Как доказать что число натуральное

2.5. Натуральные числа

Натуральные числа 1, 2, 3,… образуют наиболее простую и доступную для повседневного использования часть множества всех действительных чисел. Первые математические представления человек приобретает, когда знакомится в начальной школе с арифметическими действиями с натуральными числами. Тем не менее, приведенная выше аксиоматика дает повод для рассмотрения множества натуральных чисел как особого подмножества всех действительных чисел, определенного аксиомами 1-14.

Определение 2.2. Множество натуральных чисел – это такое множество, для которого выполняются следующие условия:

а) ,

б) для любого числа числотакже принадлежит множеству,

в) если множество удовлетворяет условиям а) и б), то.

Данное формальное определение множества всех натуральных чисел, служит, в частности, теоретической основой широко используемого метода доказательства, известного под названием «метод математической индукции». Смысл этого метода состоит в следующем.

Предположим, что мы собираемся доказать некоторое утверждение вида:

«Каждое натуральное число обладает свойством .»

Если нам удастся доказать, что, во-первых, 1 обладает этим свойством (начало, или основание индукции), и, во-вторых, из предположения «обладает свойством» вытекает «обладает свойством» (шаг индукции), то наше утверждение в целом становится доказанным. Ведь тем самым мы установили, что множествотех действительных чисел, которые обладают свойством, удовлетворяют условиям а) и б) из определения, и, следовательно, в силу в).

В качестве примера применения метода математической индукции докажем очень важное равенство, которое называется «бином Ньютона». Мы покажем, что для любых действительных ии для любого натуральноговыполняется:

, (1)

где ,.

При равенство (1) очевидно, так как

и .

Прежде чем выполнять шаг индукции, докажем вспомогательное равенство:

= ===

= .

Таким образом, .

Предположим теперь, что для некоторого равенство (1) выполняется. Докажем, что аналогичное равенство выполняется и для. Преобразуем:

=

==

==

==

=.

Получившееся равенство между крайними частями этой цепочки, является, как нетрудно увидеть, искомой формулой (1), в которой заменено на ().

Следующее утверждение обычно называют принципом Архимеда или архимедовым свойством действительных чисел.

Теорема 2.2. Множество N всех натуральных чисел не ограничено сверху. Иначе говоря, для любого действительного числа b существует такое натуральное число n, что >.

Доказательство. Предположим противное: существует число такое, что для любого натурального числаверно неравенство. Тогда по аксиоме о точной верхней грани (аксиома 14) для множестваN существует наименьшая верхняя грань. Обозначим ее через . Так как-1<, то-1 верхней гранью не является. Поэтому найдется такое натуральное число , что. Но тогда, а это противоречит тому, что— верхняя грань множестваN. Теорема доказана.

Следствие. Для любых действительных чисел и, где 0<<, существует такое натуральное число, что>.

Для доказательства следует принцип Архимеда применить к числу .

Следствие имеет простой геометрический смысл. Если взять два отрезка с длинами исоответственно, где 0<<то, последовательно откладывая на большем отрезке от одного из концов меньший отрезок, через конечное число шагов мы выйдем за пределы большего отрезка.

Множества натуральных и целых чисел

Натуральные числа – множество чисел, используемых для счёта предметов.

В отечественной литературе используются следующие обозначения:

N = <1,2,3,…>— натуральные числа без нуля

$N_0 = Z_+$ = <0,1,2,3,…>— расширенное множество с нулём

В зарубежной литературе по стандарту ISO 80000-2 (2009 год):

$N^* =$ <1,2,3,…>— натуральные числа без нуля

N = <0,1,2,3,…>— расширенное множество с нулём

Свойства натуральных чисел

1. 1 – первое натуральное число, перед ним нет никаких натуральных чисел.

2. За каждым натуральным числом идёт следующее натуральное число, причём единственное.

3. Определено отношение порядка $1 \lt 2 \lt 3 \lt$ ⋯

4. Множество натуральных чисел бесконечно.

5. Для натуральных чисел справедлива аксиома индукции Пеано.

Операцию над множеством чисел называют замкнутой , если её результат также принадлежит данному множеству чисел.

