Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

6. Нелинейные уравнения#

Вычислительный аналог этой задачи мы определим следующим образом.

Пусть дана непрерывная функция \(f\) , и параметры \(\text\) и \(\text\) . Пусть корень уравнения \(f(x) = 0\) единственен и равен \(x = x^*\) .

Необходимо найти \(x = r\) такой, что выполнится либо гарантия локализации корня

либо гарантия малости функции

Первое условие подходит для методов, пользующихся тем, что непрерывная функция, имеющая разные знаки на концах отрезка \(f(a) f(b) < 0\) содержит корень \(x^* \in [a, b]\) . Второе условие подходит для остальных методов.

Для задачи поиска корня можно показать.

[ADJB17] Для дифференцируемой в корне \(x^*\) функции \(f\) число обусловленности задачи поиска корня \(f(x) = 0\) имеет вид

Также добавим, что в случае нескольких корней можно сначала найти первый корень \(x^*_1\) функции \(f\) , а затем продолжить поиск других корней, но уже для функции \(f(x)/(x-x^*_1)\) [89] . Кроме того, существуют процедуры по локализации корней функции, после чего задача сводится к поиску корня на каждом из интервалов по отдельности [PTVF07] .

Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

Для примера рассмотрим задачу решения уравнения

где угол x задан в градусах. Указанное уравнение можно переписать в виде

Для графического отсечения корней достаточно построить график функции

Из рисунка видно, что корень уравнения лежит в промежутке x∈(6;8) .

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.
Теорема 1 . Если непрерывная функция f(x) принимает на концах отрезка [a; b] значения разных знаков, т.е.

то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения.
Теорема 2 . Если непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f'(x) сохраняет знак внутри указанного отрезка, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x) = 0 .

Метод итерации — численный метод решения математических задач, используемый для приближённого решения алгебраических уравнений и систем. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить решение с заданной точностью в виде предела последовательности итераций. Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения решения.
Функциональное уравнение может быть записано в виде

Функцию f(x) называют сжимающим отображением .

Последовательность чисел x₀, x₁ ,…, x_n называется итерационной , если для любого номера n>0 элемент x_n выражается через элемент x_n-1 по рекуррентной формуле

а в качестве x₀ взято любое число из области задания функции f(x) .

Реализация на C++ для рассмотренного выше примера

Уравнение может быть записано в форме

Результат выполнения

Если известно начальное приближение x₀ корня уравнения f(x)=0, то последовательные приближения находят по формуле

Графическая интерпретация метода касательных имеет вид

Реализация на C++
Для заданного уравнения

производная будет иметь вид

Результат выполнения

Если x₀ , x₁ — приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 и выполняется условие

то последующие приближения находят по формуле

Методом хорд называют также метод, при котором один из концов отрезка закреплен, т.е. вычисление приближения корня уравнения f(x) = 0 производят по формулам:

Геометрическая интерпретация метода хорд:

Реализация на C++
В отличие от двух рассмотренных выше методов, метод хорд предполагает наличие двух начальных приближений, представляющих собой концы отрезка, внутри которого располагается искомый корень.

Результат выполнения

Если x₀ , x₁ — приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 и выполняется условие

то последующие приближения находятся по формуле

и вычисляется f(x_i) . Если f(x_i)=0 , то корень найден. В противном случае из отрезков выбирается тот, на концах которого f(x) принимает значения разных знаков, и проделывается аналогичная операция. Процесс продолжается до получения требуемой точности.

Геометрическая интерпретация метода дихотомии

Реализация на C++

Результат выполнения

Для численного поиска решения также можно использовать генетические алгоритмы.

Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

[a;b] – интервал изоляции корня. Для каждого корня уравнения определяется интервал его изоляции [a;b]. На отрезке [a;b] должен находиться 1 корень.

Отрезок [a;b], содержащий единственный корень, делят пополам, отбрасывают ту половину, где нет корня. Процесс повторяется до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погр. E.

Построение последовательных хорд, в качестве приближений к корню принимаются значения их пересечения с осью абсцисс.

