Как доказать что прямые пересекаются

Пересечение прямых. Точка пересечения двух прямых

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых на плоскости

• графический
• аналитический

Если система уравнений:

• имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
• имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
• не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = -3 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x — 2 y = -3 x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0.4 y = -3 x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 x = 2 t + 1 y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2 t + 1) — 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = — 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = — 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = — 2 3 + 1 = 1 3 y = — 1 3

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 1 3 , — 1 3 )

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2 x + 3 y = 0 x — 2 3 = y 4

Из второго уравнения выразим y через x

2 x + 3 y = 0 y = 4· x — 2 3

Подставим y в первое уравнение

2 x + 3·4· x — 2 3 = 0 y = 4· x — 2 3 => 2 x + 4·( x — 2) = 0 y = 4· x — 2 3 =>

2 x + 4 x — 8 = 0 y = 4· x — 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x — 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4· x — 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4· 4/3 — 2 3 = 4· -2/3 3 = — 8 9

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 4 3 , — 8 9 )

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k ₁ = k ₂ = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = 2 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Если система уравнений:

• имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
• имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
• не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Решение: Составим систему уравнений

x — 1 = a y — 1 = a z — 1 = a x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b =>

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 — 3 -2 = b 2 — ( a + 1) = b a + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 + (1 — a ) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b b = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = 1 1 — a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 x = a + 1 y = 3 a — 2 z = 3

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t — 3 = a + 1 t = 3 a — 2 — t + 2 = 3 => x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a — 2 t = -1 =>

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) — 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3 a — 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

Координаты точки пересечения двух прямых — примеры нахождения

Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.

Точка пересечения двух прямых – определение

Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Определение точки пересечения прямых звучит так:

Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.

Если на плоскости имеется система координат О х у , то задаются две прямые a и b . Прямой a соответствует общее уравнение вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , для прямой b — A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда M 0 ( x 0 , y 0 ) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка М 0 являться точкой пересечения этих прямых.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться в точке, координаты которой являются решением заданных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M 0 ( x 0 , y 0 ) считается их точкой пересечения.

Даны две пересекающиеся прямые 5 x — 2 y — 16 = 0 и 2 x — 5 y — 19 = 0 . Будет ли точка М 0 с координатами ( 2 , — 3 ) являться точкой пересечения.

Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М 0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что

5 · 2 — 2 · ( — 3 ) — 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 · 2 — 5 · ( — 3 ) — 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Оба равенства верные, значит М 0 ( 2 , — 3 ) является точкой пересечения заданных прямых.

Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.

Ответ: заданная точка с координатами ( 2 , — 3 ) будет являться точкой пересечения заданных прямых.

Пересекутся ли прямые 5 x + 3 y — 1 = 0 и 7 x — 2 y + 11 = 0 в точке M 0 ( 2 , — 3 ) ?

Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что

5 · 2 + 3 · ( — 3 ) — 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 · 2 — 2 · ( — 3 ) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Второе равенство не является верным, значит, что заданная точка не принадлежит прямой 7 x — 2 y + 11 = 0 . Отсюда имеем, что точка М 0 не точка пересечения прямых.

Чертеж наглядно показывает, что М 0 — это не точка пересечения прямых. Они имеют общую точку с координатами ( — 1 , 2 ) .

Ответ: точка с координатами ( 2 , — 3 ) не является точкой пересечения заданных прямых.

Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на плоскости.

Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 , расположенных в О х у . При обозначении точки пересечения М 0 получим, что следует продолжить поиск координат по уравнениям A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Из определения очевидно, что М 0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Иными словами это и есть решение полученной системы A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Значит, для нахождения координат точки пересечения , необходимо все уравнения добавить в систему и решить ее.

Заданы две прямые x — 9 y + 14 = 0 и 5 x — 2 y — 16 = 0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.

Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x — 9 y + 14 = 0 5 x — 2 y — 16 = 0 . Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x , подставляется выражение во второе:

x — 9 y + 14 = 0 5 x — 2 y — 16 = 0 ⇔ x = 9 y — 14 5 x — 2 y — 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y — 14 5 · 9 y — 14 — 2 y — 16 = 0 ⇔ x = 9 y — 14 43 y — 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y — 14 y = 2 ⇔ x = 9 · 2 — 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.

