Что такое иррациональное число
Иррациональным числом называется действительное число, которое нельзя представить в виде рациональной дроби $\frac
Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби. Множество иррациональных чисел обозначают $I$ и оно равно: $I=R / Q$ .
Например. Иррациональными числами являются:
- $\sqrt
$ для любого натурального $n$, не являющегося точным квадратом; - $e^
$ для любого рационального $x \neq 0$ ; - $\ln x$ для любого положительного рационального $x \neq 1$ ;
- $\pi$, а также $\pi^
$ для любого целого $n \neq 0$ .
Операции над иррациональными числами
На множестве иррациональных чисел можно ввести четыре основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление; но ни для одной из перечисленных операций множество иррациональных чисел не обладает свойством замкнутости. Например, сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.
Например. Найдем сумму двух иррациональных чисел $0,1010010001 \ldots$ и $0,0101101110 \ldots$ . Первое из этих чисел образовано последовательностью единиц, разделенных соответственно одним нулем, двумя нулями, тремя нулями и т.д., второе — последовательностью нулей, между которыми поставлены одна единица, две единицы, три единицы и т.д.:
$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac<1><9>$$
Таким образом, сумма двух заданных иррациональных чисел есть число $\frac<1><9>$ , которое является рациональным.
Задание. Доказать, что число $\sqrt<3>$ является иррациональным.
Доказательство. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что $\sqrt<3>$ число рациональное, то есть может быть представлено в виде дроби $\sqrt<3>=\frac
Возведем обе части равенства в квадрат, получим
Число 3$\cdot n^<2>$ делится на 3. Поэтому $m^<2>$ и, следовательно, $m$ делится на 3. Полагая $m=3 \cdot k$, равенство $3 \cdot n^<2>=m^<2>$ можно записать в виде
$$3 \cdot n^<2>=(3 \cdot k)^ <2>\Leftrightarrow 3 \cdot n^<2>=9 \cdot k^ <2>\Leftrightarrow n^<2>=3 \cdot k^<2>$$
Из последнего равенства следует, что $n^<2>$ и $n$ делятся на 3, следовательно, дробь $\frac
Доказать, что число является иррациональным
Доказать, что каждое число вида (2,0…07) 1/2 является иррациональным.
Решение:
(№188 Математика 11, Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский)
Эту задачу можно решить, используя инвариант или полуинвариант.
Можно записать следующее:.
.
Нет числа квадрат которого оканчивается на 7, значит,число (2,0…07) 1/2 является иррациональным.
2) N = 2k + 1 – нечетное, тогда
.
Нет числа квадрат которого оканчивается на 70, значит,число (2,0…07) 1/2 является иррациональным.Что и требовалось доказать.
Как доказать что число иррациональное
Доказательства иррациональности чисел и 3 основывались на свойствах делимости целых чисел соответственно на 2 и 3. В основу соответствующего доказательства иррациональности числа можно положить как делимость на 2, так и на 3. Проводя, например, доказательство параллельно случаю предположим, что
где целые числа а и b не являются одновременно четными. Возводя в квадрат, получаем
Число четно, поэтому четно , а вместе с ним и а. Пусть . Имеем
Согласно последнему соотношению, четно. Но тогда четно а следовательно, и b. Поскольку, согласно предположению, числа а и b не являются одновременно четными, то число должно быть иррациональным. В качестве упражнения читатель может вывести то же заключение с помощью рассуждения, параллельного тому, которое было использовано для доказательства иррациональности
Мы заключим рассмотренное примеров иррациональных чисел выражением . Иррациональность этого числа будет выведена из иррациональности 16. Предположим, что число рационально, и обозначим его через :
После возведения в квадрат и упрощений, получаем
Вспоминая теперь, что множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех операций: сложения, вычитания, умножения и деления (исключая деление на нуль), убеждаемся в рациональности числа . Но это противоречит иррациональности числа Следовательно, число должно быть иррациональным.
Каково бы ни было целое число относительно которого известно, что иррационально, аналогичным использованному выше методом можно доказать, что число иррационально.
Упражнения
1. Доказать двумя способами, что квадрат целого числа делится на 5 тогда и только тогда, когда само это целое число делится на 5:
а) дать сначала доказательство, аналогичное приведенному в тексте для случая делимости на 3. Начать с того, что каждое целое число имеет одну из следующих форм:
б) дать затем доказательство, основывающееся на (основной теореме арифметики. Теорему эту можно найти в гл. I или в приложении Б.
2. Доказать, что число иррационально.
3. Доказать, что число иррационально.
4. Доказать, что число иррационально.
5. Доказать, что число иррационально.
6. Известно, что а (альфа) — иррациональное число. Доказать, что число тоже иррационально.
Иррациональные числа
Если в ходе решения математической задачи получилась дробь, в которой нельзя полностью разделить числитель на знаменатель, то это иррациональное число.
Существует еще одно условие принадлежности такой дроби к иррациональным величинам. Это отсутствие периодов в наборе цифр после запятой, т.е. нет периодически повторяемой цифровой последовательности.
Иррациональным называется число, которое нельзя представить в виде законченного частного от деления двух целых величин.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
С таким множеством сталкивались еще математики древних веков. Для них, например, было понятно, что диагональ квадрата нельзя разделить на длину его стороны и получить при этом не бесконечную дробь. Аналогичным образом характеризуется соотношение постоянной π выбранной окружности к диаметру.
Говоря простыми словами, если в обычной десятичной дроби после запятой обнаруживается бесконечное количество цифр и в них отсутствует повторяемость периодов, то это представитель иррационального множества.