3) Метод касательных( метод Ньютона)

Приближение к корню на каждой итерации происходит одновременно с 2 сторон интервала [a;b]. Одной стороны строится хорда, а с другой касательная.

45)Уточнение корня нелинейного уравнения методом половинного деления(дихотомии). Алгоритм. Требуется вычислить корень уравнения f(x)=0 на [a;b] с заданной погрешностью Е. Отрезок [a;b], содержащий единственный корень, делят на 2 половины, отбрасывают ту из них, где нет корня. Процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности Е. Алгоритм метода:

46)Уточнение корня нелинейного уравнения методом хорд. Схема алгоритма.Требуется вычислить корень уравнения f(x)=0 на [a,b] с заданной погрешностью е. Геометр-ки метод основан на построении последовательности хорд. Ур-е хорды . В данном методе процесс итерации состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнение f(x)=0 принимаются значения х₁, х₂… х_i точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс. Если f(a)>0 , то левая граница a неподвижна, х₀=b и из урав. хорды получим: Если f(a)<0, то правая граница b неподвижна, x₀=a. .

Отличие от м.хорд – вместо хорды на каждом шаге проводится касательная к кривой y=f(x) и в качестве приближения к корню ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. Уравн-е касательной проведенной в т. х₀ : . Правило: В качестве исходной точки х₀ выбирается тот конец интервала [a,b] , где знак ф-и совпадает со знаком 2й производной f’’(x). Из уравнения касательной найдем след.приближение корня х₁ , как абсциссу точки пересечения касательной с осью ох : . Аналогично м. б. найдены и последующие приближенно. Ф-ла для i+1 приближения имеет вид : Для окончания можно использовать условия |f(x_i)|<e или |x_i+1-x_i|<e.

48) Уточнение корня нелинейного уравнения комбинированным методом. Схема алгоритма.Геометрически такое объединение сводится к тому, что приближение к истинному значению корня уравнения f(x)=0 на каждой итерации происходит одновременно с 2х сторон интервала [a,b]. При это, для приближения к корню с одной стороны строится хорда, а с др.- касательная. Пусть для определенности f’(x)>0 и f’’(x)>0 при a≤x≤b. Тогда для приближения к корню со стороны границы а используем построение хорды, а со стороны границы b – касательная. На 1й итерации строим хорду А₀В₀ и проводим касательную в точку В₀. Левую границу а переносим в а₁, правую – b_1. На каждой итерации для вычисления новых границ интервала используют ф-лы хорд и касательных : , . Сужение интервала проводим до тех пор пока он не станет < зад.погрешности |b_i+1-a_i+1|<e. За значение корня можно взять среднее арифметическое полученных границ интервала.

Локализовать корень уравнения f x 0 графически

В общем виде любое уравнение одной переменной принято записывать так , при этом корнем (решением) называется такое значение x*, что оказывается верным тождеством. Уравнение может иметь один, несколько (включая бесконечное число) или ни одного корня. Как легко видеть, для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравнения f ( x ), с осью абсцисс.

Например , для уравнения выполним преобразование и приведем его к виду f(x)= 0 т.е. . График этой функции представлен на рисунке 1. Очевидно, что данное уравнение имеет два действительных корня – один на отрезке [-1, 0] , а второй – [1, 2].

Рисунок 1. График функции

Таким образом, можно приблизительно определять область локализации корней уравнения. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.

Некоторые виды уравнений допускают аналитическое решение. Например, степенные алгебраические уравнения степени n при n ≤ 4. Однако, в общем виде, аналитическое решение, как правило, отсутствует. В этом случае, применяются численные методы. Все численные методы решения уравнений представляют собой итерационные алгоритмы последовательного приближения к корню уравнения. То есть, выбирается начальное приближение к корню x ₀ и затем с помощью итерационной формулы генерируется последовательность x ₁, x ₂, …, x_k сходящаяся к корню уравнения .

