Как найти угол сектора конуса

ЕГЭ формулы, шпаргалки — Элементарная геометрия. Конус.

Объем конуса (с радиусом основания R и высотой H):

,

Площадь боковой поверхности конуса:

,

где L — образующая конуса.

,

Площадь боковой поверхности усеченного конуса:

,

где L — образующая конуса.

Полный список всех формул, шпаргалок для ЕГЭ по математике тут: ЕГЭ математика — формулы, шпаргалки.

Как найти угол сектора конуса

1. Под уклоном подразумевается отношение противолежащего катета прямоугольного треугольника к прилежащему. Этот параметр еще называют тангенс угла.
2. Для расчета примеряется следующая формула: i=AC/AB=tga.

1. Отображается диаметр большого основания. Рассматриваемая фигура образуется телом вращения, которому свойственен диаметральный показатель. В случае конуса их может быть несколько, а изменение показателя происходит плавно, не ступенчато. Как правило, у подобной фигуры есть больший диаметр, а также промежуточной в случае наличия ступени.
2. Наносится диаметр меньшего основания. Меньшее основание отвечает за образование требуемого угла.
3. Рассчитывается длина конуса. Расстояние между меньшим и большим основанием является показателем длины.
4. На основании построенного изображения определяется угол. Как правило, для этого проводятся соответствующие расчеты. В случае определения размера по нанесенному изображению при применении специального измерительного прибора существенно снижается точность. Второй метод применяется в случае создания чертежа для производства неответственных деталей.

1. Угол может указываться в градусах дробью или в процентах. Выбор проводится в зависимости от области применения чертежа. Примером можно назвать то, что в машиностроительной области указывается значение градуса.
2. В машиностроительной области в особую группу выделяют понятие нормальной конусности. Она варьирует в определенном диапазоне, может составлять 30, 45, 60, 75, 90, 120°. Подобные показатели свойственны большинству изделий, которые применяются при сборке различных механизмов. При этом выдержать подобные значения намного проще при применении токарного оборудования. Однако, при необходимости могут выдерживаться и неточные углы, все зависит от конкретного случая.
3. При начертании основных размеров применяется чертежный шрифт. Он характеризуется довольно большим количеством особенностей, которые должны учитываться. Для правильного отображения используется табличная информация.
4. Для начала указывается значок конусности от которого отводится стрелка и отображается величина. Особенности отображения во многом зависит от того, какой чертеж. В некоторых случаях наносится большое количество различных размеров, что существенно усложняет нанесение конусности. Именно поэтому предусмотрена возможность использования нескольких различных методов отображения подобной информации.

1. K=D-d/l=2tgf=2i. Данная формула характеризуется тем, что конусность характеризуется двойным уклоном. Она основана на получении значения большого и меньшего диаметра, а также расстояния между ними. Кроме этого определяется угол.
2. Tgf=D/2L. В данном случае требуется протяженность отрезка, который связывает большой и малый диаметр, а также показатель большого диаметра.
3. F=arctgf. Эта формула применяется для перевода показателя в градусы. Сегодня в большинстве случаев применяются именно градусы, так как их проще выдерживать при непосредственном проведении построений. Что касается процентов, то они зачастую указываются для возможности расчета одного из диаметров. К примеру, если соотношение составляет 20% и дан меньший диаметр, то можно быстро провести расчет большого.

1. На момент обработки мастер должен учитывать этот показатель, так как он позволяет получить требуемое изделие с высокой точностью размеров. В большинстве случаев обработка проводится именно при учете угла, а не показателей большого и малого диаметра.
2. Угол конуса рассчитывается на момент разработки проекта. Этот показатель наносится на чертеж или отображается в специальной таблице, которая содержит всю необходимую информацию. Оператор станка или мастер не проводит расчеты на месте производства, вся информация должна быть указана в разработанной технологической карте.
3. Проверка качества изделия зачастую проводится по малому и большему основанию, но также могут применяться инструменты, по которым определяется показатель конусности.

