Что такое измеримая функция

ИЗМЕРИМАЯ ФУНКЦИЯ

— 1) В первоначальном понимании И. ф.- функция f(x)действительного переменного, обладающая тем свойством, что для любого амножество Е _а точек х, для к-рых f(x)<a есть измеримое множество (по Лебегу). И. ф. на отрезке [ х ₁, х ₂]может быть сделана непрерывной на [x₁, x₂]путем изменения ее значений на множестве сколь угодно малой меры; это — так наз. С-свойство И. ф. (Н. Н. Лузин, 1913).

2) И. ф. на пространстве Xопределяется относительно выбранной системы измеримых множеств Ав X. Если A есть s-кольцо, то действительная функция f, заданная на пространстве X, наз. измеримой функцией, если

для любого действительного а, где

Это определение равносильно следующему: действительная j функция f измерима, если для любого борелевского В. В случае, когда Аесть s-алгебра, функция f является измеримой, если измеримы множества Е _а (или ). Класс И. ф. замкнут относительно арифметических и структурных операций, т. е., если f_n, n=1, 2, . измеримы, то f₁+f₂, f₁f₁. max(f₁, f₂), min(f₁, f₂), af, где адействительно, измеримы; тоже измеримы. Комплексная функция измерима, если измеримы ее действительная и мнимая части. Обобщением понятия И. ф. является понятие измеримого отображения одного измеримого пространства в другое.

Лит.:[1] Xалмош П., Теория меры, пер. с англ.,М. 1953; [2] Данфорд Н., Шварц Д ж. Т., Линейные операторы, пер. с англ., т. 1, М., 1962; [3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.

В. В. Сазонов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

Полезное

Смотреть что такое «ИЗМЕРИМАЯ ФУНКЦИЯ» в других словарях:

Измеримая функция — Измеримые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами. Содержание 1 Определение 2 Замечания … Википедия

Функция (математ.) — Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента … Большая советская энциклопедия

Функция — I Функция (от лат. functio совершение, исполнение) (философская), отношение двух (группы) объектов, в котором изменение одного из них ведёт к изменению другого. Ф. может рассматриваться с точки зрения следствий (благоприятных,… … Большая советская энциклопедия

Суммируемая функция — функция, к которой приложимо введённое А. Лебегом понятие Интеграла, то есть для которой интеграл Лебега, взятый по данному множеству, конечен. Функции эти, называемые также интегрируемыми по Лебегу, необходимо должны быть измеримыми (по… … Большая советская энциклопедия

Статистика (функция выборки) — У этого термина существуют и другие значения, см. Статистика (значения). Статистика (в узком смысле)  это измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения. В широком смысле термин (математическая)… … Википедия

БОРЕЛЕВСКАЯ ФУНКЦИЯ — В функция, функция, для к рой все подмножества вида ) из области ее определения являются борелевскими множествами. Другие назв. Б. ф.: функции, измеримые по Борелю, В измеримые функции. Операции сложения, умножения и предельного перехода, как и в … Математическая энциклопедия

Простая функция — в математике это измеримая функция, заданная на некотором измеримом пространстве и принимающая конечное число значений. Определение Пусть измеримое пространство. Пусть , где конечная последовательность измеримых множеств. Тогда измеримая функция … Википедия

КРИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — статистика, значения к рой суть условные вероятности отклонения проверяемой гипотезы при заданном значении результата наблюдения. Пусть X случайная величина, принимающая значения в выборочном пространстве распределение вероятностей к рой… … Математическая энциклопедия

ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ — действительного переменного функция , определенная на нек ром интервале, для любых двух точек х 1 и x2 к рого выполняется условие Геометрически это означает, что середина любой хорды графика функции f лежит либо над графиком, либо на нем. Если… … Математическая энциклопедия

ЭКСЦЕССИВНАЯ ФУНКЦИЯ — для марковского процесса аналог неотрицательной супергармонической функции. Пусть в измеримом пространстве задана однородная марковская цепь с вероятностями перехода за один шаг Измеримая относительно функция наз. эксцессивной функцией для этой… … Математическая энциклопедия

Глава 4 измеримые функции

В классическом анализе используются главным образом непрерывные или кусочно-непрерывные функции. В современном функциональном анализе применяются так называемые измеримые функции. Класс этих функций достаточно широк и в основном он удовлетворяет потребностям анализа.

