2*2=4, или Аксиомы арифметики
Все знают, что 2*2=4, а вот доказать это могут немногие. Один из таких людей — мой дорогой френд falcao поделится с нами этим доказательством, а заодно и расскажет об аксиомах арифметики. Дадим ему слово:
«Этот текст — популярное изложение вопроса о том, на каких основаниях строится такая наука как арифметика. Тем, кто математикой не интересуется совсем, нет смысла знакомиться с написанным. Для профессиональных математиков всё излагаемое является стандартным.
Всякий, кто учился в школе, слышал о том, что в геометрии есть аксиомы. Ну, типа того, что через две различные точки проходит одна и только одна прямая. Полный список аксиом геометрии довольно длинный, и в подробностях это дело в школе не изучается. Но все или почти все так или иначе знают, что на основании аксиом при помощи логических рассуждений доказывают разные теоремы. Например, знаменитую теорему Пифагора.
А как дело обстоит в арифметике? У многих это слово ассоциируется с любимой таблицей умножения, действиями над числами вроде сложения или умножения «столбиком». Как ни странно, в школе ни слова не говорят о том, что арифметика тоже может быть построена на аксиомах подобно тому, как это делается в геометрии. При этом известные арифметические законы не упадут к нам с неба, а будут выведены из принятых аксиом. Даже такой факт как «дважды два — четыре» доказывается, хотя само доказательство весьма простое.
Аксиомы арифметики формулируются намного проще аксиом геометрии. В этой связи может показаться странным, что не только в школе, но даже во многих вузах их не только не изучают, но даже не упоминают об их существовании. Разумеется, математикам-профессионалам всё это прекрасно известно, но вот выпускники технических вузов запросто об аксиомах арифметики могли и не слышать.
Я предлагаю сделать сначала несколько простых наблюдений, а потом выписать в явном виде все аксиомы арифметики, которых будет всего пять. Мы возьмём за основу «школьную» версию натурального ряда, считая, что он начинается с единицы. (В некоторых версиях удобнее начинать его с нуля, но это специально оговаривается.)
Итак, посмотрим на натуральный ряд: 1, 2, 3, 4, 5, . и так далее. Что мы можем заметить? В начале стоит число 1, а за каждым числом стоит следующее. Далее, у каждого числа кроме единицы имеется предыдущее. Эти простейшие замечания охватывают четыре из пяти нужных нам аксиом. О пятой аксиоме, наиболее важной из всех, следует поговорить особо. Пока что мы её можем сформулировать несколько упрощённо, сказав, что до любого натурального числа можно досчитать (хотя бы в принципе), начиная с единицы и переходя от очередного числа к следующему за ним.
Сейчас мы немного отвлечёмся и рассмотрим такую известную задачу: как быстро найти сумму 1+2+. +100, т.е. сложить числа от 1 до 100? Один из способов состоит в том, чтобы сгруппировать первое число с последним, второе — с предпоследним и так далее. Всего получится 50 пар, а в каждой паре сумма чисел составит 101. Поэтому вся сумма равняется 5050. Нетрудно проверить, что на самом деле сумма первых n натуральных чисел составит n(n+1)/2 для любого n. То есть мы имеем такую формулу: 1+2+. +n = n(n+1)/2. Это один из примеров утверждения, справедливого для всех натуральных чисел. Можно привести и другие примеры. Возьмём известное правило: от перестановки слагаемых сумма не меняется. В виде формулы мы можем записать этот закон так: a+b=b+a (опять же для любых натуральных чисел a и b).
Итак, мы видим, что ситуация, когда нечто требуется доказать для всех натуральных чисел, встречается весьма часто. Поскольку натуральных чисел бесконечно много, то и частных утверждений приходится доказывать бесконечно много. Возьмём в качестве примера упоминавшийся выше закон a+b=b+a. Число a мы зафиксируем, а число b будем менять. Мы получим бесконечное число утверждений: a+1=1+a, a+2=2+a, a+3=3+a, . и так далее. Как можно в принципе доказать разом бесконечное число утверждений? Представим себе, что мы доказали самое первое. Затем из него вывели второе. Затем из второго вывели третье, и так до бесконечности. Идея состоит в том, что если каждое следующее утверждение выводится из предыдущего одним и тем же способом, то достаточно доказать первое утверждение, а потом объяснить, каким образом из любого утверждения списка выводится следующее за ним.
