3.7. Диагонализация матрицы линейного оператора
Пусть линейный оператор 
. Рассмотрим в 
произвольный базис 
. Пусть в этом базисе линейному оператору 
соответствует матрица 
. Существует ли такой базис в пространстве 
, в котором матрица линейного оператора была бы диагональной?
Очевидно, если такой базис существует, то по Свойству 1 (п. 3.6) диагонализация матрицы 
произойдет в результате преобразование подобия.
Имеет место следующая
Теорема. Если в существует базис из собственных векторов линейного оператора 
то матрица 
линейного оператора будет диагональной в этом базисе.
Выясним, при каких условиях существует базис из собственных векторов линейного оператора.
Пусть 
– собственные значения линейного оператора кратностей 
, причём 
. Если для каждого 
существует 
собственных векторов – решений ФСР соответствующей однородной СЛАУ, то существует базис из собственных векторов, а значит, матрицу линейного оператора можно привести к диагональному виду. В частности, если 
, т. е. спектр линейного оператора простой, то базис из собственных векторов существует. Однако, если среди корней характеристического уравнения найдётся хотя бы одна пара комплексно-сопряжённых, то в вещественном линейном пространстве не существует базиса из собственных векторов.
Покажем, например, что, если спектр простой, то матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов будет диагональной.
Рассмотрим квадратную матрицу 
, в столбцах которой стоят координаты собственных векторов 
, соответствующих собственным значениям 
. Это означает, что матрица является матрицей перехода к базису из собственных векторов. Очевидно, в этом случае 
, т. е. матрица – невырожденная, и для неё существует обратная – 
Из определения собственных векторов линейного оператора следует, что
(16)
Где 
– векторы-столбцы, соответствующие собственным векторам линейного оператора 
. Равенство (16) можно записать в более компактной форме:
(17)
Где 
– диагональная матрица, у которой на главной диагонали расположены собственные числа 
т. е.
Умножим обе части равенства (17) слева на матрицу 
:
или 
(18)
Это означает, что матрица линейного оператора при переходе к базису из собственных векторов станет диагональной в результате преобразования подобия (18).
Пример 14. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора 
, заданного в некотором базисе матрицей 
. Построить, если это возможно, базис из собственных векторов линейного оператора и найти матрицу 
линейного оператора в этом базисе. Выполнить проверку.
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Найдём собственные векторы линейного оператора:
;
Т. е. 
Собственные значения линейного оператора различны, значит, собственные векторы 
линейно независимы, т. е. образуют базис. В этом базисе матрица линейного оператора будет диагональной:
.
Матрица перехода к базису из собственных векторов 
.
Проверим правильность проведенных вычислений. По формуле (7) 
Найдём 
:
.
Ответ: .
Пример 15. Линейный оператор в некотором базисе задан матрицей 
Существует ли базис из собственных векторов линейного оператора ?
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Собственные значения линейного оператора 
Найдём соответствующие им собственные векторы: 
Т. е. 
. Все остальные собственные векторы имеют вид 
. Это означает, что базис из собственных векторов не существует.
Пример 16. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей 
. Можно ли привести матрицу 
к диагональному виду?
Решение. Составим характеристическое уравнение:
Т. е. 
Или 
Собственные значения линейного оператора 
Найдём собственные векторы:
Эта система эквивалентна следующей:
Т. е. ФСР этой системы состоит из одного решения, например, 
Собственным значениям 
и 
соответствует собственный вектор 
. Другие собственные векторы, соответствующие собственным значениям и , могут быть получены из умножением на произвольное вещественное число. Например, 
.
Так как 
, то 
значит, 
линейно зависимы, значит, совокупность собственных векторов 
также линейно зависима, т. е. собственные векторы линейного оператора не образуют базис в 
. Поэтому матрица не может быть приведена к диагональному виду.
3.5. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду
Пусть L – произвольное конечномерное линейное пространство.
Теорема. Матрица линейного оператора A : L → L в некотором
базисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора A .
Докажем эту теорему.
1. Пусть матрица линейного оператора в базисе e = ( e 1 , e 2 . e n ) имеет
i -й столбец матрицы линейного
координат вектора Ae i ,
Ae 1 = ( a 11 ,0. 0) = a 11 e 1 ,
Ae 2 = (0, a 22 . 0) = a 22 e 2 ,
Ae n = (0,0. a nn ) = a nn e n .
