Как найти тангенс если известен котангенс

Прошу, очень надо!!
Как найти синус, косинус и тангенс, если известен только котангенс??
Какие формулы использовать для нахождения?

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Есть равнобедренный треугольник АВС и точка М в нем. Угол МАС 10 градусов, МСА 30 градусов, АВС 80 градусов. Нужен угол ВМС и решение. Заранее благодарен

Составить предложения в Present Cont о том, что ваша мама, папа, бабушка, дедушка и вы делаете в канун нового года. К каждому придумать по 3 предложения. Итого у вас должно получится 15 предложений! Использовать можно фразы только уч: стр 46 упр 1. Другие фразы использовать НЕЛЬЗЯ. Если вы не помните, какой глагол ставить впереди, то используйте словарь в конце учебника стр WL5. Пример: Mum is doing the dusting; Grandma is doing the washing-up. 2) Уч: стр 46 упр 2 — контрольное чтение письма. 3) Из письма выписать все предложения, где есть PRESENT Cont..

Тригонометрические формулы

Для удобства сразу же приведем таблицу с всеми тригонометрическими тождествами. Всегда удобно открыть формулы в одном месте, выбрать нужную и решить пример. После таблицы мы по отдельности рассмотрим каждую тригонометрическую формулу: обсудим ее вывод и порешаем примеры.

Основное тригонометрическое тождество: $$\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2=1;$$
Определение тангенса и котангенса через синус и косинус: $$tg(\alpha)=\frac<\sin(\alpha)><\cos(\alpha)>;$$ $$ctg(\alpha)=\frac<\cos(\alpha)><\sin(\alpha)>;$$
Cвязь тангенса и котангенса: $$tg(\alpha)=\frac<1>;$$ $$tg(\alpha)*ctg(\alpha)=1;$$
Тангенс через косинус. Котангенс через синус: $$tg(\alpha)^2+1=\frac<1><\cos(\alpha)^2>;$$ $$ctg(\alpha)^2+1=\frac<1><\sin(\alpha)^2>;$$
Синус суммы и разности: $$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$
Косинус суммы и разности: $$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$
Тангенс суммы и разности: $$tg(\alpha+\beta)=\frac<1-tg(\alpha)*tg(\beta)>;$$ $$tg(\alpha-\beta)=\frac<1+tg(\alpha)*tg(\beta)>;$$
Котангенс суммы и разности: $$сtg(\alpha+\beta)=\frac<-1+сtg(\alpha)*ctg(\beta)>;$$ $$сtg(\alpha-\beta)=\frac<-1-сtg(\alpha)*ctg(\beta)>;$$
Двойной угол: $$\cos(2*\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=1-2*\sin(\alpha)^2=2*\cos(\alpha)^2-1;$$ $$\sin(2*\alpha)=2*\sin(\alpha)*\cos(\alpha);$$ $$tg(2*\alpha)=\frac<2*tg(\alpha)><1-tg(\alpha)^2>;$$ $$ctg(2*\alpha)=\frac<2*ctg(\alpha)>;$$
Тройной угол: $$\cos(3*\alpha)=\cos(\alpha)^3-3*\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)=-3*\cos(\alpha)+4*\cos(\alpha)^3;$$ $$\sin(3*\alpha)=3*\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3=3*\sin(\alpha)-4*\sin(\alpha)^3;$$ $$tg(3*\alpha)=\frac<3*tg(\alpha)-tg(\alpha)^3><1-3*tg(\alpha)^2>;$$ $$ctg(3*\alpha)=\frac<3*ctg(\alpha)^2-1>;$$
Формулы половинного угла: $$\sin(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1-\cos(\alpha)><2>;$$ $$\cos(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1+\cos(\alpha)><2>;$$ $$tg(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1-\cos(\alpha)><1+\cos(\alpha)>;$$ $$ctg(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1+\cos(\alpha)><1-\cos(\alpha)>;$$
Понижение степени: $$\sin(\alpha)^2=\frac<1-\cos(2*\alpha)><2>;$$ $$\cos(\alpha)^2=\frac<1+\cos(2*\alpha)><2>;$$ $$\sin(\alpha)^3=\frac<3*\sin(\alpha)-\sin(3*\alpha)><4>;$$ $$\cos(\alpha)^3=\frac<3*\cos(\alpha)+\cos(3*\alpha)><4>;$$ $$\sin(\alpha)^4=\frac<3-4*\cos(2*\alpha)+\cos(4*\alpha)><8>;$$ $$\cos(\alpha)^4=\frac<3+4*\cos(2*\alpha)+\cos(4*\alpha)><8>;$$
Преобразование суммы и разности тригонометрических функций: $$\sin(\alpha)+\sin(\beta)=2*\sin\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\cos\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right);$$ $$\sin(\alpha)-\sin(\beta)=2*\sin\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right)*\cos\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right);$$ $$\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2*\cos\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\cos\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right);$$ $$\cos(\alpha)-\cos(\beta)=-2*\sin\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\sin\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right);$$ $$\cos(\alpha)-\cos(\beta)=2*\sin\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\sin\left(\frac<\beta-\alpha><2>\right);$$ $$tg(\alpha)+tg(\beta)=\frac<\sin(\alpha+\beta)><\cos(\alpha)*\cos(\beta)>;$$ $$tg(\alpha)-tg(\beta)=\frac<\sin(\alpha-\beta)><\cos(\alpha)*\cos(\beta)>;$$ $$ctg(\alpha)+ctg(\beta)=\frac<\sin(\alpha+\beta)><\sin(\alpha)*\sin(\beta)>;$$ $$ctg(\alpha)-ctg(\beta)=\frac<\sin(\beta-\alpha)><\sin(\alpha)*\sin(\beta)>;$$
Преобразование произведения тригонометрических функций: $$\sin(\alpha)*\sin(\beta)=\frac<1><2>*\left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right);$$ $$\cos(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*\left(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right);$$ $$\sin(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*\left(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\right);$$
Формулы подстановки тангенса: $$\sin(\alpha)=\frac<2*tg(\frac<\alpha><2>)><1+tg(\frac<\alpha><2>)^2>;$$ $$\cos(\alpha)=\frac<1-tg(\frac<\alpha><2>)^2><1+tg(\frac<\alpha><2>)^2>;$$ $$tg(\alpha)=\frac<2*tg(\frac<\alpha><2>)><1-tg(\frac<\alpha><2>)^2>;$$ $$ctg(\alpha)=\frac<1-tg(\frac<\alpha><2>)^2><2*tg(\frac<\alpha><2>)>;$$
Формулы приведения можно найти в отдельной статье

