Как доказать что система векторов является базисом

1.5. Базис линейного пространства

В линейном пространстве наибольший интерес представляют системы векторов, в виде линейной комбинации которых можно представить любой вектор, причем единственным образом. Если зафиксировать такую систему векторов, то любой вектор можно будет однозначно представить набором чисел, являющихся коэффициентами соответствующей линейной комбинации, а всевозможные векторные соотношения превратить в соотношения числовые.

Этот подход применялся уже в аналитической геометрии. В пространстве векторов на плоскости любые два неколлинеарных вектора образуют базис, так как через такую пару векторов любой вектор плоскости выражается однозначно в виде линейной комбинации. Аналогично в(множестве векторов в пространстве) базис образуют любые три некомпланарных вектора. Для матриц использовалось понятие базисных строк и базисных столбцов. По теореме о базисном миноре базисные строки (столбцы) линейно независимы, а любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Определение 1.3. Базисом линейного пространства называют любую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия:

1) эта система векторов линейно независима,

2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Пусть — базис в . Определение 1.3 говорит о том, что любой векторможет быть записан следующим образом:

Такую запись называют разложением вектора х по базису .

Данное нами определение базиса согласовывается с понятием базиса в пространстве свободных векторов в , или . Например, вбазисом была названа любая тройка некомпланарных векторов. Такая тройка векторов является линейно независимой, так как представление одного ее вектора в виде линейной комбинации двух других равносильна компланарности трех векторов. Но, кроме того, из курса векторной алгебры мы знаем, что любой вектор в пространстве можно выразить через произвольные три некомпланараных вектора в виде их линейной комбинации. Три компланарных вектора не могут быть базисом в , так как любая линейная комбинация таких векторов даст вектор, им компланарный.

Теорема 1.2 (о единственности разложения). В линейном пространстве разложение любого вектора по данному базису единственно.

Выберем в линейном пространстве произвольный базис и предположим, что вектор х имеет в этом базисе два разложения

Воспользуемся тем, что аксиомы линейного пространства позволяют преобразовывать линейные комбинации так же, как и обычные алгебраические выражения. Вычитая записанные равенства почленно, получим

Так как базис — это линейно независимая система векторов, ее линейная комбинация равна 0, лишь, если она тривиальная (см. определение 1.2). Значит, все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю: . Таким образом,и два разложения векторах в базисе совпадают.

Замечание 1.3. Условие линейной независимости векторов базиса означает, что нулевой вектор имеет в этом базисе единственное разложение, а именно тривиальное: все коэффициенты этого разложения равны нулю. Из доказательства теоремы 1.2 следует, что из единственности разложения нулевого вектора по данной системе векторов вытекает единственность разложения любого другого вектора.

Согласно определению 1.3, базис является упорядоченной системой векторов. Это значит, что, изменив порядок векторов в системе, мы получим другой базис. Порядок векторов в базисе фиксируют для того, чтобы задать определенный порядок коэффициентов разложения произвольного вектора. Это позволяет заменить линейную комбинацию, представляющую вектор, упорядоченным набором ее коэффициентов и тем самым упростить запись. Порядок векторов в базисе определяется их нумерацией.

Определение 1.4. Коэффициенты разложения вектора по базису линейного пространства, записанные в соответствии с порядком векторов в базисе, называют координатами вектора в этом базисе.

Пример 1.8. В линейном пространстве многочленов переменного степени не выше 2 (см. пример 1.1) элементы и линейно независимы: их линейная комбинация есть многочлен, который равен нулю (нулевому многочлену) лишь при. В то же время пара этих элементов не образует базиса. Действительно, многочлен 1 нулевой степени, являющийся элементом, нельзя представить в виде линейной комбинации многочленов и .Дело в том, что линейная комбинация многочленов и есть либо многочлен второй степени (при ), либо многочлен первой степени(, ), либо нулевой многочлен(). Значит, равенство двух многочленов невозможно ни при каких значениях коэффициентов.

В то же время три многочлена 1, и образуют базис линейного пространства . Докажем это.

Во-первых, система многочленов 1, и линейно независима. Составим их линейную комбинацию с произвольными коэффициентами и приравняем нулю: . Это равенство есть равенство двух многочленов, и оно возможно только в случае, когда коэффициенты этих двух многочленов совпадают. Значит,.

Во-вторых, через многочлены 1, и можно выразить любой многочлен второй степени, т.е. любой элемент линейного пространства можно представить в виде линейной комбинации указанных трех элементов.

Итак, система трех многочленов 1, и линейно независима, а любой элемент линейного пространства является линейной комбинацией указанной системы. Согласно определению 1.3, система многочленов 1, и есть базис в .

Пример 1.10. В линейном арифметическом пространстве векторы

образуют базис , так как они линейно независимы (см. пример 1.5) и любой вектор представим в виде

Такой базис (1.5) в пространстве называютстандартным. Отметим, что запись элементов арифметического пространства в виде столбца не противоречит определению арифметического пространства, понимаемого как множество упорядоченных совокупностей чисел. Порядок же элементов можно указывать как при помощи записи в строку, так и при помощи записи в столбец.

Пример 1.11. Покажем, что в система векторов образует базис и найдем в этом базисе координаты вектора

Для того чтобы доказать, что система векторов ,, образует базис, надо убедиться в линейной независимости этих векторов и в том, что любой вектор является их линейной комбинацией.

В стандартном базисе е в векторыимеют следующие столбцы координат:

Из стобцов координат векторов составим матрицу

и рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) ,Так как, то матрицаневырожденная, ее ранг равен 3 и все ее столбцы являются базисными. Поэтому, во-первых, согласно теореме о базисном миноре, эти столбцы линейно независимы, значит, СЛАУ при любом столбце правых частей имеет решение

В частности, решив СЛАУ , которая в координатной форме имеет вид

находим координаты вектора в базисе:

.

Линейная зависимость и линейная независимость векторов.
Базис векторов. Аффинная система координат

В аудитории находится тележка с шоколадками, и каждому посетителю сегодня достанется сладкая парочка – аналитическая геометрия с линейной алгеброй. В данной статье будут затронуты сразу два раздела высшей математики, и мы посмотрим, как они уживаются в одной обёртке. Сделай паузу, скушай «Твикс»! …блин, ну и чушь спорол. Хотя ладно, забивать не буду, в конце концов, на учёбу должен быть позитивный настрой.