1.2 Критерии сходимости при решении уравнений

Ø Абсолютная погрешность — абсолютное изменение приближения на соседних шагах итерации

Ø Относительная погрешность — относительное изменение приближения на соседних шагах итерации

Ø Близость к нулю вычисленного значения левой части уравнения (иногда это значение называют невязкой уравнения, так как для корня невязка равна нулю)

1.3 Метод половинного деления (метод дихотомии)

Метод половинного деления основан на последовательном делении отрезка локализации корня пополам.

Для этого выбирается начальное приближение к отрезку [ a , b ], такое, что f ( a ) × f ( b ) — середине отрезка [ a , b ]. Если он противоположен знаку функции в точке a, то корень локализован на отрезке [ a , c ], если же нет – то на отрезке [ c , b ]. Схема метода дихотомии приведен на рис у нке 2.

Рисунок 2. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню

Алгоритм метода дихотомии можно записать так:

1. представить решаемое уравнение в виде

2. выбрать a, b и вычислить

3. если f(a) × f( с ) то a=a; b = c иначе a = c; b=b

4. если критерий сходимости не выполнен, то перейти к п. 2

Пример решения уравнения методом дихотомии

Найти решение заданного уравнения методом дихотомии с точностью до 10 -5 .

Пример создания расчетной схемы на основе метода дихотомии на примере уравнения: на отрезке [1, 2]

Данный метод заключается в проверке на каждой итерации условия:

если f ( a ) × f (с) и выбор соответствующего отрезка для следующей итерации.

Рисунок 3. Последовательность итераций метода дихотомии при поиске корня уравнения на отрезке [1, 2]

a ) схема расчета (зависимые ячейки); b) режим отображения формул;

Для нашего примера итерационная последовательность для нахождения решения принимает вид:

Точность до пятой значащей цифры достигается за 20 итераций.

Скорость сходимости этого метода является линейной.

При выполнении начального условия он сходится к решению всегда.

Метод половинного деления удобен при решении физически реальных уравнений, когда заранее известен отрезок локализации решения уравнения.

2 Решение уравнений , используя “Подбор параметра ”

Используя возможности Excel можно находить корни нелинейного уравнения вида f(x)=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Производится табулирование функции в диапазоне вероятного существования корней;

2. По таблице фиксируются ближайшие приближения к значениям корней;

3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения с заданной точностью.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления. Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка П родолжить — для возврата в обычный режим подбора параметра.

2.1 Пример решения уравнения, используя “Подбор параметра”

Например , найдем все корни уравнения 2x 3 -15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].

Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–3; 3] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня.

Рисунок 4. Поиск приближенных значений корней уравнения

Выполните команду меню Сервис/Параметры, во вкладке Вычисления установите относительную погрешность вычислений E=0,00001, а число итераций N=1000, установите флажок Итерации.

Выполните команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне (рисунок 9) заполните следующие поля:

þ Установить в ячейке : в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;

þ Значение : в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

þ Изменяя значение : в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

Рисунок 5. Диалоговое окно Подбор параметра для поиска первого корня

После щелчка на ОК получим значение первого корня -1,65793685 .

Выполняя последовательно операции аналогичные предыдущим, вычислим значения остальных корней: -0,35913476 и 2,05170101 .

3 Решение уравнений и систем уравнений, используя надстройку “Поиск решения”

Для решения уравнений можно также использовать команду Поиск решения, доступ к которой реализуется через пункт меню Сервис/Поиск решения.

Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Найти приближенное значение корня уравнения

2. Открыть диалог Поиск решения и установить следующие параметры (рисунок 10):

þ в поле У становить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу (левую часть уравнения);

þ установить переключатель в положение ‘ значению’ и ввести значение 0 (правая часть уравнения);

þ в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргумента x целевой функции,;

þ в поле Ограничения с помощью кнопки Д обавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска (область поиска корня уравнения);

þ для запуска процесса поиска решения нажать кнопку В ыполнить.

þ Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель С охранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения.

Рисунок 6. Диалоговое окно Поиск решения

Полученное решение зависит от выбора начального приближения. Поиск начальных приближений рассмотрен выше.

