Когда транспонированная матрица равна обратной

1

61. Ортогональные матрицы и их свойства

Рассмотрим теперь, какими свойствами обладает матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому в евклидовом пространстве. Вспомним перехода от одного базиса к другому: если , то . Матрицу АТ мы называли матрицей перехода от одного базиса к другому. Столбцы этой матрицы представляют собой координаты векторов в базисе .

Введем сначала определение: матрица Т с вещественными коэффициентами называется ортогональной, если Т’ = T-1 – транспонированная матрица равна обратной. Т. е. Т Т’ = T’ T = E. Отсюда следует det (T T’) = det T × det T’ = det E = 1 или det T = ±1.

Обратная матрица T-1 также ортогональна:

, или .

Запишем еще свойства ортогональной матрицы, вытекающие из того, что

, или:

Или: сумма квадратов элементов какой – либо строки (или столбца) равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов разных строк (столбцов) равна 0.

Предположим, имеем два ортонормированных базиса в евклидовом пространстве: и . Если , то координаты некоторого вектора Х в старом базисе х и новом х’ связаны соотношением: , где АT – матрица перехода.

Теорема: матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Доказательство: положим имеем два вектора

Запишем матрицы – столбцы координат этих векторов:

Скалярное произведение этих двух векторов:

, или, в матричной записи:

(*)

Если матрица перехода от одного базиса />к другому />есть S, то:

X = S X1 ; Y = S Y1

Отсюда ST×S = E или ST = S-1. Т. е. матрица S – ортогональная.

К примеру, матрица, осуществляющая поворот осей координат в одной из предыдущих лекций – это матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Она является ортогональной.

detT = 1, T-1 = T` =

Транспонированная матрица

Если в матрице строки и столбцы поменять местами, то получим транспонированную матрицу.

дважды транспонированная матрица равна исходной

(АВ) ‌ =В ‌ А ‌ , т.е. (АВ) ‌ ≠ А ‌ В ‌ ;

Если А ‌ =А, то матрица А ‌ — симметричная

Обратная матрица

Обратной матрицей по отношению к данной квадратной, называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу. Обозначим для матрица А обратную ей матрицу через А -1 .

Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы.

Квадратная матрица называется неособенной, если ее определитель не равен нулю, в противном случае матрица называется особенной или сингулярной. Обратная матрица имеет только у неособенной матрицы.

Пусть имеем матричное равенство

Умножим правую и левую часть равенства на обратную матрицу А -1

Поскольку известно, что А -1 А=Е, то

И поскольку известно, что ЕС=С, то

То есть, мы равенство АС=В преобразовали в равенство С= А -1 В, выразив матрицу С.

Если бы у нас были простые алгебраические числа а, bи с, то аналогичные преобразования были бы следующие:.

Сравнив преобразования для алгебраических чисел и матриц видим, что обращение матрицы соответствует действию деления. Поэтому понятна необходимость в обратной матрице, в ее вычислениях.

Алгоритм получения обратной матрицы

Вычисление det A;

Транспонирование матрицы ;

Определение алгебраических дополнений А_ji,j=1,N;i=1,N;

Составление союзной матрицы ;

Вычисление обратной матрицы

;

Проверка А -1 А=Е.

Существуют другие, более удобные способы вычисления обратной матрицы, например, методом Жордана – Гаусса, с которым познакомимся позднее.

Классический метод получения обратной матрицы

Пусть данная матрица:

.

Транспортируем ее .

Найдем для каждого элемента а_jiтранспортированной матрицыА Т алгебраические дополненияА_ji.

Теперь составим для матрицы А так называемую присоединенную (или союзную) матрицу

.

Обратная матрица будет равна

.

Например: найти обратную матрицу для матрицы третьего порядка.

.

Основные свойства обратной матрицы

Учитывая, что det(AB)=detA∙ detB,можем записатьdetA -1 detA=detE=1.

.

Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы.

Тема 2.1. Теория графов в электроэнергетике

Некоторые сведения об электрических системах

Следует иметь в виду, что предлагаемая дисциплина читается до изучения основных курсов по специальности 140204 (100100). Поэтому для того, чтобы приблизить излагаемый материал не только по содержанию, но и по форме к будущим специальным курсам, вспомним некоторые понятия, уже знакомые по курсу “Введение в специальность”.