Линейная зависимость векторов, линейная независимость векторов, базис векторов и др. термины имеют не только геометрическую интерпретацию, но, прежде всего, алгебраический смысл. Само понятие «вектор» с точки зрения линейной алгебры – это далеко не всегда тот «обычный» вектор, который мы можем изобразить на плоскости или в пространстве. За доказательством далеко ходить не нужно, попробуйте нарисовать вектор пятимерного пространства . Или вектор погоды, за которым я только что сходил на Гисметео: – температура и атмосферное давление соответственно. Пример, конечно, некорректен с точки зрения свойств векторного пространства, но, тем не менее, никто не запрещает формализовать данные параметры вектором. Дыхание осени….

Нет, я не собираюсь грузить вас теорией, линейными векторными пространствами, задача состоит в том, чтобы понять определения и теоремы. Новые термины (линейная зависимость, независимость, линейная комбинация, базис и т.д.) приложимы ко всем векторам с алгебраической точки зрения, но примеры будут даны геометрические. Таким образом, всё просто, доступно и наглядно. Помимо задач аналитической геометрии мы рассмотрим и некоторые типовые задания алгебры. Для освоения материала желательно ознакомиться с уроками Векторы для чайников и Как вычислить определитель?

Линейная зависимость и независимость векторов плоскости.
Базис плоскости и аффинная система координат

Рассмотрим плоскость вашего компьютерного стола (просто стола, тумбочки, пола, потолка, кому что нравится). Задача будет состоять в следующих действиях:

1) Выбрать базис плоскости. Грубо говоря, у столешницы есть длина и ширина, поэтому интуитивно понятно, что для построения базиса потребуется два вектора. Одного вектора явно мало, три вектора – лишка.

2) На основе выбранного базиса задать систему координат (координатную сетку), чтобы присвоить координаты всем находящимся на столе предметам.

Не удивляйтесь, сначала объяснения будут на пальцах. Причём, на ваших. Пожалуйста, поместите указательный палец левой руки на край столешницы так, чтобы он смотрел в монитор. Это будет вектор . Теперь поместите мизинец правой руки на край стола точно так же – чтобы он был направлен на экран монитора. Это будет вектор . Улыбнитесь, вы замечательно выглядите! Что можно сказать о векторах ? Данные векторы коллинеарны, а значит, линейно выражаются друг через друга:
, ну, или наоборот: , где – некоторое число, отличное от нуля.

Картинку сего действа можно посмотреть на уроке Векторы для чайников, где я объяснял правило умножения вектора на число.

Будут ли ваши пальчики задавать базис на плоскости компьютерного стола? Очевидно, что нет. Коллинеарные векторы путешествуют туда-сюда по одному направлению, а у плоскости есть длина и ширина.

Такие векторы называют линейно зависимыми.

Справка: Слова «линейный», «линейно» обозначают тот факт, что в математических уравнениях, выражениях нет квадратов, кубов, других степеней, логарифмов, синусов и т.д. Есть только линейные (1-й степени) выражения и зависимости.

Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Скрестите пальцы на столе, чтобы между ними был любой угол, кроме 0 или 180 градусов. Два вектора плоскости линейно независимы в том и только том случае, если они не коллинеарны. Итак, базис получен. Не нужно смущаться, что базис получился «косым» с неперпендикулярными векторами различной длины. Очень скоро мы увидим, что для его построения пригоден не только угол в 90 градусов, и не только единичные, равные по длине векторы

Любой вектор плоскости единственным образом раскладывается по базису :
, где – действительные числа. Числа называют координатами вектора в данном базисе.

Также говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. То есть, выражение называют разложением вектора по базису или линейной комбинацией базисных векторов.

Например, можно сказать, что вектор разложен по ортонормированному базису плоскости , а можно сказать, что он представлен в виде линейной комбинации векторов .

Сформулируем определение базиса формально: Базисом плоскости называется пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов , взятых в определённом порядке, при этом любой вектор плоскости является линейной комбинацией базисных векторов.

Существенным моментом определения является тот факт, что векторы взяты в определённом порядке. Базисы – это два совершенно разных базиса! Как говорится, мизинец левой руки не переставишь на место мизинца правой руки.

С базисом разобрались, но его недостаточно, чтобы задать координатную сетку и присвоить координаты каждому предмету вашего компьютерного стола. Почему недостаточно? Векторы являются свободными и блуждают по всей плоскости. Так как же присвоить координаты тем маленьким грязным точкам стола, которые остались после бурных выходных? Необходим отправной ориентир. И таким ориентиром является знакомая всем точка – начало координат. Разбираемся с системой координат:

Начну со «школьной» системы. Уже на вступительном уроке Векторы для чайников я выделял некоторые различия между прямоугольной системой координат и ортонормированным базисом . Вот стандартная картина:

Когда говорят о прямоугольной системе координат, то чаще всего имеют в виду начало координат, координатные оси и масштаб по осям. Попробуйте набрать в поисковике «прямоугольная система координат», и вы увидите, что многие источники вам будут рассказывать про знакомые с 5-6-го класса координатные оси и о том, как откладывать точки на плоскости.

С другой стороны, создается впечатление, что прямоугольную систему координат вполне можно определить через ортонормированный базис . И это почти так. Формулировка звучит следующим образом:

Точка плоскости, которая называется началом координат, и ортонормированный базис задают декартову прямоугольную систему координат плоскости. То есть, прямоугольная система координат однозначно определяется единственной точкой и двумя единичными ортогональными векторами . Именно поэтому, вы видите чертёж, который я привёл выше – в геометрических задачах часто (но далеко не всегда) рисуют и векторы, и координатные оси.

Думаю, всем понятно, что с помощью точки (начала координат) и ортонормированного базиса ЛЮБОЙ ТОЧКЕ плоскости и ЛЮБОМУ ВЕКТОРУ плоскости можно присвоить координаты. Образно говоря, «на плоскости всё можно пронумеровать».

