Математическая продлёнка. Квадратные уравнения во всей красе
Продолжаю потихоньку публиковать свои наработки к занятиям математического кружка. На этот раз речь пойдёт о до боли знакомых квадратных уравнениях и их свойствах, о которых нет времени поговорить в школе.
Геометрия квадратных уравнений
В восьмом классе мы встречаемся с квадратными уравнениями, выводим или заучиваем формулу для их решения, запоминаем страшное слово «дискримитант», в общем, становимся суровыми математиками! Либо окончательно понимаем, что «математика не моё» и наивно называем себя «гуманитариями».
Положа руку на сердце, признаю, что умение решать квадратные уравнения пригодится не всем нам во взрослой жизни. Чаще всего, мы оставляем это знание на полке со школьными тетрадками и учебниками.
Но вот какое важное универсальное знание даёт знакомство с ними: уравнение может не иметь решений, либо одно из решений может не иметь смысла, как, например, отрицательное время в какой-нибудь физической задаче.
Это важный жизненный опыт, который помогает осознавать и познавать границы возможного, применимого, разрешимого.
Квадратные уравнения могут научить ещё кое-чему, а именно, видеть алгебру, отыскивать геометрический смысл алгебраических результатов.
Давайте вспомним, как выглядит общий вид решения квадратного уравнения:
Что означает эта формула? Что два решения расположены по разные стороны некоторого числа и отстоят от него на расстоянии . Какой же смысл у этих чисел?
Мы знаем, что график квадратного уравнения — это парабола. Кривая, которая имеет осевую симметрию относительно своего минимума. Эта симметрия присутствует и в решении. Число — это положение оси симметрии, то есть, минимума, а — половина ширины отрезка, который парабола отсекает на оси. Если отсекает, конечно.
Давайте подставим в уравнение положение минимума:
Смотрите-ка, в числителе сам собой образовался дискриминант! Теперь нам легко понять его смысл — вертикальное положение минимума параболы.
Геометрический смысл частей решения квадратного уравнения с дискриминантом D.
Пусть, для определённости, коэффициент будет положительным, а значит, ветви параболы будут идти наверх. Если дискриминант отрицателен, то парабола расположена над осью и не пересекает её. В этом случае решений не будет. Если дискриминант положителен, минимум находится под осью и парабола неизбежно пересечёт эту ось в двух точках.
Наконец, давайте посмотрим, как в само квадратное уравнение входят числа и из которых состоят его решения. Это легко увидеть с помощью теоремы Виета:
На такой разбор может не хватить времени на школьном уроке, но он полезен для того, чтобы уравнения и их решения стали несколько более говорящими.
Пространство квадратных уравнений
Задачки в учебниках придумывают люди. И они хотят, чтобы задачи в них не просто решались, а ещё и красиво решались. Чтобы чудесным образом извлекались квадратные корни, чтобы дроби сокращались как надо.
Предположим, вам для проведения экзамена нужно сочинить десятка три задачек на решение квадратных уравнений. Вы выписываете наугад тридцать уравнений с целыми коэффициентами. Какую долю из них составят те что, не имеют вещественных решений? А сколько из них будут иметь целочисленные корни? Понятно, что во всех этих вопросах речь идет об ожидаемых величинах и долях.
Доля нерешаемых уравнений
На этот вопрос проще ответить не в целых числах, а в действительных, сформулировав вопрос геометрически: какой фигурой в пространстве ограничивается объём нерешаемых уравнений?
Мы знаем уравнение границы этой фигуры: . Давайте преобразуем координаты так, чтобы стало очевидным, с чем мы имеем дело. Для этого сделаем преобразование координат:
Мы видим уравнение окружностей в координатах с радиусами . Значит, все нерешаемые уравнения попадают внутрь некоторого кругового конуса. Обратное преобразование к координатам превратит этот круговой конус в эллиптический и повернёт его, как показано на рисунке:
Часть конуса, ограничивающего область уравнений, не имеющих вещественных корней.
Нам повезло! Конус, даже эллиптический, на всех масштабах выглядит одинаково, а это значит, что можно вычислить долю его объёма в объёме всего пространства параметров. Не буду здесь вдаваться в подробности расчёта, приведу конечный результат: доля нерешаемых уравнений составляет .
Получается, что если наугад выбрать три числа и составить с их помощью квадратное уравнение, то вероятность того, что оно будет иметь вещественные решения составит чуть менее двух третей. Конечно, эта вероятность будет зависеть от конкретного способа выбора коэффициентов, но в случае их равномерного распределения результат можно ожидать таким.
Конечно, если стоит задача составить список заведомо решаемых уравнений, то наугад их сочинять не придётся. Достаточно сгенерировать нужное количество пар решений и с помощью теоремы Виета сформировать соответствующие им уравнения:
Целочисленные решения
И теперь можно перейти ко второму вопросу: как выглядит в пространстве целочисленных коэффициентов квадратных уравнений подмножество «хороших» уравнений? Хорошими будем считать квадратные уравнения с целочисленными коэффициентами, у которых и дискриминант является полным квадратом, и дроби сокращаются так, что решения тоже получаются целочисленными.
Для наглядности, эту задачу будем решать для приведённых квадратных уравнений, то есть, таких, у которых .
В поиске ответа нам опять поможет теорема Виета. Она определяет преобразование координат, отображающее пространство решений в пространство коэффициентов:
Назовём это преобразование именем Виета. Все пары целочисленных решений образуют равномерную решётку в пространстве всех действительных решений.
На этой решётке выделяется линия , которая соответствует нулевому дискриминанту и кратным корням. Эта линия является осью симметрии всего пространства решений. Действительно, одному уравнению соответствует две пары решений и , которые расположены симметрично относительно линии кратных корней. Так что достаточно рассмотреть как отображается в пространство коэффициентов только подпространство уникальных решений, например, нижняя полуплоскость.
