Как доказать что при любом значении переменной верно неравенство

Упр.315 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Как доказать что при любом значении переменной верно неравенство

Суть этого метода заключается в следующем: для того, чтобы установить справедливость неравенства f(x; у; z) > g(x; у; z) , составляют разность f(x; у; z) — g(x; у; z) и доказывают, что она положительна (соответственно отрицательна, неотрицательна, неположительна).

Доказать, что если то

Составим разность

Неравенство верно при любых неотрицательных значениях х и у. Значит, ,причем равенство имеет место лишь в случае х = у.

Из неравенства Коши, в частности, следует неравенство , справедливое для всех х > 0.

(неравенство Коши);

Доказать, что , где — неотрицательные числа.

Используем здесь в качестве опорного неравенство Коши, составленное для неотрицательных чисел Имеем

Применив теперь неравенство Коши к числам , а также к числам с и d, получим

Таким образом,

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда

(2)

Доказать, что если то

Но это противоречит неравенству Коши, составленному для неотрицательных чисел

Значит, наше предположение неверно, т. е. для любых неотрицательных значений справедливо неравенство

Предположим противное, т. е. предположим, что существуют такие , для которых выполняется неравенство

(см. п. 129), получим откуда . Так как на самом деле при любых значениях , то мы получили противоречие. Значит, наше предположение неверно, а потому справедливо неравенство

Решить уравнение

С одной стороны, при всех (см. п. 189). С другой стороны, при всех х выполняется неравенство . Значит, корнями данного уравнения будут общие корни уравнений (если, конечно, такие общие корни есть; если их нет, то уравнение не имеет корней).

Из уравнения находим

Из уравнения находим х = 1.

Число больше числа , если их разность чисел и положительна. Исходя из этого определения, можно записать следующие условия:

, если разность ;

, если разность ;

, если разность ;

, если разность .

Например, доказать неравенство .

.

Например, доказать неравенство .

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ — НЕРАВЕНСТВА

Цели: изучить основные приёмы доказательства неравенств; сформировать умение доказывать сложные неравенства различными приёмами.

I. Актуализация знаний.

1. Сформулировать определение: число а больше числа b, если разность а — b — положительное число; число а меньше числа b, если разность а – b — отрицательное число.

2. Сформулировать основные свойства числовых неравенств:

Теорема 1. Если а > b, то b < а; если а < b, то b > а.

Теорема 2. Если а < b и b < с, то а < с.

Теорема 3. Если а < b и с — любое число, то а + с < b + с.

Теорема 4. Если а < b и с > 0, то ас < bс;

Если а < b и с < 0, то ас > bс.

Следствие. Если а > 0 и b > 0 и а < b, то

3. Сформулировать правила почленного сложения и умножения числовых неравенств.

Теорема 5. Если а < b и с < d, то а + с < b + d.

Теорема 6. Если а < b и с < d, где a, b, с, d — положительные числа, то ас < bd.

Следствие. Если а > 0, b > 0 и а < b, то а n < b n , где n є N.

II. Изучение нового материала.

1. Сначала показываем отличие заданий “решить неравенство” и “доказать неравенство”. В первом случае мы выполняем равносильные преобразования исходного неравенства, получаем более простое неравенство и находим те значения переменной, которые обращают неравенство в верное числовое неравенство (или доказываем, что таких значений нет).

В заданиях на доказательство неравенства в условии есть утверждение, что данное неравенство верно при любых значениях переменной либо при некоторых значениях (задано заранее множество значений переменной), и необходимо это утверждение доказать.

2. Доказательства проводятся с помощью различных приёмов, некоторые из которых знакомы учащимся.

1-й приём. Составляем разность левой и правой частей неравенства и показываем, что она сохраняет знак при любых указанных значениях переменных.

Рассматриваем данный приём на примере 1 со с. 193 учебника.