Рассмотрим некоторые Опции, управляющие работой Поиска решения, задаваемые в окне Параметры (окно появляется, если нажать на кнопку Параметры окна Поиск решения):

þ Максимальное время — ограничивает время, отведенное на процесс поиска решения (по умолчанию задано 100 секунд, что достаточно для задач, имеющих около 10 ограничений, если задача большой размерности, то время необходимо увеличить).

þ Относительная погрешность — задает точность, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным ограничениям (десятичная дробь от 0 до 1).

þ Неотрицательные значения — этим флажком можно задать ограничения на переменные, что позволит искать решения в положительной области значений, не задавая специальных ограничений на их нижнюю границу.

þ Показывать результаты итераций — этот флажок позволяет включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации.

þ Метод поиска — служит для выбора алгоритма оптимизации. Метод Ньютона был рассмотрен ранее. В Методе сопряженных градиентов запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Рисунок 7. Вкладка Параметры окна Поиск решения

3.1 Пример решения уравнения, используя надстройку “Поиск решения”

Например , найдем все корни уравнения 2x 3 -15sin(x)+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3]. Для локализации начальных приближений необходимо определить интервалы значений Х, внутри которых значение функции пересекает ось абсцисс, т.е. функция меняет знак. С этой целью табулируем функцию на отрезке [–3;3] с шагом 0,2, получим табличные значения функции. Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды пересекает ось Х, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке все три корня. На рисунке 12 представлен пример заполнения окна Поиск решения для нахождения первого корня на отрезке [-2; -1].

Рисунок 8. Пример решения уравнения при помощи надстройки Поиск решения

Задание 1. Решение уравнений численным методом

На листе 1 (название листа: Численные методы) для заданного уравнения вида f(x)=0 (Таблица 1. Индивидуальные задания ) реализовать итерационные расчетные схемы методов, указанных в Таблице 1 для нахождения хотя бы одного корня на заданном интервале. Количество итераций просчитать, оценивая , .

Задания 2. Решение уравнений встроенными средствами “Подбор параметра” и “Поиск решения”

На листе 2 (название листа: Подбор Поиск) для заданного уравнения вида f(x)=0 (Таблица 1. Индивидуальные задания) на заданном интервале и с некоторым шагом (шаг выбрать самостоятельно) построить таблицу значений функции f(x) и определить количество корней уравнения и выделить интервалы, на которых находятся корни. Построить график функции. Уточнить на заданных интервалах с точностью до 10 -6 корни уравнения с помощью встроенных средств: Подбор параметра, Поиск решения

Локализация и отделение корня

ЛЕКЦИЯ 3

Постановка задачи

Пусть требуется решить уравнение .

Эта задача может быть решена точно лишь для очень узкого класса функций. Уже для многочленов степени выше четырех не существует формул, выражающих их корни через коэффициенты с помощью радикалов. Для большинства же уравнений, встречающихся в различных приложениях математики и технических задачах, приближенные методы решения являются единственно возможными.

Приближенно решить уравнение или вычислить корень уравнения с заданной точностью — это значит найти такое число , для которого выполняется неравенство , то есть указать на числовой прямой точку, лежащую на расстоянии не большем, чем допустимая погрешность, от точного значения корня.

Приближенное решение уравнения распадается на несколько задач:

·Локализация и отделение корня.

·Вычисление корня уравнения с заданной точностью .

Локализация и отделение корня

Локализация корней ¾ необходимо определить количество, характер и расположение корней на числовой прямой. Все следующие задачи решаются для каждого корня в отдельности.

Отделение корня ¾ нужно указать отрезок , внутри которого лежит один и только один корень данного уравнения.

Оба шага выполняются с помощью исследования функции методами математического анализа. Обычно строится схема графика функции и на основании первой теоремы Больцано–Коши и признака монотонности функции делается вывод.

Теорема 1. (Первая теорема Больцано–Коши) Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, т.е. то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль.

Теорема 2. Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная была неотрицательной (неположительной) .

Т.о. первая теорема обеспечивает существование корня на отрезке, а вторая его единственность.

Дано уравнение . Отделить корень уравнения.

Перепишем уравнение в виде и построим графики функций.

