Как найти угол между прямой и осью ох

Угол между прямыми

Пусть существуют две прямые, неперпендикулярные оси Ох; k₁ и k₂ – угловые коэффициенты этих прямых. Пусть φ – угол между заданными прямыми.

α₁ – угол наклона первой прямой к оси Ох;

α₂ – угол наклона второй прямой к оси Ох.

tg φ = tg =,

т. к. и =>

(6)

При =(прямая перпендикулярна оси Ох) формула (6) теряет смысл.

Условие параллельности двух прямых. Обозначим две прямые и.| |.

Условие перпендикулярности двух прямых:

.

Общее уравнение прямой

Теорема. В декартовой системе координат каждая прямая определяется уравнением первой степени и обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Доказательство. Пусть существует прямая . Еслине перпендикулярна оси Ох, то она определяется уравнением первой степениy = kx + b. Если прямая перпендикулярна оси Ох, то для всех точек, принадлежащих прямой, выполняется равенствоx = a, что также является уравнением первой степени.

Обратно. Пусть дано уравнение

Ax + By + C = 0. (7)

а). Если B≠0, то можно записать или.

Обозначим и. Тогда– уравнение прямой.

б). Если В = 0, то А ≠ 0. =>x = .

Пусть ≡a => х = а – уравнение прямой, параллельной оси Oу.

Уравнение Ах + Ву + С = 0 называется общим уравнением прямой, поскольку определяет все виды прямых без исключения.

Неполное уравнение первой степени

Рассмотрим три случая, когда уравнение является неполным.

С = 0 => Ах + Ву = 0 – прямая проходит через начало координат.

В = 0 (А ≠ 0) => Ах+ С = 0 – прямая параллельна оси Оу.

А = 0 (В ≠ 0) => Ву + С = 0 – прямая параллельна оси Ох.

Уравнение прямой “в отрезках”

Пусть дано уравнение Ах + Ву + С= 0, гдеА≠ 0, В≠ 0,С≠ 0.

Преобразуем его к виду Ах + Ву = -Си разделим на (-С):

или.

Обозначим а ≡ ,b ≡ .

–уравнение прямой в отрезках. (8)

Числа a и b в уравнении (8) имеют геометрический смысл. Это величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях.

Убедимся в этом. Найдем координаты точки пересечения прямой с осью Ох:

у=0 х = а, у = 0.

Аналогично находится длина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу.

Совместное исследование уравнений двух прямых

Каждое уравнение определяет прямую на плоскости. Совместное решение этих уравнений определяет общую точку этих прямых.

1). Пусть . Определитель системы, система имеет единственное решение.

Это значит, что прямые пересекаются в одной точке. Координаты точки пересечения находятся по формулам Крамера.

2). Пусть . Тогда возможны два случая:

а) => общих точек нет, прямые параллельны;

б) => уравнения равносильны, т.е. определяют одну и ту же прямую.

Два уравнения определяют одну прямую, если их коэффициенты пропорциональны.

Нормаль к прямой

Пусть прямая L задана общим уравнением:

Ах + Ву + С = 0. (9)

Пусть т. М₀ (х₀, у₀) L . =>

Ах₀+ Bу₀+ C = 0. (10)

А(х — х₀) + В(у — у₀) = 0 (11)

Выражение (11) можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: и. Так как, то, и векторявляется нормалью к прямойL.

Угол между двумя прямыми

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями:

А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0.

Нормали к прямым: и.

Угол между прямыми можно определить как угол между нормалями к этим прямым:

Тогда условие параллельности прямых – это условие коллинеарности нормалей:

Условие перпендикулярности прямых – это перпендикулярность нормалей:

=> А₁А₂ + В₁В₂ = 0.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Читать:

Use php как использовать

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Как найти угол между прямой и осью x?

Последний раз редактировалось longstreet 22.01.2012, 16:38, всего редактировалось 3 раз(а).

Как находить угол $\alpha$ между прямой, соединяющей начало координат и заданную точку $A$ , и осью абсцисс?

Я думал, что всегда можно использовать $$\tan \alpha=\frac<y><x>$» />. (При этом угол <img decoding=$ отсчитывается от положительного направления оси $x$ в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Или можно считать $-\alpha$ по часовой стрелки.)
Но используя эту формулу в примере с точкой $A(-2,2)$ получаю угол $\alpha=\arctan(-1)=45$ , вместо нужных $135$ (или вместо нужных хотя бы пусть $-225$ ).

Прочитал в Зельдовиче «Высшая математика для начинающих» что формула $$\tan \alpha=\frac<y><x>$» /> неполна: чтобы полностью определить угол, нужно либо ещё учесть знаки <img decoding=$ и $y$ либо воспользоваться другими формулами: $$\cos\alpha=\frac<x><r>$» />, <img decoding=$ — минус, у $y$ — плюс. То есть, вторая четверть (второй квадрант). Как с помощью этого получить правильные $135$ градусов?

Пробую второй путь.
$$\sin\alpha=\frac<2><\sqrt<(-2)^2+(2)^2>>=\frac<1><\sqrt<2>> \qquad \cos\alpha=\frac<-2><\sqrt<(-2)^2+(2)^2>>=-\frac<1><\sqrt<2>>$» /><br />Откуда из каждой из формул <img decoding=$ .

Как получить нужные $135$ градусов (то есть с учётом правильного их отсчёта — от положительного направления $x$ против часовой стрелки)? И что, нет формул всегда однозначно дающих ответ, всегда нужно ополнительно смотреть на знаки? Вообще, я запутался. Помогите пожалуйста.

Последний раз редактировалось ShMaxG 22.01.2012, 16:52, всего редактировалось 1 раз.

Как найти угол наклона прямой по двум точкам

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Количество просмотров этой статьи: 87 641.

Нахождение угла наклона прямой – это один из важнейших навыков в геометрии, необходимый для построения графика линейной функции или для определения координат точек пересечения прямой с осями X и Y. Угол наклона прямой определяет скорость ее роста или убывания, [1] X Источник информации то есть как быстро прямая перемещается по вертикали в зависимости от движения по горизонтали. Угол наклона прямой легко вычисляется по координатам двух точек, лежащих на этой прямой.

29. Углы между прямой и осями координат

Под углом между прямой и осью абсцисс принимается угол между направляющим вектором прямой и ортом оси . Для данной прямой

Угол с осью определим из формулы

. (1)

Аналогично определяются углы и между прямой и осями и :

(2)

Величины называются Направляющими косинусами прямой .

Пример. Найти углы, образуемые прямой

С осями координат.

Решение. Найдем координаты направляющего вектора, как векторное произведение нормалей к данным плоскостям и . Координаты нормальных векторов плоскостей и :