Горизонтальные и вертикальные прямые линии, соответствующие уравнениям и (красные и синие линии на диаграммах) преобразование Виета снова превращает в прямые:
Отображение решётки целочисленных решений в пространстве коэффициентов. Каждая точка здесь — пара коэффициентов (b, c).
Какая красивая картинка! Линия кратных решений окаймляет «мёртвую область», в которой оказываются коэффициенты уравнений, не имеющих вещественных решений. К ней по касательной подходят линии, вдоль которых располагаются пары решений с одинаковым первым или одинаковым вторым элементом.
Линии, касательные параболе образуют прямолинейную, но непрямоугольную сетку. У неё есть интересное свойство: расстояния между всеми точками пересечений любой отдельно взятой касательной со всеми другими всегда одинаково. Нам оно потребуется, но мы позволим себе принять это эмпирическое наблюдение за факт без доказательства.
В отличие от доли нерешаемых уравнений, доля тех, что имеют целочисленные решения, будет сильно зависеть от диапазона, в котором выбираются коэффициенты. По мере его увеличения, число вариантов будет расти квадратично, как площадь в пространстве коэффициентов. В то же время, коэффициенты, дающие целочисленные решения будут располагаться на касательных к линии кратных корней, и их число будет расти линейно с увеличением диапазона, из-за того, что на касательных они располагаются на равном удалении друг от друга. Так что можно ожидать, что доля целочисленных решений будет падать пропорционально , если и . Численный эксперимент показывает, что на очень больших сказывается отличие от обратной пропорциональности, но это уже такие тонкости, в которых возиться большого смысла нет.
Это значит, что уравнения с небольшими по модулю целыми коэффициентами с большей вероятностью будут иметь целочисленные корни, чем уравнения с большими коэффициентами.
И последнее замечание. В плоскости область нерешаемых уравнений ограничена параболой, тогда как в пространстве эта область представляет собой конус. В этом нет противоречия, плоскость сечёт конус параллельно образующей конуса, а такое коническое сечение является параболой.
Истинный облик квадратных уравнений
А куда деваются корни квадратного уравнения, когда оно не имеет действительных решений и откуда берутся комплексные корни? Как выглядят квадратные уравнения «на самом деле»? Сегодня мы увидим скрытый от вещественного мира облик привычных со школы квадратных уравнений.
Грамотные маткружковцы знают про существование комплексных корней квадратного уравнения, и даже знают, как правильно ставить ударение в слове «комплéксный». А как и откуда эти комплексные корни появляются по мере исчезновении вещественных? Где они располагаются и какой имеют геометрический смысл, применительно к параболе ?
Для того, чтобы порассуждать об этом, надо выйти за пределы вещественной числовой оси и увидеть уравнение таким, каким оно предстаёт в своём мире: в чудесном поле комплексных чисел, в которых любые алгебраические уравнения имеют решения.
Подставим в уравнение вместо переменной x комплексное число в форме :
Теперь раскроем все скобки и приведём подобные слагаемые относительно , не забывая, что
Равенство будет верным, если одновременно и вещественная и мнимая части левой половины равенства обратятся в ноль. Таким образом, мы свели одно уравнение в комплексных числах к системе вещественных уравнений на и :
Второе уравнение при этом распадается на два: либо , либо .
Можно изобразить геометрические места точек, удовлетворяющих всем трём уравнениям в плоскости и увидеть, что происходит с корнями. Первое уравнение описывает гиперболы с асимптотами, пересекающимися в точке и симметрично расходящимися под наклоном . Ветви гиперболы могут проходить двумя разными способами, в зависимости от знака дискриминанта, либо пересекая ось абсцисс, либо нет. А второе и третье уравнения — это прямые линии, горизонтальная и вертикальная, соответственно.
Вещественные корни
При положительном дискриминанте гиперболы пересекают вещественную ось, и точки пересечения соответствуют двум вещественным числам. Симметрия гипербол в точности согласуется с симметрией параболы, о которой мы говорили в самом начале.
Комплексные корни
Когда дискриминант отрицателен, ветви гиперболы проходят выше и ниже вещественной оси и пересекают вертикальную линию в двух точках. Это и есть два комплексных корня с вещественной частью равной , и мнимой частью, отличающейся от нуля на величину
Нулевому дискриминанту соответствует вырожденная гипербола, совпадающая с асимптотами. Корень при этом кратный, и равен
Кратные корни
Но откуда же взялись гиперболы? Квадратное уравнение — это же про параболы?
Истинное лицо квадратного уравнения
На самом деле, вещественная часть уравнения в комплексных числах описывает гиперболический параболоид. Вот как он выглядит:
Построение гиперболического параболоида, как поверхности, образованной движением параболы, или семейством гипербол. Гиперболический параболоид может быть образован движением прямой. Все вертикальные сечения гиперболического параболоида являются параболами.
Эта поверхность замечательна во многих отношениях. Её можно построить с помощью движения прямой или параболы, либо представить, как поверхность, порождённую многообразием парабол, проходящих через одну точку, которая называется седловой, или многообразием гипербол, лежащих в параллельных плоскостях. Наконец, именно такую форму имеют картофельные чипсы известной марки. Прекрасный иллюстрированный рассказ об этом можно найти здесь.
Линии пересечения параболоида с плоскостью это и есть знакомые нам гиперболы — горизонтальные сечения гиперболического параболоида. Теперь на корни квадратного уравнения мы можем взглянуть, увидев их во всей полноте. Плоскости и , пересекая параболический гиперболоид в вертикально, образуют две параболы, касающиеся друг друга в седловой точке и расположенные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Эти две параболы представляют собой многообразия всех корней квадратного уравнения.