1. Определяется начальная и конечная точка отрезка. В случае построения сложной фигуры она определяется в зависимости от особенностей самого чертежа.
2. Проводится вертикальная линия от точки, которая находится выше. Она позволяет построить прямоугольный треугольник, который часто используется для отображения уклона.
3. Под прямым углом проводится соединение вспомогательной линии с нижней точкой.
4. Угол, который образуется между вспомогательной и основной линией в нижней точке высчитывается для определения наклона.

1. Основные линии отображаются более жирным начертанием, за исключением случая, когда на поверхности находится резьба.
2. При проведении работы могут применяться самые различные инструменты. Все зависит от того, какой метод построения применяется в конкретном случае. Примером можно назвать прямоугольный треугольник, при помощи которого выдерживается прямой угол или транспортир.
3. Отображение основных размеров проводится в зависимости от особенностей чертежа. Чаще всего указывается базовая величина, с помощью которой определяются другие. На сегодняшний день метод прямого определения размеров, когда приходится с учетом масштаба измерять линии и углы при помощи соответствующих инструментов практически не применяется. Это связано с трудностями, которые возникают на производственной линии.

1. Проще всего отображать нормальные конусности, так как их основные параметры стандартизированы.
2. В большинстве случаев вводной информацией при создании конусности становится больший и меньший диаметр, а также промежуточное значение при наличии перепада. Именно поэтому они откладываются первыми с учетом взаимного расположения, после чего проводится соединение. Линия, которая прокладывается между двумя диаметрами и определяет угол наклона.
3. С углом наклона при построении возникает все несколько иначе. Как ранее было отмечено, для отображения подобной фигуры требуется построение дополнительных линий, которые могут быть оставлены или убраны. Существенно упростить поставленную задачу можно за счет применения инструментов, которые позволяют определить угол наклона, к примеру, транспортир.

1. Простоту работы. Программное обеспечение создается для того, чтобы существенно упростить задачу по созданию чертежа. Примером можно назвать отслеживание углов, размеров, возможность зеркального отражения и многое другое. При этом не нужно обладать большим набором различных инструментов, достаточно приобрести требуемую программу и подобрать подходящий компьютер, а также устройство для печати. За счет появления программного обеспечения подобного типа построение конусности и других поверхностей существенно упростилось. Именно поэтому на проведение построений уходит намного меньше времени нежели ранее.
2. Высокая точность построения, которая требуется в случае соблюдения масштабов. Компьютер не допускает погрешности, если вся информация вводится точно, то отклонений не будет. Этот момент наиболее актуален в случае создания проектов по изготовлению различных сложных изделий, когда отобразить все основные размеры практически невозможно.
3. Отсутствие вероятности допущения ошибки, из-за которой линии будут стерты. Гриф может растираться по поверхности, и созданный чертеж в единственном экземпляре не прослужит в течение длительного периода. В случае использования электронного варианта исполнения вся информация отображается краской, которая после полного высыхания уже больше не реагирует на воздействие окружающей среды.
4. Есть возможность провести редактирование на любом этапе проектирования. В некоторых случаях в разрабатываемый чертеж приходится время от времени вносить изменения в связи с выявленными ошибкам и многими другим причинами. В случае применения специального программного обеспечения сделать это можно практически на каждом этапе проектирования.
5. Удобство хранения проекта и его передачи. Электронный чертеж не обязательно распечатывать, его можно отправлять в электронном виде, а печать проводится только при необходимости. При этом вся информация может копироваться много раз.

1. Программа при построении наклонных линий автоматически отображает угол. Проведенные расчеты в этом случае позволяют проводить построение даже в том случае, если нет информации об большом или малом, промежуточном диаметре. Конечно, требуется информация, касающаяся расположения диаметров относительно друг друга.
2. Есть возможность использовать дополнительные инструменты, к примеру, привязку для построения нормальной конусности. За счет этого существенно прощается поставленная задача и ускоряется сама процедура. При черчении от руки приходится использовать специальные инструменты для контроля подобных параметров.
3. Длина всех линий вводится числовым методом, за счет чего достигается высокая точность. Погрешность может быть допущена исключительно при применении низкокачественного устройства для вывода графической информации.
4. Есть возможность провести замер всех показателей при применении соответствующих инструментов.
5. Для отображения стандартов используются соответствующие инструменты, которые также существенно упрощают поставленную задачу. Если программа имеет соответствующие настройки, то достаточно выбрать требуемый инструмент и указывать то, какие размеры должны быть отображены. При этом нет необходимости знания стандартов, связанных с отображением стрелок и других линий.

