Каждый из этих объектов имеет метод, который вычисляет напряженность в какой-то пробной точке по своей специфичной для своего рода объекта формуле.
Например, для класса Point это .
Что примечательно мы не просто так опускаем коэффициент пропорциональности . Дело в том, что этот скаляр влияет лишь на длину всех векторов в поле, поэтому опустив, его мы не упустим наглядности результата. Весь код вы можете найти в дополнительных материалах.
Соответственно, наши объекты будут обладать начальными условиями: Point зарядом и координатами на плоскости, Line зарядом и двумя точками, на длине которой этот заряд определен.
Инициализируем дополнительно наши размеры, массивы размеров ширины и высоты, а далее пройдемся по выделенными нами точкам.
После чего нам остается кое-что поправить в графике и вывести его функцией pyplot.show()
Примеры
Пусть у нас даны начальные условия двух точек и прямой.
Довольно ожидаемая картина — линии напряженности выходят из положительно заряженных объектов и входят в отрицательно заряженные.
Тогда если изменить заряды на одинаковые:
Отличие лишь в направлении каждого вектора — они поменяли направление из-за знака.
Что если изменить величину зарядов:
Как и ожидалось — более заряженные объекты искривляют электрическое поле больше. Опять же аналогия с гравитационным полем: чем больше масса там больше тело изменяет пространство вокруг себя.
Однако все ли здесь хорошо?
Что происходит? Мне в школе говорили, что одинаково заряженные объекты отталкиваются, а тут получается, что не совсем?
Однако если посмотреть на всю картину, то станет ясно, кто во всем виноват:
Построим более наглядную картину, увеличив отрицательный заряд.
Очень сильно отрицательно заряженная точка искривляет поле так, что влияние этой положительно заряженной линии Line просто подавляется, но если посмотреть более пристально, то можно увидеть, что длина линий напряженности после прохождения Line немного увеличивается.
При огромном желании эти графики построить можно самому. Этот код я частично позаимствовал у tomduck. Кстати, у него еще больше показательных примеров не только 2-D, но и 3-D графиков. Очень рекомендую посмотреть хотя бы описание библиотеки.
Спасибо, что посмотрели этот пост, который был лишь для защиты проектной лабораторной по физике с моделированием.
Linear Quadrupole with Central Cluster
1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
Для большей наглядности электрическое поле часто изображается при помощи силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.
Силовые линии – это непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке, через которую они проходят, совпадают с вектором напряженности электрического поля (рис. 1.5). Густота силовых линий (число силовых линий, проходящих через единицу площади) пропорциональна напряженности электрического поля.
Эквипотенциальные поверхности (эквипотенциали) – поверхности равного потенциала. Это поверхности (линии), при движении по которым потенциал не меняется. Иначе, разность потенциалов между двумя любыми точками эквипотенциали равна нулю. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциалям и направлены в сторону убывания потенциала. Это следует из уравнения (1.10).
Рассмотрим в качестве примера электрическое поле, создаваемое на расстоянии 
от точечного заряда. Согласно (1.11,б) вектор напряженности совпадает с направлением вектора
, если заряд положительный, и противоположен ему, если заряд отрицательный. Следовательно силовые линии расходятся радиально от заряда (рис. 1.6, а, б). Густота силовых линий, как и напряженность, обратно пропорциональна квадрату расстояния (
) до заряда. Эквипотенциали электрического поля точечного заряда представляют собой сферы с центром в месте расположения заряда.
На рис. 1.7 показано электрическое поле системы двух равных по модулю, но противоположных по знаку точечных зарядов. Мы предоставляем разобрать этот пример читателям самостоятельно. Отметим лишь, что силовые линии всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. В случае электрического поля одного точечного заряда (рис. 1.6, а, б) предполагается, что силовые линии обрываются на очень удаленных зарядах противоположного знака. Считается, что Вселенная в целом нейтральна. Поэтому, если имеется заряд одного знака, то где-то обязательно найдется равный ему по модулю заряд другого знака.
1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме
Основной задачей электростатики является задача о нахождении напряженности и потенциала электрического поля в каждой точке пространства. В п. 1.4 мы решили задачу о поле точечного заряда, а также рассмотрели поле системы точечных зарядов. В этом параграфе речь пойдет о теореме, позволяющей рассчитывать электрическое поле более сложных заряженных объектов. Например, заряженной длинной нити (прямой), заряженной плоскости, заряженной сферы и других. Рассчитав напряженность электрического поля в каждой точке пространства, используя уравнения (1.12) и (1.13), можно вычислить потенциал в каждой точке или разность потенциалов между двумя любыми точками, т.е. решить основную задачу электростатики.