Обязаны ли координатные векторы быть единичными? Нет, они могут иметь произвольную ненулевую длину. Рассмотрим точку и два ортогональных вектора произвольной ненулевой длины:

Такой базис называется ортогональным. Начало координат с векторами задают координатную сетку, и любая точка плоскости, любой вектор имеют свои координаты в данном базисе. Например, или . Очевидное неудобство состоит в том, что координатные векторы в общем случае имеют различные длины, отличные от единицы. Если длины равняются единице, то получается привычный ортонормированный базис.

! Примечание: в ортогональном базисе, а также ниже в аффинных базисах плоскости и пространства единицы по осям считаются УСЛОВНЫМИ. Например, в одной единице по оси абсцисс содержится 4 см, в одной единице по оси ординат 2 см. Данной информации достаточно, чтобы при необходимости перевести «нестандартные» координаты в «наши обычные сантиметры».

И второй вопрос, на который уже на самом деле дан ответ – обязательно ли угол между базисными векторами должен равняться 90 градусам? Нет! Как гласит определение, базисные векторы должны быть лишь неколлинеарными. Соответственно угол может быть любым, кроме 0 и 180 градусов.

Точка плоскости, которая называется началом координат, и неколлинеарные векторы , взятые в определённом порядке, задают аффинную систему координат плоскости:

Иногда такую систему координат называют косоугольной системой. В качестве примеров на чертеже изображены точки и векторы:

Как понимаете, аффинная система координат ещё менее удобна, в ней не работают формулы длин векторов и отрезков, которые мы рассматривали во второй части урока Векторы для чайников, многие вкусные формулы, связанные со скалярным произведением векторов. Зато справедливы правила сложения векторов и умножения вектора на число, формулы деления отрезка в данном отношении, а также ещё некоторые типы задач, которые мы скоро рассмотрим.

А вывод таков, что наиболее удобным частным случаем аффинной системы координат является декартова прямоугольная система. Поэтому её, родную, чаще всего и приходится лицезреть. …Впрочем, всё в этой жизни относительно – существует немало ситуаций, в которых уместна именно косоугольная (или какая-набудь другая, например, полярная) система координат. Да и гуманоидам такие системы могут прийтись по вкусу =)

Переходим к практической части. Все задачи данного урока справедливы как для прямоугольной системы координат, так и для общего аффинного случая. Сложного здесь ничего нет, весь материал доступен даже школьнику.

Как определить коллинеарность векторов плоскости?

Типовая вещь. Для того чтобы два вектора плоскости были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны . По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения .

а) Проверить, коллинеарны ли векторы .
б) Образуют ли базис векторы ?

Решение:
а) Выясним, существует ли для векторов коэффициент пропорциональности , такой, чтобы выполнялись равенства :
, значит, данные векторы коллинеарны.

Обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне прокатывает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию и посмотреть, будет ли она верной:

Составим пропорцию из отношений соответствующих координат векторов:

Сокращаем:
, таким образом, соответствующие координаты пропорциональны, следовательно,

Отношение можно было составить и наоборот, это равноценный вариант:

Для самопроверки можно использовать то обстоятельство, что коллинеарные векторы линейно выражаются друг через друга. В данном случае имеют место равенства . Их справедливость легко проверяется через элементарные действия с векторами:

б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Исследуем на коллинеарность векторы . Составим систему:

Из первого уравнения следует, что , из второго уравнения следует, что , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны.

Вывод: векторы линейно независимы и образуют базис.

Упрощённая версия решения выглядит так:

Составим пропорцию из соответствующих координат векторов :
, значит, данные векторы линейно независимы и образуют базис.

Обычно такой вариант не бракуют рецензенты, но возникает проблема в тех случаях, когда некоторые координаты равны нулю. Вот так: . Или так: . Или так: . Как тут действовать через пропорцию? (действительно, на ноль же делить нельзя). Именно по этой причине я и назвал упрощенное решение «пижонским».

Ответ: а) , б) образуют.

Небольшой творческий пример для самостоятельного решения:

При каком значении параметра векторы будут коллинеарны?

В образце решения параметр найден через пропорцию .

Существует изящный алгебраический способ проверки векторов на коллинеарность., систематизируем наши знания и пятым пунктом как раз добавим его:

Для двух векторов плоскости эквивалентны следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не коллинеарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения:
1) векторы линейно зависимы;
2) векторы не образуют базиса;
3) векторы коллинеарны;
4) векторы можно линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю.

Я очень и очень надеюсь, что на данный момент вам уже понятны все встретившиеся термины и утверждения.

Рассмотрим более подробно новый, пятый пункт: два вектора плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: . Для применения данного признака, естественно, нужно уметь находить определители.

Решим Пример 1 вторым способом:

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны.

б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, векторы линейно независимы и образуют базис.

Ответ: а) , б) образуют.

Выглядит значительно компактнее и симпатичнее, чем решение с пропорциями.

Проверка векторов на коллинеарность – простая и очень распространенная задача аналитической геометрии. Нередко в условии заодно требуется проверить векторы и на ортогональность (базис в таких случаях, как правило, ортонормированный). Данное задание подробно рассмотрено на уроке Скалярное произведение векторов.

С помощью рассмотренного материала можно устанавливать не только коллинеарность векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Рассмотрим пару задач с конкретными геометрическими фигурами.

Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является параллелограммом.

Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Вспоминаем определение параллелограмма:
Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Таким образом, нужно доказать:
1) параллельность противоположных сторон и ;
2) параллельность противоположных сторон и .

1) Найдём векторы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны, и .

2) Найдём векторы:

Получился один и тот же вектор («по школьному» – равные векторы). Коллинеарность совсем очевидна, но решение таки лучше оформить с толком, с расстановкой. Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны, и .

Вывод: Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит, он является параллелограммом по определению. Что и требовалось доказать.

Больше фигур хороших и разных:

Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является трапецией.

Для более строгой формулировки доказательства лучше, конечно, раздобыть определение трапеции, но достаточно и просто вспомнить, как она выглядит.

Это задание для самостоятельного решения. Полное решение в конце урока.

А теперь пора потихонечку перебираться из плоскости в пространство:

Как определить коллинеарность векторов пространства?

Правило очень похоже. Для того чтобы два вектора пространства были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны .

Выяснить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:

Решение:
а) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов:

Система не имеет решения, значит, векторы не коллинеарны.

