Как называется число равное сумме всех своих собственных делителей

База-ответов

Большая база ответов на различные вопросы викторин, интеллектуальных игр и других вопросов.

Если вы участвуете в викторине, где необходимо ответить на вопрос за короткий промежуток времени, то этот сайт для Вас! Быстрый поиск на сайте поможет вам в этом.

Все ответы на вопросы прошли тщательную проверку на истинность. Случай ошибки крайне маловероятен, но всё же, если вы обнаружили неправильный ответ или повторяющийся вопрос, нажмите кнопку «пожаловаться» рядом с неверным ответом. Будет подана заявка на дополнительную проверку и ответ будет исправлен. Оставить отзыв

Как называется число равное сумме всех своих собственных делителей

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число является простым (т. н. простые числа Мерсенна) [1] . Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Совершенные числа. Совершенные числа

Единственный в мире Музей Смайликов

Самая яркая достопримечательность Крыма
Скачать 99.07 Kb.

Муниципальное Бюджетное Образовательное Учреждение Средняя Общеобразовательная Школа №1 г. Рудни

Проект
Предмет: Математика

Тема: «Совершенные числа»
Выполнила: ученица 5 «а» класса

средней школы №1 г. Рудни

1.1. Понятие, значение совершенных чисел…………………………………. 5

1.2. Примеры последовательности совершенных чисел……………………. 8

2. История изучения

2.1. Четные совершенные числа………………………………………………….9

2.2. Нечетные совершенные числа……………………………………………….9

5. Обобщения понятия совершенного числа…………………………………. 12

Список использованной литературы……………………………………………16

— Как интересно! А куры есть?

— Нет в мире совершенства! — вздыхает Лис.

Есть ли еще такие числа? Конечно. Например, число 28:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Числа, которые равны сумме всех своих делителей (исключая само число), древнегреческие математики называли совершенными.

Совершенное число (в переводе с древне греческого ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

Цель данного проекта исследовать совершенные числа, дать определение, определить свойства и значение.

Задачи проекта:

— раскрыть понятие и значение совершенных чисел;

— привести примеры последовательности совершенных чисел;

— рассмотреть этапы и история изучения, а именно четные и нечетные совершенные числа;

— раскрыть свойства и интересные факты о совершенных числах;

— обобщить понятия совершенного числа.

Метод исследования: о сновными методами исследования совершенных чисел являются изучение и обработка литературных источников, систематизация данных.

Теоретической базой исследования послужили научные труды таких авторов как: И.Я.Депман., Н.Я.Виленкин., Г.И.Гейзер., Г.Н.Берман., Е.Карпеченко., Я.И. Перельман., А.Н.Крылов.

1. Понятие, значение и свойства совершенных чисел

Первое, самое меньшее совершенное число — 6. Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у древних римлян.
Второе по старшинству совершенное число — 28. Число 28 имеет пять делителей, кроме самого себя: 1, 2, 4, 7 и 14, причем, аналогично, 28 = 1+2+4+7+14.

В некоторых ученых обществах и академиях полагалось иметь 28 членов.

Третье совершенное число — 496.

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности. На апрель 2010 года известно 47 чётных совершенных чисел.

Совершенные числа таят в себе множество загадок. Во-первых, все известные совершенные числа четные, и неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа и возможно ли это. Во-вторых, хотя найдено уже несколько десятков совершенных чисел, но неизвестно, конечно их число или бесконечно.
Про четные совершенные числа было известно еще Евклиду. Он доказал, что если при некотором значении числа р число 2 p -1 — простое, то число:

2 p-1 (2 p -1) будет совершенным.

Леонард Эйлер доказал, что такой вид имеют все четные совершенные числа. Поиском простых чисел вида 2 p -1 занимался французский монах Марен Мерсенн. В его честь простые числа М_p=2 p -1 стали называть числами Мерсенна.