Для математического описания введем понятие потока вектора напряженности или потока электрического поля. Потоком (Ф) вектора 
электрического поля через плоскую поверхность площади
называется величина:
, (1.16)
где 
– напряженность электрического поля, которая предполагается постоянной в пределах площадки
;
– угол между направлением вектора
и единичного вектора нормали
к площадке
(рис. 1.8). Формулу (1.16) можно записать, используя понятие скалярного произведения векторов:
. (1.15,а)
В случае, когда поверхность 
не плоская, для вычисления потока ее необходимо разделить на малые части
, которые можно приблизительно считать плоскими, а затем записать выражение (1.16) или (1.16,а) для каждого куска поверхности и сложить их. В пределе, когда поверхностьSi очень мала (
), такую сумму называют поверхностным интегралом и обозначают
. Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля через произвольную поверхность
определяется выражением:
. (1.17)
В качестве примера рассмотрим сферу радиуса 
, центром которой служит положительный точечный заряд 
, и определим поток электрического поля через поверхность этой сферы. Силовые линии (см., например, рис.1.6, а) выходящие из заряда, перпендикулярны поверхности сферы, и в каждой точке сферы модуль напряженности поля один и тот же
.
Площадь сферы 
,
тогда 
.
Величина 
и представляет собой поток электрического поля через поверхность сферы. Таким образом, получаем
. Видно, что поток через поверхность сферы электрического поля не зависит от радиуса сферы, а зависит только от самого заряда
. Поэтому, если провести ряд концентрических сфер, то поток электрического поля через все эти сферы будет одинаковым. Очевидно, что число силовых линий, пересекающих эти сферы, тоже будет одинаковым. Условились число силовых линий, выходящих из заряда, принимать равным потоку электрического поля:
.
Если сферу заменить любой другой замкнутой поверхностью, то поток электрического поля и число силовых линий, пересекающих ее, не изменятся. Кроме того, поток электрического поля через замкнутую поверхность, а значит и число силовых линий, пронизывающих эту поверхность, равняется 
не только для поля точечного заряда, но и для поля, создаваемого любой совокупностью точечных зарядов, в частности – заряженным телом. Тогда величину
следует считать как алгебраическую сумму всей совокупности зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности. В этом и состоит суть теоремы Гаусса, которая формулируется так.
Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находится система зарядов, равняется 
, где 
алгебраическая сумма этих зарядов.
Математически теорему можно записать в виде
. (1.18)
Отметим, что если на некоторой поверхности S вектор 
постоянен и параллелен вектору
, то поток через такую поверхность
. Преобразуя первый интеграл, мы сначала воспользовались тем, что векторы
и
параллельны, а значит
. Затем вынесли величину
за знак интеграла в силу того, что она постоянна в любой точке сферы
. Применяя теорему Гаусса для решения конкретных задач, специально в качестве произвольной замкнутой поверхности стараются выбирать поверхность, для которой выполняются описанные выше условия.
Приведем несколько примеров на применение теоремы Гаусса.
Пример 1.2. Рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити. Определить разность потенциалов между двумя точками в таком поле.
Решение. Предположим для определенности, что нить заряжена положительно. В силу симметрии задачи можно утверждать, что силовые линии будут радиально расходящимися от оси нити прямыми (рис.1.9), густота которых по мере удаления от нити уменьшается по какому-то закону. По этому же закону будет уменьшаться и величина электрического поля 
. Эквипотенциальными поверхностями будут цилиндрические поверхности с осью, совпадающей с нитью.
Пусть заряд единицы длины нити равен 
. Эта величина называется линейной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м]. Для расчета напряженности поля применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхности
выберем цилиндр радиуса
и длины
, ось которого совпадает с нитью (рис.1.9). Вычислим поток электрического поля через площадь поверхности цилиндра. Полный поток складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и потока через основания
.
Однако, 
, поскольку в любой точке на основаниях цилиндра
. Это значит, что
в этих точках. Поток через боковую поверхность
. По теореме Гаусса этот полный поток равен
. Таким образом, получили
.
Сумма зарядов, находящихся внутри цилиндра, выразим через линейную плотность заряда 
:
. Учитывая, что
, получим
,
, (1.19)
т.е. напряженность и густота силовых линий электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити убывает обратно пропорционально расстоянию (
).