«Упрощёнка» оформляется проверкой пропорции . В данном случае:
– соответствующие координаты не пропорциональны, значит, векторы не коллинеарны.

Ответ: векторы не коллинеарны.

б-в) Это пункты для самостоятельного решения. Попробуйте его оформить двумя способами.

Существует метод проверки пространственных векторов на коллинеарность и через определитель третьего порядка, данный способ освещен в статье Векторное произведение векторов.

Аналогично плоскому случаю, рассмотренный инструментарий может применяться в целях исследования параллельности пространственных отрезков и прямых.

Добро пожаловать во второй раздел:

Линейная зависимость и независимость векторов трехмерного пространства.
Пространственный базис и аффинная система координат

Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства. Я постарался минимизировать конспект по теории, поскольку львиная доля информации уже разжёвана. Тем не менее, рекомендую внимательно прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия.

Теперь вместо плоскости компьютерного стола исследуем трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты. Поэтому для построения базиса потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый – лишний.

И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны большой, указательный и средний палец. Это будут векторы , они смотрят в разные стороны, имеют разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов! Кстати, не нужно демонстрировать такое преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться =)

Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства? Пожалуйста, плотно прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола. Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являются компланарными и, совершенно очевидно, что базиса трёхмерного пространства не создают.

Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не делайте этого с пальцами, так отрывался только Сальвадор Дали =)).

Определение: векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны.

Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторы мало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно выразить через любой вектор. Во втором случае, если, например, векторы не коллинеарны, то третий вектор выражается через них единственным образом: (а почему – легко догадаться по материалам предыдущего раздела).

Справедливо и противоположное утверждение: три некомпланарных вектора всегда линейно независимы, то есть никоим образом не выражаются друг через друга. И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства.

Определение: Базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов , взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису , где – координаты вектора в данном базисе

Напоминаю, также можно сказать, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

Понятие системы координат вводится точно так же, как и для плоского случая, достаточно одной точки и любых трёх линейно независимых векторов:

Точка пространства, которая называется началом координат, и некомпланарные векторы , взятые в определённом порядке, задают аффинную систему координат трёхмерного пространства:

Конечно, координатная сетка «косая» и малоудобная, но, тем не менее, построенная система координат позволяет нам однозначно определить координаты любого вектора и координаты любой точки пространства. Аналогично плоскости, в аффинной системе координат пространства не будут работать некоторые формулы, о которых я уже упоминал.

Наиболее привычным и удобным частным случаем аффинной системы координат, как все догадываются, является прямоугольная система координат пространства:

Точка пространства, которая называется началом координат, и ортонормированный базис задают декартову прямоугольную систему координат пространства. Знакомая картинка:

Перед тем, как перейти к практическим заданиям, вновь систематизируем информацию:

Для трёх векторов пространства эквивалентны следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не компланарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Противоположные высказывания, думаю, понятны.

Линейная зависимость / независимость векторов пространства традиционно проверяется с помощью определителя (пункт 5). Оставшиеся практические задания будут носить ярко выраженный алгебраический характер. Пора повесить на гвоздь геометрическую клюшку и орудовать бейсбольной битой линейной алгебры:

Три вектора пространства компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: .

Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (значение определителя от этого не изменится – см. свойства определителей). Но гораздо лучше в столбцы, поскольку это выгоднее для решения некоторых практических задач.

Тем читателям, которые немножко позабыли методы расчета определителей, а может и вообще слабо в них ориентируются, рекомендую один из моих самых старых уроков: Как вычислить определитель?

Проверить, образуют ли базис трёхмерного пространства следующие векторы:

Решение: Фактически всё решение сводится к вычислению определителя.

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке):

, значит, векторы линейно независимы (не компланарны) и образуют базис трёхмерного пространства.

Ответ: данные векторы образуют базис

б) Это пункт для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Встречаются и творческие задачи:

При каком значении параметра векторы будут компланарны?

Решение: Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю:

По существу, требуется решить уравнение с определителем. Налетаем на нули как коршуны на тушканчиков – определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке и сразу же избавиться от минусов:

Проводим дальнейшие упрощения и сводим дело к простейшему линейному уравнению:

Ответ: при

Здесь легко выполнить проверку, для этого нужно подставить полученное значение в исходный определитель и убедиться, что , раскрыв его заново.

В заключение рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая носит больше алгебраический характер и традиционно включается в курс линейной алгебры. Она настолько распространена, что заслуживает отдельного топика:

Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространства
и найти координаты 4-го вектора в данном базисе

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора вполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы линейно независимы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов :

, значит, векторы линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.

! Важно: координаты векторов обязательно записываем в столбцы определителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.

Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы образуют базис, то любой вектор можно единственным способом разложить по данному базису: , где – координаты вектора в базисе .

Поскольку наши векторы образуют базис трёхмерного пространства (это уже доказано), то вектор можно единственным образом разложить по данному базису:
, где – координаты вектора в базисе .

По условию и требуется найти координаты .

Для удобства объяснения поменяю части местами: . В целях нахождения следует расписать данное равенство покоординатно:

По какому принципу расставлены коэффициенты? Все коэффициенты левой части в точности перенесены из определителя , в правую часть записаны координаты вектора .

Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают по формулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование.

Главный определитель системы уже найден:
, значит, система имеет единственное решение.

Дальнейшее – дело техники:

Таким образом:
– разложение вектора по базису .

Ответ:

Более подготовленные читатели могут ознакомиться с уроком Переход к новому базису, и окончательно уяснить смысл прорешанной задачи. Кстати, с содержательной точки зрения использовать метод Крамера здесь – совсем не айс 😉

И, как я уже отмечал, задание носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены – это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, произвольные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу – решение будет технически намного проще, и поэтому я прошёл мимо него в предыдущем параграфе.

Такая же задача с трёхмерными векторами для самостоятельного решения:

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.

Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Аналогично можно рассмотреть четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев – чистая алгебра.…Хотя, кто его знает, может быть и не чистая…, однако закругляемся – о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов:

Ответ: при

Пример 4: Доказательство: трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
1) Проверим параллельность противоположных сторон и .
Найдём векторы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы не коллинеарны и стороны не параллельны.
2) Проверим параллельность противоположных сторон и .
Найдём векторы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны и .
Вывод: Две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие стороны не параллельны, значит, он является трапецией по определению. Что и требовалось доказать.