вектор e 1 является собственным вектором
отвечающим собственному значению a 22 , …, вектор e n – собственным вектором, отвечающим собственному значению a nn .
e 2 . e n ) являются собственными
векторами оператора A ,
отвечающими собственным значениям λ 1 , λ 2 . λ n
Тогда Ae 1 = λ 1 e 1 = ( λ 1 ,0. 0) , Ae 2 = λ 2 e 2 = (0, λ 2 . 0) , …,
Ae n = λ n e n = (0,0. λ n ) .
Матрица линейного оператора в
Замечание. Если матрица
оператора A : L → L в
e = ( e 1 , e 2 . e n )
то на ее диагонали расположены
собственные значения оператора A , повторяющиеся столько раз, какова их кратность.
Следствие 1. Если характеристическое уравнение линейного оператора, действующего в n -мерном линейном пространстве, имеет n попарно различных действительных корней, то существует базис, в котором матрица линейного оператора является диагональной.
Замечание. Если характеристическое уравнение линейного оператора имеет кратные действительные корни, то может не существовать базиса, в котором матрица линейного оператора будет диагональной.
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Матрица линейного преобразования / ( в / для ( k — s) t k имеет детерминант, равный единице, так как матрица линейного преобразования будет треугольной с элементами на главной диагонали, равными единице. [1]
Матрица линейного преобразования в пространстве имеет три инварианта; они находятся аналогичным способом. [2]
Матрицы линейных преобразований Q , С2 и С3 определяются из равенств Ci-A — — B, С2 Ы, С3 АВ. [3]
Матрицы линейных преобразований GI , С2 и С3 определяются из равенств CiA — — B, C3 hA, С3 АВ. [4]
Матрицу линейного преобразования ( 2) обозначим через В. [5]
Обозначим матрицу линейного преобразования ( 3) через С и найдем формулы, выражающие элементы cti матрицы С через элементы матриц А и В. [6]
Характеристический многочлен матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса. [7]
Доказать, что матрица линейного преобразования в некотором базисе является диагональной тогда и только тогда, когда базис состоит из собственных векторов данного преобразования. [8]
МЮЛЛЕРА МАТРИЦА — матрица линейного преобразования ( матричный оператор), применяемая для анали-тич. [9]
Какой вид имеет матрица линейного преобразования , если первые k базисных векторов являются его собственными векторами. [10]
Доказать, что матрица линейного преобразования в некотором базисе тогда и только тогда диагональна, когда все векторы базиса собственные. [11]
Пусть А — матрица линейного преобразования ( р в некотором базисе е, Л — собственное значение и строка а определена уравнением а ( А — ХЕ) о. Справедливо ли обратное утверждение. [12]
Какой вид имеет матрица линейного преобразования , если первые k базисных векторов являются его собственными векторами. [13]
Доказать, что матрица линейного преобразования в некотором базисе тогда и только тогда диагональна, когда все векторы базиса собственные. [14]
Пусть А — матрица линейного преобразования в базисе е евклидова пространства, А — матрица сопряженного преобразования в том же базисе. Как связаны матрицы А и А, если базис ортонормиро-ванный. [15]
Канонический вид линейного оператора (преобразования)
Матрица линейного преобразования n-мерного линейного пространства определяется относительно его базиса. Выбирая разные базисы, получаем разные матрицы одного и того же преобразования. Поэтому возникает задача приведения линейного преобразования к каноническому виду : требуется найти такой базис пространства , в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид. Упрощение матрицы преобразования позволяет выяснить его структуру, представить в виде композиции простых преобразований. Например, если в некотором базисе матрица преобразования оказывается диагональной, то с геометрической точки зрения это преобразование сводится к гомотетиям вдоль каждого из направлений базисных векторов. Кроме того, приведение преобразований к каноническому виду позволяет сравнивать различные преобразования. Все преобразования, которые имеют одинаковый канонический вид, эквивалентны, так как обладают одинаковыми свойствами.
Ранее были рассмотрены задачи приведения матрицы к диагональному виду и к жордановой нормальной форме при помощи преобразования подобия. В этом разделе аналогичные задачи рассматриваются для линейного преобразования.
