Как найти тангенс угла в треугольнике не прямоугольном

Что такое синус, косинус и тангенс в НЕ прямоугольном треугольнике? P.S. я имею в виду не формулы синуса, косинуса и тангенса, а именно определение. Что они из себя представляют? В прямоугольном треугольнике знаю, что синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе и т.п., а вот не в прямоугольном?

aliena2345

Синус (sin) – это одна из прямых тригонометрических функций. Находить синус угла в произвольном треугольнике проще всего с использованием теоремы косинусов (cos): квадрат длины любой стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон за минусом их удвоенного произведения на косинус угла между ними.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс

Сегодня мы узнаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Это первый и самый важный урок по тригонометрии на всём сайте.

Ключевые определения: синус, косинус, тангенс, котангенс. ? . . .

Никаких сложных формул и длинных решений. Всё расписано максимально подробно. Изучите этот урок — и никаких проблем с тригонометрией не будет. Погнали!

1. Ключевые определения

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha $:

Мы видим, что острый угол $\alpha $ образован гипотенузой $c$ и катетом $b$. Такой катет будем называть прилежащим. А катет $a$, который не участвует в формировании угла $\alpha $, назовём противолежащим:

Это общепринятые названия: как только в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, для него немедленно можно указать прилежащий катет и противолежащий. И тут мы переходим к ключевым определениям.

1.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс

Итак, пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $.

Вот так всё просто! Берём один катет, делим его на гипотенузы (или на другой катет) — и получаем выражение для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти выражения называются тригонометрическими («тригонометрия» = «треугольники измеряю»).

Рассмотрим пару примеров.

Задача 1. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $\alpha $.

Решение. Это классический прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Угол $\alpha $ (он же — угол $A$ или угол $BAC$) образован прилежащим катетом $AB=3$гипотенузой $AC=5$. Следовательно катет $BC=4$ — противолежащий.

Имеем:

\[\begin\sin \alpha& =\frac=\frac<5> <4>\\ \cos \alpha& =\frac=\frac<3> <5>\\ \operatorname\alpha& =\frac=\frac<4> <3>\end\]

Далеко не всегда будут получаться такие красивые ответы. Чаще они будут содержать корни — это следствие теоремы Пифагора. Но важно понимать: как только мы находим длины катетов и гипотенузу, мы сразу можем найти и синусы, косинусы, тангенсы.

Далее в примерах мы не будем считать котангенсы, потому что из формулы котангенса очевидно, что они легко выражаются через тангенсы:

Но об этом чуть позже.

Задача 2. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $\alpha $.

Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AB=BC=1$. Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

\[\begin<< AC>^<2>> & =<^<2>>+<^<2>>=1+1=2 \\ AC & =\sqrt <2>\\ \end\]

Теперь найдём синус, косинус и тангенс:

\[\begin\sin \alpha &=\frac=\frac<1><\sqrt<2>>=\frac<\sqrt<2>> <2>\\ \cos \alpha &=\frac=\frac<1><\sqrt<2>>=\frac<\sqrt<2>> <2>\\ \operatorname\alpha&=\frac=\frac<1><1>=1 \end\]

Простое правило, чтобы не запутаться, где прилежащий катет, а где противолежащий. Просто помните: приставка «ко» означает «вместе», «сообща». Поэтому «косинус» — это «катет, лежащий рядом, к гипотенузе», «котангенс» — это «катет, лежащий рядом, к противолежащему». И никак иначе.:)

1.2. Задачи для тренировки

Перед тем как переходить к следующей части урока, предлагаю 4 примера для тренировки.

Задача 3. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $.

Решение.

\[\begin\sin \alpha &=\frac<5> <13>\\ \cos \alpha &=\frac<12> <13>\\ \operatorname\alpha &=\frac<5> <12>\\ \end\]

Задача 4. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $.

Решение.

\[\begin\sin \alpha &=\frac<8> <17>\\ \cos \alpha &=\frac<15> <17>\\ \operatorname\alpha &=\frac<8> <15>\\ \end\]

Задача 5. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $.