Он установил, что для простоты М_p, число р должно быть простым. Обратное утверждение неверно: существуют простые р, для которых M, не является простым числом. Например,М₁₁=2 11 -1=2047=23·89.

Причем, множитель 23 имеет вид 23=2·11+1, а множитель89=8·11+1. Вообще, все простые делители числа Мерсенна М_p=2 p -1 имеют видk=2rp+1, где r — натуральное число. Это облегчает поиск таких делителей.

1.2. Примеры последовательности совершенных чисел
Совершенные числа образуют последовательность:

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216, … (последовательность A000396 в OEIS).

— 1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма равна 6.

— 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма равна 28.

— 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма равна 496.

— 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма равна 8128.

2. История изучения

2.1. Четные совершенные числа

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида , где было доказано, что число является совершенным, если число является простым (т. н. простые числа Мерсенна ). Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Первые четыре совершенных числа (соответствующие р = 2, 3, 5 и 7) приведены в Арифметике Никомаха Геразского . Пятое совершенное число 33 550 336, соответствующее р = 13, обнаружил немецкий математик Региомонтан ( XV век ). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.

На февраль 2013 года известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS .

2.2. Нечетные совершенные числа
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org .

3. Свойства
— Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел: ( ).

— Все чётные совершенные числа являются треугольными числами; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть, могут быть представлены в виде n(2n−1) для некоторого натурального числа n.

— Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его само), равна 2.

— Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.

— Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p—1 нулей (следствие из их общего представления).

4. Интересные факты

Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, базирующихся на авраамических религиях, — утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Джеймс А. Эшельман (en:James A. Eshelman) в книге «Еврейские иерархические имена Брии» пишет, что в соответствии с гематрией:

«Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это «теософское расширение» числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова Малькут, означающего «Царство».

Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78».

«Левиафан (буквально «змей изгибающийся») — это один из четырех Князей Тьмы, воплощенный в форме змея. Поэтому удерживать Левиафана — это значит контролировать энергии Нефеш, ассоциируемые с Йесод.

Во-вторых, «змей изгибающийся» может означать и «свернувшийся кольцами змей», то есть Кундалини.

В-третьих, число слова «Левиафан», равно 496, точно так же как и слова «Малькут»; представление о том, что архангел Йесод сдерживает природу Малькут, дает богатую пищу для размышлений.

В-четвертых, число 496 — это сумма чисел от 1 до 31, то есть полное расширение, или проявление, имени «Эль», божественного имени трех высших сефирот в Брии (в том числе и сефиры Кетер, архангелом которой является Йехоэль)».

В сочинении «Град Божий» Св. Августин писал:

«Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

5. Обобщения понятия совершенного числа
Рассмотрим несколько интересных обобщений понятия совершенного числа, широко распрост­раненных в современной математической науке. Так, почти совершенным числом (или слегка недо­ статочным числом) называется недостаточное число n, сумма собственных делителей которо­го меньше самого числа ровно на единицу, т.е., g(n) = 2n — 1. Почти совершенными числами являются все натуральные степени числа 2 (при n = 2 k g(n) = g( 2 k ) = 2 k +1 — 1 = 2n — 1). Неизве­ стно, существуют ли другие почти совершенные числа.

Квазисовершенное число (или слегка избыточное число) — избыточное число п, сумма собствен­ ных делителей которого на единицу больше са­ мого числа, т.е. g(п) = 2n + 1. До настоящего времени не найдено ни одного квазисовершен­ного числа, но со времен Пифагора, впервые попытавшегося решить эту проблему, математи­ки не могут доказать, что квазисовершенных чи­ сел не существует. Известно лишь, что если ква­зисовершенные числа существуют, они должны быть больше 10 35 и иметь не менее 7 различных простых делителей.