Ответ: M 0 ( 4 , 2 ) является точкой пересечения прямых x — 9 y + 14 = 0 и 5 x — 2 y — 16 = 0 .

Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.

Определить координаты точек пересечения прямых x — 5 = y — 4 — 3 и x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Для начала необходимо привести уравнения к общему виду. Тогда получаем, что x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R преобразуется таким образом:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x — 4 9 λ = y — 2 1 ⇔ x — 4 9 = y — 2 1 ⇔ ⇔ 1 · ( x — 4 ) = 9 · ( y — 2 ) ⇔ x — 9 y + 14 = 0

После чего беремся за уравнение канонического вида x — 5 = y — 4 — 3 и преобразуем. Получаем, что

x — 5 = y — 4 — 3 ⇔ — 3 · x = — 5 · y — 4 ⇔ 3 x — 5 y + 20 = 0

Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения

x — 9 y + 14 = 0 3 x — 5 y + 20 = 0 ⇔ x — 9 y = — 14 3 x — 5 y = — 20

Применим метод Крамера для нахождения координат:

∆ = 1 — 9 3 — 5 = 1 · ( — 5 ) — ( — 9 ) · 3 = 22 ∆ x = — 14 — 9 — 20 — 5 = — 14 · ( — 5 ) — ( — 9 ) · ( — 20 ) = — 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = — 110 22 = — 5 ∆ y = 1 — 14 3 — 20 = 1 · ( — 20 ) — ( — 14 ) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Ответ: M 0 ( — 5 , 1 ) .

Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Тогда вместо значения x подставляется x = x 1 + a x · λ и y = y 1 + a y · λ , где получим λ = λ 0 , соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x 1 + a x · λ 0 , y 1 + a y · λ 0 .

Определить координаты точки пересечения прямой x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x — 5 = y — 4 — 3 .

Необходимо выполнить подстановку в x — 5 = y — 4 — 3 выражением x = 4 + 9 · λ , y = 2 + λ , тогда получим:

4 + 9 · λ — 5 = 2 + λ — 4 — 3

При решении получаем, что λ = — 1 . Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R и x — 5 = y — 4 — 3 . Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ = — 1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x = 4 + 9 · ( — 1 ) y = 2 + ( — 1 ) ⇔ x = — 5 y = 1 .

Ответ: M 0 ( — 5 , 1 ) .

Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.

Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.

Даны прямые x 3 + y — 4 = 1 и y = 4 3 x — 4 . Определить, имеют ли они общую точку.

Упрощая заданные уравнения, получаем 1 3 x — 1 4 y — 1 = 0 и 4 3 x — y — 4 = 0 .

Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:

1 3 x — 1 4 y — 1 = 0 1 3 x — y — 4 = 0 ⇔ 1 3 x — 1 4 y = 1 4 3 x — y = 4

Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x 3 + y — 4 = 1 и y = 4 3 x — 4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.

Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.

Найти координаты точки пересекающихся прямых 2 x + ( 2 — 3 ) y + 7 = 0 и 2 3 + 2 x — 7 y — 1 = 0 .

По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:

2 x + ( 2 — 3 ) y + 7 = 0 2 ( 3 + 2 ) x — 7 y — 1 = 0 ⇔ 2 x + ( 2 — 3 ) y = — 7 2 ( 3 + 2 ) x — 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 — 3 y = — 7 2 ( 3 + 2 ) x — 7 y + ( 2 x + ( 2 — 3 ) y ) · ( — ( 3 + 2 ) ) = 1 + — 7 · ( — ( 3 + 2 ) ) ⇔ ⇔ 2 x + ( 2 — 3 ) y = — 7 0 = 22 — 7 2

Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.

Второй способ решения.

Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.

n 1 → = ( 2 , 2 — 3 ) является нормальным вектором прямой 2 x + ( 2 — 3 ) y + 7 = 0 , тогда вектор n 2 → = ( 2 ( 3 + 2 ) , — 7 — нормальный вектор для прямой 2 3 + 2 x — 7 y — 1 = 0 .

Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n 1 → = ( 2 , 2 — 3 ) и n 2 → = ( 2 ( 3 + 2 ) , — 7 ) . Получим равенство вида 2 2 ( 3 + 2 ) = 2 — 3 — 7 . Оно верное, потому как 2 2 3 + 2 — 2 — 3 — 7 = 7 + 2 — 3 ( 3 + 2 ) 7 ( 3 + 2 ) = 7 — 7 7 ( 3 + 2 ) = 0 . Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

Найти координаты пересечения заданных прямых 2 x — 1 = 0 и y = 5 4 x — 2 .

Для решения составляем систему уравнений. Получаем

2 x — 1 = 0 5 4 x — y — 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x — y = 2

Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2 0 5 4 — 1 = 2 · ( — 1 ) — 0 · 5 4 = — 2 . Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

2 x = 1 5 4 x — y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x — y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 · 1 2 — y = 2 ⇔ x = 1 2 y = — 11 8

Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M 0 ( 1 2 , — 11 8 ) .

Ответ: M 0 ( 1 2 , — 11 8 ) .

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.

Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости О х у z уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая может быть определена при помощи заданной системы A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 а прямая b — A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Когда точка М 0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Рассмотрим подобные задания на примерах.

Найти координаты точки пересечения заданных прямых x — 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x — 2 z — 4 = 0

Составляем систему x — 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x — 2 z — 4 = 0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 — 2 и расширенную T = 1 0 0 1 0 1 2 — 3 4 0 — 2 4 . Определяем ранг матрицы по Гауссу.

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = — 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 — 3 3 2 0 — 3 4 0 — 2 4 = 0

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3 . Тогда система уравнений x — 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x — 27 — 4 = 0 в результате дает только одно решение.

Базисный минор имеет определитель 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = — 4 ≠ 0 , тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x — 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x — 2 z — 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = — 3 3 x + 2 y — 3 . Решение системы x = 1 y + 2 z = — 3 3 x + 2 y = — 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = — 3 3 · 1 + 2 y = — 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = — 3 y = — 3 ⇔ ⇔ x = 1 — 3 + 2 z = — 3 y = — 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = — 3 .

Значит, имеем, что точка пересечения x — 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x — 2 z — 4 = 0 имеет координаты ( 1 , — 3 , 0 ) .

Ответ: ( 1 , — 3 , 0 ) .

Система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.

В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.

Поэтому система вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.

Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.

Заданы уравнения прямых x + 2 y — 3 z — 4 = 0 2 x — y + 5 = 0 и x — 3 z = 0 3 x — 2 y + 2 z — 1 = 0 . Найти точку пересечения.

Для начала составим систему уравнений. Получим, что x + 2 y — 3 z — 4 = 0 2 x — y + 5 = 0 x — 3 z = 0 3 x — 2 y + 2 z — 1 = 0 . решаем ее методом Гаусса:

1 2 — 3 4 2 — 1 0 — 5 1 0 — 3 0 3 — 2 2 1

1 2 — 3 4 0 — 5 6 — 13 0 — 2 0 — 4 0 — 8 11 — 11

1 2 — 3 4 0 — 5 6 — 13 0 0 — 12 5 6 5 0 0 7 5 — 159 5

1 2 — 3 4 0 — 5 6 — 13 0 0 — 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.

Ответ: нет точки пересечения.

Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.

Заданы две прямые x = — 3 — λ y = — 3 · λ z = — 2 + 3 · λ , λ ∈ R и x 2 = y — 3 0 = z 5 в О х у z . Найти точку пересечения.

Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что

x = — 3 — λ y = — 3 · λ z = — 2 + 3 · λ ⇔ λ = x + 3 — 1 λ = y — 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 — 1 = y — 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 — 1 = y — 3 x + 3 — 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x — y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y — 3 0 = z 5 ⇔ y — 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y — 3 = 0 5 x — 2 z = 0

Находим координаты 3 x — y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y — 3 = 0 5 x — 2 z = 0 , для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3 , а базисный минор 3 — 1 0 3 0 1 0 1 0 = — 3 ≠ 0 , значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что

3 x — y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y — 3 = 0 5 x — 2 z = 0 ⇔ 3 x — y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y — 3 = 0

Решим систему методом Крамер. Получаем, что x = — 2 y = 3 z = — 5 . Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами ( — 2 , 3 , — 5 ) .