Из рисунка видно, что корень принадлежит отрезку . Обоснуем это аналитически.

непрерывная.

, по теореме 1.1 на отрезке существует корень.

на , значит функция возрастает. Это обеспечивает единственность корня.

Метод половинного деления (бисекции)

Пусть имеется отрезок , содержащий единственный корень уравнения .

Ограничения. Никаких ограничений для функции нет.

Алгоритм. Обозначим отрезок . Делим отрезок пополам точкой . Если , из двух получившихся отрезков и выбираем тот, который содержит корень уравнения, т.е. тот на концах которого, функция принимает значения разных знаков, его обозначим . Этот новый отрезок делим пополам и т.д. В результате получим последовательность вложенных отрезков .

Теорема 3. Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности.

Эта точка и есть корень уравнения.

Правило остановки. Процесс деления продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станем меньше , действительно , тогда в качестве можно взять или любую точку этого отрезка.

Середина -го отрезка дает приближение к корню, имеющее оценку погрешности . Это показывает, что метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем . Это довольно медленно.

· Метод очень прост.

· Не имеет ограничений

· Если есть проблемы с отделением корня и в отрезке их несколько, то не понятно к какому сходимся.

· Метод не применим к корням четной кратности.

· Не обобщается на системы уравнений.

Вычислим корень уравнения с точностью .

Ограничения. Этот метод может быть использован только в том случае, если функция на отрезке не имеет точек перегиба, т.е. постоянна по знаку.

Алгоритм. Через точки кривой проведем хорду: или после преобразований .

По рисунку видно, что точка пересечения хорды с осью абсцисс лежит правее точки , т.е. находится ближе к корню, для нее ,

т.е.

или .

Эту точку будем считать первым приближением корня, т.е. .

Теперь вместо отрезка можно использовать . При этом получим точку и т.д.

Таким образом, получим последовательность значений : если , то .

На следующем рисунке

, тогда .

Теорема 4. Если функция непрерывна и выпукла на отрезке и , то уравнение имеет на отрезке единственный корень, и последовательность монотонно сходится к нему.

Как видно, метод дает приближение к корню только с одной стороны и близость друг к другу последовательных приближений не обеспечивает близость к корню.

При выборе нулевого приближения следует руководствоваться рисунком или следующим правилом: .

Если , то вычисления можно прекратить, когда выполнено условие . Это правило универсальное и может быть использовано для любого метода. Причем в силу выпуклости функции можно утверждать, что .

Вычислим корень уравнения с точностью .

Ранее установлено, что корень принадлежит отрезку .

, для всех .

Т.к. , возьмем , .

Будем использовать правило остановки 1, для этого вычислим и и возьмем .

Ограничения. Те же что и для метода хорд.

Алгоритм. Выберем из условия , т.е. конец отрезка противоположенный тому, который использовали в методе хорд.

Через точку проведем касательную к функции : . Положив , найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс: . Точка находится к корню ближе, чем . Продолжим построение касательных и вычисление последовательных приближений к корню по формуле .

Для метода касательных также можно сформулировать теорему о сходимость этой последовательности к корню, аналогичную методу хорд.

Можно использовать правила из предыдущего метода.

Скорость сходимости. При выборе начального приближения из достаточно малой окрестности корня метод сходится квадратично, т.е. скорость сходимости велика. Для кратного корня скорость геометрической прогрессии.

Вычислим корень уравнения с точностью .

Возьмем , т.к. .

Будем использовать правило остановки 4, для этого вычислим и . Тогда

Отделение корней В Excel

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Лабораторная работа

Отделение корней нелинейного уравнения

Пусть имеется нелинейное уравнение .

Требуется найти корни этого уравнения. Численный процесс приближенного решения поставленной задачи разделяют два этапа: отделение корня и уточнение корня.

Для отделения корня необходимо определить промежуток аргумента , где содержится один и только один корень уравнения. Одна из точек этого промежутка принимается за начальное приближение корня. В зависимости от метода, который предполагается использовать для уточнения корня, требуется определение некоторых свойств отделенного корня и поведения функции на отрезке отделения. Например, при использовании метода деления пополам, необходимо и достаточно установить лишь непрерывность функции на отрезке отделения.