2-й приём. Показываем, что данное неравенство следует из других неравенств, справедливость которых известна.

К таким неравенствам (их ещё называют “основными” и “базовыми”) относятся:

и др.

Рассматриваем данный приём на примере 2 со с. 193-194 учебника.

3-й приём. В отдельных случаях можно доказать неравенство, используя некоторые очевидные соотношения.

В качестве таких очевидных соотношений могут быть взяты, например, такие: при любом при при х ≥ -1 и т. п.

Рассматриваем данный приём на примерах 3 и 4 со с. 194-195 учебника.

III. Формирование умений и навыков.

При доказательстве неравенств можно использовать любые предложенные приёмы, следует поощрять осознанный выбор того или иного приёма.

При рассмотрении задач на доказательство неравенств у учащихся может возникнуть представление об оторванности таких задач от потребностей практики. Чтобы этого не произошло, необходимо решать также прикладные задачи на неравенства.

для любых а и и, значит, Неравенство доказано.

значит, при a > 0, b > 0. Неравенство доказано.

Доказать, что для любых а > 0, b > 0.

значит, неравенство доказано.

значит,

Аналогично докажем, что

Имеем:

Значит, что и требовалось доказать.

Пусть х км/ч — намеченная скорость велосипедиста, обозначим путь за 1, тогда, по расчетам, он должен был затратить на весь путь, а на самом деле затратил

Велосипедист успеет к сроку, если Докажем это.

так как х > 2.

Имеем: значит, велосипедист не успел вернуться к назначенному сроку.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

Как доказать неравенство 9 класс

Как доказать неравенство? Рассмотрим некоторые способы доказательства неравенств.

1) Число a больше числа b, если разность a-b — положительное число:

2) Число a меньше числа b, если разность a-b — отрицательное число:

a 0 или a=b (то есть a-b≥0).

4)a≤b, если a-b

Сводится к оценке разности левой и правой частей неравенства и сравнение её с нулём.

Оценим разность левой и правой частей неравенства:

Оцениваем разность левой и правой частей неравенства:

(3x-5)²≥0 при любом значении переменной x.

Следовательно, (3x-5)²+23>0 при любом x.

Значит, неравенство 9x²+48>30x выполняется при любом действительном значении x.

Что и требовалось доказать.

3) Доказать неравенство: x²+y²+16x-20y+190>0.

(x+8)²≥0 при любом значении x,

(y-10)²≥0 при любом значении y,

Следовательно, (x+8)²+(y-10)²+26>0 при любых действительных значениях переменных x и y.

А это значит, что x²+y²+16x-20y+190>0.

Что и требовалось доказать.

II. Доказательство неравенств методом «от противного».

Высказываем предположение, что доказываемое неравенство неверно, и приходим к противоречию.

Предположим, что неравенство, которое нам нужно доказать, неверно. Тогда

Раскрываем скобки и упрощаем:

Поскольку (a₁b₂-a₁b₁)²≥0 при любых действительных значениях переменных, то -(a₁b₂-a₁b₁)²≤0. Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

III. Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации.

Таким способом, например, можно доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (частный случай неравенства Коши).

IV. Доказательство неравенств с использованием очевидных неравенств.

Доказать неравенство: a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Так при любых действительных значениях переменных (a-b)²≥0, (b-c)²≥0 и (a-c)²≥0, то очевидно, что (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности и упрощаем:

Осталось перенести три слагаемые в правую часть:

Что и требовалось доказать.

V. Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных неравенств.

Основные неравенства, на которые опираются при доказательстве других неравенств:

При a₁= a₂= …= a_n неравенство превращается в равенство.

• Сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух:

Применяется также аналог неравенства для отрицательных взаимно-обратных чисел:

при x

Равенство достигается лишь в случае, когда числа x_i и y_i пропорциональны, то есть существует число k такое, что для любого i=1,2,…,n выполняется равенство x_i=ky_i.

где x>-1, n — натуральное число.

