1) расскажите как измеряется площадь многоугольника
2) как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?
3) приведите примеры пифогоровых треугольников
4) какая формула площади треугольника называется формулой Герона? Выведите формулу
Як виглядає формула теореми Піфагора для наведеного трикутника?
Вибери вірний варіант відповіді: a) n^2=k^2+m^2 b) m^2=n^2+k^2 c) n^2=k^2-m^2 d) k^2=m^2+n^2
СРОЧНО ПРОШУ ПОМОЧЬ, О ВЕЛИКИЕ УМЫ ГЕОМЕТРИИ!
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Put the words in the correct order to make sentences. 1. always/ shopping/ we/on /Tuesdays/go __________________________________________________ 2. usually/to/goes/the/in/park/evening/the/she _____________________________________________________ 3. never / Mark/paints/the/morning/in/ _____________________________________________________ 4. usually/I/breakfast/have/half/six/past/at _____________________________________________________ 5. we/visit/often/our/on /Sundays/granny ___________________________________________________
Put the words in the correct order to make sentences. 1. always/ shopping/ we/on /Tuesdays/go __________________________________________________ 2. usually/to/goes/the/in/park/evening/the/she _____________________________________________________ 3. never / Mark/paints/the/morning/in/ _____________________________________________________ 4. usually/I/breakfast/have/half/six/past/at _____________________________________________________ 5. we/visit/often/our/on /Sundays/granny ___________________________________________________
№ 29. Выведите формулу Герона для площади треугольника:
сторон треугольника, р — полупериметр. Задача решена в п.125 учебника, стр. 186.
Решебник по геометрии за 9 класс (А.В.Погорелов, 2001 год),
задача №29
к главе «§14. Площади фигур».
Какая формула площади треугольника называется формулой герона выведите эту формулу
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту:
Доказательство проводится очень просто. Данный треугольник АВС (рис. 1.15) достроим до параллелограмма ABDC. Треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам, поэтому их площади равны. Значит площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC, т. е.
Но здесь возникает следующий вопрос: почему три возможных полупроизведения основания на высоту для всякого треугольника одинаковы? Это, впрочем, легко доказать из подобия прямоугольников с общим острым углом. Рассмотрим треугольник АВС (рис. 1.16):
Однако в школьных учебниках так не делается. Наоборот, равенство трёх полупроизведений устанавливается на основе того, что все эти полупроизведения выражают площадь треугольника. Таким образом, неявно используется существование единственной функции . А ведь здесь появляется удобная и поучительная возможность продемонстрировать пример математического моделирования. Действительно, за понятиям площади стоит физическая реальность, но прямая проверка равенства трёх полупроизведений показывает добротность перевода этого понятия на язык математики.
Пользуясь приведённой выше теоремой о площади треугольника очень часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников. Приведём ниже некоторые очевидные, но важные следствия из теоремы.
Следствие 1. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной её основанию, то его площадь при этом не меняется.
На рис. 1.17 треугольники АВС и АВD имеют общее основание АВ и равные высоты, опущенные на это основание, т. к. прямая а, которая содержит вершины С и D параллельна основанию АВ, а поэтому площади этих треугольников равны.
Следствие 1 можно переформулировать следующим образом.
Следствие 1?. Пусть дан отрезок АВ. Множество точек М таких, что площадь треугольника АМВ равна заданной величине S, есть две прямые, параллельные отрезку АВ и находящиеся от него на расстоянии (рис. 1. 18)
Следствие 2. Если одну из сторон треугольника, прилежащих к данному его углу, увеличить в k раз, то площадь его также увеличится в k раз.
На рис. 1.19 треугольники АВС и ABD имеют общую высоту ВH, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований
Из следствия 2 следуют важные частные случаи:
1. Медиана делит треугольник на две рановеликие части.
2. Биссектриса угла треугольника, заключённая между его сторонами а и b, делит его на два треугольника, площади которых относятся как a : b.
Следствие 3. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.
Это следует из того, что (рис. 1.19)
В частности, имеет место следующее утверждение:
Если два треугольника подобны и сторона одного из них в k раз больше соответствующих сторон другого, то его площадь в k 2 раз больше площади второго.
Выведем формулу Герона для площади треугольника следующими двумя способами. В первом используем теорему косинусов:
где a, b, c — длины сторон треугольника, г — угол, противолежащий стороне с.
где — полупериметр треугольника, получаем:
Таким образом, площадь треугольника
Формулу Герона можно вывести, опираясь только на теорему Пифагора и не используя теорему косинусов.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 1.20) со сторонами a,b,c.
В нём всегда найдётся высота, основание которой лежит на стороне треугольника, а не на её продолжении. Искомая площадь треугольника АВС:
следовательно, для её определения достаточно вычислить . По теореме Пифагора:
Решаем полученную систему трёх уравнений с тремя неизвестными , :
Вычитая из первого уравнения системы (1.4) второе, имеем:
Теперь из первого уравнения системы (1.4) находим :
Предложенный вывод формулы Герона отражает межпредметные связи алгебры и геометрии, он доступен учащимся сразу же после изучения теоремы Пифагора.