Часть 3: уравнения прямых и плоскостей Лекция 11

Пример 24.Доказать, что прямыеипересекаются, и записать уравнение плоскости, проходящей черези.

Прежде всего отметим, что при записи уравнений данных прямых мы обозначили параметры разными буквами. В принципе, это нужно делать всегда для двух различных прямых. Этим правилом пренебрегают, когда в процессе решения эти параметры не входят одновременно в состав какого-либо одного уравнения (см. пример 23). Как мы увидим, при решении данного примера без четкого различения параметров не обойтись.

Покажем, что ипересекаются. Это означает, что должна существовать единственная точка, координаты которой удовлетворяют одновременно всем уравнениям первой и второй прямой. А это выполняется тогда и только тогда, когда следующая система имеет единственное решение:

. Единственное решение получено и, подставляя в уравнения прямой(либов уравнения прямой), получаем точку пересечения.

2) Прямые ипересекаются в точкеи имеют направляющие векторыи. Записывая уравнение плоскости по точке и двум векторам (см. формулу (45)), получаем:

Общее уравнение плоскости в

Определение 27.Уравнение, гдеA, B, C и D– действительные числа, причемA, B иCне равны нулю одновременно, называется общим уравнением плоскости в пространстве.

Легко видеть, что изученные ранее уравнения плоскости (44) и (45) после преобразований сводятся к общему уравнению плоскости (это также наглядно видно в примерах 23 и 24).

Теорема 19.Векторявляется нормальным вектором плоскости.

Доказательство.Пусть– точка, лежащая на заданной плоскости, то есть. Такая точка всегда существует. Например, если, то можно положить(случаиирассматриваются аналогично). Пользуясь формулой (44), запишем уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору:

Так как , тои уравнение плоскостипринимает вид, то есть исходная плоскость совпадает с плоскостью. Значит нормальный вектор плоскоститакже является нормальным вектором исходной плоскости.

Заметим, что из доказательства теоремы 19 следует более сильный вывод: плоскость, заданная общим уравнением, всегда может быть получена с помощью формулы (44).

Теорема 20.Пусть даны плоскость:и прямая.

и пересекаются тогда и только тогда, когда

лежит в плоскости тогда и только тогда, когда

параллельна (но не лежит в плоскости) тогда и только тогда, когда

Доказательство.Для нахождения общих точек плоскостии прямойсоставляем систему уравнений:

Преобразовывая последнее уравнение полученной системы, имеем:

Если , тои, подставляя это значениеtв первые три уравнения системы, находим однозначно определенные координатыx, y и zточки пересеченияи. Еслии, то получаем верное равенство, которое означает, что каждая точка прямойлежит в плоскости. Наконец, если, но, то левая часть полученного уравнения равна нулю, а правая отлична от нуля. Это говорит о том, что исходная система несовместна, следовательноине имеют общих точек, то есть.

Геометрический смысл теоремы 20 очень прост. Так как – направляющий вектор прямой, а– нормальный вектор плоскости, то условие пункта 1) теоремы 20 означает, что, то есть угол междуинеравен. А это и означает, чтонепараллельна. Наоборот, в пунктах 2) и 3), то естьпараллельнав широком смысле. Если при этом(то есть точка, принадлежащая прямой, принадлежит также и), то ясно, что тогда и все точкипринадлежат. В противном случаеине имеют общих точек, то есть.

Пример 25.Найти точкуQ, симметричную точкеотносительно плоскости.

1) Запишем уравнение прямой , проходящей через точкуPперпендикулярно плоскости. Так как в качестве направляющего векторапрямойможно взять нормальный вектор плоскости, который в силу теоремы 19 равен, то параметрические уравненияимеют вид:.

2) Найдем точку пересечения прямойи плоскости. Так же, как и в доказательстве теоремы 20, решим систему уравнений:

.

Таким образом, То есть,.

Пусть – точка, симметричная точкеPотносительно плоскости. Так как, то. То есть.

Пример 26. Найти точкуQ, симметричную точкеотносительно прямой:.

Запишем уравнение плоскости , проходящей через точкуPперпендикулярно прямой. Так как в качестве нормального вектора плоскостиможно взять направляющий вектор прямой, который равен, то по формуле (44): .

2) Найдем точку пересечения прямойи плоскости. Решим систему уравнений:

Получаем: То есть.

3) Пусть – точка, симметричная точкеPотносительно прямой. Так как, то. То есть.

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Пусть заданы две плоскости: и, причем их нормальные векторыинеколлинеарны. Отсюда следует, что эти плоскости пересекаются, то есть системаопределяет прямую в пространстве. Читателю предлагается самостоятельно разобраться, как из этой системы получить параметрические уравнения данной прямой.

Следствия из аксиом стереометрии

Сегодня мы рассмотрим три важнейших следствия из аксиом стереометрии и решим несколько задач. Но сначала вспомним сами аксиомы стереометрии.

1. Теорема о прямой и точке

Теорема. Через любую прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Рассмотрим прямую $l$ и точку $M$, не лежащую на этой прямой:

Отметим на прямой $l$ произвольные точки $A$ и $B$:

Точки $A$, $B$, $M$ не лежат на одной прямой. По Аксиоме трёх точек существует плоскость, проходящая через точки $A$, $B$, $M$, и притом только одна. Назовём эту плоскость $\alpha $:

Поскольку точки $A\in \alpha $, $B\in \alpha $, то по Аксиоме о прямой и плоскости прямая $l=AB\subset \alpha $. Итак, мы получили плоскость $\alpha $, которая содержит и прямую $l$, и точку $M$, и эта плоскость единственная.

2. Теорема о пересекающихся прямых

Определение. Две прямые в пространстве называются , если они имеют ровно одну общую точку.

По сути, это обычные прямые из планиметрии, которые пересекаются в одной точке. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, то обычно это записывается так:

Теорема. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Для доказательства рассмотрим две прямые:

Мы видим, что эти прямые пересекаются в точке $M$. Отметим на прямой $a$ произвольную точку $N$, которая не совпадает с $M$:

По Теореме о прямой и точке, доказанной выше, прямая $b$ и точка $N$ однозначно задают плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha $:

Итак, прямая $b\subset \alpha $. Кроме того, точки $M\in \alpha $, $N\in \alpha $. По Аксиоме о прямой и плоскости заключаем, что прямая $a=MN\subset \alpha $.

Итак, обе прямые лежат в плоскости $\alpha $. Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость, содержащая пересекающиеся прямые $a$ и $b$, содержит, в частности, прямую $b$ и точку $N$. И по предыдущей теореме через эту прямую и точку проходит лишь одна плоскость.

3. Теорема о параллельных прямых

Определение. Две прямые в пространстве называются , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

В стереометрии параллельные прямые выглядят так же, как и в планиметрии:

Если прямые $a$ и $b$ параллельны, то пишут $a\parallel b$.

Теорема. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$ в пространстве:

Из определения параллельных прямых следует, что они лежат в одной плоскости. Однако таких плоскостей может быть несколько.

Докажем, что такая плоскость всегда одна. Отметим на прямой $a$ точки $A$ и $B$, на прямой $b$ — точку $C$:

Точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. По Аксиоме трёх точек через точки $A$, $B$, $C$ проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha $:

Докажем, что это та самая плоскость, в которой лежат прямые $a$ и $b$. Предположим, что это не так, и есть ещё одна плоскость $\beta $, которой также принадлежат прямые $a$ и $b$. Но тогда

\[\beginA & \in a\subset \beta \\ B & \in a\subset \beta \\ C & \in a\subset \beta \\ \end\]

Точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. По Аксиоме о трёх точках они определяют плоскость однозначно. И мы уже обозначили эту плоскость $\alpha $. Следовательно, плоскости $\alpha $ и $\beta $ — это на самом деле одна и та же плоскость.

4. Способы задания плоскости

Итого плоскость однозначно задаётся любым из четырёх способов:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой (Аксиома трёх точек);
2. Прямой и не лежащей на ней точкой (Теорема о прямой и точке);
3. Двумя пересекающимися прямыми;
4. Двумя параллельными прямыми.

Есть и другие способы задать плоскость. Но, во-первых, эти четыре способа прямо следуют из аксиом и не требуют дополнительного обоснования. Можно написать в решении «Две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость» — и этого будет достаточно.

А во-вторых, для большинства стереометрических задач хватит и этих четырёх приёмов. И прямо сейчас мы проверим это в задачах на доказательство.

5. Решение задач

Перед вами шесть на доказательство. Некоторые из них мы будем решать напрямую — через аксиомы и теоремы. Другие докажем методом «от противного» — очень рекомендую освоить его. Это полезный приём для контрольных и экзаменов.

Задача 1

Дана прямая $a$ и точка $B$, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через точку $B$ и пересекающие прямую $a$, лежат в одной плоскости.

Решение. Итак, дана прямая $a$ и точка $B$, не лежащая на этой прямой.

1. По теореме о прямой и точке существует плоскость, проходящая через эту прямую и точку, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\alpha $.

2. Пусть некоторая прямая проходит через точку $B$ и пересекает прямую $a$ в точке $N$:

3. Поскольку точка $B\in \alpha $, $N\in \alpha $, по Аксиоме прямой на плоскости заключаем, что прямая $BN\subset \alpha $, что и требовалось доказать.

Задача 2

Прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $C$. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку $C$ и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку $C$?

Решение. По условию задачи, нам даны прямые $a$ и $b$, причём $a\cap b=C$.

1. По Теореме о пересекающихся прямых заключаем, что прямые $a$ и $b$ однозначно задают плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha $.

2. Рассмотрим произвольную прямую, которая пересекает исходную прямую $a$ в точке $N$ и прямую $b$ в точке $N$:

\[\beginM & \in b\subset \alpha \\ N & \in a\subset \alpha \\ \end\]

4. Поскольку точки $M$ и $N$ лежат на плоскости $\alpha $, по Аксиоме о прямой на плоскости заключаем, что прямая $MN\subset \alpha $, что и требовалось доказать.

Однако всё это верно лишь при условии, что точки $M$ и $N$ отличны от точки $C$. В противном случае возможен такой вариант:

Прямая $CK$ проходит через некую точку $K$, не лежащую на плоскости $\alpha $. Она всё так же пересекает прямые $a$ и $b$, однако не лежит в одной плоскости вместе с ними.

Задача 3

Через точку пересечения прямых $AB$ и $AC$ проведена прямая $m$, не лежащая с ними в одной плоскости. Докажите, что прямые $m$ и $BC$ не пересекаются.

Решение. Мы уже знаем по Теореме о пересекающихся прямых, что прямые $AB$ и $AC$ однозначно задают плоскость, которая обозначена $\alpha $.

1. Рассмотрим прямую $m$, которая пересекает плоскость $\alpha $ в точке $A$. Докажем, что прямая $m$ никогда не пересечёт прямую $BC$, какими бы ни были точки $B$ и $C$.

2. Предположим обратное: пусть $m\cap BC=N$. Поскольку $N\in BC\subset \alpha $, точка $N$ лежит на плоскости $\alpha $.

3. Заметим, что точки $A\in \alpha $ (по условию), $M\in \alpha $ (доказано в п. 2). По Аксиоме о прямой на плоскости заключаем, что прямая $m=AN\subset \alpha $. Получили противоречие с условием задачи. Утверждение доказано.

Задача 4

Прямые $a$ и $b$ не лежат в одной плоскости. Прямые $m$ и $n$ пересекают каждую из прямых $a$ и $b$ в попарно различных точках. Верно ли, что прямые $m$ и $n$ не пересекаются?

Решение. Это задача с открытым вопросом, которая требует исследования.

1. Предположим, что прямые $m$ и $n$ пересекаются в точке $F$:

2. По теореме о пересекающихся прямых получаем, что прямые $m=AB$ и $n=MN$ однозначно задают плоскость. Назовём эту плоскость $\alpha $:

3. Поскольку точки $A\in \alpha $, $M\in \alpha $, по Аксиоме о прямой на плоскости заключаем, что прямая $a=AM\subset \alpha $.

4. Аналогично для точек $B\in m$, $N\in \alpha $ получаем, что прямая $b=BN\subset \alpha $.

5. Из пунктов 3 и 4 получаем, что прямые $a\subset \alpha $, $b\subset \alpha $, что противоречит условию задачи. Следовательно, наша гипотеза неверна, и прямые $m$ и $n$ на самом деле не пересекаются.