Найдем разность потенциалов между точками, находящимися на расстояниях 
и
от нити (принадлежащими эквипотенциальным цилиндрическим поверхностям с радиусами
и
). Для этого воспользуемся связью напряженности электрического поля с потенциалом в виде (1.9,в):
. Учитывая выражение (1.19), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
.
Пример 1.3. Рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной плоскости. Определить разность потенциалов между двумя точками в таком поле.
Решение. Электрическое поле равномерно заряженной плоскости показано на рис. 1.10. В силу симметрии силовые линии должны быть перпендикулярны плоскости. Поэтому сразу можно сделать вывод о том, что густота линий, а, следовательно, и напряженность электрического поля при удалении от плоскости меняться не будут. Эквипотенциальные поверхности представляют собой плоскости, параллельные данной заряженной плоскости. Пусть заряд единицы площади плоскости равен 
. Эта величина называется поверхностной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м 2 ].
Применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхности 
выберем цилиндр длиной
, ось которого перпендикулярна плоскости, а основания равноудалены от нее (рис.1.10). Общий поток электрического поля
. Поток через боковую поверхность равен нулю. Поток через каждое из оснований равен
, поэтому
. По теореме Гаусса получим:
.
Сумму зарядов, находящихся внутри цилиндра 
, найдем через поверхностную плотность заряда
:
. Тогда
, откуда:
. (1.20)
Из полученной формулы видно, что напряженность поля равномерно заряженной плоскости не зависит от расстояния до заряженной плоскости, т.е. в любой точке пространства (в одной полуплоскости) одинакова и по модулю, и по направлению. Такое поле называется однородным. Силовые линии однородного поля параллельны, их густота не меняется.
Найдем разность потенциалов между двумя точками однородного поля (принадлежащим эквипотенциальным плоскостям 
и
, лежащим в одной полуплоскости относительно заряженной плоскости (рис.1.10)). Направим ось
вертикально вверх, тогда проекция вектора напряженности на эту ось равна модулю вектора напряженности
. Воспользуемся уравнением (1.9):
.
Постоянную величину 
(поле однородно) можно вынести из под знака интеграла: 
. Интегрируя, получаем: 
. Итак, потенциал однородного поля линейно зависит от координаты.
Разность потенциалов между двумя точками электрического поля – есть напряжение между этими точками (
). Обозначим расстояние между эквипотенциальными плоскостями
. Тогда можно записать, что в однородном электрическом поле:
. (1.21)
Еще раз подчеркнем, что при использовании формулы (1.21) нужно помнить, что величина 
не расстояние между точками 1 и 2, а расстояние между эквипотенциальными плоскостями, которым эти точки принадлежат.
Пример 1.4. Рассчитать напряженность электрического поля двух параллельных плоскостей, однородно заряженных с поверхностными плотностями зарядов 
и
.
Решение. Воспользуемся результатом примера 1.3 и принципом суперпозиции. Согласно этому принципу результирующее электрическое поле в любой точке пространства 
, где
и
— напряженности электрических полей первой и второй плоскости. В пространстве между плоскостями вектора
и
направлены в одну сторону, поэтому модуль напряженности результирующего поля
. Во внешнем пространстве вектора
и
направлены в разные стороны, поэтому
(рис. 1.11). Таким образом, электрическое поле есть только в пространстве между плоскостями. Оно однородно, так как является суммой двух однородных полей.
Пример 1.5. Найти напряженность и потенциал электрического поля равномерно заряженной сферы. Суммарный заряд сферы равен 
, а радиус сферы –
.
Решение. В силу симметрии распределения заряда силовые линии должны быть направлены вдоль радиусов сферы.
Рассмотрим область внутри сферы. В качестве произвольной поверхности 
выберем сферу радиуса
, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Тогда поток электрического поля через сферуS: 
. Сумма зарядов внутри сферы
радиуса
равна нулю, поскольку все заряды располагаются на поверхности сферы радиуса 
. Тогда по теореме Гаусса: 
. Поскольку 
, то
. Таким образом внутри равномерно заряженной сферы поля нет.
Рассмотрим область вне сферы. В качестве произвольной поверхности 
выберем сферу радиуса
, центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Поток электрического поля через сферу
:
. Сумма зарядов внутри сферы равна полному заряду
заряженной сферы радиуса
. Тогда по теореме Гаусса:
. Учитывая, что 
, получим:
.