Рис.1. Принципиальная схема энергосистемы

Энергетическая системаначинается с топлива и воды и кончается потребителем (рис.1).

Электрическая системаначинается с генератора и кончается потребителем, т.е. электрическая система – это электрическая часть энергетической системы, состоящая из совокупности элементов, вырабатывающих, преобразующих, передающих, распределяющих и потребляющих электроэнергию.

Электрическая сетьначинается с повышающего трансформатора и кончается потребителем.

Работа электрической системы прежде всего характеризуется значениями мощностей в МВт (и энергии в МВт.час), вырабатываемых, преобразуемых, передаваемых и потребляемых всеми ее элементами.

Режим системы– это ее состояние в любой момент времени, которое характеризуется совокупностью параметров.

Параметры режима– это напряжение в различных точках системы, токи в ее элементах, углы расхождения векторов ЭДС и напряжений, активные и реактивные мощности генераторов, потоки активной и реактивной мощности в линиях и трансформаторах, потери мощности, энергии и напряжения в элементах системы и т.д.

При анализе различают два основных вида режимов электросистем:

установившийся режим (нормальный или послеаварийный) ;

переходный режим (нормальный или аварийный ).

Установившиеся режимы в электрической системе описываются законами Ома и Кирхгофа или вытекающими из них уравнениями узловых напряжений и контурных токов. Математический анализ установившихся режимов работы электрических систем сводится к составлению и решению систем линейных и нелинейных уравнений. Переходные процессы электрических систем описываются системами дифференциальных уравнений. Наиболее широко применяемые при анализе режимов электрических систем методы решения линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений будут изложены во втором разделе данного курса.

Электрической схемой системыназывается графическое изображение последовательности соединения ее элементов между собой. Элементы электрической системы обладают активными и реактивными (индуктивными или емкостными) сопротивлениями, активной и реактивной (индуктивной или емкостной) проводимостями. Если заменить в электрической схеме элементы системы их сопротивлениями и проводимостями, то получим схему замещения электрической системы. Расчеты и анализ режимов электрической системы производятся на основе ее схемы замещения. Каждый элемент системы имеет свою схему замещения. ЛЭП 110 — 220 кВ обычно представляются П -образной схемой замещения, а двухобмоточный трансформатор – Г-образной. на рис.1 и 2 приведены соответственно электрическая схема сети и ее схема замещения.

Рис.2. Электрическая схема сети

Рис.3. Схема замещения

Перед тем, как начать рассчитывать режим работы электрической системы (т.е. определять параметры режима) составляют схему замещения электрической системы (или сети) и вычисляют все параметры схемы замещения – сопротивления и проводимости. Электрическая схема сети и ее схема замещения, представленные на рис.1 и 2, очень малы, и рассчитать режимы для такой схемы можно “вручную”. Однако реальные электрические системы достигают больших размеров, их схемы замещения очень сложны и без использования современных ЭВМ выполнить анализ режимов электрических систем невозможно. Использование же ЭВМ для указанной цели основано на применении матричной алгебры и теории графов.

Обратная матрица — определение и нахождение с примерами решения

Определение 4.1.1. Матрица, которая в результате умножения на матрицу А, равна единичной матрице Е, называется обратной А и обозначается

.

Отметим, что если А и В квадратные матрицы одного порядка, то определитель произведения матриц равен произведению

определителей множителей

Теорема 4.1.1. (теорема существования). Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т. е. чтобы .

Доказательство. Необходимость. Пусть обратная матрица существует. Докажем, что .

Так как обратная матрица существует, то и .Поскольку правая часть не равна нулю, то ни один из множителей левой части не может быть равен нулю. Следовательно , что означает, что матрица A невырожденная.

Достаточность. Пусть , докажем, что обратная матрица существует.

Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента в определителе D(A). Из полученных алгебраических дополнений построим матрицу:

Матрица С называется союзной, или присоединенной, по отношению к матрице А, причем в i-й строке союзной матрицы С стоят алгебраические дополнения элементов i-го столбца матрицы А. Составим произведение матриц С и А, тогда элемент произведения, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен

. На основании теоремы разложения сумма произведений элементов определителя на их алгебраические дополнения равна величине определителя. А сумма парных произведений какого-нибудь ряда определителя на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю (см. теорему аннулирования). Значит, все недиагональные элементы матрицы АС равны нулю, а диагональные равны D(A), следовательно:

(4.1.1)

Так как , то равенство (4.1.1) можно умножить на скаляр . Получим:

Тогда матрица будет обратной для матрицы А. Теорема доказана.