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг эллипс, гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

боковой поверхности такого конуса равна

поверхности такого конуса равна

кругового конуса равен

• Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из эллипсом, гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

• В сферической системе координат с координатами (r, φ, θ) :

• В цилиндрической системе координат с координатами (r, φ, z) :

• В декартовой системе координат с координатами (x, y, z) :

где константы a, с определяются пропорцией

В алгебраической геометрии конус — это произвольное подподмножество

Углы и конусы. Методы и средства измерений и контроля углов и конусов.

), зенкеров, разверток, центров, а внутренние конусы — в отверстиях шпинделей, оправок, переходных втулок, в которые эти инструменты устанавливают. Существуют семь номеров конусов Морзе (от до
6
) со своими размерами и углами наклона
a
. Наименьшим является конус Морзе (
1:19,212
), наибольшим — конус Морзе
6
(
1:19,18
). Их размеры приведены в стандарте СТ СЭВ 147-75. Недостатком конусов Морзе следует считать разные углы наклона
a
у различных номеров.

Таблица 4

Стандартные размеры конусов деталей

Конусность K	Угол конуса 2a	Угол наклона a	Обозначение конусности
1:100 1:50 1:20 1:10 1:3 1:1,866 1:1,207 1:0,866	0 0 34¢23² 1 0 8¢45² 2 0 51¢51² 5 0 43¢29² 18 0 55¢30² 30 0 45 0 60 0	0 0 17¢12² 0 0 34¢23² 1 0 25¢56² 2 0 51¢45² 9 0 27¢45² 15 0 22 0 30¢ 30 0	1:100 1:50 1:20 1:10 1:3 30 0 45 0 60 0

Метрические конусы 4, 6, 80, 100, 120, 160, 200

(см. тот же стандарт) имеют одинаковую конусность
1:20
(и угол
a
), а номер конуса обозначает размер диаметра большого основания.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения:
Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете.
8406 — | 7319 — или читать все.

188.64.173.93 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock! и обновите страницу (F5)

Угол раствора и радиус конуса

Угол раствора и радиус конуса способствуют вычислению всех возможных параметров конуса за счет двух треугольников, которые они образуют. Первый треугольник – равнобедренный, с двумя образующими и диаметром конуса, из которого можно рассчитать угол наклона конуса, между образующей и основанием. Второй треугольник – прямоугольный с высотой и радиусом в качестве катетов и образующей конуса, как гипотенузой. (рис. 40.2, 40.1) β=(180°-α)/2 h=r tan⁡β l=r/cos⁡β

Зная радиус конуса, можно сразу найти его диаметр, а также периметр основания и площадь, не прибегая к дополнительным заменам. d=2r P=2πr S_(осн.)=πr^2

Чтобы найти площадь боковой поверхности, кроме радиуса понадобится образующая конуса, которая равна отношению радиуса к косинусу угла наклона, а чтобы найти площадь полной поверхности, к полученному выражению нужно прибавить площадь основания конуса. S_(б.п.)=πrl=(πr^2)/cos⁡β S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πr(r+l)=πr^2 (1+1/cos⁡β )

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, а так как высота представляет собой произведение радиуса на тангенс угла наклона, то объем получится уменьшенным в три раза произведением числа π на куб радиуса и тангенс угла. V=(hS_(осн.))/3=(πr^3 tan⁡β)/3

Что такое уклон? Как определить уклон? Как построить уклон? Обозначение уклона на чертежах по ГОСТ.

Уклон. Уклон это отклонение прямой линии от вертикального или горизонтального положения. Определение уклона. Уклон определяется как отношение противолежащего катета угла прямоугольного треугольника к прилежащему катету, то есть он выражается тангенсом угла а. Уклон можно посчитать по формуле i=AC/AB=tga.

