Как найти площадь трапеции, зная координаты её вершин?
Самое простое.
Площадь трапеции — это полусумма оснований на высоту.
В первой задаче основания — отрезки параллельные оси ОУ.
Их длины, соответственно 6 и 7. Стало быть полусумма 6.5.
Высота параллельна ОУ, её длина 8.
S = 8*6,5 = 52
Вторую решай по аналогии сам, она ещё проще, чем первая. Будут трудности, пиши, разжую и в рот положу…
такого рода задачи можно решать с помощью всех вышеизложенных способов, в силу того что есть стороны параллельные осям.
в общем случае, когда стороны не параллельны осям площадь треугольника находится с помощью определителя
а площадь трапеции или любой фигуры как сумма треугольников из которых она состоит
Нахождение площади трапеции по координатам
Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (3;2), (5;2), (9;6), (6;6).
Решение задачи
В данном уроке представлен пример решения задачи В5 на вычисление площади трапеции, которым с успехом можно воспользоваться в качестве подготовки к ЕГЭ по математике.
Для успешного решения задачи необходимо знать, что площадь трапеции определяется как произведение полусуммы оснований на высоту: S=(a+b)*h/2, где и – основания трапеции, а — высота. Согласно определению, трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет. Параллельные стороны называются основаниями, они отмечается для наглядности красным цветом. По рисунку определяются значения оснований заданной трапеции и . В ходе решения также утверждается, что высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям . На рисунке выполняется построение высоты зеленым цветом, а затем вычисляется ее длина как разность между крайними отмеченными точками на оси . В результате, подставив все найденные значения в формулу определения площади трапеции, определяется искомый ответ.
Следует напомнить, что Трапеция (от древнегреческого τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны. Две параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь. Интересно, что в русском языке от слова трапеция происходит слово «трапеза».
Как найти площадь трапеции по координатам
Решение:
Пусть ABCD — искомая трапеция.
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, то есть S = ½⋅(a+b)⋅h, где a,b — основания трапеции, h — высота трапеции.
В нашем случае: AD, BC — основания трапеции, BH — высота трапеции.
Найдем основание AD, оно равно разности координат по х:
AD = 10 — 1 = 9
Аналогичным образом найдем основание BC:
BC = 6 — 3 = 3
Найдем высоту BH:
В конечном счете получаем:
S = ½⋅(AD + BC)⋅BH
S = ½⋅(9 + 3)⋅6
S = ½⋅12⋅6
S = 6⋅6
Как найти площадь трапеции по координатам
 |
Построим график (см. §28 справочника для 8 класса). Это парабола. \(a\lt 0\) – ветки вниз. Координаты вершины: \begin x_0=-\frac=-\frac=-1,\\ y_0=3+2-1=4 \end Точки пересечения с осью OX: \begin 3-2x-x^2=0\Rightarrow x^2+2x-3=0\\ (x+3)(x-1)=0\Rightarrow \left[ \begin x=-3,\\ x=1 \end \right. \end Точка пересечения с осью OY: $$ x=0,\ \ y=3 $$ |
Найдем точки пересечения парабол: $$ x^2=4x-x^2\Rightarrow 2x^2-4x=0\Rightarrow 2x(x-2)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x=2 \end \right. $$ Строим графики.
Необходимо найти площадь заштрихованной фигуры.