Зачем нужны тригонометрические формулы?

Как видите, тригонометрических формул очень много. Тут еще и не все приведены. Но на ваше счастье, учить всю эту таблицу не нужно. Достаточно знать только основные: №1-6, 9. Остальные на ЕГЭ по профильной математике встречаются крайне редко, а если и попадутся, то, скорее всего, будут даны в справочных материалах.

Но для участия в олимпиадах или, если вы хотите поступать в сильный математический ВУЗ через вступительные экзамены, то вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, у вас точно должно быть представление о существовании таких формул, чтобы их вывести в случае необходимости. Да, большинство из них легко выводятся.

Тригонометрические формулы нужны, чтобы связать все тригонометрические функции между собой. Если вы знаете одну из функций, например, синус, то, используя эти формулы, можно легко найти оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме этого тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус от двойного угла через комбинацию тригонометрических функций от одинарного угла, что бывает очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Обсудим и порешаем примеры на все формулы из таблицы.

Основное тригонометрическое тождество

Эту формулу можно считать главной и самой часто используемой в тригонометрии. Она выводится при помощи определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним можно познакомиться в самой первой главе по тригонометрии.

При помощи основного тригонометрического тождества очень удобно искать значение синуса, если известен косинус и наоборот. Разберем пример:

Пример 1 Найдите $3\sqrt<2>*\sin(\alpha)=?$, если $\cos(\alpha)=\frac<1><3>$ и $\alpha\in(0;\frac<\pi><2>)$. (ЕГЭ)

Чтобы найти значение выражения $3\sqrt<2>*\sin(\alpha)$ необходимо сначала найти значение синуса.