Многообразия вещественных (черные) и комплексных (красные) корней квадратного уравнения в пространстве (u, v, Re(ax² + bx + c))
Положение седловой точки гиперболического параболоида это знакомое нам число Посмотрите, что происходит с поверхностью, при изменении знака дискриминанта. Если мы станем изменять коэффициенты квадратного уравнения, то параболоид станет перемещаться в пространстве пересечение многообразий корней уравнения с плоскостью рождает пару чисел, либо вещественных, либо комплексных
Положение корней уравнения ax²+bx+c = 0 при меняющемся значении коэффициента с в комплексной плоскости, показанной чёрной (вещественной) и красной (мнимой) осями.
Теперь мы с уверенностью можем сказать, что видим, куда деваются вещественные корни уравнения и откуда берутся комплексные!
Параболоид в пространстве квадратных уравнений
Очертания гиперболического параболоида можно разглядеть и в сетке, образованной линиями равных решений в пространстве коэффициентов квадратных уравнений, которую мы построили в предыдущей части. И это, конечно же, не случайно. Мы рассмотрели преобразование Виета, которое строит найти отображение из пространства решений в пространство коэффициентов:
Где же здесь прячется параболоид? Уравнение гиперболического параболоида имеет два канонических вида:
которые переходят друг в друга при линейном преобразовании координат Это преобразование поворачивает и двое уменьшает все фигуры, не меняя их формы. Отсюда следует, что в сердце преобразования между вещественными корнями уравнения и коэффициентами тоже лежит гиперболический параболоид. Вот как выглядит это преобразование геометрически:
Преобразование Виета, как композиция проекций из плоскости корней на параболоид, и из параболоида на плоскость коэффициентов. При этом области, лежащие выше и ниже линии кратных корней отображаются в одну и ту же область коэффициентов, лежащую ниже линии кратных корней. Здесь чёрная линия соответствует кратным корням, а на параболоид проецируется решётка целочисленный корней.
Вертикальная ось на этом графике соответствует свободному коэффициенту в уравнении. Коэффициент при линейном члене , это сумма корней, так что плоскость представляет собой вертикальную плоскость, параллельную линии кратных корней. Проекцию параболоида на эту плоскость мы и видим, как преобразование Виета.
Параболоид в преобразовании Виета и параболоид, образуемый вещественной частью квадратного уравнения в комплексных числах, это разные фигуры, не связанные друг с другом. Но квадратные уравнения настолько пронизаны параболами, что не удивительно встретить параболоиды в разных частях их теории.
Можно бы завершить рассказ сакраментальной фразой: «Теперь мы знаем о квадратных уравнениях всё». Но, конечно же, главное, это разобраться а зачем нам вообще знать что-то про квадратные уравнения?
Приглашаю вас в свой Дзен-канал Онлайн-кружок математики, в котором различные занимательно-математические материалы появляются в облегчённом варианте, но зато регулярно.
Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры
В продолжение темы «Решение уравнений» материал данной статьи познакомит вас с квадратными уравнениями.
Рассмотрим все подробно: суть и запись квадратного уравнения, зададим сопутствующие термины, разберем схему решения неполных и полных уравнений, познакомимся с формулой корней и дискриминантом, установим связи между корнями и коэффициентами, ну и конечно приведем наглядное решение практических примеров.
Квадратное уравнение, его виды
Квадратное уравнение – это уравнение, записанное как a · x 2 + b · x + c = 0 , где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, при этом a не есть нуль.
Зачастую квадратные уравнения также носят название уравнений второй степени, поскольку по сути квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени.
Приведем пример для иллюстрации заданного определения: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0 ; 7 , 5 · x 2 + 3 , 1 · x + 0 , 11 = 0 и т.п. – это квадратные уравнения.
Числа a , b и c – это коэффициенты квадратного уравнения a · x 2 + b · x + c = 0 , при этом коэффициент a носит название первого, или старшего, или коэффициента при x 2 , b – второго коэффициента, или коэффициента при x , а c называют свободным членом.
К примеру, в квадратном уравнении 6 · x 2 − 2 · x − 11 = 0 старший коэффициент равен 6 , второй коэффициент есть − 2 , а свободный член равен − 11 . Обратим внимание на тот факт, что, когда коэффициенты b и/или c являются отрицательными, то используется краткая форма записи вида 6 · x 2 − 2 · x − 11 = 0 , а не 6 · x 2 + ( − 2 ) · x + ( − 11 ) = 0 .
Уточним также такой аспект: если коэффициенты a и/или b равны 1 или − 1 , то явного участия в записи квадратного уравнения они могут не принимать, что объясняется особенностями записи указанных числовых коэффициентов. К примеру, в квадратном уравнении y 2 − y + 7 = 0 старший коэффициент равен 1 , а второй коэффициент есть − 1 .
Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
По значению первого коэффициента квадратные уравнения подразделяют на приведенные и неприведенные.
Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, где старший коэффициент равен 1 . При иных значениях старшего коэффициента квадратное уравнение является неприведенным.
Приведем примеры: квадратные уравнения x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 являются приведенными, в каждом из которых старший коэффициент равен 1 .
9 · x 2 − x − 2 = 0 — неприведенное квадратное уравнение, где первый коэффициент отличен от 1 .
Любое неприведенное квадратное уравнение возможно преобразовать в приведенное уравнение, если разделить обе его части на первый коэффициент (равносильное преобразование). Преобразованное уравнение будет иметь такие же корни, как и заданное неприведенное уравнение или так же не иметь корней вовсе.
Рассмотрение конкретного примера позволит нам наглядно продемонстрировать выполнение перехода от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.
Задано уравнение 6 · x 2 + 18 · x − 7 = 0 . Необходимо преобразовать исходное уравнение в приведенную форму.
Решение
Cогласно указанной выше схеме разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 6 . Тогда получим: ( 6 · x 2 + 18 · x − 7 ) : 3 = 0 : 3 , и это то же самое, что: ( 6 · x 2 ) : 3 + ( 18 · x ) : 3 − 7 : 3 = 0 и далее: ( 6 : 6 ) · x 2 + ( 18 : 6 ) · x − 7 : 6 = 0 . Отсюда: x 2 + 3 · x — 1 1 6 = 0 . Таким образом, получено уравнение, равносильное заданному.
