Как найти угол треугольника зная координаты вершин

Расчет треугольника по координатам вершин

Этот онлайн калькулятор по введенным координатам вершин вычисляет параметры треугольника: длины сторон, углы, периметр и площадь.

Этот онлайн калькулятор предназначен для быстрого вычисления ряда характеристик треугольника по координатам его вершин. Вы вводите координаты вершин A, B и C. Калькулятор рассчитывает по координатам следующие величины:

Обозначения треугольника

• длину стороны a — стороны, противолежащей вершине А
• длину стороны b — стороны, противолежащей вершине B
• длину стороны c — стороны, противолежащей вершине C
• значение угла α при вершине A
• значение угла β при вершине B
• значение угла γ при вершине C
• периметр треугольника
• площадь треугольника

Если нужно что-то еще, пишите в комментариях, добавим. Формулы расчета значений треугольника описаны под калькулятором.

Даны вершины треугольника ABC.

Построить треугольник, вершины которого находятся в точках А (2; 4), В (-3; 2), С (-3; -4). Найти:

1) уравнения сторон треугольника АВС;

2) координаты точки пересечения медиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Уравнение, прямой проходящей через две точки
1) Уравнения сторон треугольника АВС

2) Координаты точки пересечения медиан

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Координаты т. E как середины отрезка ВС.

Координаты т. К как середины отрезка АВ.

3) Длина и уравнение высоты, опущенной из вершины А

Расстояние от точки до прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) Площадь треугольника

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

По координатам вершин треугольника ABC найти:

• периметр треугольника;
• уравнения сторон AB и BC;
• уравнение высоты AD; угол ABC;
• площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Даны координаты вершин треугольникаА, В, С.

1) уравнение и длину стороны ВС;

2) уравнение и длину высоты, проведённой из вершиныА;

3) уравнение медианы, проведённой из вершиныА;

4) площадь треугольника.

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Решение от преподавателя:

1)

2)

3) Находим координаты точки М – середины стороны ВС:

Определяем длину медианы АМ:

4) Составляем уравнение медианы – прямой АМ:

5) Если ВН – высота, проведенная из вершины В к стороне АС, то, поскольку ВН проходит через точку В перпендикулярно вектору , то составляем уравнение высоты по формуле , где (a,b) – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой, – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Находим координаты вектора АС:

и подставляем в формулу, ,

6) Длину высоты ВН находим как расстояние от точки В до прямой АС:

7) Площадь треугольника АВС:

8) Находим угол ВАС треугольника:

9) Составляем уравнение прямой, проходящей через т.А параллельно ВС:

Ответ:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1. Уравнение прямой
   Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:
   
   Уравнение прямой AB
   Каноническое уравнение прямой:
   
   или
   
   или
   y = -3 /₇x + 16 /₇ или 7y + 3x — 16 = 0
2. Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
   
   
   M(3;1)
   Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-8;2) и М(3;1), поэтому:
   Каноническое уравнение прямой:
   
   или
   
   или
   y = -1 /₁₁x + 14 /₁₁ или 11y + x — 14 = 0
3. Уравнение высоты через вершину C
   Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
   
   Найдем уравнение высоты через вершину C
   
   y = 7 /₃x + 62 /₃ или 3y -7x — 62 = 0
4. уравнение параллельной прямой AB, проходящей через точку (-8,2)
   Уравнение прямой AB: y = -3 /₇x + 16 /₇
   Уравнение KN параллельно AB находится по формуле:
   y — y₀ = k(x — x₀)
   Подставляя x₀ = -8, k = -3 /₇, y₀ = 2 получим:
   y-2 = -3 /₇(x-(-8))
   или
   y = -3 /₇x — 10 /₇ или 7y + 3x +10 = 0

Пример 7:

Даны координаты вершин треугольника: A(1,1), B(4,13), C(10,5).

Решение от преподавателя:

1) Длина стороны AB.
Расстояние d между точками M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂) определяется по формуле:

2) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 4x -3 или y -4x +3 = 0, угловой коэффициент к₁=4
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 4 /₉x + 5 /₉ или 9y -4x — 5 = 0, угловой коэффициент к₂=4/9
3) Угол между прямыми

4) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину C

y = -1 /₄x + 15 /₂ или 4y +x -30 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой AB.
Уравнение AB: y = 4x -3, т.е. k₁ = 4
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1.
Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим:
4k = -1, откуда k = -1 /₄
Так как перпендикуляр проходит через точку C(10,5) и имеет k = -1 /₄,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).
Подставляя x₀ = 10, k = -1 /₄, y₀ = 5 получим:
y-5 = -1 /₄(x-10)
или
y = -1 /₄x + 15 /₂ или 4y + x — 30 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
y -4x +3 = 0
4y + x — 30 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 42 /₁₇
y = 117 /₁₇
D( 42 /₁₇; 117 /₁₇)
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой C(10;5) и прямой AB (y -4x +3 = 0)

5,7) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой Е. Тогда координаты точки Е найдем по формулам деления отрезка пополам.