Равенство достигается лишь при x=0 и n=1.

• Обобщённое неравенство Бернулли

Если x>-1, n — действительное число:

При 0

В обоих случаях равенство возможно лишь при x=0.

Модуль суммы не превосходит суммы модулей

Равенство достигается, если a и b имеют одинаковые знаки (a≥0 и b≤0 либо a≤0, b≤0).

• Модуль разности больше либо равен модуля разности модулей

1) Доказать неравенство при x>0, a>0, b>0, c>0:

Используем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

для каждого из множителей:

Так как по условию x>0, a>0, b>0, c>0, то x+a>0, x+b>0, x+c>0 и

0,2sqrt > 0,2sqrt > 0. ]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

Что и требовалось доказать.

2) Доказать неравенство:

Таким образом, для доказательства нашего неравенства надо показать, что

разделим обе части неравенства на 4 в двадцатой степени (при делении на положительное число знак неравенства не изменяется):

Применим неравенство Бернулли:

Так как в неравенстве

правая часть больше либо равна 6, это равенство верно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Помимо перечисленных, существуют другие способы доказательства неравенств (метод математической индукции и т.д.).

Умение доказывать неравенства применяется во многих разделах алгебры (например, метод оценки решения уравнений сводится к доказательству неравенств).

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых выполняется неравенство

, что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

Просмотр содержимого документа
«Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные 9 класс »

Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

• Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.

Пример 1 . Доказать что для любого х ϵ R

для квадратичной функции

что означает её положительность при любом действительном х .

Пример 2 . Доказать, что для любых x и y

Пример 3 . Доказать, что

Пример 4 . Доказать, что для любых a и b

для любых действительных х и у

2. Метод от противного

Вот хороший пример применения данного метода.

Но ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.

Пример 5 . Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство

Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:

, что является обоснованием исходного неравенства .

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С , для которых выполняется неравенство

, что невозможно ни при каких действительных А,В и С . Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

0 = для х ϵ R для х ϵ R" w

Использование свойств квадратного трехчлена

Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена , если

Пример 6 . Доказать, что

0, D D= = P(x)0 и верно при любых действительных значениях х и у. для х ϵ R" w

Пример 7 . Доказать, что для любых действительных х и у имеет место быть неравенство

Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:

верно при любых действительных значениях х и у.

Пример 8 . Доказать, что

для любых действительных значениях х и у.

Это означает, что для любых действительных у и неравенство

выполняется при любых действительных х и у.

Метод введения новых переменных или метод подстановки

Пример 9 . Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z

Доказательство. Воспользуемся верным неравенством для , ,

Получаем исследуемое неравенство

( )* ( ) 0 , что доказывает неравенство для а ϵ R" w

Использование свойств функций.

Пример 10 . Докажем неравенство

Доказательство. Рассмотрим 2 случая:

причем равенство достигается только при а= b=0.

( )* ( ) 0 , что доказывает неравенство

" w

Пример 11 . Докажем, что для любых

Если , то знаки чисел и совпадают, что означает положительность исследуемой разности =

1)" w

Применение метода математической индукции

Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.

• Проверим истинность утверждения при

2) Предположим верность утверждения при

3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.

Вывод: утверждение верно для любого n ϵ N .

Использование замечательных неравенств

• Теорема о средних (неравенство Коши)
• Неравенство Коши – Буняковского
• Неравенство Бернулли

Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)

Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического

Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

0, тогда Пусть n=3, , , , тогда" w

• Пусть n=2 , , , тогда
• Пусть n=2, a0, тогда
• Пусть n=3, , , , тогда

Пример 13 . Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство

Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши — Буняковского утверждает, что для любых ; справедливо соотношение

Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид: . Для n=3 получим

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство

Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:

Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.

Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство

Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде

и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.

-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство Неравенство может применяться для выражений вида Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли." w

Неравенство Бернулли утверждает, что если х -1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство

Неравенство может применяться для выражений вида

Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помощью теоремы Бернулли.