Урок 2.2. Формула Герона
На этом уроке вы создадите функцию, которая поможет вам вычислить площадь треугольника, используя длину его сторон. То есть вы создадите программу, в которой можно работать с данной функцией.
1. При создании программы для этого урока вам потребуется функция нахождения квадратного корня sqrt(), о которой мы уже говорили в предыдущем уроке. Но на этот раз мы будем использовать один из встроенных шаблонов Python, с помощью которого можно загрузить самые необходимые функции для работы с любым проектом.
Когда вы создаете файл Add Python > New и вводите название файла Python (мы используем area в примере), открывается область под именем, которая называется Type:. Типом по умолчанию будет «Пустая программа» (Blank Program). При нажатии на всплывающую стрелку справа можно увидеть и другие доступные типы проектов по программированию (их немало!).
Для вашего текущего проекта вам необходимо выбрать следующий тип: Math Calculations (Математические вычисления) — и нажать на OK или enter.
Примечание для учителя: Программные шаблоны предоставляют доступ к большинству самых необходимых модулей и функций, но при необходимости вы также можете добавлять и другие функции, которые не представлены здесь для работы с проектами. Зачастую пользователям в работе с данной системой сложно сразу запомнить, в каком модуле находится требуемая функция. Но с течением времени можно отработать этот навык. Такой модульный принцип организации является одним из преимуществ в работе с Python. С ней любой проект выполняется просто, быстро и эффективно.
2. Шаблон Math Calculations дает доступ к следующему выражению:
from math import *
Далее ваша задача выбрать выражение def function() через меню: menu > Built-ins > Function.
3. Назовите функцию heron. Здесь присутствуют три аргумента — a, b и c, которые представляют стороны треугольника.
В следующем шаге вы увидите, что нужно написать в области блока (block).
Примечание для учителя: Функция может иметь много аргументов (или один), и в программировании на языке Python вы можете задавать значения для аргументов по умолчанию, но в рамках этого курса этот вопрос не освещается.
4. Вычисления по Формуле Герона происходят в два этапа:
Первый — это вычисление полупериметра:
s = (a + b + c) / 2
Второй — нахождение площади:
area = sqrt(s*(s — a)*(s — b)*(s — c))
Помните, что оба выражения в этом блоке функции необходимо структурировать.
Примечание для учителя: Обращайте внимание на то, чтобы весь блок функции был надлежащим образом структурирован!
5. Закончите работу с функцией выражением return
return area
Его можно найти в меню: menu > Built-ins > Function.
Как и в стандартных математических вычислениях функции имеют аргументы и «вычисляют» значение. Выражение return необходимо для того, чтобы «отослать» значение обратно к основной программе, в которой его можно использовать.
Важно: Переместите курсор вставки обратно к началу новой строки, используя кнопки del или комбинацию кнопок shift+tab. Для удобства чтения и работы вы также можете оставить пустыми одну или несколько строк.
Примечание для учителя: Пробелы в программе не оказывает никакого эффекта на вычисление.
6. Теперь пришло время написать основную программу, используя следующие выражения:
input() (вводится 3 раза для каждой из сторон)
print() (используется для отображения площади)
Перед тем, как перейти к следующему шагу, постарайтесь написать их правильно самостоятельно.
7.Три выражения input() нужны для ввода значений длины трех сторон. Каждое значение должно быть в виде числа. Сохраните эти значения в трех переменных. Для этого мы используем переменные x, y и z.
x = float(input(«Enter first side: «))
Остальные две переменные введите по аналогии.
Выражение print() отобразит значение функции heron с тремя переменными в качестве аргументов:
print(«Area » style=»display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;» src=»https://calculators-online.ru/baza-znanij/programmirovanie-ti/python-10-minutes-codes/assets/images/1297/2.2.8.png» alt=»» width=»350″ />
Примечание для учителя: Объясним разницу между «формальными» аргументами в определении функции (a, b, c) и «фактическими» аргументами (x, y, z) при вызове функции в выражении print. Аргументы a, b и c являются «символами-заполнителями», которые получают свои «фактические» значения из переменных, используемых при вызове функции.
8. Протестируйте свою программу с использованием простых чисел, на основании которых вы сами можете легко вычислить площадь, например, с числами 3, 4 и 5. Почему площадь равняется 6? Площадь каких других видов треугольников также легко вычисляется при известных длинах трех сторон?
Не забудьте сохранить свою работу.
Примечание для учителя: Касательно тестирования на числах. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется просто. Поэтому любая Пифагорова тройка хорошо подойдет для тестирования. Площадь равностороннего треугольника тоже легко вычислить, но результат вычисления не будет отображен в виде простого числового значения.