Е(7;9)
Уравнение медианы AЕ найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A(1;1) иЕ(7;9), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 4 /₃x -1 /₃ или 3y -4x +1 = 0
Найдем длину медианы.
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M( 11 /₂;3)
Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(4;13) и М( 11 /₂;3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = -20 /₃x + 119 /₃ или 3y + 20x — 119 = 0
Найдем точку пересечения медиан.
Имеем систему из двух уравнений:
3y -4x +1 = 0
3y + 20x — 119 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 5
y = 19 /₃

6) CD—диаметр окружности. Центр окружности точка О лежит в середине отрезка CD

Уравнение окружности (x-x₀) 2 +(y-y₀) 2 =r 2

(x-106/17) 2 +(y-101/17) 2 =256/17

8) Уравнение прямой, параллельной CD, проходящей через точку A

Так как прямая проходит через точку А(1,1) и имеет k = -1 /₄, ( так как уравнение CD:y = -1 /₄x + 15 /₂ или 4y + x — 30 = 0 ),
то будем искать уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).
Подставляя x₀ = 1, k = -1 /₄, y₀ = 1получим:
y-1 = -1 /₄(x-1)
или
y = -1 /₄x + ¼+1 или 4y + x — 5 = 0

Пример 8:

Решение от преподавателя:

Точка D – середина стороны АВ , ее координаты равны полусумме координат А и В. Получим D(1, -1)

Пример 9:

Даны координаты вершин треугольника АВС: А (3,-2), В (-5,-4), С (-1,6).

Найдите: 1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС;

2) периметр (сумму длин) треугольника;

3) уравнение высоты СН;

4) расстояние d от точки С до прямой АВ;

5) сделайте чертеж.

Решение от преподавателя:

1) уравнения сторон треугольника АВ, ВС и АС

Уравнение, прямой проходящей через две точки

2) периметр (сумму длин) треугольника

Расстояние между двумя точками

3) уравнение высоты СН

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно другой прямой

4) расстояние d от точки С до прямой АВ

Расстояние от точки до прямой

Пример 10:

Найти: 1) уравнение стороны AB;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины C;

3) уравнение высоты, проведенной из вершины C ;

4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB .

A (6; 0), B (2; − 6), C (−3; −9).

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Дан треугольник с координатами вершин найти:

а) длину стороны AB;

б) косинус угла ABC;

в) площадь треугольника ABC (через векторное произведение);

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(6,0), B(2,-6), C(-3,-9).
1) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 3 /₂x -9 или 2y -3x +18 = 0

2) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(4;-3)
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(-3;-9) и М(4;-3), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 6 /₇x -45 /₇ или 7y -6x +45 = 0
3) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N₀(x₀;y₀) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину C

y = -2 /₃x -11 или 3y +2x + 33 = 0
4) Уравнение прямой, параллельной AB, проходящей через С(-3,-9)
Уравнение прямой AB: 2y -3x +18 = 0
Уравнение СN параллельно AB находится по формуле:

Пример 14:

Даны вершины треугольника А(8,1), В(0,3), С(-2,-3). Напишите уравнения стороны AB, медианы AD, высоты BE.

Решение от преподавателя:

Даны координаты вершин треугольника: A(8,1), B(0,3), C(-2,-3).
1) Уравнение прямой (АВ)
Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

или

или
4y + x — 12 = 0

2)Уравнение медианы (АD)

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(-1;0)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(8;1) и М(-1;0), поэтому:

или

или
y = 1 /₉x + 1 /₉ или 9y -x — 1 = 0
3) Уравнение высоты через вершину B

Найдем уравнение высоты через вершину B

Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой AC.

Уравнение прямой AC
уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

или

или
y = 2 /₅x -11 /₅ т.е. k₁ = 2 /₅
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k₁*k = -1.
Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой, получим:
2 /₅k = -1, откуда k = -5 /₂
Так как перпендикуляр проходит через точку B(0,3) и имеет k = -5 /₂,то будем искать его уравнение в виде: y-y₀ = k(x-x₀).
Подставляя x₀ = 0, k = -5 /₂, y₀ = 3 получим:
y-3 = -5 /₂(x-0)
или
y = -5 /₂x + 3 или 2y + 5x — 6 = 0 — уравнение (ВЕ)