Прилежащий катет по теореме Пифагора:

\[\begin<^<2>>&=<<3>^<2>>-<<1>^<2>>=9-1=8 \\ l&=\sqrt<8>=2\sqrt <2>\\ \end\]

Синус, косинус и тангенс:

\[\begin\sin \alpha&=\frac<1> <3>\\ \cos \alpha&=\frac<2\sqrt<2>> <3>\\ \operatorname\alpha&=\frac<1><2\sqrt<2>>=\frac<\sqrt<2>> <4>\\ \end\]

Задача 6. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha $. Найдите $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $.

Прилежащий катет по теореме Пифагора:

\[\begin<^<2>> &=<<2>^<2>>-<<1>^<2>>=4-1=3 \\ l &=\sqrt <3>\\ \end\]

Синус, косинус и тангенс:

\[\begin\sin \alpha&=\frac<1> <2>\\ \cos \alpha&=\frac<\sqrt<3>> <2>\\ \operatorname\alpha&=\frac<1><\sqrt<3>>=\frac<\sqrt<3>> <3>\\ \end\]

Как видим, считать синусы, косинусы и тангенсы совсем несложно. Перейдём теперь к принципиально важному вопросу: а зачем вообще всё это нужно?

2. Теорема о единственности

Ключевая идея: синус, косинус, тангенс и котангенс зависят только от величины угла $\alpha $ и никак не зависят от прямоугольного треугольника, в котором идут вычисления.

Такого не произойдёт. Потому что есть теорема о единственности.

2.1. Формулировка теоремы

Теорема. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике определяются только величиной этого угла и никак не зависят от самого треугольника.

2.2. Доказательство

Рассмотрим произвольный острый угол $\alpha $. Для удобства обозначим его вершину буквой $A$:

А затем впишем в него два произвольных прямоугольных треугольника — $ABC$ и $AMN$. Любым удобным способом. Например, можно вписать эти треугольники вот так:

А можно и вот так — это не имеет никакого значения:

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMN$. Угол $A$ у них общий; углы \[\angle ABC=\angle AMN=90<>^\circ \] по условию. Следовательно, треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны по двум углам:

\[\Delta ABC\sim \Delta AMN\]

Из подобия треугольников следует двойное равенство

Выпишем второе равенство — получим пропорцию

Попробуем выразить $\sin \alpha $. Вспомним основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому

\[BC\cdot AN=MN\cdot AC\]

Разделим обе части равенства на длину каждой гипотенузы — $AN$ и $AC$:

Однако по определению синуса имеем:

Получается, что $\sin BAC=\sin MAN$. Другими словами, вне зависимости от выбора треугольника для данного угла $\alpha $ мы всегда будем получать одно и то же значение $\sin \alpha $.

То же самое касается и $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $ и $\operatorname\alpha $ — они зависят лишь от градусной меры угла $\alpha $ и никак не зависят от конкретного прямоугольного треугольника, в котором они находятся. Теорема доказана.

3. Стандартные углы

Итак, значения $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $ и $\operatorname\alpha $ однозначно определяются величиной угла $\alpha $. Нам не важен треугольник — важна только градусная мера угла. Можно один раз посчитать синусы, косинусы и т.д. для нужных углов, а затем просто подставлять их.

Но тут мы сталкиваемся с проблемой, из-за которой многие как раз и не понимают тригонометрию. Проблема состоит из двух пунктов:

Для большинства углов $\alpha $ нельзя найти точные значения $\sin \alpha $, $\cos \alpha $, $\operatorname\alpha $.
Верно и обратное: для большинства «красивых» $\sin \alpha $, $\cos \alpha $ и т.д. нельзя подобрать подходящий угол $\alpha $.

Звучит немного непонятно, поэтому разберём каждый пункт на конкретных примерах.

3.1. Три стандартных угла

Существует лишь три острых угла, для которых легко считаются синусы, косинусы и т.д. Это 30°, 45°, 60°. Вот их синусы, косинусы и тангенсы:

Чтобы понять, чем эти углы такие особенные, просто посчитаем все эти синусы, косинусы и тангенсы. Начнём с $\alpha =45<>^\circ $. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Мы уже встречались с ним:

Поскольку в равнобедренном треугольнике $\angle A=\angle B=45<>^\circ $, получим:

Это именно те значения, которые указаны в таблице!