Формула, которая связывает и синус, и косинус — это основное тригонометрическое тождество: $$\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2=1;$$ Просто подставим в нее известное значение косинуса $$\sin(\alpha)^2+\left(\frac<1><3>\right)^2=1;$$ $$\sin(\alpha)^2+\frac<1><9>=1;$$ $$\sin(\alpha)^2=1-\frac<1><9>;$$ $$\sin(\alpha)^2=\frac<8><9>;$$ $$\sin(\alpha)=\pm\sqrt<\frac<8><9>>=\pm\frac<2\sqrt<2>><3>;$$ Обратите внимание на знак $\pm$, отрицательное значение синуса нас тоже устраивает, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает.

В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ. Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?

В этом нам поможет дополнительное условие на $\alpha\in(0;\frac<\pi><2>)$, что соответсвует первой четверти на тригонометрической окружности. Раз $\alpha$ лежит в первой четверти, то синус должен быть положительный. Выбираем положительное значение синуса: $$\sin(\alpha)=\frac<2\sqrt<2>><3>;$$ И подставим найденное значение в искомое выражение: $$3\sqrt<2>*\sin(\alpha)=3\sqrt<2>*\frac<2\sqrt<2>><3>=4.$$

Аналогично по основному тригонометрическому тождеству можно находить значение косинуса, если известен синус.

Основные тригонометрическое тождество это ключ к решению более половины всех тригонометрических уравнений.

Основные связи тригонометрических функций

А как найти тангенс или котангенс, если нам, например, известен косинус? Посмотрите на формулы №2, для того, чтобы найти тангенс, нужно знать и косинус, и синус: $$\mathbf<\cos(\alpha)>;>$$ $$\mathbf<\sin(\alpha)>;>$$ Но зная косинус, мы легко можем найти синус по основному тригонометрическому тождеству, а потом уже найти тангенс.

Пример 2 Найдите $tg(\alpha)$ и $ctg(\alpha)$, если $\cos(\alpha)=\frac<\sqrt<10>><10>$ и $\alpha \in (\frac<3\pi><2>;2\pi)$.

Сначала находим значение синуса: $$\sin(\alpha)^2+\cos(\alpha)^2=1;$$ $$\sin(\alpha)^2+\left(\frac<\sqrt<10>><10>\right)^2=1;$$ $$\sin(\alpha)^2+\frac<1><10>=1;$$ $$\sin(\alpha)^2=1-\frac<1><10>;$$ $$\sin(\alpha)^2=\frac<9><10>;$$ $$\sin(\alpha)=\pm\sqrt<\frac<9><10>>=\pm\frac<3><\sqrt<10>>;$$ Так как по условию задачи $\alpha \in (\frac<3\pi><2>;2\pi)$, что соответсвует четвертой четверти на тригонометрической окружности, то $\sin(\alpha) Упростить выражение \(sin(\frac<\pi><2>+\alpha)$.

Воспользуемся формулой синуса суммы: $$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(\frac<\pi><2>+\alpha)=\sin(\frac<\pi><2>)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(\frac<\pi><2>)=$$ $$=1*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*0=\cos(\alpha);$$

Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:

Пример 4 Найдите значение $\sin(15^o)=?$

$15^o$ нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим $15^o$ в виде разности стандартных углов $15^o=45^o-30^o$. И воспользуемся формулой синуса разности: $$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(15^o)=\sin(45^o-30^o)=\sin(45^o)*\cos(30^o)-\sin(30^o)*\cos(45^o)=$$ $$=\frac<\sqrt<2>><2>*\frac<\sqrt<3>><2>-\frac<1><2>*\frac<\sqrt<2>><2>=$$ $$=\frac<\sqrt<6>><4>-\frac<\sqrt<2>><4>=\frac<\sqrt<6>-\sqrt<2>><4>;$$ Вот мы наши синус $15^o$. Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.

