Как нарисовать правильную четырехугольную пирамиду

Как нарисовать пирамиду?

Пирамиды остаются одними из самых популярных туристических объектов. Они поражают своим величием. Идеально ровные линии и углы заставляют усомниться в том, что такое сооружение могло быть создано руками человека.

Пирамиды часто появляются на картинах художников. Мы рассмотрим, как нарисовать пирамиду правильно, чтобы рисунок выглядел ровным и аккуратным.

Пирамида — элемент, который обязательно разбирают при изучении академического рисунка. Эта геометрическая фигура простая, но при этом требует определенных навыков и умений, развитого пространственного мышления. Разберем несколько способов рисунка правильной четырехугольной пирамиды.

Для работы сегодня нам понадобятся следующие материалы:

простой карандаш или линер, работайте теми материалом, который лучше знаком.
ластик;
бумага.

В процессе работы стоит помнить о важных правилах:

начинать работу следует легко, без нажима карандаша;
линии должны быть четкими, стоит избегать “мохнатых” линий, так как это будет мешать нахождению точек пересечения;
подкладывайте под руку чистый лист, чтобы избежать замазывания рисунка.

Как нарисовать классическую пирамиду карандашом?

Рассмотрим один из самых простых и стандартных вариантов рисунка пирамиды.

Рисуем равнобедренный треугольник. Учитесь рисовать без линейки, в рисунке все линии должны быть живыми. Это развивает руку, делает её более сильной и уверенной.

Рисуем диагональную линию через вершину треугольника. Степень наклона этой линии отвечает за разворот пирамиды.

Соединяем нижние вершины треугольника и диагональ. Таким образом рисуем основание пирамиды и её внешний угол.

Стираем все линии построения, оставляем чистый рисунок.

По-желанию используем цветные материалы и стилизуем пирамиду под камень.

Как нарисовать Египетскую пирамиду через квадрат?

Рассмотрим второй, более академический подход к рисунку пирамиды.

Рисуем искаженный квадрат — основу будущей пирамиды.

Обозначаем точку схода всех лучей. Она должна находится в центре квадрата, выявить эту точку можно с помощью перпендикуляра, который будет проведен с центра основы.

Используем ручку и доводим контуры пирамиды, выполняем стилизацию под камень.

Обозначаем теневые участки. Их положение зависит от того, с какой стороны будет изображено солнце. Не забываем изобразить падающую тень — она добавит реалистичности изображению.

Как нарисовать пейзаж с пирамидами?

Создадим маленький быстрый пейзаж с рядом пирамид.

Легкими штрихами намечаем композицию рисунка. Пирамиды находятся в верхней трети бумаги.

Опираясь на первый пример, рисуем объем пирамид.

Уточняем все контуры и вычищаем изображение от лишних линий.

Штрихуем изображение быстрыми свободными штрихами.

В дальнейшем можно доработать пейзаж цветными материалами и создать быстрый, но очень эффектный скетч.

Что такое правильная пирамида: определение, виды, свойства

В данной публикации мы рассмотрим определение, виды (треугольная, четырехугольная, шестиугольная) и основные свойства правильной пирамиды. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение правильной пирамиды
Виды правильной пирамиды
- Правильная треугольная пирамида
- Правильная четырехугольная пирамида
- Правильная шестиугольная пирамида
Определение правильной пирамиды

Правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина фигуры проецируется в центр ее основания.

Самые распространенные разновидности правильных пирамид: треугольная, четырехугольная и шестиугольная. Рассмотрим их подробнее.

Виды правильной пирамиды

Правильная треугольная пирамида
- Основание – правильный/равносторонний треугольник ABC.
- Боковые грани – одинаковые равнобедренные треугольники: ADC, BDC и ADB.
- Проекция вершины D на основание – точка O, которая является точкой пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC.
- DO – высота пирамиды.
- DL и DM – апофемы, т.е. высоты боковых граней (равнобедренных треугольников). Всего их три (по одной на каждую грань), но на рисунке выше изображено два, чтобы не перегружать его.
- ⦟DAM = ⦟ DBL = α (углы между боковыми ребрами и основанием).
- ⦟DLB = ⦟DMA = β (углы между боковыми гранями и плоскостью основания).
- Для такой пирамиды верно соотношение:
  AO:OM = 2:1 или BO:OL = 2:1.
Примечание: если у правильной треугольной пирамиды все ребра равны, она также называется правильным тетраэдром.