Ответ: x 2 + 3 · x — 1 1 6 = 0 .
Полные и неполные квадратные уравнения
Обратимся к определению квадратного уравнения. В нем мы уточнили, что a ≠ 0 . Подобное условие необходимо, чтобы уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 было именно квадратным, поскольку при a = 0 оно по сути преобразуется в линейное уравнение b · x + c = 0 .
В случае же, когда коэффициенты b и c равны нулю (что возможно, как по отдельности, так и совместно), квадратное уравнение носит название неполного.
Неполное квадратное уравнение – такое квадратное уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 , где хотя бы один из коэффициентов b и c (или оба) равен нулю.
Полное квадратное уравнение – квадратное уравнение, в котором все числовые коэффициенты не равны нулю.
Порассуждаем, почему типам квадратных уравнений даны именно такие названия.
При b = 0 квадратное уравнение примет вид a · x 2 + 0 · x + c = 0 , что то же самое, что a · x 2 + c = 0 . При c = 0 квадратное уравнение записано как a · x 2 + b · x + 0 = 0 , что равносильно a · x 2 + b · x = 0 . При b = 0 и c = 0 уравнение примет вид a · x 2 = 0 . Уравнения, которые мы получили, отличны от полного квадратного уравнения тем, что в их левых частях не содержится либо слагаемого с переменной x , либо свободного члена, либо обоих сразу. Собственно, этот факт и задал название такому типу уравнений – неполное.
Например, x 2 + 3 · x + 4 = 0 и − 7 · x 2 − 2 · x + 1 , 3 = 0 – это полные квадратные уравнения; x 2 = 0 , − 5 · x 2 = 0 ; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – неполные квадратные уравнения.
Решение неполных квадратных уравнений
Заданное выше определение дает возможность выделить следующие виды неполных квадратных уравнений:
- a · x 2 = 0 , такому уравнению соответствуют коэффициенты b = 0 и c = 0 ;
- a · x 2 + c = 0 при b = 0 ;
- a · x 2 + b · x = 0 при c = 0 .
Рассмотрим последовательно решение каждого вида неполного квадратного уравнения.
Решение уравнения a·x 2 =0
Как уже было указано выше, такому уравнению отвечают коэффициенты b и c , равные нулю. Уравнение a · x 2 = 0 возможно преобразовать в равносильное ему уравнение x 2 = 0 , которое мы получим, поделив обе части исходного уравнения на число a , не равное нулю. Очевидный факт, что корень уравнения x 2 = 0 это нуль, поскольку 0 2 = 0 . Иных корней это уравнение не имеет, что объяснимо свойствами степени: для любого числа p , не равного нулю, верно неравенство p 2 > 0 , из чего следует, что при p ≠ 0 равенство p 2 = 0 никогда не будет достигнуто.
Таким образом, для неполного квадратного уравнение a · x 2 = 0 существует единственный корень x = 0 .
Для примера решим неполное квадратное уравнение − 3 · x 2 = 0 . Ему равносильно уравнение x 2 = 0 , его единственным корнем является x = 0 , тогда и исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
Кратко решение оформляется так:
− 3 · x 2 = 0 , x 2 = 0 , x = 0 .
Решение уравнения a · x 2 + c = 0
На очереди — решение неполных квадратных уравнений, где b = 0 , c ≠ 0 , то есть уравнений вида a · x 2 + c = 0 . Преобразуем это уравнение, перенеся слагаемое из одной части уравнения в другую, сменив знак на противоположный и разделив обе части уравнения на число, не равное нулю:
- переносим c в правую часть, что дает уравнение a · x 2 = − c ;
- делим обе части уравнения на a , получаем в итоге x = — c a .
Наши преобразования являются равносильными, соответственно полученное уравнение также равносильно исходному, и этот факт дает возможность делать вывод о корнях уравнения. От того, каковы значения a и c зависит значение выражения — c a : оно может иметь знак минус (допустим, если a = 1 и c = 2 , тогда — c a = — 2 1 = — 2 ) или знак плюс (например, если a = − 2 и c = 6 , то — c a = — 6 — 2 = 3 ); оно не равно нулю, поскольку c ≠ 0 . Подробнее остановимся на ситуациях, когда — c a < 0 и — c a > 0 .
В случае, когда — c a < 0 , уравнение x 2 = — c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при — c a < 0 ни для какого числа p равенство p 2 = — c a не может быть верным.
Все иначе, когда — c a > 0 : вспомним о квадратном корне, и станет очевидно, что корнем уравнения x 2 = — c a будет число — c a , поскольку — c a 2 = — c a . Нетрудно понять, что число — — c a — также корень уравнения x 2 = — c a : действительно, — — c a 2 = — c a .
Прочих корней уравнение не будет иметь. Мы можем это продемонстрировать, используя метод от противного. Для начала зададим обозначения найденных выше корней как x 1 и − x 1 . Выскажем предположение, что уравнение x 2 = — c a имеет также корень x 2 , который отличается от корней x 1 и − x 1 . Мы знаем, что, подставив в уравнение вместо x его корни, преобразуем уравнение в справедливое числовое равенство.
Для x 1 и − x 1 запишем: x 1 2 = — c a , а для x 2 — x 2 2 = — c a . Опираясь на свойства числовых равенств, почленно вычтем одно верное равенство из другого, что даст нам: x 1 2 − x 2 2 = 0 . Используем свойства действий с числами, чтобы переписать последнее равенство как ( x 1 − x 2 ) · ( x 1 + x 2 ) = 0 . Известно, что произведение двух чисел есть нуль тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел является нулем. Из сказанного следует, что x 1 − x 2 = 0 и/или x 1 + x 2 = 0 , что то же самое, x 2 = x 1 и/или x 2 = − x 1 . Возникло очевидное противоречие, ведь вначале было условлено, что корень уравнения x 2 отличается от x 1 и − x 1 . Так, мы доказали, что уравнение не имеет иных корней, кроме x = — c a и x = — — c a .