Пример 5 Найдите значение $\cos(75^o)=?$

$75^o$ можно представить в виде суммы стандартных углов $75^o=30^o+45^o$. Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы: $$\cos(\alpha+\beta)=\cos(30^o)*\cos(45^o)-\sin(30^0)*\sin(45^0)=$$ $$=\frac<\sqrt<3>><2>*\frac<\sqrt<2>><2>-\frac<1><2>*\frac<\sqrt<2>><2>=$$ $$=\frac<\sqrt<6>><4>-\frac<\sqrt<2>><4>=\frac<\sqrt<6>-\sqrt<2>><4>;$$ У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что $\cos(75^o)=\sin(15^o)$. Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.

Мы не будем выводить эти формулы — это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла для синуса, косинуса, тангенса и котангенса дают возможность выразить двойной угол $2\alpha$ через $\alpha$. Формулы для синуса и косинуса очень часто встречаются на ЕГЭ. Их обязательно нужно знать. Все они легко выводятся из формул синуса и косинуса суммы (формулы №5 и №6) : $$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha+\alpha)=\cos(\alpha)*\cos(\alpha)-\sin(\alpha)*\sin(\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2;$$ Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством можно преобразовать эту формулу: $$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=1-\sin(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=1-2\sin(\alpha)^2;$$ $$\cos(2\alpha)=\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=\cos(\alpha)^2-(1-\cos(\alpha)^2)=2\cos(\alpha)^2-1;$$ Синус двойного угла выводится аналогичным образом только с использованием формулы синуса суммы: $$\sin(2\alpha)=\sin(\alpha)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha);$$

В первой части на ЕГЭ попадаются номера на преобразование тригонометрических выражений, где часто содержится двойной угол:

Пример 6 Найти значение $24\cos(2\alpha)=?$, если $\sin(\alpha)=-0,2.$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $$\cos(2\alpha)=1-2\sin(\alpha)^2;$$ $$24\cos(2\alpha)=24(1-2\sin(\alpha)^2)=24-48\sin(\alpha)^2=24-48*(-0,2)^2=24-48*0,04=22,08.$$

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла обычно попадаются на математических олимпиадах или вступительных экзаменах в математические ВУЗы. Учить их необязательно, но знать о существовании полезно, тем более, что они достаточно легко выводятся. $$\cos(3*\alpha)=\cos(\alpha)^3-3*\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)=-3*\cos(\alpha)+4*\cos(\alpha)^3;$$ $$\sin(3*\alpha)=3*\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3=3*\sin(\alpha)-4*\sin(\alpha)^3;$$ $$tg(3*\alpha)=\frac<3*tg(\alpha)-tg(\alpha)^3><1-3*tg(\alpha)^2>;$$ $$ctg(3*\alpha)=\frac<3*ctg(\alpha)^2-1>;$$

Выведем эти формулы, использую формулы сложения. Начнем с косинуса тройного угла: $$\cos(3*\alpha)=\cos(2\alpha+\alpha)=\cos(2\alpha)*\cos(\alpha)-\sin(2\alpha)*\sin(\alpha)=$$ $$=(\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2)*\cos(\alpha)-2\sin(\alpha)*\cos(\alpha)*\sin(\alpha)=$$ $$=\cos(\alpha)^3-\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)-2\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)=$$ $$=\cos(\alpha)^3-3\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha);$$

Если расписать $sin(\alpha)^2=1-\cos(\alpha)^2$, то получим еще один вариант формулы тройного угла: $$\cos(3*\alpha)=cos(\alpha)^3-3\sin(\alpha)^2*\cos(\alpha)=cos(\alpha)^3-3(1-\cos(\alpha)^2)*\cos(\alpha)=$$ $$=4\cos(\alpha)^3-3\cos(\alpha);$$

Аналогично выводится формула синуса тройного угла: $$\sin(3\alpha)=\sin(2\alpha+\alpha)=\sin(2\alpha)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(2\alpha)=$$ $$=2\sin(\alpha)*\cos(\alpha)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*(\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2)=$$ $$=2\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2+\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3=3\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3;$$ Распишем по основному тригонометрическому тождеству $\cos(\alpha)^2=1-\sin(\alpha)^2$ и подставим: $$\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)*\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^3=$$ $$=3\sin(\alpha)*(1-\sin(\alpha)^2)-\sin(\alpha)^3=3\sin(\alpha)-4\sin(\alpha)^3;$$

Для тангенса и котангенса формулы тройного угла здесь выводить не будем, так как они достаточно редки. Но в качестве упражнения можете сами выполнить вывод, представив тангенс или котангенс по определению: через отношение синуса тройного угла к косинусу тройного угла или наоборот соотвественно.

Формулы тройного угла обычно используются при преобразовании сложных тригонометрических выражений. Например, на вступительных экзаменах в МФТИ любят давать тригонометрические уравнения на тройной угол и больше.

Формулы половинного угла (двойного аргумента)

Формулы половинного угла это по сути формулы обратные формулам двойного угла. Достаточно запомнить их элементарный вывод, тогда учить совсем необязательно. Здесь важный момент, что любой угол $\alpha$ всегда можно представить в виде удвоенного угла $\frac<\alpha><2>$: $$\alpha=2*\frac<\alpha><2>;$$ Выведем формулу синуса половинного угла, для этого нам понадобится формула косинуса двойного угла: $$\cos(\alpha)=1-2*\sin(\frac<\alpha><2>)^2;$$ Выразим отсюда $\sin(\frac<\alpha><2>)$: $$\sin(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1-\cos(\alpha)><2>;$$ Иногда эту формулу записывают без квадрата: $$\sin(\frac<\alpha><2>)=\pm\sqrt<\frac<1-\cos(\alpha)><2>>;$$ Плюс минус возникает при избавлении от квадрата. Вывод косинуса половинного угла тоже получается из формулы косинуса двойного угла: $$\cos(\alpha)=2*\cos(\frac<\alpha><2>)^2-1;$$ $$\cos(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<\cos(\alpha)+1><2>;$$ $$\cos(\frac<\alpha><2>)=\pm\sqrt<\frac<\cos(\alpha)+1><2>>;$$

Пример 9 При помощи формул половинного угла можно, например, посчитать $\cos(15^o)$:

$$\cos(\frac<\alpha><2>)^2=\frac<1+\cos(\alpha)><2>;$$ $$\cos(15^o)^2=\frac<1+\cos(30^o)><2>=\frac<1+\frac<\sqrt<3>><2>><2>=\frac<2+\sqrt<3>><4>;$$ $$\cos(15^o)=\sqrt<\frac<2+\sqrt<3>><4>>.$$ Кстати, формулы половинного угла справедливы не только в явном виде, когда аргумент правой части формулы $\alpha$, а левой $\frac<\alpha><2>$. Но и в неявном, достаточно, чтобы аргумент правой части был больше аргумента левой в два раза: $$\sin(5\alpha)=\pm\sqrt<\frac<1-\cos(10\alpha)><2>>;$$

Формулы понижения степени

Формулы понижения второй степени на самом деле дублируют формулы половинного угла.

Формулы понижения третей степени перестановкой слагаемых дублируют формулы тройного угла.

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:

Формулы для суммы и разности тригонометрических функций полезны, если необходимо превратить сумму двух функций в произведение. Они в основном используются в уравнениях и преобразованиях сложных выражений, когда необходимо слагаемые разложить на множители.

Для вывода формул суммы и разности синусов и косинусов нам понадобится пара трюков и формулы синуса и косинуса суммы и разности (тут можно запутаться, в названиях формул, будьте внимательны). Вывод получается не самый очевидный.

