Задача 4854 Острые углы прямоугольного треугольника.
Острые углы прямоугольного треугольника равны 63° и 27°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 
Решение
По рисунку видим, что CM — медиана, CD — биссектриса. Пусть угол A равен 27, а угол B равен 63.
Так как, медиана прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, равна половине его гипотенузы, то AM = MC. И треугольник AMC — равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
<MAC=<MCA=27
CD — биссектриса: <ACD=90/2=45
<MCD=<ACD-<ACM=45-27=18
Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы
Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.
Высотой треугольника называется перпендикуляр,
опущенный из вершины треугольника
на противоположную сторону.
В тупоугольном треугольнике высота
опускается на продолжение стороны.
Три высоты треугольника всегда
пересекаются в одной точке.
В случае тупого угла пересекаются
продолжения высот.
Медианой треугольника называют отрезок,
соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся в ней в отношении
2 : 1 , считая от вершины.
Биссектриса треугольника делит
угол треугольника пополам.
Три биссектрисы пересекаются в одной точке,
которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.
Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.
Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки A на отрезок BC, зато можем опустить его на прямую BC — то есть на продолжение стороны BC.
В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.
В прямоугольном треугольнике каждый катет является высотой к другому катету. Три высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла.
Как доказать, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Доказательство здесь: Свойство высот треугольника.
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Доказательство этой теоремы смотрите здесь: Свойства медиан треугольника.
Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.
У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.
Читайте доказательство теоремы о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке:
Свойства биссектрис треугольника.
Еще одно свойство биссектрисы часто применяется при решении задач.
Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон:
Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.
Задача 1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
Ответ дайте в градусах.
Пусть биссектрисы треугольник ABC (в котором угол C равен ) пересекаются в точке M.
Рассмотрим треугольник ABM.
Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .
Угол смежный с углом , следовательно, .
Поскольку треугольник — прямоугольный, то .
Задача 2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Пусть CH — высота, проведенная из вершины прямого угла C, CK — биссектриса угла C.
Угол между высотой и биссектрисой — это угол .
Задача 3. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CD – высота, СМ – медиана.
Требуется найти угол МСD.
Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.
Задача 4. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол С – прямой, CL – биссектриса, СМ – медиана.
. Требуется найти угол МСL.
Треугольник CMB – равнобедренный, т.к. медиана СМ равна половине гипотенузы АВ.
т.к. CL – биссектриса.
Задача 5. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Из треугольника ACH (угол H — прямой) найдем угол CAH. Он равен .
Из треугольника ACK ( K — прямой) найдем угол ACK. Он равен .
В треугольнике AOC известны два угла. Найдем третий, то есть угол AOC, который и является тупым углом между высотами треугольника ABC:
Задача 6. В треугольнике ABC угол С равен , AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Пусть в треугольнике ABC угол BAC равен A, угол ABC равен B.
Рассмотрим треугольник AOB.
Из треугольника ABC получим, что .
Задача 7. В треугольнике ABC угол A равен , угол B равен . AD, BD и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
Найдем угол ACB. Он равен
Из треугольника ACF найдем угол . Он равен .
Рассмотрим треугольник AOF.
Задача 8. В треугольнике ABC, CD — медиана, угол ACB равен , угол B равен . Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.
Треугольник ADC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны:
Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, получим:
Задача 9. В треугольнике АВС АD — биссектриса, угол С равен . Угол САD равен . Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
Поскольку AD – биссектриса, то
Сумма углов треугольника равна , следовательно,
Задача 10. В треугольнике АВС CH – высота, AD – биссектриса, О – точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен . Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.
Угол АОС – внешний в треугольнике АНО, следовательно,
Задача 11. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
AD = CD, следовательно, треугольник ADC – равнобедренный и
AD — биссектриса, следовательно,
AB = AD, следовательно, треугольник ABD – равнобедренный и
– внешний в треугольнике ADC, следовательно,
Таким образом, наименьшим углом треугольника АВС является , два других угла – в два раза больше.
Воспользуемся тем, что сумма углов треугольника АВС равна :
Наименьший угол треугольника АВС равен .