Правильная четырехугольная пирамида
- Основание – правильный четырехугольник ABCD, другими словами, квадрат.
- Боковые грани – равные равнобедренные треугольники: AEB, BEC, CED и AED.
- Проекция вершины E на основание – точка O, является точкой пересечения диагоналей квадрата ABCD.
- EO – высота фигуры.
- EN и EM – апофемы (всего их 4, на рисунке в качестве примера изображено только два).
- Равные углы между боковыми ребрам/гранями и основанием указаны соответствующими буквами (α и β).
Правильная шестиугольная пирамида
- Основание – правильный шестиугольник ABCDEF.
- Боковые грани – равные равнобедренные треугольники: AGB, BGC, CGD, DGE, EGF и FGA.
- Проекция вершины G на основание – точка O, является точкой пересечения диагоналей/биссектрис шестиугольника ABCDEF.
- GO – высота пирамиды.
- GN – апофема (всего их должно быть шесть).
Свойства правильной пирамиды
1. Все боковые ребра фигуры равны. Другими словами вершина пирамиды находится на одинаковом расстоянии от всех углов ее основания.
2. Угол между всеми боковыми ребрами и основанием одинаковый.
3. Все грани наклонены к основанию под одним и тем же углом.
4. Площади всех боковых граней равны.
5. Все апофемы равны.
6. Вокруг пирамиды можно описать сферу, центром которой будет точка пересечения перпендикуляров, проведенных к серединам боковых ребер.
7. В пирамиду можно вписать сферу, центром которой будет точка пересечения биссектрис, берущих начало в углах между боковыми ребрами и основанием фигуры.
Примечание: Формулы для нахождения площади поверхности, а также объема пирамиды представлены в отдельных публикациях.

Изображение пирамиды

Цель: Изучение перспективных и конструктивных закономерностей изображения пирамиды.

изучить закономерности линейно-конструктивного построения пирамиды в перспективе;

передать форму, конструкцию и пропорции пирамиды;

приобрести навыки и умения построения пирамиды по памяти и по представлению;

овладеть аналитическим методом рисования;

тренировать зрительную (визуальную) память;

составить и изобразить композиции из геометрических тел графическими средствами.

Материалы: бумага (формат А 4, А 3), карандаш, резинка.

Задание №1. Линейно- конструктивный рисунок четырехгранной пирамиды в перспективе с натуры.
Методические рекомендации к выполнению задания:

Освоив перспективное изображение квадрата и конуса, можно перейти к рисунку четырехгранной пирамиды. Основанием четырехгранной пирамиды является квадрат, а ее боковыми гранями – одинаковые по размеру треугольники.

I этап. Определение линии горизонта и точки зрения. Компоновка изображения на плоскости листа.

Рисунок пирамиды начинают с нанесения на бумагу ее общих габаритов. Пропорции пирамиды определяются отношением величины основания к его высоте. Следует внимательно изучить конструкцию и перспективные изменения формы геометрического тела в натуре, поскольку форма пирамиды меняется в зависимости от того, с какой точки зрения на неё смотреть. Затем нужно определить положение пирамиды относительно линии горизонта. Найдя соотношения размеров граней и ребер пирамиды, определяют какая из видимых граней больше, какая меньше.

II этап. Линейно-конструктивный рисунок пирамиды в перспективе.

Начинать построение четырехгранной пирамиды следует с изображения квадрата основания, определив при этом пропорциональное соотношение ширины основания к высоте. Через точку пересечения диагоналей плоскости основания (квадрата в перспективе) проводится вертикаль, на которой откладывается отрезок, равный высоте пирамиды. Затем следует соединить вершину пирамиды прямыми линиями с углами квадрата ее основания.

Рисунок пирамиды, лежащей на горизонтальной плоскости, сложнее рисунка стоящей пирамиды из-за трудности в определении положения квадрата ее основания. При построении пирамиды в горизонтальном положении следует обратить внимание на положение оси пирамиды по отношению к центру ее основания. Плоскость основания пирамиды по отношению к ее конструктивной оси должна находиться строго под прямым углом, то есть перпендикулярно, независимо от положения геометрического тела в пространстве.