Рассмотрим измеримое пространство (X, , ) со счетно-аддитивной полной мерой .

Определение 1. Пусть Е . Действительная функция f: E  R называется измеримой на множестве Е, если лебеговы множества этой функции:

измеримы, т. е. E(f <с)   при всех с  R.

Из этого определения, в частности, сразу следует, что если Х = R и  – алгебра измеримых функций по мере на числовой прямой, то любая непрерывная функция является измеримой. Это вытекает из определения непрерывных функций (определение 1.18): если полный прообраз f -1 (V) любого открытого множества V является открытым множеством.

Поскольку система  есть -алгебра, то из условия измеримости всех лебеговых множеств E(f <с) вытекает измеримость следующих множеств:

E(fc) = E\E(f<c); E(fc) = E(f < c + 1/n); E(f>c) = E\E

Отметим, что измеримые функции могут принимать и бесконечные значения. Поэтому также измеримыми являются множества:

E(f = +) = E(f > n); E(f = -) = X\E(f < -n).

Обозначим через  систему всех открытых множеств на прямой R и рассмотрим минимальную -алгебру, содержащую все открытые множества . Напомним (определение 3.28), что множества А, принадлежащие этой -алгебре, называются борелевскими. Так как дополнение открытого множества является замкнутым, то все открытые и замкнутые мно­жества являются борелевскими. В том числе все проме­жутки на прямой (отрезки, интервалы и полуинтервалы) являются борелевскими множествами.

Теорема 1. Функция f: Е R измерима тогда и только тогда, когда прообраз любого борелевского множества является измеримым, т. е. имеет место включение f – l (A)   для всех борелевских множеств. А  R.

Доказательство. Достаточность очевидна, так как все интервалы (-; c) являются борелевскими множествами. Докажем необходимость.

Предположим, что функция f измерима, и обозначим через  систему множеств А  R, у которых прообраз f — -1 (А) измерим. Так как  является -алгеброй и

f -1 (A\B) = f -1 (A)\ f -1 (B), ,

то  есть -алгебра. По предположению (см. выше) все множества вида f -1 (a, b) = E(a< f < b) измеримы и сле­довательно система  содержит все интервалы (а, b). Поскольку каждое открытое множество из R является объединением не более, чем счетного числа интервалов, то   . Поэтому в силу минимальности борелевской -алгебры справедливо включение в  всех борелевских множеств.

Для доказательства измеримости функции f, задан­ной на сумме E = конечного или счетного числа измеримых множеств, достаточно проверить ее измери­мость на каждом множестве А_i. Заметим, что измери­мость функции f на множестве Е влечет ее измеримость на каждом измеримом подмножестве А  Е.

Лемма 1. Пусть функции f(x) и g(x) измеримы на множестве Е, а функция двух действительных пере­менных h(u,v) непрерывна на открытом множестве D  R 2 , при этом (f(x),g(x))  D для всех х Е. Тогда сложная функция F(x) = h(f(x), g(x)) является измеримой на множестве Е.

Доказательство. В силу непрерывности функции h(u,v) множество D(h < с) является открытым в R 2 . Поэтому его можно представить в виде конечного или счетного объединения открытых прямоугольников (теорема 3.12):

D(h < с) = , А_i = (a_i, b_i)  (c_i, d_i).

Заметим, что E((f, g)  А_i) = E(а_i < f < b_i) E(с_i < g < d_i) есть измеримое множество. Отсюда множество E(F < c) = будет также измеримым, поскольку система множеств Е является -алгеброй.

Из этой леммы получаются следующие свойства.

Следствие 1. Пусть функции f и g измеримы на Е. Тогда их сумма f + g и произведение fg измеримы на Е. Частное f/g измеримо, если g(x)  0 при всех х  Е. Степень |f| p измерима при всех р > 0.

Утверждение легко вытекает из леммы и непрерывности соответствующих функций u + v, uv и т.д.

Следствие 2. Пусть последовательность <f_n> состоит из изме­римых на множестве Е функций. Если функции вида f_n(x), f_n(x), , принимают конечные значения на Е, то они измеримы.

Если предел функций f(x) = существует при всех х  Е, то f является измеримой функцией.