Теперь разберёмся с углами $\alpha =30<>^\circ $ и $\alpha =60<>^\circ $. Здесь рассуждения будут чуть сложнее. Сначала рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=2$ (просто так удобнее) и проведём высоту $BH$:

Мы знаем, что высота $BH$ — ещё и медиана, и биссектриса. Поэтому $AH=CH=1$, $\angle ABH=\angle CBH=30<>^\circ $.

Следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный, да ещё и с острыми углами 30° и 60°. По теореме Пифагора легко найти $BH=\sqrt<3>$. Нанесём все данные на чертёж:

Разберёмся с углом 60°:

Попробуйте повторить все эти рассуждения самостоятельно. Это очень полезное упражнение!

Возникает вопрос: как быть с другими углами? Например, можно ли найти $\sin <50>^\circ $? Или, быть может, $\cos <10>^\circ $? Спойлер: можно, но это будут очень громоздкие выражения. И у нас пока не хватает технологий, чтобы их найти.

Поэтому идём дальше и посмотрим на ситуацию с другой стороны: как подобрать угол к заданному синусу, косинусу, тангенсу?

3.2. Что с другими углами?

Взгляните ещё раз на «классический» прямоугольный треугольник, с которого мы начинали наши рассуждения:

Катеты 4 и 3, гипотенуза 5 — вполне обычный треугольник. Для него можно посчитать, например, синус острого угла $\alpha $:

Итак, мы знаем синус. Внимание, вопрос: каким должен быть угол $\alpha $, чтобы $\sin \alpha =0,6$? Сколько градусов должно быть в угле $\alpha $? Ответ: неизвестно.:)

Точнее, правильнее сказать, что у нас пока нет технологий, позволяющих найти такой угол $\alpha $, чтобы $\sin \alpha =0,6$. Хотя такой угол точно есть, ведь мы предъявили треугольник, в котором он присутствует.

Из всех этих рассуждений сделаем важный вывод. В тригонометрии мы:

Либо берём угол и считаем для него синусы, косинусы и т.д. Но лишь для трёх острых углов — 30°, 45°, 60° — всё будет считаться быстро и красиво. Такие углы называются табличными.
Либо берём синус, косинус или тангенс и для него пытаемся подобрать острый угол. Но лишь для табличных значений мы сможем подобрать такие углы. И да: это будут углы 30°, 45°, 60°.

Мы можем посчитать лишь синус, косинус и тангенс для трёх табличных углов.

Например, $\sin 30<>^\circ $, $\cos 45<>^\circ $, $\operatorname60<>^\circ $ и т.д. А всякие $\sin 15<>^\circ $, $\cos 25<>^\circ $ или $\operatorname89,5<>^\circ $ — не сможем. По крайней мере пока.:)

Зная $\sin \alpha $, $\cos \alpha $ или $\operatorname\alpha $, мы сможем назвать точный угол $\alpha $ только в том случае, если все эти синусы, косинусы и тангенсы — среди табличных значений.

Например, мы точно знаем, что если $\sin \alpha =\frac<\sqrt<2>><2>$, то $\alpha =45<>^\circ $. Но когда $\sin \alpha =0,6$, мы уже не можем назвать угол $\alpha $ (хотя всегда можем построить такой угол).

С этой мыслью мы и переходим к следующему пункту — свойства тригонометрических выражений.

4. Свойства синуса, косинуса, тангенса

Мы разберём три ключевых свойства:

Связь между синусом, косинусом и тангенсом.
Связь между острыми углами прямоугольного треугольника.
Основное тригонометрическое тождество.

Свойствам 2 и 3 далее в курсе будут посвящены отдельные уроки. Но основные идеи полезно взять на вооружение уже сейчас.

4.1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha $:

Выразим синус, косинус:

А теперь выразим тангенс и заметим, что

Точно так же можно выразить и котангенс:

Более того, сам тангенс и котангенс тоже связаны:

\[\operatorname\alpha \cdot \operatorname\alpha =\frac\cdot \frac=1\]

Мы получили три важнейших тригонометрических формулы:

Основные формулы тригонометрии:

\[\operatorname\alpha =\frac<\sin \alpha ><\cos \alpha >;\quad \operatorname\alpha =\frac<\cos \alpha ><\sin \alpha >;\quad \operatorname\alpha \cdot \operatorname\alpha =1\]

Эти формулы нужно знать наизусть. И понимать, откуда они берутся.

