Как найти малую полуось орбиты

Полубольшие и малые полуоси — Semi-major and semi-minor axes

В геометрии , то главная ось из эллипса является его длинным диаметром : а отрезок линии , которая проходит через центр и оба очагов , с концами в двух наиболее удаленных друг от друга точек периметра . Большая полуось ( основные полуоси ) является самой длинной полудиаметр или одна половиной главной оси, и , таким образом , проходит от центра, через фокус , и по периметру. Ось пола-минор ( незначительная полуось ) эллипс или гиперболы представляет собой отрезок линии , которая находится под прямым углом с большой полуосью и имеет один конец в центре конического сечения . В частном случае круга длины полуосей равны радиусу круга.

Длина большой полуоси a эллипса связана с длиной малой полуоси b через эксцентриситет е и прямую полуось следующим образом: ℓ

Большая полуось гиперболы — это, в зависимости от соглашения, плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями. Таким образом, это расстояние от центра до любой вершины гиперболы.

Парабола может быть получена как предел последовательности эллипсов , где один фокус сохраняется фиксированными , как другие могут двигаться сколь угодно далека в одном направлении, сохраняя фиксированным. Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, а быстрее, чем b . ℓ

Большая и малая оси являются осями симметрии кривой: в эллипсе малая ось является более короткой; в гиперболе это тот, который не пересекает гиперболу.

СОДЕРЖАНИЕ

Эллипс

где ( h , k ) — центр эллипса в декартовых координатах , в котором произвольная точка задается как ( x , y ).

Большая полуось — это среднее значение максимального и минимального расстояний и эллипса от фокуса, то есть расстояний от фокуса до конечных точек большой оси: р Максимум <\ displaystyle r _ <\ text >> р мин <\ displaystyle r _ <\ text >>

В астрономии эти крайние точки называют апсидами .

Малая полуось эллипса — это среднее геометрическое этих расстояний:

Эксцентриситет эллипса определяется как

Теперь рассмотрим уравнение в полярных координатах , с одним фокусом в начале, а другой в направлении: θ знак равно π

В эллипсе большая полуось — это среднее геометрическое расстояние от центра до любого фокуса и расстояние от центра до любой директрисы.

Малая полуось эллипса проходит от центра эллипса (точка на полпути между фокусами и на линии, проходящей между фокусами ) до края эллипса. Малая полуось — это половина малой оси. Малая ось — это самый длинный отрезок, перпендикулярный большой оси, который соединяет две точки на краю эллипса.

Малая полуось b связана с большой полуосью а через эксцентриситет е и прямую полуось : ℓ

Длину малой полуоси можно также найти по следующей формуле:

где f — расстояние между фокусами, p и q — расстояния от каждого фокуса до любой точки эллипса.

Гипербола

Большая полуось гиперболы составляет, в зависимости от соглашения, плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями; если это a в направлении x, уравнение выглядит следующим образом:

С точки зрения полу-латуса прямой кишки и эксцентриситета мы имеем

Поперечная ось гиперболы совпадает с большой осью.

В гиперболе сопряженная ось или малая ось длины , соответствующая малой оси эллипса, может быть проведена перпендикулярно поперечной оси или большой оси, последняя соединяет две вершины (точки поворота) гиперболы с две оси, пересекающиеся в центре гиперболы. Концы малой оси лежат на высоте асимптот над / под вершинами гиперболы. Любая половина малой оси называется малой полуосью длиной b . Обозначая длину большой полуоси (расстояние от центра до вершины) как a , длины малой и большой полуосей появляются в уравнении гиперболы относительно этих осей следующим образом: 2 б <\ displaystyle 2b>( 0 , ± б )

Малая полуось — это также расстояние от одного из фокусов гиперболы до асимптоты. Часто называемый прицельным параметром , он важен в физике и астрономии и измеряет расстояние, на которое частица не попадает в фокус, если ее путешествие не нарушается телом в фокусе.

Малая полуось и большая полуось связаны через эксцентриситет следующим образом:

Обратите внимание, что в гиперболе b может быть больше, чем a .

Астрономия

Орбитальный период

В астродинамиках орбитального периода Т небольшого тела на орбиту центрального тела по круговой или эллиптической орбите:

Обратите внимание, что для всех эллипсов с данной большой полуосью период обращения один и тот же, без учета их эксцентриситета.