С другой стороны, существует много чисел n , для которых g(n) = 2n + 2. Например, таковыми являются числа п = 2 к — 1 ( 2 к — 3), если 2 к — 3 — простое. Так как 2 к — 3 простое для k = <2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 14, 20, 22>, то мы имеем по край­ней мере 11 решений. Существуют и решения другого вида, например,

Назовем k -совершенным числом натуральное число n, для которого g(п) = kп. Число, явля­ющееся k-совершенным для некоторого k, на­зывается мультисовершенным. Единственным 1-совершенным числом является число 1. Лю­ бое совершенное число является 2- совершенным.

Число 120 является первым 3-совершенным числом ( g (120) = g (2 3 • 3 • 5) = 15 • 4 • 6 = 3 — 120), следующими 3-совершенными числами являют­ ся числа 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160. Множеству

4-совершенных чисел принадлежат числа 30140, 32760, 2178540, 23569920. Числа 14182439040, 31998395520, 518666803200 являются 5-совершенными. Первое 6-совершенное число равно 154345556085770649600. 6-совершенное число 34111227434420791224041472000 было найдено Ферма в 1643 г.

На сегодняшний день найдено 2094 мульти совершенных числа.

Избыточное число, которое не является полу­ совершенным, называется странным.

Первое странное число — число 70, имеющее собственные делители 1, 2, 5, 7, 10, 14 и 35; их сумма равна 74, но никакая часть из них не дает в сумме 70. Следующими странными числами являются числа 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, . Можно показать, что существует бес­ конечно много странных чисел. Однако неизве­стно, существуют ли нечетные странные числа. По крайней мере, до 10 17 их нет.

Заключение
Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах – математики – немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного!

Раздел математики, в котором изучаются свойства чисел и действий над ними, называют теорией чисел. Н ачало созданию теории чисел положили древнегреческие ученые Пифагор, Евклид, Эратосфён и другие.

Итак, мною была рассмотрена тема: «Совершенные числа». Тема достаточно интересная и уникальная.

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные числа.

Кроме того, интересны представление совершенных чисел в двоичной форме, чередование последних цифр совершенных чисел и другие любопытные вопросы, которые можно найти в литературе по занимательной математике. Главные из них — наличие нечетного совершенного числа и существование наибольшего совершенного числа — до сих пор не решены.

Итак, благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.

Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел.

– Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

– Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13 + 33 + 53…

– Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.

Кроме того, совершенство чисел тесно связано с двоичностью. Числа: 4=2Ч2, 8 = 2· 2· 2, 16 = 2 · 2 · 2 · 2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n, где n – число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа.

– Все совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

Истинная красота — это нечто, в хозяйстве совершенно бесполезное, но бесконечно дорогое для настоящих ценителей.

Причем нередко одно и тоже открытие происходило в разных точках земного шара, довольно часто повторялось несколько раз, совершенствовалось, а позже распространялось и становилось достоянием всех народов. Математика невольно связывает единой нитью народы мира. Она заставляет их сотрудничать и общаться между собой.

Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые.

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

Список использованной литературы

1. Депман И. Совершенные числа // Квант . — 1991. — № 5. — С. 13-17.

2. Н.Я.Виленкин. Математика 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.-М. Издательство Мнемозина, 2006. С.68.

3. И.Я.Депман. За страницами учебника математики.- М.: Просвещение , 1989. С.84-111.

4. Из науки о числах. Научно – теоретический и методический журнал . — Математика в школе. 1990- 2000гг.

5. Я. Познаю мир. Детская энциклопедия: Математика/ Я 11 Авт.-сост. А.П. Савин и др.: — М.: ООО «Издательство АСТ», 2001.

6. Г.И.Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

7. Г.Н.Берман. Число и наука о нем. Общедоступные очерки. Москва: Гос. издание технико – технической литературы 1984.

8. И. Депман. Мир чисел. Рассказы о математике. Ленинград «Детская литература» 1988.

9. Я.И. Перельман. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. М: Триада – литера 1994.

10. И.Я.Депман. Н.Я.Виленкин. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов. Издательство»Просвещение» 1989.