Пример 5: Решение:
б) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов:

Система не имеет решения, значит, векторы не коллинеарны.
Более простое оформление:
– вторая и третья координаты не пропорциональны, значит, векторы не коллинеарны.
Ответ: векторы не коллинеарны.
в) Исследуем на коллинеарность векторы . Составим систему:

Соответствующие координаты векторов пропорциональны, значит
Вот здесь как раз не проходит «пижонский» метод оформления.
Ответ:

Пример 6: Решение: б) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке):

, значит, векторы линейно зависимы и не образуют базиса трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы не образуют базиса

Пример 9: Решение: Вычислим определитель, составленный из координат векторов :

Таким образом, векторы линейно независимы и образуют базис.
Представим вектор в виде линейной комбинации базисных векторов:

Покоординатно:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: Векторы образуют базис,

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

Матрица перехода

Матрица перехода — это просто квадратная матрица, в столбцах которой записаны координаты новых базисных векторов. У такой матрицы много важных свойств, которые сформулированы и доказаны в первой части урока — теоретической. Этой теории хватит для любого экзамена или коллоквиума.

Вторая часть урока — практическая. В ней разобраны все типовые задачи, которые встречаются на контрольных, зачётах и экзаменах.

Если вы учитесь в серьёзном университете (МГУ, Бауманка и т.д.), то обязательно изучите первые три пункта. А если вам нужны только задачи, сразу переходите к пункта 4—6.

1. Определение матрицы перехода

Пусть дано $n$-мерное линейное пространство $L$. Пусть также $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ и $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — два базиса в $L$.

Определение. Матрица перехода $<_>$ от базиса $e=\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ к базису $f=\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — это квадратная матрица порядка $n$, где по столбцам записаны координаты нового базиса $f$ в старом базисе $e$:

\[<_>=\left[ \begin<_<1,1>> & <_<2,1>> & \cdots & <_> \\<_<1,2>> & <_<2,2>> & \cdots & <_> \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\<_<1,n>> & <_<2,n>> & \cdots & <_> \\\end \right]\]

Обратите внимание на нумерацию элементов $<_>$: первый индекс обозначает номер столбца, т.е. номер нового базисного вектора, а второй отвечает за координаты этого вектора в старом базисе. Так, во втором столбце записаны координаты вектора $<_<2>>$:

Или, что то же самое, разложение вектора $<_<2>>$ по базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$:

Да, такая нумерация не является обязательной. Но она очень распространена именно в записи матриц перехода: первый индекс отвечает за номер базисного вектора, второй — за номер координаты этого вектора.

Пример 1. В некотором базисе $e=\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ векторного пространства $<<\mathbb>^<3>>$ даны три вектора:

\[<_<1>>=<<\left( 1,0,1 \right)>^>,\quad <_<2>>=<<\left( 2,1,0 \right)>^>,\quad <_<3>>=<<\left( 0,3,1 \right)>^>\]

\[\begin<_<1>> &=<<\left( 1,0,1 \right)>^>, \\ <_<2>> &=<<\left( 2,1,0 \right)>^>, \\ <_<3>> &=<<\left( 0,3,1 \right)>^> \\ \end\]

Убедитесь, что система векторов $f=\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ образует базис в $<<\mathbb>^<3>>$, найдите матрицу перехода $<_>$.

Решение. Система векторов будет базисом, если эти векторы линейно независимы, а их количество совпадает с размерностью пространства. Поскольку у нас три вектора и $\dim<<\mathbb>^<3>>=3$, осталось проверить линейную независимость. Составим матрицу из столбцов с координатами векторов $<_<1>>$, $<_<2>>$ и $<_<3>>$:

\[\left[ \begin1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end \right]\]

Вообще-то это и есть матрица перехода $<_>$, но сначала надо установить линейную независимость. Поэтому выполним элементарные преобразования строк:

\[\left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end \right]\begin \ \\ \ \\ -1\cdot \left[ 1 \right] \\ \end\sim \left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end \right]\begin -2\cdot \left[ 2 \right] \\ \ \\ +2\cdot \left[ 2 \right] \\ \end\sim \left[ \begin 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end \right]\]

\[\begin & \left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end \right]\begin \ \\ \ \\ -1\cdot \left[ 1 \right] \\ \end \\ & \left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end \right]\begin -2\cdot \left[ 2 \right] \\ \ \\ +2\cdot \left[ 2 \right] \\ \end \\ & \left[ \begin 1 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end \right] \\ \end\]

Получили верхнетреугольную матрицу без нулей на главной диагонали. Ранг такой матрицы равен 3, поэтому система $\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ линейно независима и образует базис. Матрица перехода от базиса $e$ к базису $f$ уже известна:

\[<_>=\left[ \begin 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end \right]\]

1.1. Зачем нужна матрица перехода

Матрица перехода нужна для того, чтобы компактно и наглядно выражать новый базис через старый. В самом деле, разложим векторы $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ нового базиса по старому базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$:

Получили систему из $n$ уравнений, которые в матричном виде можно представить так:

Обратите внимание: $<_<1>>,\ldots ,<_>$ и $<_<1>>,\ldots ,<_>$ — это именно векторы, а не числа. Такие наборы принято записывать строками — в отличие от вектор-столбцов, элементами которых как раз выступают обычные числа.

Последний множитель — это и есть матрица перехода $<_>$, поэтому всё произведение можно записать более компактно:

2. Свойства матрицы перехода

Мы разберём три простых свойства, а далее отдельным разделом будет ещё одно — уже более серьёзное.

2.1. Переход от базиса к этому же базису

Свойство 1. При переходе от базиса $e$ к этому же базису $e$ матрица перехода $<_>=E$.

Для доказательства достаточно рассмотреть формулы

Указанное выражение однозначно, поскольку $e$ — базис. Следовательно, матрица перехода равна

Итак, $<_>=E$, что и требовалось доказать.

2.2. Обратный переход

Свойство 2. Если $<_>$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $f$, то $<_>=<<\left( <_> \right)>^<-1>>$ матрица обратного перехода, от базиса $f$ к базису $e$.