Удельный момент ч небольшого тела на орбите центрального тела по круговой или эллиптической орбите

В астрономии , то большая полуось является одним из наиболее важных элементов орбиты в качестве орбиты , наряду с ее орбитальным периодом . Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с периодом орбиты третьим законом Кеплера (первоначально полученным эмпирическим путем):

где T — период, а a — большая полуось. Эта форма оказывается упрощением общей формы задачи двух тел , определенной Ньютоном :

где G — гравитационная постоянная , M — масса центрального тела, а m — масса движущегося по орбите тела. Обычно масса центрального тела настолько больше, чем масса вращающегося тела, что m можно не принимать во внимание. Сделав это предположение и используя типичные астрономические единицы, мы получили более простую форму, которую открыл Кеплер.

Среднее расстояние

Часто говорят, что большая полуось — это «среднее» расстояние между основным фокусом эллипса и движущимся по орбите телом. Это не совсем точно, потому что это зависит от того, какое среднее значение берется за основу.

усреднение расстояния по эксцентрической аномалии действительно приводит к большой полуоси.
усреднение по истинной аномалии (истинный орбитальный угол, измеренный в фокусе) приводит к малой полуоси . б знак равно а 1 — е 2 <\ displaystyle b = a <\ sqrt <1-e ^ <2>>>>
усреднение по средней аномалии (доля орбитального периода, прошедшего с перицентра, выраженная в виде угла) дает среднее значение по времени . а ( 1 + е 2 2 ) <\ displaystyle a \ left (1 + <\ frac ><2>> \ right) \,>

Усредненное по времени значение обратной величины радиуса,, равно . р — 1 <\ displaystyle r ^ <- 1>> а — 1 <\ displaystyle a ^ <- 1>>

Энергия; вычисление большой полуоси из векторов состояния

В астродинамике большая полуось a может быть вычислена по векторам орбитального состояния :

для эллиптической орбиты и, в зависимости от соглашения, то же или

v — орбитальная скорость от вектора скорости движущегося по орбите объекта, r — декартов вектор положения орбитального объекта в координатах системы отсчета, относительно которой должны быть рассчитаны элементы орбиты (например, геоцентрическая экваториальная для орбиты вокруг Земли или гелиоцентрическая эклиптика для орбиты вокруг Солнца), G — гравитационная постоянная , M — масса гравитирующего тела, а ε <\ Displaystyle \ varepsilon>— удельная энергия вращающегося тела.

Обратите внимание, что для данного количества общей массы удельная энергия и большая полуось всегда одинаковы, независимо от эксцентриситета или соотношения масс. И наоборот, для данной полной массы и большой полуоси полная удельная орбитальная энергия всегда одинакова. Это утверждение всегда будет верным при любых условиях.

Полуглавные и малые полуоси орбит планет.

Орбиты планет всегда приводятся в качестве ярких примеров эллипсов ( первый закон Кеплера ). Однако минимальная разница между большой и малой полуосями показывает, что они практически круглые по внешнему виду. Эта разница (или соотношение) основывается на эксцентриситете и вычисляется как , что для типичных эксцентриситетов планет дает очень маленькие результаты. а б знак равно 1 1 — е 2 <\ displaystyle <\ frac > = <\ frac <1><\ sqrt <1-e ^ <2>>>>>

Причина предположения о выдающихся эллиптических орбитах, вероятно, кроется в гораздо большей разнице между афелием и перигелием. Эта разница (или отношение) также основывается на эксцентриситете и рассчитывается как . Из-за большой разницы между афелием и перигелием второй закон Кеплера легко визуализировать. р а р п знак равно 1 + е 1 — е <\ displaystyle <\ frac > >>> = <\ frac <1 + e><1-e>>>

Орбиты планет Солнечной системы

Орбиты планет, находящихся в Солнечной системе – это незримый путь, которые описывают данные тела вокруг центральной звезды – Солнца. Они могут быть различными по протяженности и вытянутости, что влияет на сезонность климата небесных тел и температуру их поверхности. Какую же форму имеют орбиты планет в Солнечной системе, и как это влияет на сами небесные тела?

схема движения

Перигелий, афелий и эксцентриситет

Разберемся с основными характеристиками орбитального пути. Все планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца. Проходя по своей траектории данное тело имеет точки наибольшей удаленности и приближенности к центральной звезде. Они называются соответственно афелий и перигелий. От их значения напрямую зависят климатические условия на том или ином теле.

Перигелий и афелий планет нашей системы имеют следующие величины:

Меркурий: 46 – 69,82 млн. км;

Венера: 107,5 – 109 млн. км;

Земля: 147,1 – 152,1 млн. км;

Марс: 206,7 – 249,2 млн. км;

Юпитер: 740,7 – 816 млн. км;

Сатурн: 1,35 – 1,5 млрд. км;

Уран: 2,73 – 3,01 млрд. км;

Нептун: 4,45 – 4,5 млрд. км.