Резюмируем все рассуждения выше.
Неполное квадратное уравнение a · x 2 + c = 0 равносильно уравнению x 2 = — c a , которое:
- не будет иметь корней при — c a < 0 ;
- будет иметь два корня x = — c a и x = — — c a при — c a > 0 .
Приведем примеры решения уравнений a · x 2 + c = 0 .
Задано квадратное уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 . Необходимо найти его решение.
Решение
Перенесем свободный член в правую часть уравнения, тогда уравнение примет вид 9 · x 2 = − 7 .
Разделим обе части полученного уравнения на 9 , придем к x 2 = — 7 9 . В правой части мы видим число со знаком минус, что означает: у заданного уравнения нет корней. Тогда и исходное неполное квадратное уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 не будет иметь корней.
Ответ: уравнение 9 · x 2 + 7 = 0 не имеет корней.
Необходимо решить уравнение − x 2 + 36 = 0 .
Решение
Перенесем 36 в правую часть: − x 2 = − 36 .
Разделим обе части на − 1 , получим x 2 = 36 . В правой части — положительное число, отсюда можно сделать вывод, что x = 36 или x = — 36 .
Извлечем корень и запишем окончательный итог: неполное квадратное уравнение − x 2 + 36 = 0 имеет два корня x = 6 или x = − 6 .
Ответ: x = 6 или x = − 6 .
Решение уравнения a·x 2 +b·x=0
Разберем третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0 . Чтобы найти решение неполного квадратного уравнения a · x 2 + b · x = 0 , воспользуемся методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который находится в левой части уравнения, вынеся за скобки общий множитель x . Этот шаг даст возможность преобразовать исходное неполное квадратное уравнение в равносильное ему x · ( a · x + b ) = 0 . А это уравнение, в свою очередь, равносильно совокупности уравнений x = 0 и a · x + b = 0 . Уравнение a · x + b = 0 линейное, и корень его: x = − b a .
Таким образом, неполное квадратное уравнение a · x 2 + b · x = 0 будет иметь два корня x = 0 и x = − b a .
Закрепим материал примером.
Необходимо найти решение уравнения 2 3 · x 2 — 2 2 7 · x = 0 .
Решение
Вынесем x за скобки и получим уравнение x · 2 3 · x — 2 2 7 = 0 . Это уравнение равносильно уравнениям x = 0 и 2 3 · x — 2 2 7 = 0 . Теперь следует решить полученное линейное уравнение: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .
Далее осуществим деление смешанного числа на обыкновенную дробь и определяем, что x = 3 3 7 . Таким образом, корни исходного уравнения это: x = 0 и x = 3 3 7 .
Кратко решение уравнения запишем так:
2 3 · x 2 — 2 2 7 · x = 0 x · 2 3 · x — 2 2 7 = 0
x = 0 или 2 3 · x — 2 2 7 = 0
x = 0 или x = 3 3 7
Ответ: x = 0 , x = 3 3 7 .
Дискриминант, формула корней квадратного уравнения
Для нахождения решения квадратных уравнений существует формула корней:
x = — b ± D 2 · a , где D = b 2 − 4 · a · c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.
Запись x = — b ± D 2 · a по сути означает, что x 1 = — b + D 2 · a , x 2 = — b — D 2 · a .
Нелишним будет понимать, как была выведена указанная формула и каким образом ее применять.
Вывод формулы корней квадратного уравнения
Пускай перед нами стоит задача решить квадратное уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 . Осуществим ряд равносильных преобразований:
- разделим обе части уравнения на число a, отличное от нуля, получим приведенное квадратное уравнение: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- выделим полный квадрат в левой части получившегося уравнения:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 — b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 — b 2 · a 2 + c a
После этого уравнения примет вид: x + b 2 · a 2 — b 2 · a 2 + c a = 0 ; - теперь возможно сделать перенос двух последних слагаемых в правую часть, сменив знак на противоположный, после чего получаем: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 — c a ;
- наконец, преобразуем выражение, записанное в правой части последнего равенства:
b 2 · a 2 — c a = b 2 4 · a 2 — c a = b 2 4 · a 2 — 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 .
Таким образом, мы пришли к уравнению x + b 2 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 , равносильному исходному уравнению a · x 2 + b · x + c = 0 .
Решение подобных уравнений мы разбирали в предыдущих пунктах (решение неполных квадратных уравнений). Уже полученный опыт дает возможность сделать вывод касательно корней уравнения x + b 2 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 :
- при b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 < 0 уравнение не имеет действительных решений;
- при b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 = 0 уравнение имеет вид x + b 2 · a 2 = 0 , тогда x + b 2 · a = 0 .
Отсюда очевиден единственный корень x = — b 2 · a ;
- при b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 > 0 верным будет: x + b 2 · a = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 или x = b 2 · a — b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 , что то же самое, что x + — b 2 · a = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 или x = — b 2 · a — b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 , т.е. уравнение имеет два корня.
Возможно сделать вывод, что наличие или отсутствие корней уравнения x + b 2 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 (а значит и исходного уравнения) зависит от знака выражения b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 , записанного в правой части. А знак этого выражения задается знаком числителя, (знаменатель 4 · a 2 всегда будет положителен), то есть, знаком выражения b 2 − 4 · a · c . Этому выражению b 2 − 4 · a · c дано название — дискриминант квадратного уравнения и определена в качестве его обозначения буква D . Здесь можно записать суть дискриминанта – по его значению и знаку делают вывод, будет ли квадратное уравнение иметь действительные корни, и, если будет, то каково количество корней — один или два.