Для проверки правильности построения пирамиды в горизонтальном положении следует провести диагонали в плоскости ее основания. Через точку пересечения диагоналей провести взаимно перпендикулярные линии – большую и малую ось эллипса. При построении эллипса, вписанного в квадрат основания пирамиды, нужно учесть следующее: кривая эллипса (окружности в перспективе) должна касаться сторон квадрата и делить их пополам в перспективном сокращении. Затем с вершины пирамиды нужно провести центральную ось в точку пересечения диагоналей плоскости основания. Центральная ось пирамиды должна быть строго перпендикулярна большой оси эллипса, вписанного в квадрат ее основания.

При вертикальном положении пирамиды ее горизонтальные сечения – квадраты, разных размеров в зависимости от положения секущей плоскости (рис.). Вертикальное сечение, проходящее через вершину пирамиды и параллельное стороне квадрата основания, представляет собой треугольник. Сечения параллельные вертикальной оси высоты пирамиды являются трапециями, размеры которых меняются в зависимости от положения плоскости сечения.

Элементы формы первого плана изображения пирамиды выполняются плотной, выразительной линией, а элементы, уходящие в даль – линией, более тонкой и слабой. Вспомогательные линии изображаются тонкой серой линией.

Пирамида. Правильная пирамида

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Пирамида. Правильная пирамида»

С пирамидой мы с вами знакомились в курсе геометрии базовой школы. Давайте вспомним, какой многогранник мы назвали пирамидой и основные элементы пирамиды.

Итак, рассмотрим многоугольник A₁A₂…A_n и точку P, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединим точку ПЭ отрезками с вершинами многоугольника. В итоге получим n треугольников: PA₁A₂, PA₂A₃, …, PA_nA₁. Многогранник, составленный из n-угольника A₁A₂…A_n и этих n треугольников, называется пирамидой.

Многоугольник A₁A₂…A_n называется основанием пирамиды. Треугольники PA₁A₂, PA₂A₃, …, PA_nA₁ называются боковыми гранями пирамиды. Точка P – вершиной пирамиды, а отрезки PA₁, PA₂,…, PA_n – ее боковыми ребрами.

Пирамиду с вершиной P и основанием A₁A₂…A_n называют n-угольной пирамидой и обозначают так: PA₁A₂…A_n.

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью ее основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды, а объединение всех граней называется полной поверхностью пирамиды. Тогда площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. А площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

Пирамида в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Если в основании лежит треугольник, то пирамида называется треугольной. Если четырехугольник – то четырехугольной пирамидой. А если n-угольник, то n-угольной пирамидой.

Задача. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна , а одна из диагоналей равна . Найти длину боковых ребер пирамиды, если высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна .

Ответ. , см.

Давайте дадим определение правильной пирамиды.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

На сегодняшнем уроке мы подробно рассмотрим правильные пирамиды.

Сейчас давайте попробуем доказать одно из свойств правильной пирамиды. А именно докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим правильную пирамиду PA₁A₂…A_n. Сначала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны. Проведем высоту пирамиды.

Поскольку основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник, значит, вокруг основания правильной пирамиды можно описать окружность. Тогда каждое боковое ребро пирамиды есть ничто иное, как гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота PO пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности. Например, если рассмотреть треугольник OPA₁, то OP равно h, OA₁ равно R.

Таким образом, мы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды равны. А значит, боковые грани правильной пирамиды – это равнобедренные треугольники. Поскольку в основании лежит правильный многоугольник, значит, основания боковых граней равны между собой. То есть боковые грани равны между собой по трем сторонам.

Что и требовалось доказать.

Теперь давайте сформулируем и докажем теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Мы уже доказали, что боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Высоты этих треугольников равны апофеме пирамиды. Тогда площадь боковой грани находится по формуле .

Подставим эти площади в формулу площади боковой поверхности. Вынесем половину апофемы за скобки, тогда в скобках получим периметр основания.

Что и требовалось доказать.

Решим несколько задач.

Задача. Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен , высота пирамиды равна . Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решим еще одну задачу.

Задача. Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен . . Найти длину апофемы.

Подведем итоги урока.

Сегодня на уроке мы вспомнили, какая фигура называется пирамидой. Какие пирамиды называются правильными. Познакомились со свойствами правильных пирамид. Решили несколько задач.
Похожие публикации: