На сколько частей делят плоскость три прямые

На сколько частей делят плоскость три прямые

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

Решение

Докажем по индукции, что количество частей равно 1 + ½ n(n + 1). База (n = 1) очевидна.
Шаг индукции. Пусть n > 1. По предположению индукции перед проведением n-й прямой было 1 + ½ (n – 1)n частей. Новая прямая делится точками пересечения со старыми прямыми на n интервалов. Каждый из этих интервалов разбивает одну часть на две. Следовательно, добавится n частей. Поэтому всего частей станет 1 + ½ (n – 1)n + n = 1 + ½ n(n + 1).

Ответ

Замечания

Из решения видно, что если прямые не находятся в общем положении, то количество частей будет меньше указанного в ответе.

На сколько частей делят плоскость три прямые

На сколько частей можно разделить плоскость тремя прямыми

если прямые параллельные, то на четыре части

если две прямые параллельные и одна перпендикулярная, то на шесть частей

если все прямые перпендикулярные, то на шесть частей

На 4, если они параллельны,

На 6, если они пересекаются все в одной точке, или если 2 параллельны, а 3-я перпендикулярна обоим.

На 7, если они пересекаются в трёх точках, при этом каждая прямая пересекает 2 остальные.

5 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 80

Три прямые.

349. Даны четыре точки так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько прямых проведено?

Шесть прямых.

350. На сколько частей прямая делит плоскость?

351. На сколько частей делят плоскость две прямые, если они:
а) пересекаются; б) параллельны?

а) на 4 части;
б) на 3 части.

352. На сколько частей можно разделить плоскость тремя прямыми?

Если прямые параллельны — на 4 части, если пересекаются в одной точке — на 6 частей, если пересекаются не в одной точке — на 7 частей.

353. Отметьте на листе бумаги точку, проведите несколько лучей с началом в этой точке. Сколько таких лучей можно провести?

Бесконечно много.

354. Отметьте на прямой две точки A и B. Сколько получилось лучей с началом в этих точках?

Лучи АС, АD, ВС, ВD.

355. Сколько получится лучей, если на прямой отметить:
а) 3 точки; б) 5 точек; в) 100 точек?

Из одной точки выходят два луча.
а) 3 • 2 = 6 лучей;
б) 5 • 2 = 10 лучей;
в) 100 • 2 = 200 лучей.

356. Две прямые пересекаются в одной точке. Сколько лучей с началом в этой точке они образуют?

Лучи АС, АD, АЕ, АВ — всего 4 луча.

357. Назовите все лучи с вершиной в точках A, B и C (рис. 47). Сколько лучей получилось.

Лучи АM, АN, BM, ВN, CM, CN — всего 6 лучей.

358. Назовите все отрезки с концами в точках M, N и K (рис. 48). Сколько отрезков получилось?

Отрезки MА, MК, NК — всего 3 отрезка.

359. На прямой отметили четыре точки. Образовалось 6 отрезков с концами в этих точках. Проверьте.

Отрезки АВ, АС, АD, ВС, ВD, СD — всего 6 отрезков.

360. Перечертите рисунок 49 в тетрадь. Обозначьте все точки пересечения прямых, продолжив их, если нужно. На сколько частей разделилась плоскость? Выберите правильный ответ:
A. 10 частей;
Б. 11 частей;
В. 12 частей.

Ответ Б — 11 частей.

На сколько частей можно разделить плоскость тремя прямыми?

Вот при таком варианте можно разделить на 7 частей. Это получается в том случае, если все три прямые различны, и у них три точки пересечения.

Может получится и две полуплоскости. Если, например, все три прямые совпадают.

Если же, например, две из трех прямых параллельны, то получится, что они разделят плоскость на 6 частей:

Если же все три прямые параллельны, то тогда получится всего четыре части:

А также получится всего 6 частей, если все три прямые пересекаются в одной точке:

Данный вопрос из школьного учебника по геометрии. А правильным ответом на него буде то, что плоскость можно разделить тремя пересекающимися между собою прямыми линиями ровно на шесть частей. То есть, каждая такая прямая делит плоскость пополам между собой.

есть еще такой вариант, что они разделят плоскость на семь частей. Он получается когда, если все три прямые различны между собой и соответственно у них три разные точки их пересечения.

Если это вопрос из геометрии(а не из занимательной геометрии, с подколом), и

если учесть, что плоскость — это бесконечность, в принципе, также как и прямая.

То- тремя пересекающимися между собой между прямыми плоскость можно разделить на 6 частей.

Прямая делит плоскость пополам.

Прямые, лежащие в одной плоскости, могут иметь только одну точку пересечения за исключением параллельных. Тогда одна прямая будет иметь две точки пересечения с двумя прямыми.

Таким образом получается, что прямые могут разделить плоскость на 7 частей. Это 6 частей образованных прямыми и образовавшийся внутри треугольник.

В случае если две из этих прямых параллельные, то частей останется 6. Если все три прямые параллельны, то частей будет всего 4.

Ну а если они не лежат в одной плоскости, то частей останется и вовсе две.

Такой признак один: если прямая b параллельна какой-нибудь прямой, принадлежащей плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Доказывается элементарно — от противного. Пусть есть прямая а, причём a∈q и пусть a||b. Раз, по предположению, прямая b пересекает плоскость q, то существует их общая точка точка A∈q. Ясен пень, эта точка не принадлежит прямой а, потому что прямые у нас параллельны. Но тогда должен выполняться признак скрещивающихся прямых — одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость где-то сбоку. Меж тем прямые, по условию, параллельны.

Полученное противоречие и доказывает признак.

четыре — по числе строн тераэдера , так как они должны быть параллельны этим плоскостям и проходить между вершиной, (если поставить тетраэдр на одну из сторон, то вершиной будем считать верхнюю вершину) и основанием (противолежайщей по отношению к вершине плоскочти) и так для каждой из вершин

Объёмный квадрат называется кубом, а вот объёмный прямоугольник называется параллелепипедом.

Объёмный круг — шар, хотя в последнее время это стало модно называть сферой.

Объёмный треугольник — пирамида.

Нет, конечно. Любые пространственные графики состоят, по сути, из трех прямых — осей, проходящих через одну общую точку — точку начала координат. И плоскость там явно не одна. Вариант, что они лежат на одной плоскости, возможен, но не обязателен. Плоскость будет только одна, если каждая из трех указанных в вопросе прямых имеет общую точку с каждой из двух других прямых, и эти точки разные. Тогда пересечение прямых образует треугольник, т. е. плоскость. Иначе — нет.

Слово «плоскость» — существительное женского рода, в единственном числе, неодушевленное, относится к третьему типу склонения, отвечает на вопрос «Что?». Склонение по падежам слова «плоскость», в единственном числе:

• именительный падеж — плОскость, отвечает на вопрос «Что?»,
• родительный падеж — плОскости, отвечает на вопрос «нет «Чего?»,
• дательный падеж — плОскости, отвечает на вопрос «Чему?»,
• винительный падеж — плОскость, отвечает на вопрос «вижу «Что?»,
• творительный падеж — плОскостью, отвечает на вопрос «Чем?»,
• предложный падеж — о плОскости, отвечает на вопрос «О чем?».

Во множественном числе слово «плОскость» — «плОскости», просклоняем это слово следующим образом во множественном числе:

• именительный падеж — плОскости, отвечает на вопрос «Что?»,
• родительный падеж — плоскостЕй/ плОскостей, отвечает на вопрос «нет «Чего?»,
• дательный падеж — плоскостЯм/ плОскостям, отвечает на вопрос «Чему?»,
• винительный падеж — плОскости, отвечает на вопрос «вижу «Что?»,
• творительный падеж — плоскостЯми/ плОскостями, отвечает на вопрос «Чем?»,
• предложный падеж — о плоскостЯх/ о плОскостях, отвечает на вопрос «О чем?».

Ударение в слове «плОскостЕй» может быть на «о» или на «е» в зависимости от контекста слова.