4.2. Связь между острыми углами

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C=90<>^\circ $. Пусть градусная мера $\angle A=\alpha $ градусов:

Мы помним, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому если $\angle A=\alpha $, то угол $\angle B=90<>^\circ -\alpha $. Но тогда:

\[\sin \alpha =\sin A=\frac=\cos B=\cos \left( 90<>^\circ -\alpha \right)\]

То же самое и с косинусами:

\[\cos \alpha =\cos A=\frac=\sin B=\sin \left( 90<>^\circ -\alpha \right)\]

И даже с тангенсами и котангенсами:

\[\begin \operatorname\alpha&=\operatornameA=\frac =\operatornameB=\operatorname\left( <90>^\circ -\alpha\right) \\ \operatorname\alpha&=\operatornameA=\frac = \operatornameB=tg\left( <90>^\circ -\alpha \right) \\ \end\]

Другими словами, если вместо $\alpha $ поставить $<90>^\circ -\alpha $, то исходная тригонометрическая функция поменяется на ко-функцию:

\[\begin\sin \left( <90>^\circ-\alpha\right) &=\cos \alpha \\ \cos \left( <90>^\circ-\alpha\right) &=\sin \alpha \\ \operatorname\left( <90>^\circ-\alpha\right) &=\operatorname\alpha\\ \operatorname\left( <90>^\circ-\alpha\right) &=\operatorname\alpha\end\]

Но это ещё не всё. Есть гораздо более интересная формула.

4.3. Основное тригонометрическое тождество

Вновь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha $:

Запишем выражения для $\sin \alpha $ и $\cos \alpha $:

Далее заметим, что

В числителе можем применить теорему Пифагора: $<^<2>>+<^<2>>=<^<2>>$, поэтому

Правая часть этой формулы вообще не зависит от угла $\alpha $.

:

\[<<\sin >^<2>>\alpha +<<\cos >^<2>>\alpha =1\]

Это равенство связывает синус и косинус одного и того же угла и верно для всех $\alpha $.

С помощью основного тригонометрического тождества можно вычислять косинус, зная синус, и наоборот.

Задача 7. Найдите $18\cos \alpha $ для острого угла $\alpha $, если $\sin \alpha =\frac<\sqrt<65>><9>$.

Решение. Запишем основное тригонометрическое тождество:

\[<<\sin >^<2>>\alpha +<<\cos >^<2>>\alpha =1\]

Подставим указанное значение $\sin \alpha $ и выразим $\cos \alpha $:

\[\begin<<\left( \frac<\sqrt<65>> <9>\right)>^<2>>+<<\cos >^<2>>\alpha &=1 \\ \frac<65><81>+<<\cos >^<2>>\alpha &=1 \\ <<\cos >^<2>>\alpha &=\frac<16> <81>\\ \cos \alpha&=\pm \frac<4> <9>\end\]

Поскольку косинус угла в прямоугольном треугольнике не может быть отрицательным, выбираем вариант $\cos \alpha =<4>/<9>\;$. Остаётся сделать финальный шаг:

\[18\cos \alpha =18\cdot \frac<4><9>=2\cdot 4=8\]

Вот и всё! Ответ: 8.

В следующем примере мы уже не будем подробно расписывать каждый шаг. Оформим всё так, как надо оформлять на контрольных и экзаменах.

Заметка на будущее: замечание о том, что угол $\alpha $ острый, весьма существенно. То, как мы сейчас определяем синусы, косинусы и тангенсы (через прямоугольный треугольник), называется геометрической тригонометрией. Её проходят в 8—9 классе.

Но в 10—11 классах появится алгебраическая тригонометрия, где синусы, косинусы и т.д. вполне могут быть отрицательными. И уже не получится просто так избавиться от минуса.

Но всё это будет чуть позже. А сейчас потренируемся.

Задача 9. ►

Найдите $52\cos \alpha $ для острого угла $\alpha $, если $\sin \alpha =\frac<5><13>$.

Решение. Найдём $\cos \alpha $:

\[\begin<<\cos >^<2>>\alpha &=1-<<\sin >^<2>>\alpha = \\ &=1-\frac<25><169>=\frac<144> <169>\\ \cos \alpha&=\pm \frac<12> <13>\end\]

Поскольку $\cos \alpha \gt 0$ для острых $\alpha $, выбираем $\cos \alpha =<12>/<13>\;$. Итого

\[52\cos \alpha =52\cdot \frac<12><13>=48\]

Ответ: 48.

Задача 10. ►

Найдите $1+2\operatorname\alpha $ для острого угла $\alpha $, если $\cos \alpha =\frac<1><\sqrt<26>>$.

Решение. Найдём $\sin \alpha $:

\[\begin<<\sin >^<2>>\alpha &=1-<<\cos >^<2>>\alpha = \\ & =1-\frac<1><26>=\frac<25> <26>\\ \sin \alpha&=\pm \frac<5><\sqrt<26>> \end\]

Поскольку $\sin \alpha \gt 0$ для острых $\alpha $, выбираем

\[\sin \alpha =\frac<5><\sqrt<26>>\]

Считаем $\operatorname\alpha $:

\[\operatorname\alpha =\frac<\sin \alpha ><\cos \alpha >=\frac<5><\sqrt<26>>\cdot \frac<\sqrt<26>><1>=5\]

Откуда

\[1+2\operatorname\alpha =1+2\cdot 5=11\]

Ответ: 11.

5. Тригонометрия на координатной сетке

Задачи, которые мы сейчас разберём, вполне могут встретиться в ОГЭ и даже ЕГЭ. Часто в них нет прямоугольного треугольника — есть лишь угол, в который этот треугольник предлагается вписать.

Для решения задач на координатной сетке достаточно посмотреть, через какие узлы сетки проходят интересующие нас лучи. И понять, какие из этих узлов имеет смысл соединить дополнительными построениями.

Звучит страшно, но на практике всё легко.:)

Задача 11. Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:

Решение. Дополнительное построение: $AH\bot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ на луч $BC$.

Треугольник $BAH$ — прямоугольный, причём угол $ABC$ — один из его острых углов. Поэтому

\[\operatornameABC=\frac=\frac<3><4>=0,75\]

Это и есть искомый тангенс.

Ответ: 0,75.

Ещё раз: важно, чтобы основание перпендикуляра попадало в узел сетки. Иначе нахождение длины катетов резко усложняется. Попробуйте сами:

Задача 12. ►

Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:

Решение.

Дополнительное построение: $AH\bot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ к лучу $BC$.

Треугольник $BAH$ — прямоугольный с острым углом $ABC$. Поэтому

\[\operatornameABC=\frac=\frac<2><4>=\frac<1><2>\]

Ответ: 0,5.

Разумеется, это были совсем простые задачи. Потому что один из лучей был параллелен линиям сетки.

Куда интереснее (и полезнее) рассмотреть ситуации, где лучи направлены под углом к сетке. Суть та же: ищем и соединяем узлы на лучах. Но тут уже нужна наблюдательность.

Задача 13. Найдите тангенс угла $MNK$, изображённого на координатной сетке:

Решение. Луч $KN$ содержит лишь две точки в узлах координатной сетки — собственно, $K$ и $N$. Понятно, что если продолжить луч за точку $K$, мы найдём ещё много таких точек, но будем решать задачу с тем, что есть.

Заметим, что прямая $MN$ наклонена к линиям сетки под углом 45° и образует диагонали квадратов. Это значит, что перпендикуляр к ней тоже будет наклонён под углом 45°.

Дополнительное построение: отрезок $KH$ — диагональ одного из квадратов сетки.

Очевидно, что угол $NHK$ прямой, поэтому треугольник $KHN$ прямоугольный и содержит искомый острый угол $MNK$. Находим тангенс:

\[\operatornameMNK=\frac=\frac<\sqrt<2>><2\sqrt<2>>=\frac<1><2>=0,5\]

Здесь мы предположили, что сторона квадрата сетки равна 1. Но с тем же успехом можно считать, что сторона квадрата $a$:

\[\operatornameMNK=\frac=\frac><2a\sqrt<2>>=\frac<1><2>=0,5\]

Ответ: 0,5.