В самом деле, базисы $e$ и $f$ связаны с матрицей перехода по формуле

Поскольку матрица $<_>$ невырожденная, существует обратная к ней матрица $<<\left( <_> \right)>^<-1>>$. Домножим на эту матрицу обе части формулы, связывающей базисы $e$ и $f$:

Упрощаем эту формулу и получаем

Итак, мы получили формулу перехода от базиса $f$ к базису $e$. Следовательно, $<<\left( <_> \right)>^<-1>>$ — матрица такого перехода, что и требовалось доказать.

2.3. Переход через транзитный базис

Пусть $<_>$ — матрица перехода от базиса $e$ к базису $f$ линейного пространства $L$, а $<_>$ — матрица перехода от базиса $f$ к базису $g$ того же линейного пространства $L$.

Тогда матрица перехода $<_>$ от базиса $e$ к базису $g$ находится по формуле

Для доказательства достаточно записать формулы для выражения базисов $f$ и $g$, а затем подставить одну формулу в другую. По условию теоремы, базис $f$ выражается через базис $e$ по формуле

Кроме того, базис $g$ выражается через базис $f$ по формуле

Подставим первое выражение во второе и получим

Мы получили прямое выражение базиса $g$ через базис $e$, причём матрица перехода равна

Это именно та формула, которую и требовалось доказать.

2.4. Невырожденные матрицы

И ещё одно важное свойство:

Иначе говоря, всякая квадратная невырожденная матрица $T$ является матрицей перехода от данного базиса $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ к некоторому новому базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ линейного пространства $L$.

Обратите внимание: поскольку изначально мы не знаем, что $T$ — матрица перехода, её элементы пронумерованы стандартным образом: первый индекс отвечает за строку, а второй — за столбец. Однако это нисколько не помешает нам доказать теорему.

Для доказательства того, что $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — базис линейного пространства $L$, нужно доказать два утверждения:

• 1.Система векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — линейно независима.
• 2.Ранг этой системы векторов совпадает с размерностью пространства $L$.

Поскольку количество векторов в системе $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ совпадает с количеством базисных векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$, т.е. равно $n=\dim L$, достаточно лишь проверить линейную независимость.

Рассмотрим линейную комбинацию векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ и предположим, что она равна нулю:

В матричном виде это выглядит так:

По условию теоремы векторы $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ раскладываются по базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ с коэффициентами, записанными в столбцах матрицы $T$. В матричном виде это выглядит так:

Подставляем полученное выражение для $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ в предыдущее матричное уравнение и получаем

Поскольку $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ — базис линейного пространства $L$, такое равенство возможно лишь при условии

Это матричное уравнение можно рассматривать как систему из $n$ однородных уравнений относительно переменных $<<\lambda >_<1>>,\ldots ,<<\lambda >_>$. И поскольку по условию теоремы матрица $T$ невырожденная, это СЛАУ имеет лишь одно решение — тривиальное:

Получаем, что система векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ линейно независима, а количество векторов совпадает с размерностью линейного пространства $L$. Следовательно, эта система — базис, что и требовалось доказать.

3. Замена координат в новом базисе

До сих пор мы рассуждали лишь о том, как координаты новых базисных векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ выражаются через координаты старых базисных векторов $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$. Но что будет с координатами одного и того же вектора линейного пространства $L$ при переходе от одного базиса к другому?

Ответ даёт следующая теорема.

3.1. Формулировка теоремы

Ещё раз: если произвольный вектор $h\in L$ в новом базисе $f$ имеет координаты

то в старом базисе $e$ этот же вектор $h\in L$ имеет координаты

Т.е. для векторов всё наоборот: не новые координаты выражаются через старые, а старые — через новые. Впрочем, никто не мешает найти матрицу $T_^<-1>$ и записать

Но такая запись предполагает дополнительное действие — нахождение обратной матрицы.

3.2. Доказательство

Сначала «соберём» матрицу $<_>$. Для этого разложим векторы $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ по базису $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$:

В матричной форме эту систему линейных уравнений можно записать так:

Транспонируем обе стороны равенства, учитывая, что произведение справа транспонируется по правилу $<<\left( A\cdot B \right)>^>=<^>\cdot <^>$:

Квадратная матрица справа — это и есть матрица перехода $<_>$. Поэтому матричное уравнение можно переписать так:

Теперь возьмём произвольный вектор $h\in L$ и разложим его по базисам $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$ и $\left\< <_<1>>,\ldots ,<_> \right\>$:

Вновь перейдём к матричной форме. Сначала учтём, что координаты векторов принято записывать в виде вектор-столбцов:

Тогда левую и правую часть уравнения можно представить как произведение строк с базисными векторами и указанных вектор-столбцов с координатами:

Но выше мы выражали строку векторов $\left[ <_<1>>,\ldots ,<_> \right]$ через строку $\left[ <_<1>>,\ldots ,<_> \right]$ и матрицу перехода $<_>$. Подставим это выражение в наше матричное уравнение:

Уберём слева и справа первый множитель — строку $\left[ <_<1>>,\ldots ,<_> \right]$. Получим уравнение, связывающее координаты вектора в разных базисах:

Это именно та формула, которую и требовалось доказать.

Задача 1. Базисы трёхмерного пространства

Задача. Убедитесь, что системы векторов

являются базисами в векторном пространстве $<<\mathbb>^<3>>$. Найдите матрицу перехода $<_>$. Найдите координаты в базисе $a$ вектора $x$, который в базисе $b$ имеет координаты $<<\left( 0,3,2 \right)>^>$.

Решение

Чтобы доказать, что система векторов образует базис, достаточно составить матрицу $A$ из координат этих векторов, а затем вычислить её определитель $\det A$. И если $\det A\ne 0$, то векторы линейно независимы. А поскольку их количество совпадает с размерностью линейного пространства, такие векторы образуют базис.

