Как разделить число на 10

Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее: примеры, доказательства

Продолжаем разговор о признаках делимости. В этом материале мы изучим, по каким признакам можно определить делимость числа на 1000 , 100 и т.д. В первом пункте сформулируем их, возьмем несколько примеров, после чего приведем необходимые доказательства. Ближе к концу мы разберем доказательства делимости на 1000 , 100 , 10 с помощью математической индукции и формулы бинома Ньютона.

Формулировка признака делимости на 10 , 100 и т.д. с примерами

Сначала запишем формулировку признака делимости на десять:

Если число заканчивается на 0 , то его можно разделить на 10 без остатка, а если на любую другую цифру, то нельзя.

Теперь запишем признак делимости на 100 :

На 100 без остатка можно разделить такое число, которое заканчивается двумя нулями. Если хотя бы одна из двух цифр в конце не равна нулю, то такое число разделить на 100 без остатка нельзя.

Точно так же можно вывести признаки делимости на тысячу, 10 тысяч и так далее: в зависимости от количества нулей в делителе нам требуется соответствующее количество нулей в конце числа.

Отметим, что данные признаки нельзя распространить на 0 , поскольку 0 можно разделить на любое целое число – и на сто, и на тысячу, и на десять тысяч.

Эти признаки легко применять в решении задач, ведь подсчитать количество нулей в исходном числе несложно. Возьмем несколько примеров применения данных правил на практике.

Условие: определите, какие числа из ряда 500 , − 1 010 , − 50 012 , 440 000 300 000 , 67 893 можно разделить на 10 , 10 000 без остатка, а какие из них не делятся на 100 .

Решение

Согласно признаку делимости на 10 , мы можем совершить такое действие с тремя числами из указанных, а именно с − 1 010 , 440 000 300 000 , 500 , ведь они все заканчиваются нулями. А вот для − 50 012 и 67 893 такого деления без остатка мы осуществить не можем, поскольку у них в конце стоят 2 и 3 .

На 10 тысяч здесь можно разделить всего одно число – 440 000 300 000 , поскольку лишь в нем достаточно нулей в конце ( 4 ) . Зная признак делимости на 100 , можно сказать, что − 1 010 , − 50 012 и 67 893 на сотню не делятся, поскольку в конце у них нет двух нулей.

Ответ: на 10 можно разделить числа 500 , − 1 010 , 440 000 300 000 ; на 10 000 – число 440 000 300 000 ; на 100 не делятся числа 1 010 , − 50 012 и 67 893 .

Как доказать признаки делимости на 10 , 100 , 1000 и др.

Для доказательства нам потребуется вспомнить, как правильно умножать натуральные числа на 100 , 10 и т.д., а также вспомнить, что из себя вообще представляет понятие делимости и какими свойствами оно обладает.

Сначала приведем доказательство признака делимости числа на 10 . Для удобства запишем его в виде теоремы, то есть представим как необходимое и достаточное условие.

Чтобы определить, делится ли целое число на 10 , нужно посмотреть на его конечную цифру. Если она равна 0 , то такое деление без остатка возможно, если она представляет из себя другую цифру, то нет.

Начнем с доказательства необходимости данного условия. Допустим, нам известно, что некое число a можно разделить на 10 . Докажем, что в конце у него стоит 0 .

Поскольку a можно разделить на 10 , то согласно самому понятию делимости, должно существовать такое целое число q , при котором будет верным равенство a = 10 · q . Вспомним правило умножения на 10 : произведение 10 · q должно быть целым числом, запись которого можно получить, если дописать к q справа нуль. Значит, в записи числа a = 10 · q последним будет стоять 0 . Необходимость можно считать доказанной, далее нам нужно доказать достаточность.

Допустим, что у нас есть целое число с 0 на конце. Докажем, что оно делится на 10 . Если последняя цифра целого числа равна нулю, то исходя из правила умножения на 10 , его можно представить в виде a = a 1 · 10 . Здесь число a 1 получается из a , в котором убрали последнюю цифру. По определению делимости из равенства a = a 1 · 10 будет следовать делимость a на 10 . Таким образом мы доказали достаточность условия.

Точно так же доказываются и другие признаки делимости – на 100 , 1000 и т.д.

Прочие случаи делимости на 1000 , 100 , 10 и др.