Подобные задачи считаются довольно сложными. По статистике большинство выпускников 9 классов не способны их решать. Но вы-то теперь точно справитесь. Попробуйте:

Задача 14. ►

Найдите тангенс угла $DEF$, изображённого на координатной сетке:

Решение.

Дополнительное построение: отрезок $DH$.

Очевидно, $EH=DH$, угол $EHD$ прямой. Следовательно, треугольник $EDH$ — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому $\operatornameDEF=1$.

Либо можно посчитать «напролом», полагая, что сторона квадрата сетки равна $a$:

\[\operatornameDEF=\frac>>=1\]

Ответ: 1.

Вообще, поиск «правильных» узлов на координатной сетке — это своего рода искусство. И если углубляться в эту тему, то можно быстро выйти на «полуолимпиадные» задачи.

К тому же не существует «самого правильного» дополнительного построения. Задачу на координатной сетке всегда можно решить множеством различных способов. Так, в последнем примере можно было провести перпендикуляр вот так:

И даже так (хотя вряд ли этот способ можно назвать рациональным):

Во всех случаях ответ будет один и тот же. Поэтому не бойтесь экспериментировать. И переходите к следующему уроку — к действительно важным и полезным свойствам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.:)

Тангенс в непрямоугольном треугольнике

Аргументом тангенса может быть:
— как число или выражение с Пи: $1,3$, $\frac $, $π$, $-\frac $ и т.п.
— так и угол в градусах: $45^°$, $360^°$,$-800^°$, $1^° $ и т.п.

Для обоих случаев тангенс вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).

Тангенс острого угла

Тангенс можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

1) Пусть дан угол и нужно определить тагенс этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить тангенс.

Вычисление тангенса числа или любого угла

Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших $360°$ тангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:

Пример. Вычислите $tg\:0$.
Решение: Чтобы найти тангенс нуля нужно найти сначала синус и косинус $0$. И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга :

Точка $0$ на числовой окружности совпадает с $1$ на оси косинусов, значит $cos\:0=1$. Если из точки $0$ на числовой окружности провести перпендикуляр к оси синусов, то мы попадем в точку $0$, значит $sin\:⁡0=0$. Получается: $tg\:0=$ $\frac $ $=$ $\frac $ $=0$.

Пример. Вычислите $tg\:(-765^\circ)$.
Решение: $tg\: (-765^\circ)=$ $\frac $
Что бы вычислить синус и косинус $-765^°$. Отложим $-765^°$ на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на $720^°$ , а потом еще на $45^°$.

Однако можно определять тангенс и напрямую через тригонометрический круг — для этого надо на нем построить дополнительную ось:

Прямая проходящая через начало отсчета на числовой окружности и параллельная оси ординат (синусов) называется осью тангенсов. Направление оси тангенсов и оси синусов совпадает.

Ось тангенсов – это фактически копия оси синусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси синусов.

Чтобы определить тангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу тангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси тангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси тангенсов.

2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.

3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется $1$.

Пример. Вычислите $tg\: 45°$ и $tg\: (-240°)$.
Решение:
Для угла $45°$ ($∠KOA$) тангенс будет равен $1$, потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку $A$, пересекает ось тангесов. А для угла $-240°$ ($∠KOB$) тангенс равен $-\sqrt $ (приблизительно $-1,73$).

Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.

В отличие от синуса и косинуса значение тангенса не ограничено и лежит в пределах от $-∞$ до $+∞$, то есть может быть любым.

При этом тангенс не определен для:
1) всех точек $A$ (значение в Пи: …$-$ $\frac $ ,$-$ $\frac $ , $\frac $ , $\frac $ , $\frac $ …; и значение в градусах: …$-630°$,$-270°$,$90°$,$450°$,$810°$…)
2) всех точек $B$ (значение в Пи: …$-$ $\frac $ ,$-$ $\frac $ ,$-$ $\frac $ , $\frac $ , $\frac $ …; и значение в градусах: …$-810°$,$-450°$,$-90°$,$270°$…) .