детальная схема

По представленным величинам видно, что у одних планет разница между расстоянием в минимальной и максимальной удаленности от Солнца крайне мала, а у других – значительна. С этим выводом неразрывно связан другой термин, необходимый для описания орбиты планет, — эксцентриситет.

Эксцентриситет траектории, по которой движется планета, определяет ее форму. Для вычисления этого параметра необходимо знать большую и малую полуоси орбиты планеты. Для каждой формы орбитального пути есть свое числовое значение эксцентриситета:

0 – круг;

От 0 до 1 – эллипс;

1 – парабола;

От 1 до ∞ — гипербола;

∞ — прямая.

Все орбиты планет Солнечный системы имеют значение эксцентриситета больше нуля, т.е. обладают эллипсовидной формой. При этом самые сжатые, схожие с круговыми, орбиты в Солнечной системе наблюдаются у Венеры и Нептуна, а наиболее вытянутые – у Меркурия и Марса.

Планетарный год

Полный оборот небесного тела по своей траектории называется сидерическим периодом вращения. Для планет этот термин имеет синоним «планетарный год». Его протяженность зависит от среднего радиуса орбиты и скорости, с которой планета совершает орбитальное вращение.

Для удобства описания планетарные года рассчитывают в земных сутках и годах. Так, например, на Меркурии год длится 0. 24 земных года, или 89 земных суток. Это наиболее короткий планетарный год в Солнечной системе. А самым долгим считается год на планете Нептун, длящийся 164 года земных.

Фактор, отвечающий за смену времен года

За сезонность на планетах Солнечной системы отвечает угол наклона оси вращения к орбите. Чем меньше угол, тем стабильнее погода на небесном теле и нет смены пор года. Также сезонности не бывает на небесных телах с углом наклона более 90°.

Смена сезонов характерна для объектов с углом наклона оси в пределах 20-30 градусов:

Земля (23,3°);

Марс (25,2°);

Сатурн (29°);

Нептун (30°).

«Лето» и «зима» также есть на Меркурии, несмотря на практически отсутствующий наклон оси. Это связано с высоким эксцентриситетом его орбиты. Разница между температурами в точках перигелия и афелия на Меркурии составляет 620 градусов Цельсия.

Таким образом, величина и форма пути, который описывает объект вокруг Солнца, очень влияют на формирование температурных условий на нём. Именно невысокий эксцентриситет и небольшая удаленность движения Земли, а также оптимальный угол наклона оси сделали её температуру наиболее комфортной для существования живых организмов.

Как найти малую полуось орбиты

,

,

большая полуось ( $a\,\!$ ),

эксцентриситет ( $e\,\!$ ),

наклонение ( $i\,\!$ ),

аргумент перицентра ( $\omega\,\!$ ),

долгота восходящего узла ( $\Omega\,\!$ ),

средняя аномалия ( $M_o\,\!$ ).

Большая полуось — это половина главной оси эллипса (обозначена на рис.2 как ). В астрономии характеризует среднее расстояние небесного тела от фокуса

$\varepsilon = \sqrt<1 - \frac<b^2><a^2>>» width=»» height=»» />, где <img decoding=$

— малая полуось (см. рис.2)

$\varepsilon = 0$ — окружность

$0 < \varepsilon < 1$ — эллипс

$\varepsilon = 1$ — парабола

$1 < \varepsilon < \infty$ — гипербола

$\varepsilon = \infty$ — прямая (вырожденный случай)

Большая полуось

Большая полуось — это один из основных геометрических параметров объектов, образованных посредством конического сечения.

Содержание

Эллипс

Большой осью эллипса называется его наибольший диаметр, прямая проходящая через центр и два фокуса. А большая полуось составляет половину этого расстояния, и таким образом, идёт от центра, через фокус, и на край эллипса. А под углом в 90° к большой полуоси располагается малая полуось — это минимальное расстояние от центра эллипса до его края. Для частного случая круга, большая и малая полуоси равны и являются радиусами. Таким образом, можно думать о большой и малой полуосях как о, своего рода, радиусах эллипса.

Длина большой полуоси $a\,\!$ связана с длиной малой полуоси $b\,\!$ через эксцентриситет $e\,\!$ и коническое сечение $l\,\!$ , следующим образом:

$b = a \sqrt<1-e^2>,\,» width=»» height=»» /> <img decoding=$ $a\ell=b^2.\,$

Большая полуось представляет собой среднее значение наибольшего и наименьшего расстояния от точки эллипса до его фокусов. Рассмотрим теперь уравнение в полярных координатах, с точкой в начале координат (полюс) и лучом, начинающейся из этой точки (полярная ось):

$r(1-e\cos\theta)=\ell.\,$

Получим средние значения $r=<\ell\over<1+e>>\,\!» width=»» height=»» /> и <img decoding=$

Параболу можно получить как предел последовательности эллипсов, где один фокус остаётся постоянным, а другой отодвигается в назад, сохраняя $l\,\!$ постоянным. Таким образом $a\,\!$ и $b\,\!$ стремятся к бесконечности, причём $a\,\!$ быстрее, чем $b\,\!$ .