Приведение линейного оператора (преобразования) к диагональному виду
Говорят, что линейное преобразование n-мерного линейного пространства приводится к диагональному виду , если существует базис, в котором матрица , где — некоторые числа, среди которых могут быть равные. Если преобразование диагонализируемым .
Ранее было сформулировано необходимое и достаточное условие приводимости матрицы к диагональному виду. Переформулируем это условие для линейного преобразования: линейное преобразование приводится к диагональному виду тогда и только тогда, когда в пространстве существует базис из собственных векторов.
Действительно, предположим, что в базисе матрица преобразования имеет диагональный вид
Найдем образ . Умножая матрицу базисного вектора , получаем . Значит, , т.е. вектор является собственным, а преобразование как гомотетия (с коэффициентом ). Аналогичный вывод можно сделать и про другие базисные векторы. Следовательно, базис пространства состоит из собственных векторов . Необходимость доказана. Достаточность доказывается путем приведения тех же рассуждений, но в обратном порядке.
Критерий диагонализируемости линейного преобразования можно сформулировать иначе.
Теорема (9.7) о диагонализируемости линейного преобразования (оператора)
Для того чтобы линейное преобразование (оператор) приводилось к диагональному виду, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического многочлена являлись собственными значениями преобразования и геометрическая кратность каждого собственного значения была равна его алгебраической кратности.
Достаточность следует из теорем 9.5 и 9.6. Действительно, если для каждого из различных собственных значений геометрическая кратность равна алгебраической кратности, то , т.е. для всех . Поэтому в равенстве (9.9) корневые подпространства можно заменить собственными: . Выбрав в каждом собственном подпространстве базис и объединив все эти базисы в единую систему, получим базис всего пространства, составленный из собственных векторов. Достаточность доказана. Необходимость доказывается путем приведения тех же рассуждений, но в обратном порядке.
Ранее было доказано, что существование Следствие 1. Если характеристическое уравнение линейного преобразования комплексного (вещественного) пространства имеет Следствие 2. Если сумма размерностей всех собственных подпространств линейного преобразования равна размерности линейного пространства , то линейное преобразование приводится к диагональному виду.
Пример 9.2. Линейное преобразование в базисе имеет матрицу . Привести это преобразование к диагональному виду, т.е. найти базис , в котором матрица преобразования имеет диагональный вид, и найти эту диагональную матрицу.
Решение. Задача сводится к нахождению собственных векторов и собственных значений преобразования. Применяем для их нахождения алгоритм, рассмотренный ранее.
1. Выбираем базис , в котором задана матрица преобразования.
2-5. Собственные значения и собственные векторы этой матрицы, а также ее диагональный вид были найдены в примере 7.10:
Осталось по координатным столбцам записать искомый базис
Приведение линейного преобразования к каноническому виду
Говорят, что линейное преобразование n-мерного линейного пространства приводится к каноническому виду , если существует базис, в котором матрица
Жордановой матрицей называют блочно-диагональную матрицу вида (7.38):
на диагонали которой стоят жордановы клетки (9.10), причем среди собственных значений могут быть равные, порядки жордановых клеток (всех или некоторых) могут совпадать.
Существование и структура жорданова базиса
Пусть преобразование имеет собственный вектор , удовлетворяющий условию , называется присоединенным вектором 1-го порядка . Вектор , удовлетворяющий условию , называется присоединенным вектором 2-го порядка и т.д. Присоединенный вектор , где (характеристическое преобразование для преобразования , где из условия получаем , то есть . При из условия имеем . Отсюда , то есть и т.д. Заметим, что присоединенный вектор и , так как собственный вектор ненулевой, , поскольку .
Необходимость рассмотрения присоединенных векторов объясняется следующим свойством: жорданов базис состоит из собственных и присоединенных векторов линейного преобразования, взятых в определенном порядке.
Предположим, что в базисе пространства матрица имеет жорданову форму (9.11). Рассмотрим преобразование первых базисных векторов ( — порядок первой жордановой клетки в (9.11)). Умножая координатный столбец базисного вектора на матрицу , то есть . Следовательно, вектор — собственный. Умножая матрицу базисного вектора , получаем , то есть . Следовательно, — присоединенный вектор (1-го порядка). Аналогично заключаем, что векторы также присоединенные (от второго до ()-гo порядков соответственно). Для других жордановых клеток выводы аналогичные.