Вернемся к уравнению x + b 2 · a 2 = b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 . Перепишем его, используя обозначение дискриминанта: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Вновь сформулируем выводы:
- при D < 0 уравнение не имеет действительных корней;
- при D = 0 уравнение имеет единственный корень x = — b 2 · a ;
- при D > 0 уравнение имеет два корня: x = — b 2 · a + D 4 · a 2 или x = — b 2 · a — D 4 · a 2 . Эти корни на основе свойства радикалов возможно записать в виде: x = — b 2 · a + D 2 · a или — b 2 · a — D 2 · a . А, когда раскроем модули и приведем дроби к общему знаменателю, получим: x = — b + D 2 · a , x = — b — D 2 · a .
Так, результатом наших рассуждений стало выведение формулы корней квадратного уравнения:
x = — b + D 2 · a , x = — b — D 2 · a , дискриминант D вычисляется по формуле D = b 2 − 4 · a · c .
Данные формулы дают возможность при дискриминанте больше нуля определить оба действительных корня. Когда дискриминант равен нулю, применение обеих формул даст один и тот же корень, как единственное решение квадратного уравнения. В случае, когда дискриминант отрицателен, попытавшись использовать формулу корня квадратного уравнения, мы столкнемся с необходимостью извлечь квадратный корень из отрицательного числа, что выведет нас за рамки действительных чисел. При отрицательном дискриминанте у квадратного уравнения не будет действительных корней, но возможна пара комплексно сопряженных корней, определяемых теми же полученными нами формулами корней.
Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
Решить квадратное уравнение возможно, сразу задействуя формулу корней, но в основном так поступают при необходимости найти комплексные корни.
В основной же массе случаев обычно подразумевается поиск не комплексных, а действительных корней квадратного уравнения. Тогда оптимально перед тем, как использовать формулы корней квадратного уравнения, сначала определить дискриминант и удостовериться, что он не является отрицательным (в ином случае сделаем вывод, что у уравнения нет действительных корней), а после приступить к вычислению значения корней.
Рассуждения выше дают возможность сформулировать алгоритм решения квадратного уравнения.
Чтобы решить квадратное уравнение a · x 2 + b · x + c = 0 , необходимо:
- по формуле D = b 2 − 4 · a · c найти значение дискриминанта;
- при D < 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- при D = 0 найти единственный корень уравнения по формуле x = — b 2 · a ;
- при D > 0 определить два действительных корня квадратного уравнения по формуле x = — b ± D 2 · a .
Отметим, что, когда дискриминант есть нуль, можно использовать формулу x = — b ± D 2 · a , она даст тот же результат, что и формула x = — b 2 · a .
Примеры решения квадратных уравнений
Приведем решение примеров при различных значениях дискриминанта.
Необходимо найти корни уравнения x 2 + 2 · x − 6 = 0 .
Решение
Запишем числовые коэффициенты квадратного уравнения: a = 1 , b = 2 и c = − 6 . Далее действуем по алгоритму, т.е. приступим к вычислению дискриминанта, для чего подставим коэффициенты a , b и c в формулу дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · ( − 6 ) = 4 + 24 = 28 .
Итак, мы получили D > 0 , а это означает, что исходное уравнение будет иметь два действительных корня.
Для их нахождения используем формулу корня x = — b ± D 2 · a и, подставив соответствующие значения, получим: x = — 2 ± 28 2 · 1 . Упростим полученное выражение, вынеся множитель за знак корня с последующим сокращением дроби:
x = — 2 + 2 · 7 2 или x = — 2 — 2 · 7 2
x = — 1 + 7 или x = — 1 — 7
Ответ: x = — 1 + 7 , x = — 1 — 7 .
Необходимо решить квадратное уравнение − 4 · x 2 + 28 · x − 49 = 0 .
Решение
Определим дискриминант: D = 28 2 − 4 · ( − 4 ) · ( − 49 ) = 784 − 784 = 0 . При таком значении дискриминанта исходное уравнение будет иметь лишь один корень, определяемый по формуле x = — b 2 · a .
x = — 28 2 · ( — 4 ) x = 3 , 5
Ответ: x = 3 , 5 .
Необходимо решить уравнение 5 · y 2 + 6 · y + 2 = 0
Решение
Числовые коэффициенты этого уравнения будут: a = 5 , b = 6 и c = 2 . Используем эти значения для нахождения дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Вычисленный дискриминант отрицателен, таким образом, исходное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
В случае, когда стоит задача указать комплексные корни, применим формулу корней, выполняя действия с комплексными числами:
x = — 6 + 2 · i 10 или x = — 6 — 2 · i 10 ,
x = — 3 5 + 1 5 · i или x = — 3 5 — 1 5 · i .
Ответ: действительные корни отсутствуют; комплексные корни следующие: — 3 5 + 1 5 · i , — 3 5 — 1 5 · i .
В школьной программе стандартно нет требования искать комплексные корни, поэтому, если в ходе решения дискриминант определен как отрицательный, сразу записывается ответ, что действительных корней нет.
Формула корней для четных вторых коэффициентов
Формула корней x = — b ± D 2 · a ( D = b 2 − 4 · a · c ) дает возможность получить еще одну формулу, более компактную, позволяющую находить решения квадратных уравнений с четным коэффициентом при x (либо с коэффициентом вида 2 · n , к примеру, 2 · 3 или 14 · ln 5 = 2 · 7 · ln 5 ). Покажем, как выводится эта формула.
Пусть перед нами стоит задача найти решение квадратного уравнения a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Действуем по алгоритму: определяем дискриминант D = ( 2 · n ) 2 − 4 · a · c = 4 · n 2 − 4 · a · c = 4 · ( n 2 − a · c ) , а затем используем формулу корней:
x = — 2 · n ± D 2 · a , x = — 2 · n ± 4 · n 2 — a · c 2 · a , x = — 2 · n ± 2 n 2 — a · c 2 · a , x = — n ± n 2 — a · c a .
Пусть выражение n 2 − a · c будет обозначено как D 1 (иногда его обозначают D ‘ ). Тогда формула корней рассматриваемого квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 · n примет вид:
x = — n ± D 1 a , где D 1 = n 2 − a · c .