В данном пункте мы расскажем о других способах определения делимости на 10 . Так, если изначально у нас задано не число, а буквенное выражение, то воспользоваться указанными выше признаками мы не можем. Здесь нужно применить другие методы решения.

Первым таким методом является использование формулы бинома Ньютона. Решим такую задачу.

Условие: определите, можно ли разделить 11 n + 20 n — 21 на 10 при любом натуральном значении n .

Решение

Cначала представим 11 как сумму 10 и единицы, а потом воспользуемся нужной формулой.

11 n + 20 n — 21 = ( 10 + 1 ) n + 20 n — 21 = = C n 0 · 10 n + C n 1 · 10 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 10 2 · 10 n — 2 + C n n — 1 · 10 · 1 n — 1 + C n n · 1 n + + 20 n — 21 = = 10 n + C n 1 · 10 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 10 2 · n · 10 + 1 + + 20 n — 21 = = 10 n + C n 1 · 10 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 10 2 + 30 n — 20 = = 10 · 10 n — 1 + C n 1 · 10 n — 2 + . . . + C n n — 2 · 10 1 + 3 n — 2

Мы получили выражение, которое можно разделить на 10 ,поскольку там есть соответствующий множитель. Значение выражения в скобках будет представлять из себя натуральное число при любом натуральном значении n . Значит, исходное выражение 11 n + 20 n — 21 можно разделить на десять при любом натуральном n .

Ответ: данное выражение делится на 10 .

Еще один метод, который возможно применить в данном случае, – математическая индукция. Покажем на примере задачи, как это делается.

Условие: выясните, будет ли 11 n + 20 n — 21 делится на 10 при любом натуральном n .

Решение

Применим метод математической индукции. Если n будет равен единице, то у нас получится 11 n + 20 n — 21 = 11 1 + 20 · 1 — 21 = 10 . Деление десяти на десять возможно.

Допустим, что выражение 11 n + 20 n — 21 будет делиться на 10 при n = k , то есть 11 k + 20 k — 21 можно разделить на 10 .

Учитывая предположение, сделанное ранее, попробуем доказать, что выражение 11 n + 20 n — 21 делится на 10 при n = k + 1 . Для этого нам нужно преобразовать его следующим образом:

11 k + 1 + 20 · k + 1 — 21 = 11 · 11 k + 20 k — 1 = 11 · 11 k + 20 k — 21 — 200 k + 230 = = 11 · 11 k + 20 k — 21 — 10 · 20 k — 23

Выражение 11 · 11 k + 20 k — 21 в данной разности можно разделить на 10 , поскольку такое деление возможно и для 11 k + 20 k — 21 , а 10 · 20 k — 23 тоже делится на 10 , потому что это выражение содержит множитель 10 . Из этого мы можем заключить, что на 10 делится вся разность. Это и будет доказательством того, что 11 n + 20 n — 21 делится на 10 при любом натуральном значении n.

Если нам нужно проверить, делится ли на 10 многочлен с переменной n , допускается следующий подход: доказываем, что при n = 10 · m , n = 10 · m + 1 , … , n = 10 · m + 9 , где m – целое число, значение исходного выражения можно разделить на 10 . Это докажет нам делимость такого выражения при любом целом n . Несколько примеров доказательств, где используется такой способ, можно найти в статье о других случаях делимости на три.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9,10, 11, 25

Признаки делимости — это такие признаки, благодаря которым мы можем определить без расчетов, делится ли число на другое нацело (без остатка) или нет, т.е. является ли число (делимое) кратно другому (делителю).

Рассмотрим конкретные признаки делимости на числа 2, 3, 4, 5, 9,10, 11, 25 и приведем примеры. Для наглядности выбран вид изложения материала — табличный. Внизу статьи вы сможете скачать наглядные материалы для лучшего усвоения данной темы, а также шпаргалку по данной теме.

Таблица

Число делится на 2 . Такое число называют чётным, если число разряда единиц делится на 2, т.е. число должно оканчиваться на цифры 0, 2, 4, 6, 8.

364 : 2 = 182

7395610 : 2 = 3697805

8356489634 : 2 = 4178244817

Число делится на 3 , если сумма чисел, входящих в состав числа делится на 3 без остатка.