Таким образом, жорданов базис составляют собственные и присоединенные векторы, взятые в следующем порядке (базисные векторы удобно обозначить иначе):
где — собственные векторы, а остальные векторы — соответственно присоединенные к ним, . Каждой из n-мерного линейного пространства при условии, что все корни характеристического уравнения являются собственными значениями преобразования (см. теорему 9.5), а цепочка (9.8) инвариантных подпространств имеет вид
где , а — наименьшее натуральное число, при котором . Здесь, как и ранее, — характеристическое преобразование для преобразования , состоит из собственных векторов (которые образуют собственное подпространство ) и присоединенных векторов первого, второго и т.д. до (p-l)-ro порядка включительно. Действительно, присоединенный вектор , где , то есть .
Будем строить базис корневого подпространства следующим образом. Так как не совпадает с , то существует максимальная линейно независимая над подпространством система присоединенных векторов (m-)-го порядка (которая дополняет любой базис подпространства до базиса подпространства , ). Напомним, что векторы называются линейно независимыми над подпространством , если любая нетривиальная линейная комбинация этих векторов не принадлежит .
Векторы являются присоединенными (m-2)-го порядка, принадлежат и линейно независимы над подпространством . Дополним их присоединенными векторами (m-2)-го порядка до максимальной линейно независимой над подпространством системы . Применяя к этим векторам преобразование , получаем линейно независимые над подпространством векторы
Дополняем их векторами до максимальной линейно независимой над подпространством системы. Продолжая аналогично, приходим к следующей таблице базисов:
В таблице базисов (9.13) указаны следующие базисы:
в последней строке — базис собственного подпространства ;
в двух последних строках — базис подпространства и т.д.;
вся таблица — базис корневого подпространства .
По таблице (9.13) составим базис корневого подпространства. Записываем векторы, стоящие в первом столбце, один за другим снизу вверх, начиная с собственного вектора:
К ним приписываем в таком же порядке векторы, стоящие во втором столбце, и т.д. Получим жорданов базис корневого подпространства, состоящий из собственных и присоединенных векторов, взятых в определенном порядке, как это указано в (9.12). Все клетки жордановой формы (9.11) соответствуют собственному значению столбцов таблицы (9.13) соответствует жорданова клетка m-го порядка, каждому из следующих столбцов соответствует жорданова клетка (m-1)-гo порядка и т.д. Общее число жордановых клеток равно количеству собственных векторов в последней строке таблицы (9.13).
Таким образом, доказано существование жорданова базиса в случае единственного собственного значения.
Рассмотрим теперь случай, когда имеется несколько различных собственных значений . В этом случае по теореме 9.5 пространство разлагается в прямую сумму инвариантных (корневых) подпространств . При объединении жордановых базисов корневых подпространств получаем жорданов базис всего пространства. Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема (9.8) о приведении линейного преобразования к каноническому виду
Если все корни характеристического уравнения являются собственными значениями преобразования, то это преобразование приводится к каноническому виду, т.е. существует базис пространства, в котором матрица преобразования имеет жорданову форму.
Из теоремы следует, что любое линейное преобразование комплексного линейного пространства приводится к каноническому виду, а преобразование вещественного линейного пространства приводится к каноническому виду только тогда, когда все корни характеристического уравнения действительные.
1. По таблице (9.13) нетрудно выразить количество жордановых клеток порядка через ранги преобразований , учитывая, что . Количество жордановых клеток порядка равно количеству векторов в первой строке таблицы (9.13):
Количество жордановых клеток порядка равно количеству векторов во второй строке таблицы (9.13):
Продолжая вычисления аналогичным образом, получаем следующий результат: количество жордановых клеток порядка находится по формуле
где — наименьшее натуральное число, при котором .
2. Число в (9.14) равно кратности корня 3. Из пункта 1 следует единственность жордановой формы матрицы линейного преобразования (с точностью до перестановок жордановых клеток), так как состав жордановых клеток (количество и порядки) полностью определяется по размерностям инвариантных подпространств (9.8), (9.9). От выбора базиса зависит расположение жордановых клеток на главной диагонали матрицы (9.11). Поэтому жордановы формы, отличающиеся перестановкой жордановых клеток, считаются одинаковыми.