Сформулируем алгоритм нахождения обратной матрицы:.

1. Вычислите определитель исходной квадратной матрицы
2. Если определитель равен нулю, то исходная матрица не имеет обратной; если определитель не равен нулю, то переходите ко второму шагу.
3. Вычислите алгебраические дополнения элементов определителя исходной матрицы.
4. Составьте присоединенную матрицу С, записав алгебраические дополнения элементов строк в столбцы.
5. Умножьте элементы присоединенной матрицы на обратную величину определителя исходной матрицы, тем самым постройте обратную матрицу .
6. Выполните проверку, т. е. рассмотрите произведение или . Должны получить единичную матрицу.

Этот алгоритм можно представить в виде следующей схемы:

Теорема 4.1.2. (теорема единственности). Для каждой неособенной матрицы А существует единственная обратная матрица.

Доказательство. Допустим, что наряду с обратной матрицей существует другая обратная матрица . Тогда по определению . Умножая обе части этого равенства слева на , получим .

Поскольку , то, а это значит, что . Теорема доказана.

Вычислив определители левой и правой частей равенства , получим , следовательно то есть определители матриц взаимно обратные.

Замечание. Формула позволяет найти явные выражения для элементов обратной матрицы через элементы матрицы А (см. алгоритм 1). Однако построение союзной матрицы очень трудоемкая операция при больших размерностях матриц. Поэтому доказанная формула, в большей мере, важна в теоретическом отношении.

Свойства обратной матрицы. Подобная матрица

Укажем некоторые свойства обратной матрицы:

1. Обратная матрица является невырожденной, т.е. .
2. Обратной матрице будет матрица .
3. Обратная к транспонированной матрице равна транспонированной обратной матрице: .
4. Если матрица А симметрическая, то такой же будет обратная матрица: .
5. Матрица, обратная к произведению матриц, равна произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке при условии, что обратные матрицы существуют: .
6. Если А такова, что обратная к ней матрица равна транспонированной матрице А, то говорят, что А — ортогональная матрица и .
7. Обратная для блочной квазидиагональной матрицы равна квазидиагональной матрице, состоящей из обратных матриц диагональных клеток:

Понятие обратной матрицы позволяет ввести следующее определение:

Определение 4.2.1. Квадратная матрица А называется подобной матрице В, если существует невырожденная матрица Т, для

которой выполняется равенство .

Говорят, что матрица А трансформируется в матрицу В при помощи матрицы Т.

Отношение подобия обладает тремя основными свойствами:

• а) рефлексивности: А подобна А;
• б) симметричности: если А подобна В, то и В подобна А;
• в) транзитивности: если А подобна В и В подобна С, то и А подобна С.

Приложения обратной матрицы в экономических исследованиях

Применение обратных матриц в экономических исследованиях столь многочисленно и разнообразно, что мы приведём отдельные примеры использования обратной матрицы в экономических исследованиях.

Пример:

Предположим, что затраты времени оборудования при выпуске изделий пропорциональны количеству готовых изделий и пусть известна квадратная матрица Т норм затрат времени оборудования на различные изделия на различных типах оборудования. Если задана матрица-столбец А затрат времени на различных типах оборудования, необходимое для выполнения производственной профаммы, то определение возможного выпуска готовых изделий X осуществляется с использованием обратной матрицы :

• 

Валовой выпуск продукции X также можно определить, зная матрицу Z норм затрат рабочего времени рабочих различных категорий и фонд рабочего времени F по категориям рабочих, вычислив произведение обратной матрицы на F, т.е. .

Пример:

Рассмотрим четырёхсскторнос описание экономики, в котором выделены две отрасли: сельское хозяйство и промышленность, один первичный фактор производства — труд и государственный сектор, который потребляет продукцию обеих отраслей и использует труд. Государственный сектор ничего не производит для экономики и его потребление представляет собой конечный спрос на товары, производимые в этих секторах. В процессе производства каждая отрасль потребляет некоторое количество продукции другой, отрасли, а также труд; рабочая сила нуждается в продукции обеих отраслей и, наряду с этим, в затратах труда для своего воспроизводства. Трудовые ресурсы могут быть свободно импортированы и экспортированы, таким образом, никогда не может быть безработицы или излишнего спроса на труд. Основной капитал и запасы продукции поддерживаются на одном и том же уровне в течение всего периода. Наблюдая за потоками продукции между четырьмя секторами экономики составим таблицу «затраты-выпуск», табл.4.3.1.