Построение уклона. На примере (рисунок ) наглядно продемонстрировано построение уклона. Для построения уклона 1:1, например, нужно на сторонах прямого угла отложить произвольные, но равные отрезки. Такой уклон, будет соответствовать углу в 45 градусов. Для того чтобы построить уклон 1:2, нужно по горизонтали отложить отрезок равный по значению двум отрезкам отложенным по вертикали. Как видно из чертежа, уклон есть отношение катета противолежащего к катету прилежащему, т. е. он выражается тангенсом угла а.

Обозначение уклона на чертежах. Обозначение уклонов на чертеже выполняется в соответствии с ГОСТ 2.307—68. На чертеже указывают величину уклона с помощью линии-выноски. На полке линии-выноски наносят знак и величину уклона. Знак уклона должен соответствовать уклону определяемой линии, то есть одна из прямых знака уклона должна быть горизонтальна, а другая должна быть наклонена в ту же сторону, что и определяемая линия уклона. Угол уклона линии знака примерно 30°.

Углы и конусы. Методы и средства измерений и контроля углов и конусов.

В соответствии с ГОСТ 2875 — 88 призматические угловые меры изготавливают пяти типов: I, II, III, IV, V с рабочими углами α, β, γ, δ.

Плитки типа I имеют следующие номинальные размеры угла а: от 1 до 29′ с градацией через 2′ и от 1 по 9° с градацией через Г. Плитки типа II имеют следующие номинальные размеры угла α: от 10 до 75°50′ с градацией значений угла 15″, Т, 10′, 1°, 15°10′. Соответствующим ГОСТом установлены номинальные размеры рабочих углов α, β, γ, δ для плиток типа III, призм типа IV и призм типа V.

По точности изготовления различают угловые меры трех классов: 0, 1,2. Допускаемые отклонения рабочих углов, а также допускаемые отклонения от плоскостности и расположения измерительных поверхностей регламентируются в зависимости от типа мер и класса точности. Так, допускаемые отклонения рабочих углов находятся в пределах от +3 до +5″ для мер 0-го класса и в пределах ±30″ — для мер 2-го класса. Допускаемые отклонения от плоскостности установлены в пределах от 0,10 до 0,30 мкм.

Угловые меры комплектуются в наборы и могут поставляться в виде отдельных мер всех классов.

Рабочие поверхности угловых мер обладают свойством притираемости, т. е. из них могут создаваться блоки. С этой целью, а также для получения внутренних углов предусмотрены специальные принадлежности и лекальные линейки, которые комплектуются в набор принадлежностей. При составлении блоков угловых мер необходимо соблюдать те же правила, что и при составлении блоков из плоскопараллельных концевых мер длины (см. подразд. 2.2.1).

Угольники поверочные — это угловая мера с рабочим углом 90°. При контроле с помощью угольников оценивают величину просвета между угольником и контролируемой деталью. Просвет определяют на глаз или сравнением с просветом, созданным при помощи концевых мер длины и лекальной линейкой, а также набором щупов.

Рис. 2.51. Угловые меры

В соответствии с ГОСТ 3749 — 77 угольники различаются: по конструктивным признакам — шесть типов (рис. 2.52), по точности— три класса (0, 1, 2). Лекальные угольники (типы УЛ, УЛП, УЛШ, УЛЦ) изготавливают закаленными классов 0 и 1 и применяют для лекальных и инструментальны работ (рис. 2.52, а, б). Слесарные угольники типов УП и УШ (рис. 2.52, в, г) применяют для нормальных работ в машиностроении и приборостроении.

Рис. 2.52. Угольники поверочные:

а и б — лекальные угольники; в и г — слесарные угольники

Допускаемые отклонения угольников установлены в зависимости от их класса и высоты Н. Так, для угольника 1-го класса с высотой 160 мм отклонение от перпендикулярности измерительных поверхностей к опорам не должно превышать 7 мкм, отклонение от плосткостности и прямолинейности измерительных поверхностей должно находиться в пределах 3 мкм. Для угольника с высотой 400 мм эти значения составляют соответственно 12 и 5 мкм, а для аналогичных угольников 2-го класса 30 и 10 мкм.