Обратите внимание, что любой угол $\alpha$ можно представить в таком странном виде: $$\alpha=\frac<\alpha><2>+\frac<\alpha><2>+\frac<\beta><2>-\frac<\beta><2>=\frac<\alpha+\beta><2>+\frac<\alpha-\beta><2>;$$ Аналогично угол $\beta$: $$\beta=\frac<\alpha+\beta><2>-\frac<\alpha-\beta><2>;$$ Эти странности нам понадобятся при выводе формул, просто обратите на них внимание. А теперь перейдем непосредственно к выводу формулы суммы синусов двух углов. Для начала распишем угла $\alpha$ и $\beta$ по формулам выше: $$\sin(\alpha)+\sin(\beta)=\sin(\frac<\alpha+\beta><2>+\frac<\alpha-\beta><2>)+\sin(\frac<\alpha+\beta><2>-\frac<\alpha-\beta><2>); \qquad (*)$$ Теперь воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности: $$\sin(\gamma+\sigma)=\sin(\gamma)*\cos(\sigma)+\sin(\sigma)*\cos(\gamma);$$ $$\sin(\gamma-\sigma)=\sin(\gamma)*\cos(\sigma)-\sin(\sigma)*\cos(\gamma);$$ Только у нас под синусами будут стоять не $\gamma$ и $\sigma$, а целые выражения. Пусть: $$\gamma=\frac<\alpha+\beta><2>;$$ $$\sigma=\frac<\alpha-\beta><2>;$$ Применим формулы синуса суммы и разности в (*): $$\sin(\alpha)+\sin(\beta)=\sin(\frac<\alpha+\beta><2>+\frac<\alpha-\beta><2>)+\sin(\frac<\alpha+\beta><2>-\frac<\alpha-\beta><2>)=$$ $$=\left(\sin(\frac<\alpha+\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha-\beta><2>)+\sin(\frac<\alpha-\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha+\beta><2>)\right)+$$ $$+\left(\sin(\frac<\alpha+\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha-\beta><2>)-\sin(\frac<\alpha-\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha+\beta><2>)\right)=$$ $$=2*\sin(\frac<\alpha+\beta><2>)*\cos(\frac<\alpha-\beta><2>); $$ В самом конце мы просто раскрыли большие скобки и привели подобные слагаемые.

Аналогично выводятся все остальные формулы.

Пример 10 Вычислить $\sin(165)+\sin(75)=?$

$165^o$ и $75^o$ это не табличные углы. Значения синусов этих углов мы не знаем. Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы синусов: $$\sin(\alpha)+\sin(\beta)=2*\sin\left(\frac<\alpha+\beta><2>\right)*\cos\left(\frac<\alpha-\beta><2>\right);$$ $$\sin(165^o)+\sin(75^o)=2*\sin\left(\frac<165^o+75^o><2>\right)*\cos\left(\frac<165^o-75^o><2>\right)=$$ $$=2*\sin(120^o)*\cos(45^o)=2*\frac<\sqrt<3>><2>*\frac<\sqrt<2>><2>=\frac<\sqrt<6>><2>.$$

Преобразование произведения тригонометрических функций

В некотором смысле формулы произведения синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются обратными к тригонометрическим формулам суммы и разности тригонометрических функций. При помощи этих формул возможно перейти от произведения к сумме или разности.

Для вывода нам опять понадобятся формулы косинуса суммы и разности: $$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ $$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$

Сложим эти две формулы. Для этого складываем их левые части и приравниваем сумме правых частей: $$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\sin(\alpha)+\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ Приводим подобные слагаемые: $$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2*\cos(\alpha)*\cos(\beta);$$ Отсюда получаем: $$\cos(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta));$$ Формула произведения косинусов доказана.

Произведение синусов доказывается похожим образом. Для этого домножим формулу косинуса суммы слева и справа на $(-1)$: $$-\cos(\alpha+\beta)=-\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ Косинус разности оставим без изменений: $$\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ Сложим опять эти две формулы: $$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha)-\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ $$\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2*\sin(\beta)*\sin(\alpha);$$ $$\sin(\beta)*\sin(\alpha)=\frac<1><2>*(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta));$$ Произведение синусов тоже доказано.

Для того, чтобы вывести формулу произведения синуса и косинуса, нам понадобятся формулы синуса суммы и разности: $$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ Сложим их: $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$ $$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2*\sin(\alpha)*\cos(\beta);$$ $$\sin(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta));$$

Пример 11 Вычислить $\sin(75^o)*\cos(15^o)=?$

Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса: $$\sin(\alpha)*\cos(\beta)=\frac<1><2>*(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta));$$ $$\sin(75^o)*\cos(15^o)=\frac<1><2>*(\sin(75^o+15^o)+\sin(75^o-15^o))=$$ $$=\frac<1><2>*(\sin(90^o)+\sin(60^o))=\frac<1><2>*(1+\frac<\sqrt<3>><2>)=\frac<2+\sqrt<3>><4>.$$

Как котангенс перевести в тангенс в уравнении

Универсальная тригонометрическая подстановка, вывод формул, примеры

Данная статья посвящена разбору такой темы, как универсальная тригонометрическая подстановка. Суть данного термина состоит в том, что мы находим значение любой тригонометрической функции ( sin α , cos α , t g α , c t g α ) через формулу тангенса половинного угла. Этот вариант намного проще и рациональнее, так как выполнять дальнейшие вычисления легче без корней, а с целыми числами.