Замкнутые операции над натуральными числами

1. Сложение: a+b = c

2. Умножение: ab = c

3. Возведение в натуральную степень: $a^b = c$

Незамкнутые операции над натуральными числами (не всегда результаты будут натуральными)

1. Вычитание: a-b = c. Результат натуральный, если $a \gt b$

2. Деление нацело (с остатком): $a/b = (c;r), 0 \le r \lt b,a = bc+r$

Понятие и свойства целых чисел

Целые числа – расширение множества целых чисел, получаемое при добавлении к нему нуля и отрицательных чисел.

Множество целых чисел обозначается Z.

Свойства целых чисел

1. Множество целых чисел бесконечно.

2. На множестве определено отношение порядка

$… \lt -2 \lt -1 \lt 0 \lt 1 \lt 2 \lt ⋯ $

3. Множество содержит ноль («нейтральный элемент»): 0+a = a+0 = a,∀a $\in \Bbb Z$

4. Для каждого целого числа a существует противоположное ему число –a, при этом a+(-a) = 0.

Замкнутые операции над целыми числами

1. Сложение: a+b = c

2. Вычитание: a-b = c

3. Умножение: ab = c

4. Возведение в натуральную или нулевую степень: $a^b = c$

5. Деление нацело (с остатком): a/b = (c;r), $0 \le r \lt |b|$, a = bc+r

Таким образом, расширение множества натуральных чисел до целых чисел «замыкает» множество по операциям вычитания и деления нацело. В алгебре говорят, что множество целых чисел образует «кольцо».

Примеры

Пример 1. Докажите, что натуральное число вида $a^3+1$ делится нацело на a+1.

Результатом деления является натуральное число. Что и требовалось доказать.

Пример 2. Докажите, что куб любого натурального числа $n \gt 1$ может быть представлен как разность квадратов двух других натуральных чисел

$$ n^3 = a^2-b^2,a,b,n \in \Bbb N, n \gt 1 $$

Запишем систему уравнений:

Получается, что a и b всегда существуют и являются натуральными, т.к. произведение двух последовательных натуральных чисел всегда делится на 2 нацело (ведь одно из этих чисел обязательно будет чётным). Что и требовалось доказать.

Примеры разложений по полученной формуле:

$$ 3^3 = 6^2-3^2, 8^3 = 36^2-28^2, 11^3 = 66^2-55^2 $$

Пример 3. Найдите все целые значения дроби, если $n \in \Bbb Z$:

$ Дробь \frac<9> будет целым числом при n = -6;0;2;4;6;12. Получаем: $

Натуральные числа

Натуральные числа и различные системы для их обозначения использовались еще в древних цивилизациях: Древнем Междуречье, Древнем Египте, Древнем Китае, в племенах Майя. Понятие числа «ноль», по видимому, появилось позже понятия натуральных чисел в позднем Вавилоне и у Майя.

В самые древние времена для счета использовали палочки. Такой способ записи сохранился в римском исчислении. Число при такой записи представляло собой сумму или разность палочек, которая была записана без каких-либо знаков.

С развитием систем счисления определенные числа стали обозначать буквами алфавита. В современных системах счисления значение каждой цифры числа определяет ее место в записи числа. Первой такой системой счисления была вавилонская (шестидесятеричная) и индийская (десятичная).

Вариантом индийской десятичной системой счисления является современная арабская система с тем различием, что в индийской системе отсутствовал ноль. Цифру $0$ придумали арабы, после чего система счисления приняла современный вид.

Для счисления времени используется шестидесятеричная система (за основу взято число $60$): $1$ час содержит $60$ минут, $1$ минута — $60$ секунд.

В работах математика Пьера де Ферма были положены основы теории чисел или высшей арифметики как отдельной науки, которая изучает чистые, формальные свойства натуральных чисел.

Натуральные числа. Множество натуральных чисел

Натуральные числа $1, 2, 3, \dots$ используются для счёта (одна груша, две груши, три груши и т.д.) или для указания порядкового номера предмета среди ему подобных.

Натуральные числа принято записывать с помощью арабских цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Натуральное число

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдётся другое натуральное число, большее его..

Введём функцию alt=»<\displaystyle S>» width=»» height=»» />, которая сопоставляет числу alt=»<\displaystyle x>» width=»» height=»» /> следующее за ним число.