Этап отделения корня уравнения алгоритмизирован только для некоторых классов уравнений (наиболее известным из которых является класс алгебраических уравнений), поэтому отделение корней нелинейных уравнений, обычно, выполняется «вручную» с использованием всей возможной информации о функции . Часто применяется графический метод отделения действительных корней, обладающий большой наглядностью.

Методы отделения корней

Отделение корней во многих случая можно произвести графически. Учитывая, что действительные корни уравнения F ( x )=0 – это есть точки пересечения графика функции y = F ( x ) с осью абсцисс y =0, нужно построить график функции y = F ( x ) и на оси OX отметить отрезки, содержащие по одному корню. Но часто для упрощения построения графика функции y = F ( x ) исходное уравнение заменяют равносильным ему уравнением f ₁ ( x )= f ₂ ( x ). Далее строятся графики функций y ₁ = f ₁ ( x ) и y ₂ = f ₂ ( x ), а затем по оси OX отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения двух графиков.

На практике данный способ реализуется следующим образом: например, требуется отделить корни уравнения cos(2 x )+ x -5=0 графически на отрезке [–10;10], используя Excel .

Построим график функции f (x)=cos(2 x )+x-5 в декартовой системе координат. Для этого нужно:

Ввести в ячейку A1 текст х .

Ввести в ячейку B1 текст y =cos(2 x )+ x -5.

Ввести в ячейку А2 число -10, а в ячейку А3 число -9.

Выделить ячейки А2 и А3.

Навести указатель «мыши» на маркер заполнения в правом нижнем углу рамки, охватывающий выделенный диапазон. Нажать левую кнопку «мыши» и перетащить маркер так, чтобы рамка охватила диапазон ячеек А2:А22.

Ячейки автоматически заполняются цифрами :

Ввести в ячейку В2 формулу =COS(2*A2)+A2-5.

Методом протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.

Вызвать «Мастер диаграмм» и выбрать диаграмму график (первый вид), нажать «далее».

Указать диапазон данных, для этого щелкнуть кнопку в поле «Диапазон» и выбрать диапазон данных В2:В22.

Выбрать вкладку ряд, указать имя ряда, щелкнув кнопку в поле «ряд» и выбрав В1.

В поле «подписи по оси Х», щелкнуть кнопку и выбрать диапазон А2:А22, нажать «далее».

Подписать названия осей x и y соответственно, нажать «далее».

Вывести диаграмму на том же листе, что и таблица, нажать кнопку «готово».

В итоге получаем следующее (рисунок 1):

Рисунок 1 – Локализация корня

Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение cos(2 x )+ x -5=0 имеет один корень – это видно из пересечения графика функции y=cos(2 x )+ x -5 с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень: [5;6] – отрезок локализации .

Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение cos(2 x )+ x -5=0 преобразовать к виду: cos(2 x )=5- x . Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е. y ₁ =cos(2 x ) и y ₂ =5- x . Для решения этой задачи в Excel необходимо выполнить следующие действия:

Вести в ячейки А1:C1 соответственно текст: « x », « y ₁ =cos(2 _x )», « y ₂ =5- x ».

A2:A22 заполнить так же как при решении задачи первым способом.

В В2 ввести формулу =COS(2*A2).

Методом протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.

В С2 ввести =5-A2.

Методом протягивания заполнить диапазон ячеек С3:С22.

С помощью Мастера диаграмм выбрать график (первый вид).

В данном случае диапазон данных следует указывать для построения двух графиков. Для этого нужно нажать кнопку в поле «Диапазон» и выделить ячейки В2:В22, затем нажать Ctrl (на клавиатуре) и выделить следующий диапазон C2:C22.

Перейти на вкладку ряд, где выбрать именем ряда 1 ячейку В1, а именем ряда 2 ячейку С2.

Подписать ось x , выбрав диапазон А2:А22.

Подписать соответственно оси x и y .

Поместить диаграмму на имеющемся листе.