Измеримость нижней и верхней грани последователь­ности функций доказывается применением следующих соотношений:

E( f_n < c) = E(f_n < c), f_n(x) = – (– f_n(x)).

Так как при всех х  Е справедливы равенства

= , = ,

то верхний и нижний пределы будут также измеримыми. Отсюда предел последовательности измеримых функций f = = = является измеримым.

Определение измеримой функции

Будем рассматривать пространство [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math] , считаем, что мера [math] \mu [/math] — [math] \sigma [/math] -конечная, полная, то есть:

[math] X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p \lt + \infty [/math]

[math] \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 [/math]

Пусть [math] E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R [/math] , будем обозначать как [math] E (f [/math] обладает свойством [math] P )[/math] совокупность точек из [math]E[/math] , для которых свойство [math] P [/math] верно.

Пусть [math] E(f \lt a) [/math] — измеримо для любого [math] a [/math] . Установим измеримость остальных:

Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости [math]f[/math] на [math]E[/math] следует и измеримость самого [math]E[/math] , [math]E = \bigcup\limits_^\infty E(f \lt n)[/math]

Пример измеримой функции — [math]f(x) = C[/math] на измеримом [math]E[/math] .

[math]E(f\lt a) = \left\ < \beginE &, C \lt a \\ \varnothing &, C \geq a \end \right. [/math]

Так как [math]E[/math] измеримо, то постоянная функция на нём измерима.

Всё это распространяется на [math]E = \bigcup\limits_p E_p[/math] , [math]E_p \in \mathcal, E_p [/math] — дизъюнктны.

Аналогично, измерима на [math]E[/math] функция [math]f : E \to \mathbb R [/math] , [math]f(x) = a_p, x\in E_p[/math] .

Установим измеримость [math]F(f\leq a)[/math] .

Проверим, что оно замкнуто.

Рассмотрим последовательность [math]\bar x_j \in F(f\leq a)[/math] , пусть она сходится к [math] \bar x [/math] . По определению множества Лебега, [math]f(\bar x_j) \leq a[/math] .

Так как [math] F [/math] — замкнутое, и [math]\bar x_j \in F[/math] , то предел тоже принадлежит [math]F[/math] . Значит, по непрерывности, [math]f(\bar x_j) \to f(\bar x)[/math] .

По непрерывности [math] f [/math] , из того, что [math] f(\bar x_j) \le a [/math] , следует [math]f(\bar x)\leq a [/math] , то есть, [math] \bar x \in F(f\leq a)[/math] .

Вывод: класс непрерывных функций содержится в классе измеримых.

Следует обратить внимание, что столь простые рассуждения проходят по той причине, что мы не интересуемся тем, как устроены множества Лебега. Нас интересует только одно их свойство — принадлежность [math]\mathcal[/math] . Природа этих множеств может быть крайне сложной.

1) [math]|f|[/math] — измерим
1.5) [math]kf[/math] — измерима ( [math]k \in \mathbb[/math] )
2) [math]f^2[/math] — измерим
3) [math]f + g[/math] — измерима

4) [math]f \cdot g[/math] — измеримо

1 и 2) доказываются одинаково. Рассмотрим, например, [math]E(f^2\lt a)[/math] .

При [math]a\geq 0[/math] оно может быть непустым. Но это равносильно [math]E(-\sqrt \lt f \lt \sqrt) = E(-\sqrt \lt f) \cap E(f\lt \sqrt)[/math] .

Это пересечение двух измеримых множеств Лебега [math]\Rightarrow[/math] измеримо.

1.5) Если [math] k = 0 [/math] , то [math] f = 0 [/math] и она измерима как постоянная.

3) Доказывается чуть сложнее

[math]f(x) + g(x) \gt a \iff g(x) \gt a — f(x)[/math]

Базируясь на том,что [math]\mathbb[/math] всюду плотно на оси, [math]\exists r \in \mathbb : g(x) \gt r \gt a — f(x)[/math]

Тогда [math]E(f + g\gt a) = \bigcup\limits_>(E(g\gt r) \cap E(f \gt a — r))[/math]

Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций [math]f[/math] и [math]g[/math] , операций — счётное число. Значит, [math]f+g[/math] тоже измеримо.

Измеримая функция

Измери́мые фу́нкции представляют естественный класс функций между пространствами с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.

Содержание

Определение

Пусть