Рис. 2.53. Угломеры с нониусом:

а и б — угломеры типа УН; в — порядок отсчета по нониусу; гид- угломеры типа УМ; 1 — полудиск; 2 — ось; 3 — винт зажима угольника; 4 — добавочный угольник; 5 — подвижная линейка; 6 — неподвижная линейка; 7 и 8 — устройства для микрометрической подачи; 9 — стопорный винт; 10 — нониус

Рис. 2.54. Синусные линейки:

а — тип I; б — тип II; в — тип III: 7 — стол; 2 — роликовые опоры; 3 — боковые планки; 4 — резьбовые отверстия; 5 — передняя планка

Угломерные приборы.

Эти приборы основаны на прямом измерении углов с помощью угломерной шкалы. Наиболее известными средствами измерений из этого ряда являются утломеры с нониусом, оптические делительные головки (см. подразд. 2.2.4), оптические утломеры, уровни, гониометры и др.

Угломеры с нониусом (ГОСТ 5378 — 88) предназначены для измерения угловых размеров и разметки деталей. Угломеры выпускаются двух типов. Угломеры типа УН (рис. 2.53, а, б) предназначены для измерения наружных углов от 0 до 180°, внутренних углов от 40 до 180° и имеют величину отсчета по нониусу 2 и 5′. Угломер состоит из следующих основных деталей: полудиска (сектора) 1, неподвижной линейки 6, подвижной линейки 5, зажимного винта угольника 3, нониуса 10, стопорного винта 9, устройств для микрометрической подачи 7 и 8, добавочного угольника 4, винта зажима добавочного угольника 3. Для измерения углов от нуля до 90° на неподвижную линейку 6 устанавливают добавочный угольник 4. Измерение углов от 90 до 180° производится без добавочного угольника 4. Порядок отсчета на угловом нониусе угломера аналогичен отсчету на линейном нониусе штангенциркуля (рис. 2.53, в).

Угломеры типа УМ предназначены для измерения наружных углов от 0 до 180° и имеют величину отсчета по нониусу 2 и 5′ (рис. 2.53, г) и 15′ (рис. 2.53, д). Предел допускаемой погрешности угломера равен величине отсчета по нониусу.

Рис. 2.55. Измерение углов конусов на синусной линейке:

1 — измеряемый конус; 2 — индикатор; 3— стол; 4 — блок концевых мер длины; 5 — поверочная плита

Для косвенных измерений углов при контрольно-измерительных работах, а также в процессе механической обработки применяют синусные линейки. Линейки выпускают трех типов:

— тип I (рис. 2.54, а) без опорной плиты с одним наклоном;

— тип II (рис. 2.54, б) с опорной плитой с одним наклоном;

— тип III (рис. 2.54, в) с двумя опорными плитами с двойным наклоном.

Синусная линейка типа I представляет собой стол 1, установленный на двух роликовых опорах 2. Боковые планки 3 и передняя планка 5 служат упорами для деталей, которые прикрепляются к поверхности стола прижимами с помощью резьбовых отверстий 4.

Синусные линейки выпускаются классов точности 1 и 2. Расстояние L между осями роликов может составлять 100, 200, 300 и 500 мм.

Измерение углов конусов на синусной линейке представлено на рис. 2.55. Стол 3, на котором закреплен измеряемый конус 1, устанавливают на требуемый номинальный угол а к плоскости поверочной плиты 5 с помощью блока концевых мер длины 4. Размер блока концевых мер определяют по формуле

где h — размер установочного блока концевых мер, мм; L — расстояние между осями роликов линейки, мм; α — угол поворота линейки.

Индикатором 2, установленным на штативе, определяют разность положений δh поверхности конуса на длине 1. Отклонение угла, «, при вершине конуса рассчитывают по формуле

Действительный угол проверяемого конуса ак определяют по формуле

где Δл — погрешность измерения синусной линейкой, которая зависит от угла α, погрешности блока концевых мер длины и погрешности расстояния между осями роликов L.