Сумма показателей в строках даёт общий выпуск каждой отрасли и суммарное число занятых. Суммы показателей по столбцам показывают затраты данного сектора, необходимые для производства всего объёма продукции. Следовательно, каждый столбец описывает производственную функцию данного сектора. Так, например, первый столбец характеризует основной производственный процесс, который в текущем периоде применяется в сельском хозяйстве. Для производства 520 т продукции сельского хозяйства требуется 120 т сельскохозяйственной продукции, 200 машин и 160 работников. Определим валовой выпуск продукции для конечного спроса, определяемого матрицей-столбцом: .

Решение:

Пусть — валовой выпуск продукции i,i=1,2,3; а -конечный спрос на продукцию /. Валовой выпуск каждого вида продукции должен быть равен сумме продукции, использованной при производстве всех видов продукции, плюс конечный спрос на эту же продукцию:

где— количество продукции i, используемое при производстве единицы продукции j. В матричном обозначении получим:

где X, Y- матрицы столбцы, а А- матрица коэффициентов прямых затрат. Все её элементы неотрицательны.

Воспользовавшись алгебраическими операциями над матрицами, перепишем уравнение (4.3.1) в виде: EX — АХ = Y, (E-A)X = Y. Умножив последнее матричное уравнение слева на обратную матрицу получаем матричное уравнение для определения матрицы-столбца валового выпуска продукции:

. (4.3.2)

Следовательно, для определения валового выпуска продукции X в новом периоде нам нужно последовательно определить элементы матрицы А, Е-А и обратной матрицы . Элементы матрицы А определим воспользовавшись предположением о пропорциональной зависимости между затратами и объёмами производства, т.е. линейными однородными функциями производственных затрат: . Тогда элементы матрицы А определим из разноств: Выполнив вычисления (разделив элементы первого столбца таблицы 4.3.1 на 520, второго — на 640, третьего — на 490), получаем матрицу А:

Далее вычисляем элементы матрицы Е-А:

вычисляем определитель

и алгебраические дополнения элементов матрицы (Е-А):

Составляем из алгебраических дополнений присоединённую матрицу С:

и вычисляем элементы обратной матрицы :

Тогда в силу (4.3) находим валовой выпуск продукции:

Таким образом, для удовлетворения новых показателей спроса необходимо будет произвести приблизительно 1042 т продукции сельского хозяйства, 1280 машин и нанять 1119 работников.

Особенности матриц в ценностном и натуральном выражении

Матрица коэффициентов прямых материальных затрат А, рассмотренная нами в примере предыдущего пункта, относится к классу неотрицательных матриц, так как матрица-столбец должна быть неотрицательна.

Определение 4.4.1. Если решение системы (4.3.1) сществует для любой неотрицательной матрицы Y конечного спроса, то матрица А называется продуктивной.

Поэтому элементы матрицы А не могут принимать произвольные положительные значения. Все диагональные элементы матрицы А должны быть меньше единицы. В противном случае производство лишается всякого смысла (если , то ). Произведение коэффициентов, симметричных относительно главной диагонали, должно быть также меньше единицы: . Указанные ограничения на значения элементов матрицы А не зависят от единиц измерения. Однако в общем случае выбор единиц измерения существенно влияет на анализ свойств матриц межотраслевого баланса. Для матриц межотраслевого баланса в ценностном выражении обычно выполняются условия • Если же для некоторой k-и отрасли , то экономически это означает, что данная отрасль настолько убыточна, что её убытки перекрывают расходы на амортизацию и оплату труда.

Так как норму матрицы А можно определить по формуле

, то при условии что норма матрицы А меньше единицы, т.е. .

Если норма матрицы А меньше единицы, то

• 1) ;
• 2) ;
• 3) ;
• 4) все собственные матрицы А по модулю меньше единицы, а наибольшее собственное значение положительно (теорема Фрабеииуса-Перропа);
• 5) все главные матрицы (Е — А) положительны и меньше единицы.