11. Е.Карпеченко. Тайны чисел .Математика /Прил. К газете «Первое сентября» №13 2007.

12. А.Н.Крылов.Числа и меры. Математика/ Прил. К газете «Первое сентября»№7 1994

13. www.yandex. ru. Совершенные числа.

Начало созданию теории чисел положили древнегреческие ученые Пифагор, Евклид,
Эратосфён и другие

Древнегреческим математикам была известна

всего одна пара дружественных чисел — 220 и 284.

Швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783 )

В XVIII в. знаменитый математик, член Петербургской академии наук Леонард Эйлер нашел еще 65 пар дружественных чисел (одна из них — 17 296 и 18 416). Однако до сих пор не известен общий способ нахождения пар дружественных чисел

Иван Матвеевич Виноградов
(1891—1983)

Почти 250 лет назад член Петербургской академии наук Христиан Гольдбах высказал предположение, что любое нечетное число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел, например: 21 =3 + 7 + 11, 23 = 5 + 7 + 11 . Доказать это предположение сумел лишь 200 лет спустя замечательный русский математик, академик И. М. Виноградов

Простые числа. Свойства простых чисел.

Свойство 1. Каждое натуральное число имеет хотя бы один простой делитель; Док-во. Пусть составное число и . А так как , значит . С другой стороны с и , значит и . Получили противоречие из предложения того, что составное число.

Свойство 2.целое число и простое число либо взаимно просты, либо ; Док-во. Пусть , значит . Т.к. — простое число, то его делителями могут быть 1 или . — взаимно простые числа, .

Свойство 3. если произведение — двух целых чисел делится на простое число — , то хотя бы один из сомножителей делится на ;

Док-во. , предположим если

если не делится на , то . Следовательно по свойству взаимно простых чисел .

Следствие 1. Если произведение нескольких целых чисел делится на простое число, то на него делится хотя бы один из сомножителей.

Док-во. , — простое число такой что .

ММИ по : если следует выполнение из свойства 3;

если , тогда , тогда такой что ;

если , тогда или или такой что , .

Следствие 2. Если — простое число и , где — простые числа, то — совпадает с одним из . Док-во. ММИ по : если ;

_{Предположим, что верно при} . Если

Следствие 3. Если — простые числа, то либо либо — взаимно простые, т.е. .

Простые числа. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.

Опр1. Натурал. число p>1 наз. простым, если оно делится только на 1 и себя (др. натур. Делителей нет; др. полож. целых делителей не имеет).

Опр2. Натур. число наз. составным, если оно имеет делители кроме 1 и себя. 1 не является ни простым, ни составным числом.

Т.Евклида: множество простых чисел бесконечно. Док-во от противного: Пусть мн-во простых чисел конечно, т.е. p₁,p₂,…,p_n. Рассмотрим число p=p₁p₂….p_n+1. По св-ву 1(каждое натур. число n>1 имеет хотя бы 1 простой делитель) число p имеет простой делитель; обозначим его q.

Сп-бы нахождения простых чисел.

Эйлер (18в). Ряд расходиться. p_n – простые числа. f(x)=x 2 +x+41

f(1)=43; f(2)=47; f(3)=53; Все простые числа для x≤39. Но f(40)=1681=41 2 .

Ферма(18 в). f_n= (числа Ферма).

Опр. Близнецами наз. два простых числа с разностью 2. (5,7;….11,13;….)

Опр. Дружественные числа – пара натуральных чисел, каждый из которых равен сумме собственных делителей второго числа. (284,220)

284 (собств. делители 1,2,4,71,142….1+2+4+71+142=220) 220 (собств. делители 1,2,4,5,11,10,20,22,55,44,110…. Сумма = 284)

Опр. Совершенное число – целое положительное число равное сумме всех своих собственных делителей. (6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14;…) Чётное совершенное число можно получить по формуле n=2 p -1 (2 p -1) при условии, что p, 2 p -1 – простые числа.