Мы подробно рассмотрим этот раздел. Для начала мы расскажем вам о формулах тангенса половинного угла, которой мы будем часто пользоваться. После мы перейдем к практическому применении формул, рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.

Универсальная тригонометрическая подстановка для sin α , cos α , t g α , c t g α

Во введении мы рассказали, что основной темой этого раздела станет основная тригонометрическая подстановка. Для начала запишем и разберем формулы, с помощью которых можно выразить sin α , cos α , t g α , c t g α через тангенс половинного угла α 2 .

sin α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 , cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 , c t g = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2

Указанные формулы будут правильны для всех углов α . Для работы в задаче должен быть определен входящие тангенсы и котангенсы.

Формулы для sin α и cos α , sin α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 и cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 имеют место для a ≠ π + 2 π · z , где z – любое целое число, так как при a = π + 2 π · z , t g α 2 не определен.

Формула t g α = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 справедлива для α ≠ π 2 + π · z и a ≠ π + 2 π · z , так как при a = π 2 + π · z не определен t g α Знаменатель дроби обращается в нуль, а при α = π + 2 π · z не определен t g α 2 .

Формула c t g = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2 , выражающая c t g через t g α 2 , справедлива для a ≠ π · z , так как при a = π · z не определен c t g , при a = π + 2 π · z не определен t g α 2 , а при α = 2 π · z знаменатель дроби обращается в нуль.

Вывод формул

Разберем вывод формул, выражающих sin α , cos α , t g α , c t g α через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса. Представим синус и косинус по формулам двойного угла как sin α = 2 · sin α 2 · cos α 2 и cos α = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 соответственно. Теперь выражения 2 · sin α 2 · cos α 2 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 запишем в виде дробей со знаменателем 1 как 2 · sin α 2 · cos α 2 1 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 1 . Воспользуемся основным тождеством из тригонометрии и заменим единицы в знаменателе на сумму квадратов sin и cos , после чего получаем 2 · sin α 2 · cos α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2

Для решения данного выражения необходимо числитель и знаменатель полученных дробей разделить на cos 2 α 2 (его значение не равно нулю при условии α ≠ π + 2 π · z ). Вся формула будет выглядеть так sin α = 2 · sin α 2 · cos α 2 = 2 · sin α 2 · cos α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 = 2 · sin α 2 · cos α 2 cos 2 α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 cos 2 α 2 = 2 · sin α 2 cos α 2 sin 2 α 2 с os 2 α 2 + cos 2 α 2 с os 2 α 2 = 2 · t g α 2 t g 2 α 2 + 1

и cos α = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 = c os 2 α 2 — sin 2 α 2 1 = c os 2 α 2 — sin 2 α 2 sin 2 α 2 + c os 2 α 2 = = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 c os 2 α 2 sin 2 α 2 + c os 2 α 2 c os 2 α 2 = cos 2 α 2 cos 2 α 2 — sin 2 α 2 cos 2 α 2 sin 2 α 2 c os 2 α 2 + cos 2 α 2 c os 2 α 2 = 1 — t g 2 α 2 t g 2 α 2 + 1

Мы закончили вывод формул для sin и cos , завершив все вычислительные действия.

Следующий шаг – это вывод определенных формул для нахождения t g и c t g .

Взяв за основу описанные выше примеры t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , мы сразу получаем формулы, которые выражают тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:

t g α = sin α cos α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 ;

c t g α = cos α sin α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2 ;

В этом разделе мы нашли все формулы, которые нам потребуются для выражения основных тригонометрических функций.