Доказательство. Положив х =0,5 и применив теорему Бернулли для выражения

, получим требуемое неравенство.

по теореме Бернулли, что и требовалось.

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? — вспомнил Гильберт. — Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.

Идёт приём заявок

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Дата _______ Урок № Сынып/ Класс 9

Тақырыбы: Доказательство неравенств

расширить, обобщить и систематизировать знания о неравенствах;

закрепить знания свойств неравенств;

способствовать выработке навыков и умений в доказательстве неравенств.

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Формы работы на уроке: индивидуальная, коллективная; устная, письменная.

карточки – задания для индивидуальной работы, мультимедийный проектор.

2. II. этап. Устно- письменный опрос учащихся с целью установления содержательных связей между ведущими линиями школьного курса математики.

1. Какие из следующих чисел: –2; –1; 0; 2; 3 – являются решением неравенства х 3 – 2х ≥ 1?

2. Подберите два каких-нибудь числа разных знаков, чтобы их сумма была больше 5.

Контроль усвоения материала(самостоятельная работа).

III. Объяснение нового материала.

В математике неравенство есть утверждение об относительной величине или порядке двух объектов, или о том, что они просто не одинаковы.

Доказать – значит привести аргументы, которые отметут все сомнения в правоте высказанного. Для доказательство неравенств часто используют один простой факт:

Говорят, что действительное число a больше (меньше) действительного числа b , если их разность a − b является положительным (отрицательным) числом.
Основные свойства неравенств

Некоторые опорные неравенства, которые часто используются для доказательства других неравенств:

в частности, для натурального n ≥2, a 2> b 2 то na √> nb √;

Существует несколько методов доказательства неравенств. Мы рассмотрим их на примере неравенства:

где a – положительное число.

1). Использование известного или ранее доказанного неравенств а.

Известно, что ( a – 1 )² 0 .

2). Оценка знака разности между частями неравенства . Рассмотрим разность между левой и правой частью:

более того, равенство имеет место только при a = 1 .

3). Доказательство от противного.

Умножая обе части неравенства на a , получим: a 2 + 1 a , т.e. a 2 + 1 – 2 a или ( a – 1 ) 2 что неверно. ( Почему ? ) . Полученное противоречие доказывает справедливость рассматри

4). Метод неопределённого неравенства.

Неравенство называется неопределённым , если у него знак / или / , т.е. когда мы не знаем в какую сторону следует повернуть этот знак, чтобы получить справедливое неравенство. Здесь действуют те же правила, что и с обычными неравенствами.

Рассмотрим неопределённое неравенство:

Умножая обе части неравенства на a , получим: a 2 + 1 / 2 a , т.e. а 2 + 1 – 2 a / 0 , или ( a – 1 ) 2 / 0 , но здесь мы уже знаем, как повернуть

знак / , чтобы получить верное неравенство ( Как? ). Поворачивая его

в нужном направлении по всей цепочке неравенств снизу вверх, мы
получим требуемое неравенство.

Докажем, что (a+b)(ab+1) 4ab, при а0, b0.

Доказательство: Рассмотрим a+b и ab+1.

И />спользуем очевидное неравенство Коши: />

И для второго множителя.

Перемножим получившиеся неравенства:

IV. Формирование умений и навыков.

. Для самостоятельного решения

Доказательство неравенств

Образец 1. Докажи самостоятельно:

рассмотрим разность: 1) (a+6) 2 >12a;

a 2 +4 > 0 для любого a, значит 3) b(b — 4) > — 4.

a(a — 6) 2 Докажи самостоятельно:

рассмотрим разность: 1) x(x+10) 2 ;

V. 4 этап . Оценочно -рефлексивный .

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию. Обратить внимание учащихся на теоретические факты, которые вспомнили на уроке, о необходимости их выучить.