192 : 3 = 64 (1 + 9 + 2 = 12; 12 делится на 3),

768 : 3 = 256 (7 + 6 + 8 = 21; 21 делится на 3)

Число делится на 4 , если число оканчивается на два нуля или две последние цифры составляют число, которое делится на 4 нацело.

5700 : 4 = 1425

6324 : 4 = 1581 (24 делится на 4)

648616 : 4 = 162154 (16 делится на 4)

100 : 4 = 25

Число делится на 5 , если оканчивается на 0 или 5.

635 : 5 = 127

867420 : 5 = 173484

5765 : 5 = 1153

Число делится на 6 , если оно делится без остатка и на 2, и на 3

3144 : 6 = 524 (3144 делится на 2, так как заканчивается на 4 – признак делимости на 2; 3 + 1 + 4 + 4 = 12; 12 делится на 3) Соответственно 3144 делится на 6.

Число делится на 7, если разность между делимым без последней цифры и удвоенным числом единиц, делится на 7

28 7 : 7 = 41 (28 – 7×2=28-14=14; 14 делится на7)

Число делится на 8 , если делимое заканчивается на 3 нуля или три последних числа, составляющих делимое делятся на 8.

456000 : 8 = 57000

87000 : 8 = 10875

1432 : 8 = 179 (т.к. 432 делится на 8; 432 : 8 = 54).

Число делится на 9 , если сумма цифр, входящих в состав числа делится на 9.

603 : 9 = 67 ( 6 + 0 + 3 = 9, 9 делится на 9). Поменяем местами цифры в делимом и проверим снова кратность числа 96

630 : 9 = 70 (6 + 3 + 0 = 9),

5832 : 9 = 648 (5 + 8 + 3 + 2 = 18; 18 делится на 9)

Число делится на 10 , если делимое заканчивается на 0. Чтобы разделить число на 10, нужно убрать о из разряда единиц.

8510 : 10 = 851

546700 : 10 = 54670

750 : 10 = 75

6340 : 10 = 634

Число делится на 11 , если суммы цифр, которые занимают четные позиции в числе равны сумме цифр, занимающих нечетные позиции или отличаются на 11.

2 695 : 11 = 245 (2 + 9 = 6 + 5 = 11)

1 232 : 11 = 112 (1 + 3 = 2 + 2 = 4)

3 641 : 11 = 331 (3 + 4 = 6 + 1 = 7)

Число делится на 25 , если оно заканчивается на 00, 25, 50, 75, т.е. последние 2 цифры, входящие в состав числа делятся на 25.

75600 : 25 = 3024

75625 : 25 = 3025

75650 : 25 = 3026

75675 : 25 = 3027

Признаки делимости на составное число

Если нам нужно узнать делится ли число на какое-нибудь составное, то нам нужно разложить делитель на два множителя, признаки делимости которых известны. Посмотрите делится ли исходное число (делимое) на каждый из этих множителей. Если ответ положительный, то число делится на составное.

• Признак делимости на 15. Число должно делится на 3 и на 5 без остатка (15 = 3 x 5). Число 345 делится на 15, так как имеет признаки делимости на 3 (3 + 4 + 5 = 12; 12 делится на 3) и на 5 (число 345 оканчивается на 5). 345 : 15 = 23
• Признак делимости на 18. Исходное число должно делится на 2 и на 9. Пример, 990 делится на 18, так как оно делится на 2 (990 оканчивается на 0) и на 9 (9 + 9 + 0 = 18; 18 делится на 9). 990 : 18 = 55
• Признак делимости на 12. Число должно делится на 3 и на 4. Пример, 324 делится на 12, так как делится на 3 (3 + 2 + 4 = 9; 9 делится на 3) и на 4 (последние две цифры, входящие в состав числа делятся на 4). 324 : 12 = 27
• Признак делимости на 22. Число должно делится на 11 и на 2 (быть чётным). 3454 делится на 11 (т.к. 3 + 5 = 4 + 4) и на 2 (число чётное, оканчивается на 4). 3454 : 22 = 157

Шпаргалка

Эту таблицу вы можете распечатать, чтобы повесить на стену для лучшего запоминания.