Так происходит потому, что прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось тангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках тангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений тангенс может быть найден).

Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с тангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ .

Знаки по четвертям

С помощью оси тангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак тангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.

Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение тангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение тангенса будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

— котангенсом того же угла: формулой $ctg⁡\:x=$ $\frac $
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Как найти синус угла в треугольнике? Не в прямоугольном, в любом

Если рассматриваемый треугольник является прямоугольным, то можно использовать базовое определение тригонометрической функции синуса для острых углов. По определению синусом угла называют соотношение длины катета, лежащего напротив этого угла, к длине гипотенузы этого треугольника. То есть, если катеты имеют длину А и В, а длина гипотенузы равна С, то синус угла α, лежащего напротив катета А, определяйте по формуле α=А/С, а синус угла β, лежащего напротив катета В — по формуле β=В/С. Синус третьего угла в прямоугольном треугольнике находить нет необходимости, так как угол, лежащий напротив гипотенузы всегда равен 90°, а его синус всегда равен единице.

2
Для нахождения синусов углов в произвольном треугольнике, как это ни странно, проще использовать не теорему синусов, а теорему косинусов. Она гласит, что возведенная в квадрат длина любой стороны равна сумме квадратов длин двух других сторон без удвоенного произведения этих длин на косинус угла между ними: А²=В²+С2-2*В*С*cos(α). Из этой теоремы можно вывести формулу для нахождения косинуса: cos(α)=(В²+С²-А²)/(2*В*С) . А поскольку сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице, то можно вывести и формулу для нахождения синуса угла α: sin(α)=√(1-(cos(α))²)= √(1-(В²+С²-А²)²/(2*В*С) ²).

3
Воспользуйтесь для нахождения синуса угла двумя разными формулами расчета площади треугольника, в одной из которых задействованы только длины его сторон, а в другой — длины двух сторон и синус угла между ними. Так как результаты их будут равны, то из тождества можно выразить синус угла. Формула нахождения площади через длины сторон (формула Герона) выглядит так: S=¼*√((А+В+С) *(В+С-А) *(А+С-В) *(А+В-С)) . А вторую формулу можно написать так: S=А*В*sin(γ). Подставьте первую формулу во вторую и составьте формулу для синуса угла, лежащего напротив стороны С: sin(γ)= ¼*√((А+В+С) *(В+С-А) *(А+С-В) *(А+В-С) /(А*В)) . Синусы двух других углов можно найти по аналогичным формулам.

Что такое тангенс угла и как его найти

Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.

Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.

Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.

Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.

Тангенс угла

Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.

В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.

Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.

Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.

Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.

Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.

Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).

Тангенс — это отношение.

Итак, есть два определения:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Как найти тангенс угла (формулы)

Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.

Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому

Так как тангенс – это отношение катетов, то

Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.

Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.

Как найти тангенс по клеточкам

Учитывая первое определение, можно определить, как найти тангенс угла по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.

Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:

Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение

и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.

Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится зависимость тангенса и косинуса:

Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (5)

Я Очень Люблю Правила, Теоремы, Формулы по Предмету «Математика», «Алгебра».

Прочитал статью и остался один главный вопрос, а собственно без вспомогательных таблиц найти угол В ГРАДУСАХ вообще возможно и есть ли у вас статья, где рассказыввается как это сделать? Спасибо.

Я ни разу не математик, но почему у вас сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. А так все хорошо начиналось. Объясняете хорошо, но после таких ошибок у меня сомнения что информация верная.

Спасибо. Уточнил в тексте, что это сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника.

Пишу стихи. Востребован тангенс для решения жизненных ситуаций поскольку состоит из тех же функций,как-то, касающийся,прилежащий, трогающий. Куда без них денешься.

Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна .

Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине — это угол, смежный с углом . Если угол острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

Обратите внимание, что:

Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .

Пусть — внешний угол при вершине .

Зная , найдем по формуле:

2. В треугольнике угол равен , . Найдите синус внешнего угла при вершине .

Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов и равна , . Тогда и синус внешнего угла при вершине также равен .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Читать:
Как открыть файл эксель только для чтения