Большинство учеников, читая эту задачу в первый раз, впадают в ступор и не понимают, что с ней делать. В этих случаях помогает простая картинка, которую мы и нарисовали в самом начале решения.

Когда картинка готова, остаётся лишь рассматривать разные варианты и проверять, не противоречат ли они исходному условию. Это классический «метод перебора», который прекрасно работает и в алгебре, и в геометрии.

Задача 5

Точка $M$ лежит вне плоскости, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$. Может ли четырёхугольник $ABCM$ быть трапецией? Ответ обоснуйте.

Решение. 1. Для начала рассмотрим тривиальный вариант, когда точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой. В этом случае $ABCM$ — точно не трапеция. Это либо треугольник, либо вообще отрезок (когда точка $M$ лежит на прямой $AB$).

2. Пусть теперь точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. Тогда по Аксиоме трёх точек они однозначно задают плоскость $ABC=\alpha $. По условию задачи есть точка $M\notin \alpha $:

3. Предположим, что четырёхугольник $ABCM$ — трапеция. В этом случае, либо $AB\parallel MC$, $AM\parallel BC$.

4. Рассмотрим случай, когда $AM\parallel BC$. По Теореме о параллельных прямых заключаем, что прямые $AM$ и $BC$ однозначно задают плоскость. Однако среди точек этой плоскости будут точки $A$, $B$, $C$, которые согласно Аксиоме плоскости тоже однозначно задают плоскость. Эта плоскость обозначена $\alpha $.

5. Получается, что плоскости $\alpha $ и $ABCM$ — это одна и та же плоскость. Поэтому точка $M\in \alpha $, что противоречит условию задачи. Следовательно, прямые $AM$ и $BC$ не могут быть параллельны.

6. Аналогично доказывается, что прямые $AB$ и $CM$ не могут быть параллельны. Следовательно, четырёхугольник $ABCM$ не может быть трапецией.

Задача 6

Докажите, что через точку пересечения диагоналей трапеции и середины её оснований можно провести более чем одну плоскость.

Решение. Рассмотрим трапецию $ABCD$. Пусть $F$ — точка пересечения диагоналей, точки $M$ и $N$ — середины оснований $AD$ и $BC$ соответственно.

1. Дополнительное построение: отрезки $FM$ и $FN$.

2. Докажем, что точки $F$, $N$, $M$ лежат на одной прямой. Для этого рассмотрим треугольники $AFD$ и $CFB$. Поскольку $AD\parallel BC$, углы $DAC$ и $BCA$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $AC$. Следовательно, они равны:

\[\angle DAC=\angle BCA\]

3. Углы $AFD$ и $BFC$ являются вертикальными. Они тоже равны:

\[\angle AFC=\angle BFC\]

4. Итак, в треугольниках $AFD$ и $CFB$ есть два соответственно равных угла. Следовательно, эти треугольники подобны:

\[\Delta AFD\sim\Delta CFB\]

5. Из подобия треугольников следует, что

С другой стороны, точки $M$ и $N$ делят отрезки $AD$ и $BC$ пополам, поэтому

6. Рассмотрим треугольники $AFM$ и $CFN$. Углы $DAC$ и $BCA$ равны (доказано в п. 2), а прилежащие к этим углам стороны пропорциональны (доказано в п. 5):

Следовательно, треугольники $AFM$ и $CFN$ подобны по углу и пропорциональным прилежащим сторонам:

\[\Delta AFM\sim\Delta CFN\]

7. Из подобия треугольников следует, что соответственные углы равны. В частности. Равны углы $AFM$ и $CFN$:

8. Рассмотрим равные углы $AFM$ и $CFN$. Их стороны $FA$ и $FC$ являются продолжением друг друга.

Поскольку сами углы равны (доказано в п. 7), стороны $FM$ и $FN$ также являются продолжениями друг друга. Следовательно углы $AFM$ и $CFN$ являются вертикальными, а точки $M$, $F$, $N$ лежат на одной прямой.

Через прямую $MN$ можно провести сколь угодно много плоскостей, что и требовалось доказать.

Промежуточный итог

Последнее решение — яркий пример того, как стереометрия сводится к планиметрии. «Чисто стереометрических» теорем на самом деле совсем немного. И скоро мы изучим их все.:)