Для наглядности можно рассмотреть примеры: √2 = 1,41421356. ; -√11= -3.31662…; π = 3,1415926.
Термин, обозначающий данную категорию цифр, произошел в результате сложение двух частей: ratio, что означает «соотношение» и ir, что означает отрицание. В итоге слово «иррациональный» закрепилось за дробями, не способными дать четкое соотношение.
Например, диагональ квадрата, сторона которого равна 1, не может быть представлена рациональным числом, но она имеет определенное числовое выражение. К таким же случаям можно отнести √5, √7, √10. Именно для выражения таких значений введено множество иррациональных чисел, каждое из которых может быть представлено бесконечной непериодической дробью (в отличие от рационального, которое можно представить периодической десятичной дробью).
Виды, место в общей классификации, как обозначаются
В арифметической классификации иррациональным числам выделено четкое место, наравне с рациональными, которые делятся на целые и дробные.
Для обозначения множества используют букву I. Его математическое выражение выглядит так: I=R-Q.
Алгебраические и трансцендентные
В алгебре те величины, которые могут являться квадратными корнями с целыми коэффициентами из многочленов, относятся ко множеству алгебраических. Те же, которые не могут выступать в этой роли, образуют другое множество — трансцендентных.
Происхождение термина «трансцендентный» объясняется его переводом с латыни: transcendentis — выходящий за границы. Таким образом, это величины, которые находятся за пределами множества чисел, которые могут стать квадратным корнем с целым коэффициентом из различных многочленов.
О необходимости введения такого множества впервые заговорил в 1775 году Леонард Эйлер. Стоит отметить, что во время его деятельности еще не было известно никаких трансцендентных значений.
Вычислить их пример не удавалось математикам и в последующие много лет. Лишь в 1844 году Ж.Луивилль привел всем их пример. Его теореме досталось лидирующее место в теории диофантовых приближений.
Алгебраические числа плохо приближаются рациональными, в частности, если алгебраическое число αn (n — наименьшая степень многочлена P(x) с целыми коэффициентами такого, что P(α)=0), то для любой дроби p/q справедливо выражение: 
Где С — константа, зависящая от α.
Все числа типа m/n, где n отлично от нуля, а m и n представлены целыми значениями, являются алгебраическими. Для них справедливо равенство: nx-m=0.
К понятию «алгебраические», кроме рациональных, отнесены иррациональные, для которых характерна формула n √m. При этом m и n представлены целыми числами, а n больше либо равно 2.
При любых действиях с алгебраическими числами (сложение, вычитание, деление либо умножение) результат решения будет алгебраической величиной. Кроме этого, алгебраическими будут корни многочленов, коэффициенты которых также отнесены к этому множеству.
Для чего они используются
В математике использование иррациональных чисел объясняется списком их свойств. Например, возможность точного определения величины, полученной в результате извлечения квадратного корня из 2-х, не всегда нужна. Так, в геометрии измерения длины гипотенузы часто производят приблизительно (1,4, 1,41 и т.д.). Извлечение точного квадратного корня из 2-х понадобится только при работе с абстрактной математической моделью.
Однако такие ситуации в науке существуют. Поэтому существование множества иррациональных чисел оправданно. С помощью них можно высчитать дедекиндово сечение в рациональных числах, у которых отсутствует самое большое в нижнем сегменте и самое малое — в верхнем.
Представители иррациональных значений позволяют уплотнить числовую прямую с нанесенными рациональными значениями, таким образом, что между каждой такой парой можно записать иррациональное.
Бывают случаи, что, складывая два иррациональных значения, получают рациональное.
Например, в результате сложения корня из семи (любой степени) и такого корня из семи, только со знаком минус, получается рациональное число — 0.
Сумма двух положительных иррациональных чисел также может быть рациональным значением. Однако при сложении рационального и иррационального в итоге всегда получается представитель иррациональных. Такое свойство называется отсутствием у множества замкнутости.
Исходя из сказанного, следует сделать вывод, что введение множества иррациональных чисел необходимо для увеличения точности. Например, когда между натуральными числами единицей и двойкой не было промежуточных величин, нужно было ее ввести для расширения диапазона точности.
Как вычислить иррациональное число, действия
Чтобы вычислить иррациональное число проще всего предположить, что оно рациональное и его реально представить в виде дроби p/q, не поддающейся сокращению. В результате преобразующих действий доказывается, что натуральные p и q не являются взаимно простыми. Тогда понятно, что это именно иррациональное значение, а предположение о рациональности взятой дроби ошибочно.
В целом же под понятием «иррациональное» понимается число, записать которое в виде десятичной дроби невозможно. Часть после запятой будет бесконечной:
При этом степень точности результата зависит от количества знаков, взятых после запятой.
Правда, при описании таких величин чаще используют логарифмы, корни, степени и т.п.
Чтобы в текущий момент определить принадлежность данного числа к категории иррациональных, можно воспользоваться онлайн калькулятором, в котором можно произвести вычисления до оговоренной точности.
Задание: рассчитать рациональность заданных значений.
На калькуляторе нужно задать число в виде правильной дроби (по определению, оно рациональное). Исходя из этого, результативным будет определение иррационального компонента для выражений в виде корней (со степенью n).
- 2 √2 = 1,414 (иррациональное);
- 3 √27 = 3 (рациональное);
- 5 √147 = 2,713 (иррациональное).
Видим, что, имея дело с квадратными и кубическими корнями, извлекаемая величина может быть рациональной.