Задача 12. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки 2,8 и 4,2. Периметр треугольника равен 22. Найдите стороны треугольника.
Пусть стороны треугольника равны и . Биссектриса делит сторону c на отрезки 2,8 и 4,2.
Значит,
В соответствии со свойством биссектрисы:
Одновременно выполнено условие для периметра:
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Как найти угол между медианой и биссектрисой
ОБОСОБЛЕННЫЕ ЧЛЕНЫ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Запишите предложения, выделяя обособленные члены предложения (в скобках укажите – что обособленно: приложение, обстоятельство, согласованное или несогласованное определение):
1. Охотника лес кормил «звериным промыслом», земледельца – лесными угодьями и бортничеством (старейшая форма пчеловодства, при которой пчёлы живут в дуплах деревьев), ремесленника – различными ремёслами, связанными с использованием дерева.
2. Приглядевшись внимательнее, Костя увидел бюст Льва Толстого.
3. Они сидели близко, совсем рядом, и Володя не видел, куда смотрит отец, но чувствовал его серьёзный, строгий и спокойный взгляд.
4. Над крышей гордо возносился конёк – стилизованная голова лошади.
5. Отличить полезный, «настоящий» труд от мартышкиного просто: ощущаешь себя молодцом, завершив работу, или понимаешь, что занялся не своим делом.
6. Делая усилия, мы становимся частью этого пространства.
7. Впереди были горы, высокие, неприступные.
8. Я должна быть примером для младшего братишки, с детства он должен видеть, что взрослые неустанно работают, и я, старшая сестра, тружусь так же.
9. А он, сообразительный малыш, уже знает, что делать: жуёт конфету, берёт мою скрипку и начинает играть мой урок.
10. Заворожённый этим зрелищем и заколдованный своим малодушием, я замер.
11. А вечером, на закате, уставшие и притихшие, мы сидели на берегу и ждали, когда появится трамвайчик, который должен был везти нас из студёного оврага к лагерю.
12. Толик стал заядлым автомобилистом: та самая «Волга», что стояла у них в гараже, эта небесная египетская корова, определила его судьбу.
ЕГЭ – 2012 Найти угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла Математика Зенина Алевтина Дмитриевна, учитель математики г.Тюмень, — презентация
Презентация по предмету «Математика» на тему: «ЕГЭ – 2012 Найти угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла Математика Зенина Алевтина Дмитриевна, учитель математики г.Тюмень,». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:
1 ЕГЭ – 2012 Найти угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла Математика Зенина Алевтина Дмитриевна, учитель математики г.Тюмень, 2011 г. Задача B 6
2 Теоретические сведения 1 Биссектриса внутреннего угла треугольника — отрезок прямой, делящей данный угол на две равные части, соединяющий вершину угла с точкой на противоположной стороне А В С М ββ ВМ — биссектриса
3 Теоретические сведения 2 В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине R R R О С В А АВ = 2R СО = R АВ = 2СО
4 9.1 Прототип задания B6 ( 27774) Острые углы прямоугольного треугольника равны 24 о и 66 о. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 24 о 66 о СМ – медиана треугольника АВС 24 о АСМ – равнобедренный.АСМ = МАС = 24 о СD – биссектриса прямого угла.АСD = 45 о 45 о 45 о – 24 о = 21 о – искомый угол 21 о МСВ — равнобедренный ИЛИ В = ВСМ = 66 о 66 о 45 о 66 о – 45 о = 21 о – искомый угол Ответ: 21
5 9.2 Задание B6 ( 47803) Прототип Острые углы прямоугольного треугольника равны 60 о и 30 о. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 60 о СD – биссектриса прямого угла 45 о СМ – медиана треугольника АВС 30 о Искомый угол МСD = 45 о – 30 о = 15 о Ответ: 15 АМС – равнобедренный. 15 о
6 9.3 Задание B6 ( 47815) Прототип Острые углы прямоугольного треугольника равны 54 о и 36 о. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. 54 о 36 о СD – биссектриса прямого угла СМ – медиана треугольника АВС ВМС – равнобедренный. 45 о 54 о Искомый угол МСD = 54 о – 45 о = 9 о 9о9о Ответ: 9