Гипербола

$x\,\!$

Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси (слева и справа относительно начала координат). Для ветви расположенной на положительной стороне, полуось будет равна:

$\frac<\left( x-h \right)^2> <a^2>— \frac<\left( y-k \right)^2> <b^2>= 1.» width=»» height=»» /> Если выразить её через коническое сечение и эксцентриситет, тогда выражение примет вид: <img decoding=$

В небесной механике орбитальный период обращения малых тел по эллиптической или круговой орбите вокруг более крупного центрального тела рассчитывается по формуле:

$T = 2\pi\sqrt<a^3 \over \mu>» width=»» height=»» /> <img decoding=$ — это размер большой полуоси орбиты $\mu$ — это стандартный гравитационный параметр (en:standard gravitational parameter)

Следует обратить внимание, что в данной формуле для всех эллипсов период обращения определяется значением большой полуоси, независимо от эксцентриситета.

В астрономии большая полуось, наряду с орбитальным периодом, является одним из самых важных орбитальных элементов орбиты космического тела .

Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с орбитальным периодом по третьему закону Кеплера.

$\frac<T_1^2> <T_2^2>= \frac<a_1^3><a_2^3>» width=»» height=»» /> <img decoding=$ — орбитальный период в годах; $a\,\!$ — большая полуось в астрономических единицах.

Это выражение является частным случаем общего решения задачи двух тел Исаака Ньютона:

$T^2= \frac<4\pi^2><G(M+m)>a^3\,» width=»» height=»» /> <img decoding=$ — гравитационная постоянная $M\,\!$ — масса центрального тела $m\,\!$ — масса обращающегося вокруг него спутника. Как правило, масса спутника настолько мала по сравнению с массой центрального тела, что ею можно пренебречь. Поэтому, сделав соответствующие упрощения в этой формуле, получим данную формулу в упрощённом виде, который приведён выше.

Орбита движения спутника вокруг общего с центральным телом центра масс (барицентра), представляет собой эллипс. Большая полуось используется в астрономии всегда применительно к среднему расстоянию между планетой и звездой, в результате орбиты планет Солнечной системы приведены к гелиоцентрической системе, а не к системе движения вокруг центра масс. Эту разницу удобнее всего проиллюстрировать на примере системы Земля-Луна. Отношение масс в этом случае составляет 81,30059. Большая полуось геоцентрической орбиты Луны составляет 384400 км. В то время как расстояние до Луны относительно центра масс системы Земля-Луна составляет 379700 км, из-за влияния массы Луны центр масс находится не в центре Земли, а в 4700 км от него. В итоге средняя орбитальная скорость Луны относительно центра масс составляет 1,010 км/с, а средняя скорость Земли 0,012 км/с. А общая сумма этих скоростей даёт орбитальную скорость Луны 1,022 км/с; тоже самое значение можно получить, рассматривая движение Луны относительно центра Земли, а не центра масс.

Среднее расстояние

Проверить качество перевода с иностранного языка.

Часто говорят, что большая полуось является средним расстоянием между центральным и орбитальным телом. Это не совсем верно, так как под средним расстоянием можно понимать разные значения – в зависимости от величины, по которой производят усреднение:

усреднение по эксцентрической аномалии. В таком случае среднее расстояние будет точно равно большой полуоси орбиты.

усреднение по истинной аномалии, тогда среднее расстояние будет точно равно малой полуоси орбиты.

усреднение по средней аномалии даст значение среднего расстояния, усреднённое по времени:

усреднение по радиусу, которое получают из следующего соотношения:

Энергия; расчёт большой полуоси методом векторов состояния

$a\,\!$

В небесной механике большая полуось может быть рассчитана методом векторов орбитального состояния:

$a = < - \mu \over <2\varepsilon>>\,» width=»» height=»» /> для эллиптических орбит <img decoding=$

(стандартный гравитационный параметр), где:

$v\,\!$ — орбитальная скорость спутника, на основе вектора скорости, $r\,\!$ — вектор положения спутника в координатах системы отсчёта, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрический в плоскости экватора — на орбите вокруг Земли, или гелиоцентрический в плоскости эклиптики — на орбите вокруг Солнца), $G\,\!$ — гравитационная постоянная, $M\,\!$ и $m\,\!$ — массы тел.