Отметим, что в матрицах межотраслевого баланса в натуральном выражении условия , практически никогда не выполняются. Более того, многие элементы этих матриц больше единицы. Однако можно подобрать такие новые измерители (матрицу T), что для подобной матрицы будет выполняться и следствия из него.

Подобные матрицы имеют равные по величине собственные значения и главные миноры;

• Е-А и также подобны, так как .

Для продуктивности матрицы А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из приведенных ниже условий:

1. Все главные миноры матрицы (Е — А) положительны и меньше единицы.
2. Все собственные значения матрицы А по модулю меньше единицы.
3. Матрица полуположительна.

Условие является достаточным для продуктивностн матрицы А.

Матрица называется матрицей коэффициентов полных затрат, а её элементы- коэффициентами полных затрат. Они показывают, какой должен быть валовой выпуск i-Й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Коэффициенты полных затрат не меньше коэффициентов прямых затрат: так как они характеризуют совокупность прямых и косвенных затрат.

Вернёмся к примеру 1.12 и проанализируем матрицы коэффициентов прямых затрат А и полных затрат :

Элементы матрицы А удовлетворяют условиям:

4) норма матрицы

Значит матрица А является продуктивной и для неё существует обратная матрица , называемая матрицей полных затрат.

Из вида матрицы В следует, что все коэффициенты полных затрат . Например, элементы первого столбца матрицы В показывают, что для того чтобы произвести единицу конечной продукции сельского хозяйства нужно произвести 2,222 единиц сельского хозяйства, 1,766 единиц промышленности и занять 1,845 работников.

Определение обратной матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу

Обозначим

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение — единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через так что

Обратная матрица вычисляется по формуле где — алгебраические дополнения элементов

Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример:

Для матрицы найти обратную.

Решение:

Находим сначала детерминант матрицы А:

значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: — алгебраические дополнения элементов исходной матрицы. откуда

Пример:

Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы:

Решение:

Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка:

С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. Для этого поменяем местами первый и второй столбцы:

К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму — первый, умноженный на -2:

Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего — умноженный на 6 второй;

Прибавим третий столбец к первому и второму:

Умножим последний столбец на -1:

Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,

Что такое обратная матрица и как её решать

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, элементы которой равны единице, называется единичной матрицей. Обозначение: Е.

Пусть А — квадратная матрица порядка n. Матрица называется обратной к А, если выполнены равенства

где Е — единичная матрица порядка n.

Внимание! Обратная матрица существует только для невырожденной квадратной матрицы.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной. В противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема:

Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица

где — алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Пример:

Найти матрицу X из матричного уравнения АХ=В, где

Решение:

Умножим уравнение АХ=В на слева:

Найдем Обратная матрица к А существует, т.к. матрица А невырожденная:

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Произведение матриц существует, т.к. количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В и равно 3. Найдем его:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Транспонирование матрицы

Нам уже знакомо понятие матрицы. Этот математический объект имеет прикладное значение: он позволяет структурировать числа и информацию, проводить сложные расчёты. С ним можно проделывать различные операции, и одной из них является транспортирование.

Что такое транспонированная матрица, в чем отличие от обычной

Транспонирование – это алгоритм, при котором m-строки меняются местами с n-столбцами.

Транспонированная матрица, в отличие от обычной, помогает получить одинаковый результат при умножении на вектор-столбец и вектор-строку, что значительно упрощает дальнейшие математические вычисления.

Особенности, определитель и свойства целочисленных

Свойства транспортирования целочисленных матриц:

• (A T ) T = A;
• (k · A) T = k · AT;
• (A + B) T = A T + В T ;
• (A · B) T = В T · A T

Если матрица А – квадратная (m=n), то определитель исходной и транспортированной матрицы равны: det A T = det A.

Напомним, что определитель – это некоторое число, с которым можно сравнить любую квадратную матрицу.

Формула, как обозначается транспонированная матрица

Если исходная матрица обозначается как А, то у транспортированной будет обозначение A T .

Тогда формула для транспортировки выглядит следующим образом:

A T ij = A ji

Формально, если А = m × n, то A T = n × m, но математически это записывается через индексы i и j.

Примеры задач на транспонирование матриц

Само транспортирование – довольно лёгкий процесс. Рассмотрим один пример.

Задача: даны А = (m × n) и В = (m × n).

Необходимо выполнить транспортирование.

Произведение и сумма транспонированных матриц

Теорема: транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.