Результат представлен на рисунке 2: Анализируя полученный результат, можно сказать, что точка пересечения двух графиков попадает на тот же самый отрезок локализации [5;6] , что и при решении задачи первым способом.

Рисунок 2 – Локализация корня

Аналитический способ отделения корней

Аналитический способ отделения корней основан на следующей теореме , известной из курса математического анализа.

ТЕОРЕМА: Если непрерывная на функция , определяющая уравнение , на концах отрезка принимает значения разных знаков, т.е. , то на этом отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения. Если же функция непрерывна и дифференцируема и ее производная сохраняет знак внутри отрезка , то на этом отрезке находится только один корень уравнения.

В случае, когда на концах интервала функция имеет одинаковые знаки, на этом интервале корни либо отсутствуют, либо их четное число.

Для отделения корней аналитическим способом выбирается отрезок , на котором находятся все интересующие вычислителя корни уравнения. Причем на отрезке функция F (x) определена, непрерывна и F ( a )* F ( b ) . Требуется указать все частичные отрезки , содержащие по одному корню.

Б
удем вычислять значение функции F ( x ) , начиная с точки x = a , двигаясь вправо с некоторым шагом h . Если F ( x )* F (x+ h ) , то на отрезке [ x ; x + h ] существует корень (рисунок 3).

Рисунок 3 – Аналитический способ локализации корней

Доказательство существования и единственности корня на отрезке.

В качестве примера рассмотрим функцию f (x)=cos(2 x )+x-5 .

Ввести в ячейки А1, В1 и С1 соответственно « x », « y =cos(2 x )+ x -5» и «ответ».

В А2 и А3 ввести граничные значения отрезка изоляции.

В В2 ввести формулу =COS(2*A2)+A2-5 и методом протягивания заполнить В3.

В С2 ввести формулу =ЕСЛИ(B2*B3

Таким образом, на отрезке изоляции корень существует:

Р
исунок 4 – Проверка существования корня на отрезке

Для доказательства единственности корня на отрезке изоляции необходимо выполнить следующие действия:

Продолжить работу в том же документе MS Excel.

Заполнить D1 и E1 соответственно: « y’ =-sin(2 x )*2+1» и «ответ» (причем выражение y’ =-sin(2 x )*2+1 – это производная первого порядка от функции y =cos(2 x )+ x -5).

Ввести в D2 формулу =-SIN(2*A2)*2+1 и методом протягивания заполнить D3.

Ввести в E2 =ЕСЛИ(D2*D3>0;»корень на данном отрезке единственный»;»Корень не единственный»).

В
результате получаем (рисунок 5):

Рисунок 5 – Доказательство единственности корня на отрезке

Таким образом доказано существование и единственность корня на отрезке изоляции.

Рассмотрим решение задачи отделения корней уравнения
cos(2 x )+ x -5=0 аналитическим способом с шагом 1 на отрезке [-10;10].

Чтобы отделить корни уравнения аналитическим способом с помощью Excel, необходимо выполнить следующее:

Заполнить ячейки A1:D1 соответственно: « x », « y =cos(2 x )+ x -5», « h », «ответ».

В С2 ввести значение 1.

Ввести в А2 значение -10.

Ввести в А3 =A2+$C$2 и методом протягивания заполнить ячейки А4:А22.

В В2 ввести =COS(2*A2)+A2-5 и методом протягивания заполнить диапазон В3:В22.

В
С3 ввести формулу =ЕСЛИ(B2*B3

В результате получаем следующее (рисунок 6):

Рисунок 6 – Отделение корня

Следующий пример (рисунок 7) демонстрирует отделение нескольких корней. Пусть исследуется функция cos ( x )=0,1 x на интервале [–10;10] с шагом 1.

Табулирование функции и построение графика осуществляется как в предыдущих примерах. Видно, что на заданном отрезке имеем 7 корней, находящихся внутри отрезков: [-10;-9]; [-9;-8]; [-5;-4]; [-2;-1]; [1;2]; [5;6]; [7;8].