Скачать в PNG или PDF (рекомендуется для печати)

И шпаргалка маленького размера ( 10 на 6 см) в виде таблицы

Скачать и распечатать в ворде

Задача

Пользуясь признаками делимости, из данных чисел 1368,2121,2178,4356,5635,7221,8484. Выберете числа кратные

Признаки делимости чисел

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

• Признак делимости на 2
• Признак делимости на 3
• Признак делимости на 4
• Признак делимости на 5
• Признак делимости на 6
• Признак делимости на 7
• Признак делимости на 8
• Признак делимости на 9
• Признак делимости на 10
• Признак делимости на 11

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

• 4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
• 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

• 18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
• 132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
• 614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

• 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
• 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а .

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

• 344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
• 5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

• в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
• в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

• 10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
• 13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

• 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
• 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
• 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

• 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
• 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
• 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
• 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

• 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
• 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а .

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

• 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
• 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

• 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
• 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

• 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
• 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Основные сведения о признаках делимости чисел 2,4,5,10,25

Знакомство школьников с понятием «признак делимости» происходит во время изучения математической операции «деление».

В математике делением называется действие, которое позволяет разделить число (делимое) и получить результат — частное. Делитель — это то число, на которое необходимо поделить делимое.

Из понятия деления следует, что признак делимости заключается в возможности поделить число на другое число.

Признак делимости — алгоритм, правило или особенность числа, которые позволяют быстро определить возможно ли провести операцию деления или кратность числа делителю.

Знание признаков делимости позволяет в уме быстро решать некоторые математические задачи, арифметические примеры в классе на самостоятельной работе, в том числе задания повышенной сложности.

Кратным натурального числа Z называются числа, которые делятся без остатка на это число Z.

Четные и нечетные числа

Четными числами называются такие, которые могут быть разделены на 2 без остатка. Примеры таких чисел: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 и так далее.

Нечетные числа невозможно поделить без остатка на два. Такими числами являются 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 и далее.

Делаем вывод, что все четные числа всегда делятся на два.

Признаки делимости чисел 2, 4, 5,10,25 и их доказательство

Признак делимости на 2

Число может быть разделено на два, когда:

• это четное число;
• последняя цифра в записи числа 0 или кратна двум (2, 4, 6, 8).

Примеры таких чисел: 148 (8÷2 = 4), 246 (6÷2 = 3).

Признак делимости на 4

Число можно поделить на 4, если две его последние цифры делятся на четыре.

Число 35748 делится на 4, так как 48÷4 = 12

Число 1379 не получится поделить на 4 без остатка, так как 79 не делится на 4.

Для двузначных чисел актуально другое правило. Число делится на 4, если сумма десятков и половины единиц числа делится на 2.

Число 76 делится на 4, так как (6÷2)+7 = 3+7=10, а 10 мы легко можем разделить на 2, получим 5.

Проверив число таким методом, можно решить заданный пример: 76÷4 = 19

Признак делимости на 5

На 5 делятся числа, которые заканчиваются на 0 или 5. Примеры таких чисел: 5, 10, 15, 35, 40, 45, 555, 1270 и так далее.

Признак делимости на 10

На 10 можно разделить все числа, которые заканчиваются на 0. Это целые числа: 10, 20, 50, 100, 160, 1250, 1700, 20000, 359800 и другие.

Признак делимости на 25

Если необходимо написать и решить пример с делением на 25, запомните, на 25 будет делиться такое число, в котором две последние цифры делятся на 25. В случае, когда число заканчивается на два нуля — 00, подразумевается, что оно заканчивается на 100, а 100 также делится на 25.

Примеры и доказательство признака таких чисел:

325: число заканчивается на 25, 25 делим на 25, частное 1. Значит число 325 можно поделить на 25.

750: в конце числа 50, при делении на 2 получаем итог 2. Смело делим 750÷25 = 30

800: число оканчивается на 00, можно провести операцию деления. 800÷25 = 32

Таблица признаков делимости чисел

156 (1+5+6=12, 12 делится на 3),

729 (7+2+9=18, 18 делится на 3)

3312 (четное число, 3+3+1+2=9, 9÷3 =3),

966 (четное число, 9+6+6 = 21, 21÷3 = 7)

Натуральное число будет делиться на 7, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой из единиц, делится на семь.

Число делится на семь, если знакочередующаяся (первое слагаемое суммы используется со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д.) сумма его трехзначных граней делится на 7.

462 (462 делится на 7, так как на 7 можно поделить 46×3 + 2= 140, 140÷7 =20)