Функция сверху: \(f(x)=4x-x^2\)
Функция снизу: \(g(x)=x^2\)
Пределы интегрирования: \(a=0,\ b=2\) \begin S=\int_^\left((4x-x^2)-x^2\right)dx=\int_^(4x-2x^2)dx=\left(4\cdot\frac -2\cdot\frac \right)|_0^2=\\ =\left(2x^2-\frac23 x^3\right)|_0^2=2\cdot 2^2-\frac23\cdot 2^3-0=8-\frac=\frac83=2\frac23 \end Ответ: \(2\frac23\)
Пример 2. Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале:
a) \(f(x)=x^3+3,\ x\in\left[-1;1\right]\)
$$ S=\int_^(x^3+3)dx=\left(\frac +3x\right)|_^=\frac14+3-\left(\frac14-3\right)=6 $$
б) \(f(x)=sin2x,\ x\in\left[0;\frac\pi 2\right]\)
$$ S=\int_^sin2xdx=-\frac12cos2x|_^=-\frac12\left(cos\left(2\cdot\frac\pi 2\right)-cos0\right)=-\frac12(-1-1)=1 $$
в) \(f(x)=\frac4x+3,\ x\in\left[2;6\right]\)
\(f(x)=\frac4x+3\) — гипербола с асимптотами \(x=0,\ y=3\)
Площадь под кривой: \begin S=\int_^\left(\frac4x+3\right)dx=(4\cdot \ln|x|+3x)|_^=(4\ln 6+18)-(4\ln 2+6)=\\ =4(\ln 6-\ln 2)+12=4\ln\frac62+12=4\ln 3+12=4(\ln 3+3) \end
г) \(f(x)=\frac>,\ x\in\left[1;4\right]\)
$$ S=\int_^\frac >=\frac >|_^=2\sqrt |_^=2(\sqrt-\sqrt)=2 $$
Пример 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a) \(y=x-2,\ y=x^2-4x+2\)
Найдем точки пересечения прямой и параболы: $$ x-2=x^2-4x+2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow (x-1)(x-4)=0\Rightarrow \left[ \begin x=1,\\ x=4 \end \right. $$ 
Функция сверху: \(f(x)=x-2\)
Функция снизу: \(g(x)=x^2-4x+2\)
Пределы интегрирования: \(a=1,\ b=4\) \begin S=\int_^\left((x-2)-(x^2-4x+2)\right)dx=\int_^(-x^2+5x-4)dx=\\ =\left(-\frac +\frac-4x\right)|_^=\left(-\frac+5\cdot\frac-4\cdot 4\right)-\left(-\frac13+\frac52-4\right)=\\ =-\frac+24+1,5=4,5 \end Ответ: 4,5
б) \(y=e^,\ y=\frac1x,\ x=2,\ x=3\)
Функция сверху: \(f(x)=e^ \)
Функция снизу: \(g(x)=\frac1x\)
Пределы интегрирования: \(a=2,\ b=3\) \begin S=\int_^\left(e^ -\frac1x\right)dx=(2e^ -\ln|x|)|_^=\left(2e^-\ln 3\right)-(2e-\ln 2)=\\ =2e^-2e-\ln 3+\ln 2=2e(\sqrt -1)+\ln\frac23 \end Ответ: \(2e(\sqrt -1)+\ln\frac23\)
в*) \(y=3-x^2,\ y=1+|x|\)
Найдем точки пересечения ломаной и параболы: \begin 3-x^2=1+|x|\Rightarrow x^2+|x|-2=0\Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 0\\ x^2+x-2=0 \end \\ \begin x\lt 0\\ x^2-x-2=0 \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin \begin x\geq 0\\ (x+2)(x-1)=0 \end \\ \begin x\lt 0\\ (x-2)(x+1)=0 \end \end \right. \Rightarrow \\ \left[ \begin \begin x\geq 0\\ \left[ \begin x=-2\\ x=1 \end \right. \end \\ \begin x\lt 0\\ \left[ \begin x=2\\ x=-1 \end \right. \end \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=1\\ x=-1 \end \right. \end 
Функция сверху: \(f(x)=3-x^2\)
Функция снизу: \(g(x)=1+|x|\)
Пределы интегрирования: \(a=-1,\ b=1\)
Чтобы не раскрывать модуль под интегралом, заметим, что площади на интервалах [-1;0] и [0;1] равны, т.к. обе функции четные и симметричные относительно оси OY. Поэтому можно рассматривать только положительные \(x\in\left[0;1\right]\), найти для них интеграл (площадь) и умножить на 2: \begin S=2\int_^\left((3-x^2)-(1+x)\right)dx=2\int_^(-x^2-x+2)dx=2\left(-\frac -\frac +2x\right)|_^=\\ =2\left(-\frac13-\frac12+2\right)-0=\frac73=2\frac13 \end Ответ: \(2\frac13\)
г*) \(y=3sinx,\ y=cosx,\ x=-\frac,\ x=\frac\pi 4\)
На отрезке \(\left[-\frac;-\frac\right]\) синус над косинусом, далее на \(\left[-\frac;\frac\right]\) — косинус над синусом.
Площадь фигуры, закрашенной голубым, в два раза больше площади фигуры, закрашенной сиреневым. Поэтому общая площадь будет равна трем площадям, закрашенным сиреневым: \begin S=3\int_>^>(sinx-cosx)dx=3(-cosx-sinx)|_>^>=-3(cosx+sinx)|_>^> \end Прибавим полный период, он одинаков для обеих функций:
\(-\frac+2\pi=\frac;\ -\frac+2\pi=\frac\) \begin -3(cosx+sinx)|_>^>=-3\left(cos\left(\frac\right)+sin\left(\frac\right)-cos\left(\frac\right)-sin\left(\frac\right)\right)=\\ =-3\left(-\frac>-\frac>+\frac>-\frac>\right)=3\sqrt \end Ответ: \(3\sqrt\)