Легко увидеть, что что D = 4 · D 1 , или D 1 = D 4 . Иначе говоря, D 1 – это четверть дискриминанта. Очевидно, что знак D 1 такой же, как знак D , а значит знак D 1 также может служить индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.
Таким образом, чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2 · n , необходимо:
- найти D 1 = n 2 − a · c ;
- при D 1 < 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- при D 1 = 0 определить единственный корень уравнения по формуле x = — n a ;
- при D 1 > 0 определить два действительных корня по формуле x = — n ± D 1 a .
Необходимо решить квадратное уравнение 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 .
Решение
Второй коэффициент заданного уравнения можем представить как 2 · ( − 3 ) . Тогда перепишем заданное квадратное уравнение как 5 · x 2 + 2 · ( − 3 ) · x − 32 = 0 , где a = 5 , n = − 3 и c = − 32 .
Вычислим четвертую часть дискриминанта: D 1 = n 2 − a · c = ( − 3 ) 2 − 5 · ( − 32 ) = 9 + 160 = 169 . Полученное значение положительно, это означает, что уравнение имеет два действительных корня. Определим их по соответствующей формуле корней:
x = — n ± D 1 a , x = — — 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,
x = 3 + 13 5 или x = 3 — 13 5
x = 3 1 5 или x = — 2
Возможно было бы произвести вычисления и по обычной формуле корней квадратного уравнения, но в таком случае решение было бы более громоздким.
Ответ: x = 3 1 5 или x = — 2 .
Упрощение вида квадратных уравнений
Иногда существует возможность оптимизировать вид исходного уравнения, что позволит упростить процесс вычисления корней.
К примеру, квадратное уравнение 12 · x 2 − 4 · x − 7 = 0 явно удобнее для решения, чем 1200 · x 2 − 400 · x − 700 = 0 .
Чаще упрощение вида квадратного уравнения производится действиями умножения или деления его обеих частей на некое число. К примеру, выше мы показали упрощенную запись уравнения 1200 · x 2 − 400 · x − 700 = 0 , полученную делением обеих его частей на 100 .
Такое преобразование возможно, когда коэффициенты квадратного уравнения не являются взаимно простыми числами. Тогда обычно осуществляют деление обеих частей уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.
Как пример используем квадратное уравнение 12 · x 2 − 42 · x + 48 = 0 . Определим НОД абсолютных величин его коэффициентов: НОД ( 12 , 42 , 48 ) = НОД(НОД ( 12 , 42 ) , 48 ) = НОД ( 6 , 48 ) = 6 . Произведем деление обеих частей исходного квадратного уравнения на 6 и получим равносильное ему квадратное уравнение 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .
Умножением обеих частей квадратного уравнения обычно избавляются от дробных коэффициентов. При этом умножают на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. К примеру, если каждую часть квадратного уравнения 1 6 · x 2 + 2 3 · x — 3 = 0 перемножить с НОК ( 6 , 3 , 1 ) = 6 , то оно станет записано в более простом виде x 2 + 4 · x − 18 = 0 .
Напоследок отметим, что почти всегда избавляются от минуса при первом коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки каждого члена уравнения, что достигается путем умножения (или деления) обеих частей на − 1 . К примеру, от квадратного уравнения − 2 · x 2 − 3 · x + 7 = 0 можно перейти к упрощенной его версии 2 · x 2 + 3 · x − 7 = 0 .
Связь между корнями и коэффициентами
Уже известная нам формула корней квадратных уравнений x = — b ± D 2 · a выражает корни уравнения через его числовые коэффициенты. Опираясь на данную формулу, мы имеем возможность задать другие зависимости между корнями и коэффициентами.
Самыми известными и применимыми являются формулы теоремы Виета:
x 1 + x 2 = — b a и x 2 = c a .
В частности, для приведенного квадратного уравнения сумма корней есть второй коэффициент с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. К примеру, по виду квадратного уравнения 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0 возможно сразу определить, что сумма его корней равна 7 3 , а произведение корней — 22 3 .
Также можно найти ряд прочих связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Например, сумма квадратов корней квадратного уравнения может быть выражена через коэффициенты:
x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 — 2 · x 1 · x 2 = — b a 2 — 2 · c a = b 2 a 2 — 2 · c a = b 2 — 2 · a · c a 2 .
Когда квадратное уравнение имеет бесконечное количество корней
Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a,b,c – любые числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением. Числа a,b,c принято называть коэффициентами, при этом a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.
Квадратное уравнение может иметь не более двух корней. Решить такое уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Дискриминант
Количество корней квадратного уравнения зависит от такого элемента, как дискриминант (обозначают его буквой D).
Нахождение корней квадратного уравнения
Дискриминант – это такой математический инструмент, который позволяет нам определять количество корней. Он выражается определенной формулой:
D=b 2 –4ac
-
Если D>0, то уравнение имеет два различных
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Пример №1. Решить уравнение х 2 –2х–3=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–2, c=–3. Находим дискриминант: D=b 2 –4ac=(–2) 2 –41(–3)=4+12=16. Видим, что дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных корня, находим их:
Пример №2. Решить уравнение 5х 2 +2х+1=0. Определяем коэффициенты: а=5, b=2, c=1. D=b 2 –4ac=2 2 –4=4–20=–16, D 2 –6х+9=0. Определяем коэффициенты: а=1, b=–6, c=9.
D=b 2 –4ac=(–6) 2 –4=36–36=0, D=0, 1
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Теорема Виета
Среди квадратных уравнений встречаются такие, у которых первый коэффициент равен 1 (обратим внимание на пример 1 и 3), такие уравнения называются приведенными.
Приведенные квадратные уравнения можно решать не только с помощью дискриминанта, но и с помощью теоремы Виета.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; произведение корней равно третьему коэффициенту.
Корни с помощью данной теоремы находятся устно способом подбора. Рассмотрим это на примерах.
