Сколько различных слов можно получить переставляя буквы в слове колонка

Перестановки с повторением

Перестановкой с повторением состава n=k₁+ k₂ + … + k_m из m элементов a₁ , a₂ , … , a_m некоторого множества M называется любая конечная последовательность, состоящая из n элементов, в которую a₁ входит k₁ раз, a₂ входит k₂ раз, … , a_m входит k_m раз.

Задача 1. Количество различных 6-значных чисел, которые можно составить из трёх двоек, двух семёрок и одной пятёрки, равно: P₆=6!/3!*2!*1!=720/6*2*1=60(чисел)

Задача 2. Сколько различных слов можно составить из букв слова математика?

Решение. М-2 буквы, а — 3 буквы, Т-2буквы, всего 10 букв. P₁₀=10!/2!*3!*2! (слов)

Задача 3. Найти количество разных четырёхзначных чисел, которые могут получиться при перестановке 1,1,4,4. Ответ: P₄ = 4!/2!*2! = 6.

Упр.1068 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ

При перестановке букв в слове «толпа» получается P5 = 5! = 120 «слов». Если же переставлять буквы в слове «топот», то получится меньше различных «слов», потому что ни перестановка двух букв «т», ни перестановка двух букв «о» не изменяют «слова»; всего перестановок в данном случае будет . Мы имеем здесь дело с перестановками с повторениями.

Общую задачу сформулируем следующим образом.

Имеется n элементов k различных типов: n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа, …, nk элементов k-го типа, . Сколько можно составить различных перестановок из этих элементов?

Число перестановок c повторениями обозначают . Сколько же их? Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В первой группе элементы (первого типа) можно переставлять друг с другом n1! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют n2! перестановок элементов во второй группе и т.д. Перестановки элементов в разных группах можно делать независимо друг от друга. Поэтому (из принципы умножения) элементы можно переставлять друг с другом способами так, что она остаётся неизменной.

Число различных перестановок с повторениями, которые можно составить из данных элементов, равно

Замечание. Отметим, что формула числа сочетаний из n элементов по k элементов совпадает с формулой для числа перестановок с повторениями из k элементов одного типа и n-k элементов другого типа:

Пример 11.1. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

Решение. Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3=6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (6) получаем

Пример 11.2. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:

Пример 11.3. Сколько различных браслетов можно сделать из пять одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

Решение. Камни можно переставлять P(5, 6, 7) способами. При циклических перестановках и при зеркальном отражении браслет остается неизменным. В результате получаем

Пример 11.4. Сколько способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы: а) три буквы «о» не стояли рядом? б) если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом?

Решение. а) Буквы данного слова можно переставлять P(3,1,1,1) способами. Если три буквы «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Тогда буквы можно переставлять 4! Способами. Вычитая этот результат из предыдущего, получим

б) Сначала расставляем согласные (3! способов). Для трёх букв «о» остаётся 4 места, и их можно расставить способами. Всего получаем способа.

11.1. Сколькими способами можно расположить в ряд две зелёные и четыре красные лампочки?

11.2. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?

11.3. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по два три, четыре книги в каждой бандероли?

11.4. Группу командировочных из восьми человек требуется расселить в три комнаты, из которых две трёхместные и одна двухместная. Сколько вариантов расселения возможно?

11.5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в следующих исходных словах: а) академия, б) электротехника, в) молокопродукт?

11.6. Сколькими способами можно разделить 12 предметов между тремя студентами, чтобы каждому досталось ровно по четыре предмета?

11.7. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?

11.8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

11.9. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

Ответ: Гласные можно переставлять P(2,1,1)=12 способами, Аналогично, P(2,1,1)=12 способами можно расставить согласные буквы. Если согласные уже расставлены, то для гласных останется 5 мест. Поэтому места для них можно выбрать способами. Всего способов.

Примеры решения задач

Задача 1.1. Сколькими способами можно рассадить четырех студентов, явившихся на пересдачу, на 25 местах?

Решение. Искомое число способов равно числу размещений из 25 по 4:

Задача 1.2. Даны все нечетные цифры. Сколько трехзначных чисел можно из них составить?

Решение. На первом месте в числе стоит любая из пяти цифр, на втором — также любая из пяти и т.д. Всего комбинаций А| = 5 • 5 • 5 = 5 3 = 125.

Задача 1.3. Даны цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Сколько существует способов расстановки цифр так, чтобы четные цифры стояли на четных местах, а нечетные — на нечетных?

Решение. Пять четных цифр можно расставить на пяти четных местах 5! способами. Каждому способу размещения четных цифр на четных местах соответствует 5! способов размещения нечетных цифр на нечетных местах. Общее число перестановок оказывается равным 5! • 5! = = (5!) 2 = 14 400.

Задача 1.4. Сколько перестановок можно составить из пяти букв <а, б, в, г, д>, в которых не встречались бы комбинации аб и ба?

Решение. Число всех перестановок пяти букв равно 5!. Рассмотрим варианты, когда буквы а и б стоят рядом. Первый вариант: а стоит на первом месте, б на втором, остальные три буквы расставлены произвольно. Таких случаев будет 3! Второй вариант: а стоит на втором месте, б — на третьем, таких случаев также будет 3! и т.д. Последний вариант: а стоит на четвертом месте, б стоит на пятом месте. Эти варианты вместе дают 4-3! случаев. Возможно такое же число вариантов для комбинации ба. Следовательно, число способов размещения а и б рядом равно 2 • (4 • 3!). Поэтому число перестановок без комбинаций аб и ба есть 5! — 2 • (4 • 3!) = 4! • 3 = 72.

Задача 1.5. Проводится шахматный турнир, в котором 16 участников. Из какого числа партий может состоять турнир, если:

• а) турнир проводится по системе плей-офф (участник выбывает из турнира после первого проигрыша);
• б) между любыми двумя участниками проводится одна игра;
• в) ничьи во внимание не принимаются.

Решение, а) В каждой партии участвуют два человека, один из которых выбывает. Вначале проводятся восемь партий, оставшиеся восемь человек проводят четыре партии, четыре победителя играют две партии, наконец, последняя партия выявляет чемпиона. Всего будет сыграно 8 + 4 + 2 + 1 = 15 партий.

• б) Каждая партия отличается от других составом участников. Число способов выбрать двух участников из 16 без учета последовательности
• 16!

их выбора есть число сочетаний из 16 по 2: С, 2 _Л =-— = 120.

Задача 1.6. Студенту необходимо в течение недели пересдать четыре предмета. Сколькими способами это можно сделать, если в один день можно сдать один предмет? При этом:

• а) последовательность пересдачи предметов имеет значение;
• б) последовательность пересдачи предметов несуществена;
• в) при условии выполнения п. б) один предмет будет сдаваться в последний день;
• г) при условии выполнения п. а) один предмет будет сдаваться в последний день;
• д) при условии выполнения п. а) один предмет будет сдаваться в последний день, и это будет алгебра.

Решение. Из семи дней студент должен выбрать четыре дня, когда он будет сдавать экзамены или зачеты.

• а) Последовательность сдачи предметов представляет интерес.
• 7 1

Число способов описывается размещениями: =^j = 840.

б) Порядок пересдачи предметов не существен (нужно всего лишь выбрать четыре дня из семи), тогда число способов будет представлять

сочетания: С? =-= 35.

• 7 4!-3!
• в) Если последовательность сдачи не важна и дополнительно известно, что последний экзамен (один из четырех) будет сдаваться в последний день, то число способов равно

г) Если последовательность сдачи важна и дополнительно известно, что последний экзамен (один из четырех) будет сдаваться в последний день, то число способов равно

д) Если последовательность сдачи важна и дополнительно известно, что последним экзаменом в последний день будет алгебра, то число 6 1

способов равно Л| =— = 120.

Задача 1.7. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «мама»?

Решение. Задача может быть решена простым перебором перестановок букв. Их всего шесть: мама, ммаа, маам, аамм, амма, амам. Получим решение в общем виде, что позволит решать более сложные задачи. Перенумеруем места, на которых стоят буквы. Первой группой будут два места, на которых разместим букву «м». Второй группой будут места для размещения двух букв «а». Четыре места делятся на две группы по два места, т.е. имеем дело с разбиениями на группы. Число способов разбить четыре элемента на две группы по два есть

Задача 1.8. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «экономика»?

Решение. В слове девять мест, на которые претендуют две буквы «к», две буквы «о», одна буква «э», одна буква «и», одна буква «н», одна буква «м» и одна буква «а». Разбиение на семь групп описывается формулой

Задача 1.9. Сколько существует костей домино, каждая из которых содержит две цифры из семи: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Решение. Кости домино можно рассматривать как сочетания с повторениями по два из семи цифр. Число таких комбинаций равно

Задача 1.10. Руководитель подразделения должен написать десятистраничный отчет в течение недели. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если:

• а) писать не менее одной странички в день;
• б) условием п. а) себя не ограничивать?

Решение, а) Используем так называемый принцип «шаров и перегородок» (рис. 1.2). Расположим 10 страниц в ряд и поставим между ними шесть перегородок, каждая из которых может стоять на одном из 9 мест. Число страниц между соседними перегородками автор должен написать в один из дней. Перегородки не должны совпадать, иначе в какой-то день не будет написана ни одна страница. Значит, надо выбрать шесть перегородок на девять мест, что описывается сочетани-

ями без повторений: С$ =-= 84.

Рис. 1.2. К задаче 1.10

б) Поскольку могут возникнуть дни, когда не будет написана ни одна страница, перегородки (их всего шесть штук) могут совпадать. Мест для перегородок имеется 11 (до страниц, между ними и после). Значит, следует выбрать шесть перегородок на 11 мест, причем каждое место может быть выбрано вновь. Получили сочетания с повторениями:

Задача 1.11. Вдоль движения маршрутного такси девять остановок. Из шести пассажиров на одной остановке выходят четыре человека, на другой — остальные. Сколько вариантов покинуть такси имеют пассажиры?

Решение. Пассажиры разбились на группы, что описывается перестановками с повторениями Р₆(2,4). Из девяти остановок выбраны две. Число различных способов, которыми можно произвести последовательный выбор двух элементов без возвращения из совокупности объема девять, равно Л|. Таким образом, у пассажиров имеется Л| • Р₆ (2,4) = 6 1