Так, погрешности измерения углов синусными линейками с расстоянием между осями роликов 200 мм для измеряемых углов до 15 ° составляют 3″, при измерении углов до 45° — 10″, при измерении углов до 600 — 17″, при измерении углов до 80° — 52″.

Пределы допускаемой погрешности линеек при установке их на углы до 45 ° не должны превышать для 1-го класса ±10″, а для 2-го класса — ±15″.

Что такое конусность? Формула для расчёта конусности. Обозначение конусности на чертежах.

Конусность. Конусностью называется отношение диаметра основания конуса к высоте. Конусность рассчитывается по формуле К=D/h, где D – диаметр основания конуса, h – высота. Если конус усеченный, то конусность рассчитывается как отношение разности диаметров усеченного конуса к его высоте. В случае усечённого конуса, формула конусности будет иметь вид: К = (D-d)/h.

Обозначение конусности на чертежах. Форму и величину конуса определяют нанесением трех из перечисленных размеров: 1) диаметр большого основания D; 2) диаметр малого основания d; 3) диаметр в заданном поперечном сечении Ds , имеющем заданное осевое положение Ls; 4) длина конуса L; 5) угол конуса а; 6) конусность с . Также на чертеже допускается указывать и дополнительные размеры, как справочные.

Размеры стандартизованных конусов не нужно указывать на чертеже. Достаточно на чертеже привести условное обозначение конусности по соответствующему стандарту.

Конусность, как и уклон, может быть указана в градусах, дробью (простой, в виде отношения двух чисел или десятичной), в процентах. Например, конусность 1:5 может быть также обозначена как отношение 1:5, 11°25’16», десятичной дробью 0,2 и в процентах 20. Для конусов, которые применяются в машиностроении, OCT/BKC 7652 устанавливает ряд нормальных конусностей. Нормальные конусности — 1:3; 1:5; 1:8; 1:10; 1:15; 1:20; 1:30; 1:50; 1:100; 1:200. Также в могут быть использованы — 30, 45, 60, 75, 90 и 120°.

Объём усечённого конуса

Это часть прямого конуса, которая находится в пространстве между основой и плоскостью, параллельной этому основанию. В общем виде выглядит следующим образом:

Объём данного тела можно вычислить по формуле:

Важно! S и S1 это площади соответствующих основ, которые равняются ПR2 и ПR12 При нахождении этих значений поможет онлайн калькулятор.

Построение уклона и конусности

Уклоном называют величину, характеризующую наклон одной прямой линии к другой прямой. Уклон выражают дробью или в процентах. Уклон / отрезка В С относительно отрезка ВЛ определяют отношением катетов прямоугольного треугольника ЛВС (рисунок 50, а), т. е.

• Для построения прямой ВС (рисунок 50. а) с заданной величиной уклона к горизонтальной прямой, например 1:4, необходимо от точки А влево отложить отрезок АВ, равный четырем единицам длины, а вверх отрезок АС, равный одной единице длины. Точки С и В соединяют прямой, которая даст направление искомого уклона.
• Уклоны применяются при вычерчивании деталей, например, стальных балок и рельсов, изготовляемых на прокатных станах, и некоторых деталей, изготовленных литьем.

При вычерчивании контура детали с уклоном сначала строится линия уклона, а затем контур. Если уклон задается в процентах, например, 20 % (рисунок 50, б)> то линия уклона строится так же, как гипотенуза прямоугольного треугольника. Длину одного из катетов принимают равной 100 %, а другого — 20 %.

Очевидно, что уклон 20 % есть иначе уклон 1:5. Г1о ГОСТ 2.307—68 перед размерным числом, определяющим уклон, наносят условный знак, острый угол которого должен быть направлен в сторону уклона (рисунок 50, а и б). Подробнее обозначение уклона приведено в разделе 1.7 «Нанесение размеров и предельных отклонений».

Свойства кругового конуса

Выделяют несколько особенностей, которыми обладает фигура данного типа:

1. Образующие кругового конуса равны друг другу.
2. Чтобы найти центр тяжести фигуры, нужно её высоту поделить на четыре части.
3. Место пересечения плоскости сечения и основы образует параболу. Если через вершину тела провести плоскость сечения, то получится равнобедренный треугольник.