Рисунок 7 – Отделение корней

Обратим внимание на то, что надежность рассмотренного алгоритма отделения корней уравнения зависит как от характера функции F (x), так и от выбранной величины шага h . Для повышения надежности следует выбирать при отделении корней достаточно малые значения h .

Решение нелинейных уравнений. Два этапа отыскания корня

Требуется найти корни этого уравнения, т. е. те значения х, которые обращают уравнение (1.16) в тождество. В процессе приближенного отыскания корней уравнения (1.16) обычно выделяют два этапа: отделение корня и уточнение корня.

Под отделением корня понимается определение промежутка, содержащего один и только один корень уравнения. Одна из точек этого промежутка принимается за начальное приближение корня. В зависимости от метода, который предполагается использовать для уточнения корня, требуется определение тех или иных свойств отделенного корня и поведения функции на отрезке отделения. Например, при использовании простейшего метода уточнения корня — метода дихотомии, необходимо и достаточно установить лишь непрерывность функции на отрезке отделения. При использовании других методов может потребоваться выяснить, является ли корень действительным, какова кратность корня, установить непрерывность и монотонность функции и ее некоторых низших производных.

В общем случае этап отделения корня уравнения (1.16) не может быть алгоритмизирован. Для некоторых классов уравнений (наиболее известным из которых является класс алгебраических уравнений) разработаны специальные приемы отделения корней, существенно облегчающие такое отделение и позволяющие автоматизировать этот процесс. Некоторые из этих приемов будут приведены при рассмотрении методов решений алгебраических уравнений. Нередко отделение корней нелинейных уравнений выполняется «вручную» с использованием всей возможной

Рис. 1.2 (а, б)

В ряде случаев может быть полезной теорема, известная из курса математического анализа.

ТЕОРЕМА. Если непрерывная на [а, Ь] функция f(x), определяющая уравнение f(x) = 0, на концах отрезка [а, 6] принимает значения разных знаков, т. е. /(а) • /(Ь) a l > a_k, _ta_{k + 1}, k = 1, 2. п — 1.

ТЕОРЕМА. Если для каких-либо k выполнено неравенство а ^ a k- А + i> то многочлен имеет по крайней мере пару комплексных корней.

ДЕКАРТ РЕНЕ, латинизированное имя — КАРТЕЗИЙ (Descartes Rene, Cartesius; 1596—1650) — французский философ, математик, физик и физиолог. В труде «Геометрия» Д. сформулировал метод прямолинейных координат, заложив основы аналитической геометрии; одним из первых ввел понятия переменной величины и функции; дал классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные. В своих трудах Д. много внимания уделил исследованию свойств уравнений и сформулировал правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней (правило Декарта).

На втором этапе уточнения при нахождении корня используют два типа методов: ПРЯМЫЕ и ИТЕРАЦИОННЫЕ. В прямых методах корень уравнения может быть найден за конечное, заранее известное число операций. Прямыми методами удается решить некоторые простейшие алгебраические и тригонометрические уравнения.

В итерационных методах корень х* определяется как предел некоторой последовательности * (0) , х^ 1 . х (к) и решение не может быть достигнуто за конечное, заранее известное число операций.

Основные методы решения нелинейных уравнений и систем являются итерационными, и к их числу принадлежат метод дихотомии (половинного деления), метод простой итерации, метод Ньютона (метод касательных), метод секущих, метод парабол (метод Мюллера), метод Зейделя. Далее эти методы будут рассмотрены.

Важной характеристикой итерационных методов является скорость сходимости процесса. Говорят, что метод имеет п-й порядок сходимости, если |х + 11 — х*| = С |х ( *> — х*| п , где С — постоянная, не зависящая от п. При п = 1 имеет место сходимость первого порядка, или линейная сходимость, а при п = 2 — второго порядка, или квадратичная. Говорят, что метод является одношаговым, если для построения итерационной последовательности нужно вычислить функцию в одной точке, двушаговым — в двух и т. п.

Сравнение различных методов следует проводить по числу операций при реализации одной итерации и по скорости сходимости.

Изложенные методы решения нелинейных уравнений и систем широко используются в численных методах оптимизации.