Определитель этой матрицы отличен от нуля:

Теперь составим матрицу из векторов $b=\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$. Получим матрицу перехода $<_>$:

Определитель этой матрицы вновь отличен от нуля:

Осталось найти матрицу перехода $<_>$. Заметим, что эту матрицу можно выразить так:

Мы внедрили «транзитный» базис $e$ и вместо прямого перехода $a\to b$ рассмотрели цепочку $a\to e\to b$. Это стандартный и очень распространённый приём, но из-за этого появился новый элемент $T_^<-1>$ — матрица, обратная к $<_>$. Найдём $T_^<-1>$ методом присоединённой матрицы:

\[\left[ <_>|E \right]\sim \ldots \sim \left[ E|T_^ <-1>\right]\]

Напомню, что элементарные преобразования в присоединённых матрицах выполняются только над строками. Если вы забыли, как всё это работает, см. урок «Обратная матрица». В нашем случае получим:

\[\left[ \begin1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \\\end \right]\begin \, \\ -2\cdot \left[ 1 \right] \\ -1\cdot \left[ 1 \right] \\ \end\]

Мы «зачистили» первый столбец. Теперь «зачистим» последний:

\[\left[ \begin 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ \end \right]\begin -1\cdot \left[ 3 \right] \\ +3\cdot \left[ 3 \right] \\ \, \\ \end\]

Остался лишь средний. Разберёмся и с ним:

\[\left[ \begin 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -5 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ \end \right]\begin +2\cdot \left[ 2 \right] \\ |\cdot \left( -1 \right) \\ \, \\ \end\]

Получили единичную матрицу слева от вертикальной черты. Значит, справа стоит искомая матрица $T_^<-1>$:

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу перехода $<_>$:

После несложных вычислений получаем матрицу перехода от базиса $a$ к базису $b$:

Осталось найти координаты вектора $x$, который в базисе $b$ имеет координаты $<<\left( 0,3,2 \right)>^>$. Вспомним формулу, выражающую координаты в старом базисе через координаты в новом базисе:

Итак, вектор $x$ в базисе $a$ имеет координаты $<<\left( 1,1,4 \right)>^>$. Задача решена.

Альтернативное решение

Можно найти матрицу $<_>$ заметно быстрее, если использовать алгоритм решения матричных уравнений. Заметим, что нам требуется найти произведение

С другой стороны, для нахождения такого произведения достаточно составить присоединённую матрицу вида $\left[ A|B \right]$ и цепочкой элементарных преобразований свести её к виду

Другими словами, справа от вертикальной черты мы получим искомую матрицу перехода $<_>$!

На практике это выглядит так. Записываем присоединённую матрицу $\left[ A|B \right]$:

И после элементарных преобразований получим

Для экономии места я пропустил промежуточные шаги. Попробуйте сделать их самостоятельно — это очень полезная практика.

Если же вы хотите разобраться, как это работает (и почему вдруг справа возникает матрица вида $<^<-1>>\cdot B$), см. урок «Матричные уравнения». А мы идём дальше.

Задача 2. Базисы в поле вычетов

Найдите матрицу перехода от базиса

арифметического линейного пространства $\mathbb_<5>^<3>$.

Решение

Эта задача проще предыдущей, поскольку поле вычетов $<<\mathbb>_<5>>$ является конечным и состоит всего из пяти элементов — представителей смежных классов:

Аналогично, рассмотрим систему $b=\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ и составим матрицу $<_>$:

Выразим искомую матрицу $<_>$ через «транзитный» базис $e$:

Найдём $T_^<-1>$ через присоединённую матрицу:

После цепочки элементарных преобразований над строками (попробуйте выполнить их самостоятельно!) получим

Итак, мы нашли матрицу $T_^<-1>$:

Осталось вычислить искомую матрицу перехода $<_>$:

По аналогии с предыдущей задачей, матрицу $<_>$ можно найти и через элементарные преобразования присоединённой матрицы $\left[ A|B \right]$. Результат будет точно такой же, но мы сэкономим пару строк вычислений и несколько минут времени.

Задача 3. Пространство многочленов

Убедитесь, что системы многочленов

являются базисами в пространстве $<

_<3>>$ многочленов степени не выше 2. Найдите матрицу перехода $<_>$. Разложите по степеням $\left( t-1 \right)$ многочлен $<<\left( t+1 \right)>^<2>>+\left( t+1 \right)+1$.

Решение

Стандартным базисом в пространстве многочленов является система многочленов $p=\left\< <

_<1>>,<

_<2>>,<

_<3>> \right\>$, где

Выразим через базис $p$ многочлены из системы $e$:

Следовательно, матрица перехода $<_>$ выглядит так:

Аналогично, выразим через базис $p$ многочлены из системы $f$:

Получим матрицу перехода $<_>$:

Обе матрицы оказались верхнетреугольными, их определители отличны от нуля:

Следовательно системы многочленов $e$ и $f$ действительно являются базисами пространства $<

_<3>>$.

Теперь найдём матрицу перехода $<_>$. Для этого нам даже не потребуется искать обратную матрицу. Достаточно заметить, что векторы $<_<1>>$ и $<_<2>>$ легко раскладываются по базису $e$:

С вектором $<_<3>>$ вычислений будет чуть больше:

Итого матрица перехода $<_>$ примет вид

Теперь разложим многочлен $<<\left( t+1 \right)>^<2>>+\left( t+1 \right)+1$ по базису $e$. Сначала перепишем этот многочлен так:

Следовательно, в базисе $f$ многочлен $h\left( t \right)$ имеет координаты $<<\left( 1,1,1 \right)>^>$. Но тогда по теореме о замене координат этот же многочлен в базисе $e$ имеет координаты

Другими словами, многочлен $h\left( t \right)$ имеет вид

Это и есть искомое разложение многочлена $<<\left( t+1 \right)>^<2>>+\left( t+1 \right)+1$ по степеням $\left( t-1 \right)$.

Альтернативное решение

Искомое разложение можно получить и без привлечения матриц перехода. Достаточно применить схему Горнера или выделить нужные степени напрямую:

Как видим, результат получился тем же самым, а времени потрачено меньше. Однако уже в пространстве $<

_<4>>$ многочленов степени не выше 4 сложность решения через матрицы и через выделение степеней будет сопоставимой. А дальше матрицы начнут выигрывать.

Смысл линейной алгебры — дать универсальные алгоритмы, которые работают с объектами любой природы, если эти объекты подчиняются аксиомам линейного пространства.

Задача 4. Матрица перехода при симметрии

Базис $b$получается из базиса

пространства $<_<3>>$ симметрией относительно плоскости $2x+y+3z=0$. Найти матрицу перехода $<_>$.