Интересный факт!

Если вращать прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов, то получится конус. При этом важно, чтобы угол вращения был не менее 360 градусов.

Примеры решения в задачах

Методические указания и учебники	решения и формулы
задачи и методички	теория

Конусностью называется отношение диаметра основания конуса к его высоте (рисунок 51, а). Обозначается конусность буквой С. Если конус усеченный (рисунок 51, б) решение задач по высшей математике с диаметрами оснований D и d и длиной L, то конусность определяется по формуле: Например (рисунок 51, б), если известны размеры D= 30 мм, d- 20 мм и L = 70 мм, то Если известны конусность С, диаметр одного из оснований конуса d и длина конуса можно определить второй диаметр конуса.

• Например, С- 1:7, d- 20 мм и 1 = 70 мм; D находят по формуле (рисунок 51, б). По ГОСТ 2.307—68 перед размерным числом, характеризующим конусность, необходимо наносить условный знак конусности, который имеет вид равнобедренного треугольника с вершиной, направленной в сторону вершины конуса (рисунок 51, б).

Подробнее обозначение конусности приведено в разделе 1.7 «Нанесение размеров и предельных отклонений». Вопросы для самопроверни 1. Что называется уклоном? 2. Что называется конусностью? 3. Как обозначается на чертеже конусность и уклон? 4. Как определяется конусность и уклон?

Конус в геометрии — элементы, формулы, свойства с примерами

Конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов (рис. 126).

На рисунке 127 показано образование конуса при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой , которой принадлежит катет . При этом ломаная описывает поверхность конуса, гипотенуза — боковую поверхность, а катет — основание конуса (рис. 128). Саму гипотенузу называют образующей конуса, неподвижную точку — вершиной конуса, прямую, проходящую через неподвижный катет , — осью конуса, а перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на основание, — высотой конуса (рис. 129). Основание высоты конуса совпадает с центром основания конуса.

Поверхность конуса можно развернуть на плоскость, в результате получится сектор, представляющий боковую поверхность конуса, и круг, представляющий основание конуса. На рисунке 130 представлены конус и его развертка.

Теорема 5.

Боковая поверхность конуса равна произведению полуокружности его основания и образующей:

Доказательство проведите самостоятельно, используя рисунок 130.

Важной пространственной конфигурацией, которая часто встречается в задачах, является сочетание конуса с плоскостью.

Если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится круг (рис. 131), а если плоскостью, проходящей через вершину, то — равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 132).

Осевое сечение конуса, т. е. сечение плоскостью, проходящей через ось конуса, является равнобедренным треугольником, у которого основание равно диаметру основания конуса (рис. 133).

Проведем через вершину конуса секущую плоскость и будем ее поворачивать вокруг прямой, перпендикулярной оси конуса (рис. 134). При этом основание треугольника-сечения будет укорачиваться, а его боковые стороны сближаться до того момента, пока не совпадут. Получим плоскость, целиком содержащую образующую и не имеющую с конусом других общих точек. Такая плоскость называется касательной плоскостью конуса.

Теорема 6.

Если плоскость касается конуса по некоторой образующей, то ей перпендикулярна плоскость, проходящая через эту образующую и ось конуса.

Доказательство:

Пусть плоскость касается конуса с осью по образующей (рис. 135). Докажем, что плоскость, содержащая эту образующую и ось , перпендикулярна плоскости .

Проведем прямую , которая перпендикулярна образующей , пересекает ось конуса в точке , отличной от вершины . Через точку проведем плоскость , перпендикулярную оси , она пересечет конус по кругу с центром и плоскость — по прямой , касающейся окружности с центром . Эта касательная по свойству касательной к окружности перпендикулярна радиусу соответствующей окружности. Но этот радиус является проекцией наклонной на плоскость , поэтому по теореме о трех перпендикулярах прямая перпендикулярна наклонной , т. е. прямой .

Таким образом, прямая перпендикулярна прямым и , которые пересекаются и лежат в плоскости , поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая перпендикулярна плоскости . Значит, плоскость , содержащая прямую , перпендикулярна плоскости .