Рассчитаем потенциал электрического поля. Удобнее начать с внешней области 
, поскольку мы знаем, что на бесконечном расстоянии от центра сферы потенциал принимается равным нулю. Используя уравнение (1.11,а) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
.
Константа 
, поскольку
при
. Таким образом, во внешнем пространстве (
):
.
Точки на поверхности заряженной сферы (
) будут иметь потенциал
.
Рассмотрим область 
. В этой области
, поэтому из уравнения (1.11,а) получаем:
. В силу непрерывности функции
константа
должна быть равна значению потенциала на поверхности заряженной сферы:
. Таким образом, потенциал во всех точках внутри сферы:
.
Итак, мы получили, что напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой, вне сферы равны напряженности и потенциалу поля, создаваемого точечным зарядом той же величины 
, что и заряд сферы, помещенным в центр сферы. Во внутреннем пространстве поле отсутствует, а потенциал во всех точках одинаков. Электрическое поле (силовые линии и эквипотенциальные поверхности) заряженной сферы изображены на рис. 1.12. Предполагается, что сфера заряжена положительно. Вне сферы силовые линии и распределены в пространстве точно так же, как и силовые линии точечного заряда.
На рис. 1.13 изображены графики зависимости 
и
. Функция
непрерывна, а функция
скачкообразно меняется при переходе через границу заряженной сферы. Величина скачка равна
. Действительно, вблизи заряженной сферы (
) напряженность поля во внешнем пространстве
, а внутри равна нулю.
Величину скачка можно выразить через поверхностную плотность заряда на сфере:
.
Заметим, что это общее свойство электростатического поля: на заряженной поверхности проекция напряженности на направление нормали всегда испытывает скачок 
независимо от формы поверхности. Рекомендуем проверить этот принцип для поля равномерно заряженной плоскости и поля двух параллельных заряженных плоскостей (примеры 1.3, 1.4).
С точки зрения математики непрерывность потенциала в точках заряженной поверхности означает, что
. С точки зрения физики непрерывность функции
можно объяснить следующим образом. Если бы потенциал на границе некоторой области имел бы скачок (разрыв), то при бесконечно малом перемещении некоторого заряда
из точки 1, лежащей с одной стороны границы, в точку 2, лежащую на другой ее стороне, совершалась бы конечная работа
, где
и
потенциалы точек 1 и 2 соответственно, а величина 
равна величине скачка потенциала на границе области. Конечная работа, совершенная на бесконечно малом перемещении, означает, что на границе раздела бы действовали бесконечно большие силы, что невозможно.
Напряженность электрического поля, в отличие от потенциала, на границе области может меняться очень резко (скачкообразно).
Пример 1.6. Две концентрические сферы радиусов 
и
(
) равномерно заряжены равными по модулю, но противоположными по направлению зарядами
и
(сферический конденсатор). Определить напряженность и потенциал электрического поля во всем пространстве.
Решение. Решение этой задачи можно было бы также начать с применения теоремы Гаусса. Однако, используя результаты предыдущего примера и принцип суперпозиции (1.13, 1.14), ответ можно получить быстрее.
Во внешних точках пространства (
) электрическое поле создается зарядами обеих сфер. Величина напряженности поля первой сферы
и направлена от сфер вдоль радиусов. Величина напряженности поля второй сферы такая же
, но направлена противоположно. Следовательно, согласно принципу суперпозиции, во всех внешних точках пространства электрическое поле будет отсутствовать
.
Рассмотрим точки пространства между сферами (
). Эти точки являются внутренними для отрицательно заряженной сферы, поэтому в этой области
(см. пример 1.5). Для положительно заряженной сферы эти точки являются внешними, поэтому
. Таким образом, величина напряженности поля в этой области
. Здесь поле создают только заряды меньшей сферы.
Наконец, во внутренних точках пространства (
)
и
, поэтому электрического поля в этих точках нет.
Аналогично можно применить принцип суперпозиции и для потенциалов. Получаются следующие результаты:
: 
;
: 
;
: 
.
Рекомендуем самостоятельно получить эти результаты, а также схематически изобразить электрическое поле и построить графики 
и
.
Как рисовать силовые линии электрического поля
Опытным путём установлен закон Кулона:
сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов в вакууме пропорциональна произведению модулей зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, проходящей через эти заряды:
Здесь `F` — модуль силы, `k` — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц, `q_1` и `q_2` — величины зарядов, `r` — расстояние между зарядами.