Решение

Из курса аналитической геометрии мы знаем, что если плоскость задана уравнением

то вектор-нормаль $n$ имеет координаты

Важное замечание. симметрия предполагает использование проекций и углов, что в конечном счёте сводится к скалярному произведению. Однако мы пока не знаем, что такое скалярное произведение в линейном пространстве.

Полноценное определение скалярного произведения будет намного позже — см. урок «Евклидово пространство». А пока будем считать, что скалярное произведение векторов $a$ и $b$ определено стандартным образом:

\[\left( a,b \right)=\left| a \right|\cdot \left| b \right|\cdot \cos \alpha \]

Геометрическая интерпретация

Симметрию на плоскости и в пространстве удобно представлять графически. Пусть $\alpha $ — плоскость, относительно которой выполняется симметрия. Тогда векторы $\left\< <_<1>>,<_<2>>,<_<3>> \right\>$ будут выглядеть так:

Задача 5. Матрица поворота

Базис $e=\left\< i,j,k \right\>$ пространства $<_<3>>$ поворачивается на 180° вокруг прямой $l$, заданной системой

Затем полученный базис $f$ поворачивается на 90° в отрицательном направлении вокруг нового положения вектора $j$. В результате получается базис $g=\left\< <_<2>>,<_<2>>,<_<2>> \right\>$.

Найдите матрицу перехода $<_>$. Найдите в базисе $e$ координаты вектора $h$, который в новом базисе $g$ имеет координаты $\left( 1,1,1 \right)$.

Решение

Вращение базиса и матрица поворота — это очень важная тема, по которой есть отдельный урок — «Матрица поворота». Но сейчас вращение совсем простое, поэтому обойдёмся без специальных матриц.

Вновь обратимся к геометрической интерпретации. Рассмотрим исходный базис $e=\left\< i,j,k \right\>$ трёхмерного пространства:

Также на этом рисунке изображена прямая $l$, которая задаётся требованиями $z=0$ и $x=y$. Эта лежит в плоскости $Oxy$ и является биссектрисой первой координатной четверти.

Очевидно, что при повороте пространства на 180° относительно прямой $l$ базисные векторы $i$ и $j$ просто поменяются местами, а вектор $k$ перейдёт в противоположный:

Другими словами, $<_<1>>=j$, $<_<1>>=i$, $<_<1>>=-k$, поэтому матрица перехода от базиса $e=\left\< i,j,k \right\>$ к базису $f=\left\< <_<1>>,<_<1>>,<_<1>> \right\>$ примет вид

Далее поворот осуществляется вокруг нового положения вектора $j$, т.е. вокруг вектора $<_<1>>$. Вновь обратимся к чертежу. В этот раз нам уже не нужны координатные оси — нас интересуют лишь векторы $<_<1>>$, $<_<1>>$ и $<_<1>>$, а также ось вращения:

Обратите внимание: в задаче сказано, что базис вращается на 90° в отрицательном направлении. Если мы смотрим на плоскость, образованную векторами $<_<1>>$ и $<_<1>>$, с вершины вектора $<_<1>>$ (как на картинке), то отрицательное направление — это по часовой стрелке (отмечено зелёным), а положительное —против часовой стрелки (отмечено красным).

Все эти тонкости (положительное и отрицательное направление, правые и левые тройки векторов) детально описаны в уроке про матрицы поворота. Сейчас не будем подробно разбираться в них, а просто нарисуем результат:

Теперь мы можем найти матрицу $<_>$ через транзитный базис $f$:

Кроме того, нам известны координаты вектора $h$ в базисе $g$:

Тогда в базисе $e$ координаты этого же вектора равны

Итак, мы нашли матрицу перехода $<_>$ и координаты вектора $h$ в исходном базисе. Задача решена.

для квадратичных функций

Как доказать что система векторов является базисом

Определение. Если в линейном пространстве введено понятие скалярного произведения векторов, то такое пространство называется евклидовым и обозначается . Евклидово пространство конечномерно.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и линейного пространства называется число, обозначаемое и удовлетворяющее условиям:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) , если и , если .

В пространстве скалярное произведение введем следующим образом. Пусть , – два произвольных вектора из , тогда положим (условия «а–г», очевидно, выполнены).

Определение. Длиной вектора пространства называется число .

В длина вектора равна .

Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, то есть , причем .

Таким образом, если ортонормированный базис, то

Канонический базис ортонормирован. Заметим, что обратная матрица к матрице перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису совпадает со своей транспонированной. Такие матрицы называются ортогональными. Примером ортонормированного базиса в является декартов базис .

Пример 5. Вектор в базисе , , имеет координаты . Найти координаты вектора в базисе , , .

Решение. Обратим внимание на то, что оба базиса ортонормированы. Мы уже знаем, что канонический базис ортонормирован. Базис также ортонормирован, так как и .

Обозначим координаты вектора в базисе через . Построим матрицу перехода от к : .

Эта матрица ортогональна, так как является матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Поэтому: ( – транспонированная).

.

1. Доказать, что каждая из двух систем векторов , , и , , является базисом и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах.

Ответ:

3. Относительно базиса , , даны четыре вектора , , , .

Доказать, что образуют ортонормированный базис в . Найти координаты вектора в базисе .

Ответ: .

(1,1,1,1) = e1, (1,2,1,1) = e2, (1,1,2,1) = e3, (1,3,2,3) = e4.
(1,0,3,3) = f1, (-2,-3,-5,-4) = f2, (2,2,5,4) = f3, (-2,-3,-4,-4) = f4.

Запишем систему для первой системы и решим ее методом Гаусса:

Аналогичным образом докажем вторую систему векторов. Запишем систему для первой системы:
Видим, что система векторов (f₁,f₂,f₃,f₄) — линейно независима, значит является базисом R 4 . Доказали, что системы являются базисом.

Привели к единичной и получили матрицу перехода. Теперь выпишем из матрицы чему равняются x₁, x₂, x₃ , x₄.

Ответ:

Похожие публикации:

1. System outofmemoryexception как исправить
2. Как найти напряженность электрического поля в точке между зарядами
3. Как перевести число с плавающей точкой в двоичную систему
4. Правда ли что в космосе время идет медленнее