Большая полуось рассчитывается на основе общей массы и удельной энергии, независимо от значения эксцентриситета орбиты.

См. также

Примечания

↑7.1 Alternative Characterization

Ссылки

With interactive animation

Это заготовка статьи о науке. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.
Это примечание по возможности следует заменить более точным.

Орбиты

Основные Box-орбита • Орбита захвата • Эллиптическая орбита / Высокая эллиптическая орбита • Орбита ухода • Орбита захоронения • Гиперболическая траектория • Наклонная орбита / Ненаклонная орбита • Оскулирующая орбита • Параболическая траектория • Опорная орбита (в т.ч. низкая) • Синхронная орбита • (Полусинхронная • Субсинхронная) • Стационарная орбита

Геоцентрические Геосинхронная орбита • Геостационарная орбита • Солнечно-синхронная орбита • Низкая околоземная орбита • Средняя околоземная орбита • Высокая околоземная орбита • Молния-орбита • Околоэкваториальная орбита • Орбита Луны • Полярная орбита • Тундра-орбита • TLE

Вокруг других
небесных тел и точек Ареосинхронная орбита • Ареостационарная орбита • Гало-орбита • Орбита Лиссажу • Окололунная орбита • Гелиоцентрическая орбита • Солнечно-синхронная орбита

Классические $i\,\!$ Наклонение · $\Omega\,\!$ Долгота восходящего узла · $e\,\!$ Эксцентриситет · $\omega\,\!$ Аргумент перицентра · $a\,\!$ Большая полуось · $M_o\,\!$ Средняя аномалия на эпоху

Другие $\nu\,\!$ Истинная аномалия · $b\,\!$ Малая полуось · $E\,\!$ Эксцентрическая аномалия · $L\,\!$ Средняя долгота · $l\,\!$ Истинная долгота · $T\,\!$ Период обращения

Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Перевести текст с иностранного языка на русский.

Небесная механика

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Большая полуось» в других словарях:

большая полуось — didysis pusašis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. semi major axis vok. große Halbachse, f rus. большая полуось, f pranc. demi grand axe, m … Fizikos terminų žodynas

большая полуось а — 3.2 большая полуось а: Максимальный радиус эллипсоида. Примечание Для эллипсоида, представляющего Землю, это радиус экватора. Источник: ГОСТ Р 52572 2006: Географические информационные системы. Координатная основа. Общие требования … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

большая полуось эллипсоида — 2.1.1 большая полуось эллипсоида : Параметр, характеризующий размер эллипсоида. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Большая полуось орбиты — величина (элемент орбиты (См. Элементы орбиты)), определяющая вместе с эксцентриситетом орбиты (См. Эксцентриситет орбиты) её размеры … Большая советская энциклопедия

Большая — постоянное или часто повторяющееся воздействие жидкостей на покрытие пола. Источник: МДС 31 12.2007: Полы жилых, общественных и производственных зданий с применением материалов фирмы "Хенкель Баутехник" … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Большая комета 1811 года — C/1811 F1 (Большая комета) Открытие Первооткрыватель: Оноре Флагерье Дата открытия: 25 марта 1811 Альтернативные обозначения: 1811 I 1811a Характеристики орбиты Афелий: 424 а. е. Перигелий: 1,035412 а. е. Большая полуось … Википедия

Большая мартовская комета 1843 года — C/1843 D1 (Большая мартовская комета) Зарисовка Большой мартовской кометы 1843, сделанная в Тасмании. Открытие Дата открытия: 5 февраля 1843 Альтернативные обозначения: 1843 I 1843a Характеристики орбиты Афелий: 129 а. е … Википедия

Большая комета 1843 года — C/1843 D1 (Большая мартовская комета) Зарисовка Большой мартовской кометы 1843, сделанная в Тасмании. Открытие Дата открытия: 5 февраля 1843 Альтернативные обозначения: 1843 I 1843a Характеристики орбиты Афелий: 129 а. е … Википедия

Большая комета 1965 года — C/1965 S1 (Икея Секи) Открытие Первооткрыватель: Каору Икея, Цуоми Секи Дата открытия: 18 сентября 1965 Альтернативные обозначения: 1965 VIII; 1965f Характеристики орбиты Эпоха: 7 октября 1965 … Википедия

Малая полуось — Не следует путать с термином «Эллипсис». Эллипс и его фокусы Эллипс (др. греч. ἔλλειψις недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1… … Википедия

Читать:
Как сделать таблицу значений функции в excel