Обратите внимание, что нарушение в конкретных условиях опыта точечности зарядов, их неподвижности или нахождение зарядов не в вакууме может привести к невыполнению соотношения (2.1).
Основной единицей в любой системе единиц называется единица, для которой существует установленная по договорённости принципиальная возможность создания эталона этой единицы. Напомним, что основными единицами системы СИ являются единицы длины метр (м), массы килограмм (кг), времени секунда (с), силы электрического тока ампер (А), термодинамической температуры кельвин (К), количества вещества моль (моль), силы света кандела (кд). Остальные единицы в системе СИ производные, их размерность (выраженная через основные или другие единицы системы) даётся через определения и физические законы, устанавливающие связь между различными физическими величинами. Единицей заряда в системе СИ является кулон (Кл) – заряд, проходящий за `1` с через поперечное сечение проводника при силе тока `1` А.
Найдём размерность (обозначается квадратными скобками) коэффициента `k` в формуле (2.1) закона Кулона. Для размерностей физических величин в (2.1) выполняется соотношение, аналогичное соотношению (2.1) между самими величинами: $$ \left[F\right]=\left[k\right]<\displaystyle \frac<\left[_<1>\right]\left[
_<2>\right]><\left[
Запоминать выражение для размерности `k` необязательно, но уметь выводить, используя (2.1), надо.
Приведём значение коэффициента `k` в (2.1) для системы СИ:
Заметим, что вместо выражения для размерности после численного значения можно писать «ед. СИ» (единицы СИ). Иногда в системе СИ коэффициент `k` в (2.1) записывают в форме $$ k=<\displaystyle \frac<1><4\pi <\epsilon >_<0>>>$$.
Здесь $$ <\epsilon >_<0>=\mathrm<8,85>·<10>^<-12>$$ ед. СИ называется электрической постоянной.
Найдём напряжённость электрического поля, созданного точечным зарядом `Q` на расстоянии `r` от заряда. Для этого поместим мысленно на расстоянии `r` от `Q` пробный заряд `q`. По закону Кулона на `q` действует сила $$ F=\left|\overrightarrow
 |
 |
| Рис. 2.1 | Рис. 2.2 |
На рисунках 2.1 и 2.2 показаны случаи для `Q > 0` и `Q < 0`. Знак пробного заряда `q` выбран положительным из соображений удобства, т. к. при таком выборе направление силы, действующей на `q`, совпадает с направлением напряжённости.
Формулу (2.2) можно обобщить, избавившись от знака модуля:
Здесь $$
Силовой линией (линией напряжённости) электрического поля называется непрерывная линия, касательная в каждой точке которой совпадает с направлением вектора напряжённости электрического поля в этой точке. Наглядно электрические поля изображают с помощью силовых линий.
На рис. 2.3 приведена картина силовых линий электрического поля положительного точечного заряда.
 |
| Рис. 2.3 |
Стрелкой на каждой силовой линии указывается её направление, т. е. направление вектора напряжённости в каждой точке силовой линии. Полезно посмотреть и нарисовать самим картины силовых линий полей из школьного учебника.
Все свойства силовых линий как электрического поля, так и электростатического поля, следуют из определения силовых линий и из законов электродинамики. Приведём некоторые свойства.
1. Силовые линии электрического поля не пересекаются. В противном случае в точках пересечения была бы неопределённость в направлении напряжённости поля.
2. Густота силовых линий электрического поля в пространстве пропорциональна напряжённости электрического поля.
3. Силовые линии электростатического поля не замкнуты. Они начинаются на положительных зарядах (или в бесконечности) и заканчиваются на отрицательных зарядах (или в бесконечности). При этом некоторая группа силовых линий (лучевая трубка) связывает равные по модулю заряды и число силовых линий, выходящих (входящих) из заряженного тела, не зависит от формы тела, а зависит только от величины заряда (пропорционально заряду).
Обратите внимание, что первые два свойства справедливы и для электростатического поля, как частного случая электрического. Третье же свойство справедливо только для электростатического поля, а для произвольного электрического поля выполняется не всегда.
 |
| Рис. 2.4 |
В двух вершинах равностороннего треугольника со стороной `a=1` м расположены точечные заряды $$ _<1>=Q=1.4·<10>^<-7>\mathrm<Кл>$$, $$
_<2>=-2Q$$. Найти напряжённость (модуль) электрического поля в третьей вершине треугольника.
Пусть напряженность полей, созданных зарядами `Q` и `-2Q` в третьей вершине треугольника $$ \overrightarrow<