Теорема 6 выражает свойство касательной плоскости конуса.

Теорема 7.

Плоскость касается конуса, если она проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости, проходящей через эту образующую и ось конуса.

Доказательство:

Пусть плоскость проходит через образующую конуса с осью и перпендикулярна плоскости (рис. 136). Докажем, что плоскость касается конуса, т. е. что точки образующей , и только они, являются общими точками конуса и плоскости .

Точки образующей принадлежат и конусу, и плоскости . Пусть — какая-либо точка плоскости вне образующей . Через эту точку проведем плоскость , перпендикулярную оси , она пересекает поверхность конуса по окружности с центром , образующую — в некоторой точке и плоскость — по прямой . Пусть — прямая, которая перпендикулярна плоскости и пересекает ось в точке . Тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая , проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна ее проекции . Значит, — касательная к окружности , и поэтому точка находится вне окружности , а значит, и вне конуса.

Теорема 7 выражает признак касательной плоскости конуса.

Пусть есть конус с вершиной (рис. 137). Впишем в основание конуса многоугольник и через его вершины проведем образующие . В результате получим тело , являющееся пирамидой. Ее называют пирамидой, вписанной в конус, а сам конус — конусом, описанным около пирамиды.

Если основание конуса вписано в основание пирамиды, а боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды, то говорят, что пирамида описана около конуса, или конус вписан в пирамиду (рис. 138).

Теорема 8.

Объем конуса равен третьей доле произведения площади Рис. 139 т его основания и высоты:

Доказательство:

Пусть есть конус с осью (рис. 139). В него впишем правильную пирамиду , а около него опишем правильную пи-рамиду . В соответствии с теоремой 4 объем первой пирамиды равен третьей доле произведения площади многоугольника и высоты пирамиды, т. е. высоты конуса, а объем второй — произведению площади многоугольника и той же высоты. Объем самого конуса заключен между этими числами.

Будем увеличивать количество сторон оснований пирамид. Тогда объем первой пирамиды будет увеличиваться, объем второй — уменьшаться, причем их разность стремится к нулю, если значение переменной неограниченно увеличивается. То число, к которому приближаются объемы обеих пирамид, принимается за объем конуса.

В описанном процессе высота пирамиды не изменяется, а площади обоих многоугольников — и — стремятся к площади круга, являющегося основанием конуса. Значит, объем конуса равен третьей доле произведения площади основания конуса и его высоты :

Теорема 9.

Если конус пересечь плоскостью, параллельной его основанию, то:

• а) образующая и высота разделяются на пропорциональные части;
• б) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

Используя рисунок 140, докажите эту теорему самостоятельно.

Секущая плоскость, параллельная основанию конуса, разделяет его на две части (рис. 141). Одна из этих частей также является конусом, а другая — телом, которое называется усеченным конусом.

Основание данного конуса и круг, полученный в сечении, называют основаниями усеченного конуса, а отрезок образующей данного конуса, заключенный между его основанием и секущей плоскостью, — образующей усеченного конуса (рис. 142). Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного его основания к плоскости другого основания.

Усеченный конус можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, к которой прилежат прямые углы (рис. 143).

Пример:

Найдем боковую поверхность усеченного конуса. Пусть есть усеченный конус, у которого радиусы оснований и равны и соответственно, а образующая равна (рис. 144).

Достроим его до полного конуса. Достроенная часть представляет собой конус, у которого радиус основания равен . Пусть образующая достроенного конуса равна .

Боковую поверхность усеченного конуса можно получить как разность боковых поверхностей и полного и достроенного конусов. Пусть и — длины окружностей нижнего и верхнего оснований усеченного конуса.

Найдем , учитывая подобие треугольников и :

Таким образом, боковая поверхность усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей его оснований и образующей.

Пример:

Используя рисунок 144, можно, как и для усеченной пирамиды (см. параграф 9), доказать, что объем усеченного конуса равен третьей доле произведения высоты конуса и суммы площадей и оснований конуса и их среднего геометрического :

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.