Пример №4. Решить уравнение х 2 –10х+21=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=–10, c=21. Применим теорему Виета:
Начинаем с произведения корней, которое является положительным числом, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Предполагаем, что это могут быть либо 3 и 7, либо противоположные им числа. Теперь смотрим на сумму, она является положительным числом, поэтому нам подходит пара чисел 3 и 7. Проверяем: 3+7=10, 37=21. Значит, корнями данного уравнения являются числа 3 и 7.
Пример №5. Решить уравнение: х 2 +5х+4=0. Выпишем коэффициенты: а=1, b=5, c=4. По теореме Виета:
Видим, что произведение корней равно 4, значит оба корня либо отрицательные, либо положительные. Видим, что сумма отрицательная, значит, будем брать два отрицательных числа, нам подходят –1 и –4. Проверим:
Данное уравнение является квадратным. Но в его условии присутствует квадратный
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Записываем обязательно в начале решения, что подкоренное выражение может быть только равным нулю или положительным числом (правило извлечения квадратного
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Решаем полученное неравенство: − х ≥ − 5 , отсюда х ≤ 5 . Следовательно, для ответа мы будем выбирать значения, которые меньше или равны 5.
Решаем наше квадратное уравнение, перенося все слагаемые из правой части в левую, изменяя при этом знаки на противоположные и приводя подобные слагаемые (выражения с квадратным корнем взаимоуничтожаются):
х 2 − 2 х + √ 5 − х − √ 5 − х − 24 = 0
Получим приведенное квадратное уравнение, корни которого можно найти подбором по теореме Виета:
х 2 − 2 х − 24 = 0
Итак, корнями уравнения х 2 − 2 х − 24 = 0 будут числа -4 и 6.
Теперь выбираем корень, обращая внимание на наше ограничение на х, т.е. корень должен быть меньше или равен 5. Таким образом, запишем, что 6 – это посторонний корень, так как 6 н е ≤ 5 , а число минус 4 записываем в ответ нашего уравнения, так как − 4 ≤ 5 .
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Уравнения с бесконечным количеством корней
В каком случае уравнение ax = b имеет единственный корень; имеет бесконечно много корней; не имеет корней? Приведите примеры.
Решение
Линейное уравнение ax = b при a ≠ 0 имеет один корень, при a = 0 и b ≠ 0, не имеет корней, при a = 0 и b = 0 имеет бесконечно много корней (любое число является его корнем).
Примеры:
15 x = 30 − один корень;
0 x = 4 − не имеет корней;
0 x = 0 − имеет бесконечно много корней.
Нашли ошибку?
Если Вы нашли ошибку, неточность или просто не согласны с ответом, пожалуйста сообщите нам об этом
1. Линейное уравнение. Приведите Примеры линейных уравнений, имеющих один корень, бесконечно много корней и не имеющих корней.
- Попроси больше объяснений
- Следить
- Отметить нарушение
Что ты хочешь узнать?
Ответ
Проверено экспертом
один корень имеют например
5х=6, или 10х=20, или 5х-4=1 или 9х-7=2 и т.д.
бесконечно много корней имеют например 0х=0; 2(5х+6)=10х+12, или 5х-3х-2х=7-4-3
не имеющие корни например 0х=4 или 2х+5=2х+6 и т.д.
После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.
Понятие уравнения
Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:
Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.
Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6 : x = 3 .
После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · ( x − 1 ) = 19 , x + 6 · ( x + 6 · ( x − 8 ) ) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · ( 8 + 1 ) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · ( x + 17 ) .
Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.
В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .
В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:
Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.
К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + ( y − 6 ) 2 + ( z + 0 , 6 ) 2 = 26 .
Корень уравнения
Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.
Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .
Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.
Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.
Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.
Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .
Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.
Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .
Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.
Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня – три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.
Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня – 2 , 1 и 5 , то пишем – 2 , 1 , 5 или .
Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых – Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .
Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.
Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.
Поясним определение на примерах.
Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.
Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как ( 3 , 4 ) .
На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.
Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами
Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.
Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.
1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.
Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.
Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.
Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.
Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.
Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:
Решим первое неравенство системы
Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .
Возведем второе уравнение системы в квадрат:
Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .
Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр
График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:
3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения
Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно
1) . Получим линейное уравнение
У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.
2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .
Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:
— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.
Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.
— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.
Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.
Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим
Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.
С учетом пункта 1 получим ответ
4. При каких значениях параметра a уравнение
имеет единственное решение?
Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .
Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.
1) В случае уравнение будет линейным
Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.
2) Если , уравнение будет квадратным.
Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.
Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.
Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.
Объединив все случаи, получим ответ.
И наконец – реальная задача ЕГЭ.
5. При каких значениях a система имеет единственное решение?
Решением квадратного неравенства может быть:
В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:
1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)
2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства
Рассмотрим первый случай.
Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или
Если , при этом система примет вид:
Второй корень первого уравнения:
Второй корень второго первого:
Если , при этом система примет вид:
– бесконечно много решений, не подходит.
Рассмотрим второй случай.
– решением является точка, если – является решением второго неравенства.
– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.
Решение квадратных уравнений
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
— это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
- Не имеют корней;
- Имеют ровно один корень;
- Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда — это просто число D = b 2 − 4 ac .
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
- Если D < 0, корней нет;
- Если D = 0, есть ровно один корень;
- Если D > 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
- x 2 − 8 x + 12 = 0;
- 5 x 2 + 3 x + 7 = 0;
- x 2 − 6 x + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2 x − 3 = 0;
- 15 − 2 x − x 2 = 0;
- x 2 + 12 x + 36 = 0.
Первое уравнение:
x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2 x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
- x 2 + 9 x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется , если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Решение неполного квадратного уравнения
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (− c / a ) ≥ 0. Вывод:
- Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (− c / a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
- Если же (− c / a ) < 0, корней нет.
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (− c / a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобку
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
- x 2 − 7 x = 0;
- 5 x 2 + 30 = 0;
- 4 x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7 x = 0 ⇒ x · ( x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
, часть 1