Примеры использования в задачах и упражнениях

Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.

Необходимо привести 2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 к примеру, который содержит только одну функцию t g 2 α .

В данном упражнении мы также воспользуемся универсальной подстановкой, которая является одним из важных правил тригонометрии. Применим к косинусу и синусу 4 α те самые формулировки, которые выражают основные функции через тангенс половинного угла. Получив сложное выражение, нам остается только его упростить.

2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 = 2 + t g 2 2 α t g 2 2 α + 1 2 · t g 2 α t g 2 2 α + 1 — 5 = 2 · t g 2 2 α + 2 + 3 — 3 · t g 2 2 α t g 2 2 α + 1 2 · t g 2 α — 5 · 2 · t g 2 2 α — 5 t g 2 2 α + 1 = t g 2 2 α — 5 5 · t g 2 2 α — 2 · t g 2 α + 5

2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 = t g 2 2 α — 5 5 · t g 2 2 α — 2 · t g 2 α + 5 .

Вспомним, что во введении мы подробно рассказали, как менять sin α , cos α , t g α , c t g α в частных случаях. Она заключается в том, чтобы преобразовать первоначальное рациональное выражение, содержащее sin , cos , t g и c t g , к выражению с одной функцией благодаря формуле. Это намного проще и понятнее. Мы выражаем все формулы через t g половинного угла. Данное преобразование обязательно пригодится при решении разнообразных уравнений и задач, интегрировании основных функций sin α , cos α , t g α , c t g α .

Как котангенс перевести в тангенс в уравнении

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .

Универсальная тригонометрическая подстановка, вывод формул, примеры.

В этой статье мы поговорим об универсальной тригонометрической подстановке. Она подразумевает выражение синуса, косинуса, тангенса и котангенса какого-либо угла через тангенс половинного угла. Более того, такая замена проводится рационально, то есть, без корней.

Сначала мы запишем формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла. Дальше покажем вывод этих формул. А в заключение рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.

Навигация по странице.

Синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла

Для начала запишем четыре формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тангенс половинного угла .

Указанные формулы справедливы для всех углов , при которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы:

Например, формулы для синуса и косинуса и имеют место для , где z – любое целое число, так как при тангенс половинного угла не определен.
Формула справедлива для и , так как при не определен тангенс угла , и более того обращается в нуль знаменатель дроби, а при не определен тангенс половинного угла.
Формула , выражающая котангенс через тангенс половинного угла, справедлива для , так как при не определен котангенс, при не определен тангенс половинного угла, а при знаменатель дроби обращается в нуль.

Вывод формул

Разберем вывод формул, выражающих синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса.

Представим синус и косинус по формулам двойного угла как и соответственно. Теперь выражения и запишем в виде дробей со знаменателем 1 как и . Дальше на базе основного тригонометрического тождества заменяем единицы в знаменателе на сумму квадратов синуса и косинуса, после чего получаем и . Наконец, числитель и знаменатель полученных дробей делим на (его значение отлично от нуля при условии ). В итоге, вся цепочка действий выглядит так:

и

На этом вывод формул, выражающих синус и косинус через тангенс половинного угла, закончен.

Осталось вывести формулы для тангенса и котангенса. Теперь, учитывая полученные выше формулы, и формулы и , сразу получаем формулы, выражающие тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:

Итак, мы вывели все формулы для универсальной тригонометрической подстановки.

Примеры использования универсальной тригонометрической подстановки

Приведите выражение к выражению, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию .

Здесь следует использовать универсальную тригонометрическую подстановку. Применим к косинусу и синусу четырех альфа формулы, выражающие их через тангенс половинного угла. В результате останется лишь упростить вид полученного выражения, имеем

Как мы уже сказали в самом начале статьи, основное предназначение универсальной тригонометрической подстановки заключается в преобразовании исходного рационального тригонометрического выражения, содержащего синус, косинус, тангенс и котангенс, к рациональному выражению с одной единственной тригонометрической функцией, а именно, с тангенсом половинного угла. А такое преобразование особенно полезно при решении тригонометрических уравнений определенного вида, а также при интегрировании тригонометрических функций.