Сейчас нам удобно будет ввести важное для дальнейшего обозначение. Для любого натурального числа n мы обозначим следующее за ним число через n’. Может возникнуть вопрос: почему n’, а не n+1? Ведь n’ на самом деле равно n+1. Это правда, но мы при построении аксиоматики будем базироваться только на понятии единицы и понятии следующего натурального числа. Сложение — это уже отдельная операция, которая будет определена после того, как мы выпишем все аксиомы. То же касается умножения.
Итак, вернёмся к примеру из предыдущего абзаца. Для того, чтобы доказать бесконечную цепочку однотипных утверждений, нам достаточно научиться решать две задачи, которые мы будем называть «Базой» и «Шагом». Базой будет называться доказательство первого утверждения списка. Шагом — переход от одного утверждения списка к следующему за ним. В рассматриваемом примере это выглядит так:
База. Требуется доказать, что a+1=1+a.
Шаг. Известно, что a+b=b+a для некоторых a,b. Требуется вывести отсюда, что a+b’=b’+a.
Такой приём, который мы здесь использовали, называется методом математической индукции. А теперь дадим полный список аксиом арифметики. Их называют аксиомами Пеано по имени итальянского математика Джузеппе Пеано (1858—1932).
(А1) 1 есть натуральное число.
(А2) Для любого натурального числа n имеется натуральное число, обозначаемое n’ и называемое числом, следующим за n.
(А3) Если m’=n’ для каких-либо натуральных чисел m,n, то m=n.
(А4) Число 1 не следует ни за каким натуральным числом, т.е. n’ никогда не равно 1.
(А5) Если число 1 обладает некоторым свойством P, и для любого числа n, обладающего свойством P, следующее за ним число n’ также обладает свойством P, то всякое натуральное число обладает свойством P.
Последняя аксиома называется принципом математической индукции. По сути она и означает, что до любого числа можно досчитать. Метод доказательства, который мы описали выше, как раз и основан на этой аксиоме. То есть если мы хотим доказать что неким свойством P обладают все натуральные числа, то мы осуществляем две проверки. Сначала проверяем, что 1 обладает свойством P — «База», а затем предполагаем, что какое-то число n уже обладает свойством P и доказываем, что следующее за ним число n’ также обладает свойством P — «Шаг». (Грубо говоря, мы при этом «шагаем» от n к n’.)
Помимо аксиом и теорем в математике также используются определения. Мы имеем право использовать пока только число 1 и применять операцию перехода к следующему числу. Что такое число 2? Пока что оно не определено. Но мы можем дать его определение, сказав, что 2 — это число, следующее за 1, т.е. 1′. Теперь мы знаем, что такое 2 и имеем право определить число 3 при помощи равенства 3=2′. Понятно, что далее мы определяем число 4 как 3′ и так далее. Все числа оказываются теперь в нашем
распоряжении.
Пока что мы не умеем ни складывать, ни умножать числа. Поэтому нам потребуется определить операцию сложения, то есть придать смысл записи x+y, где x,y — натуральные числа. Зафиксируем x и определим последовательно значения выражений x+1, x+2, x+3, . и так далее. Здесь нам на помощь снова приходит идея индукции. Какова первая задача — «База»? Надо определить значение выражения x+1. Как это сделать — понятно: нужно положить по определению, что x+1 есть не что иное как x’. Вторая задача — это «Шаг». Мы будем «шагать» от числа y к числу y’, т.е. будем считать, что значение выражения x+y для данных двух чисел уже определено, и теперь надо определить, чему равно значение выражения x+y’. Легко понять, что это значение на единицу превышает x+y, т.е. следует за ним. И потому за x+y’ нам следует принять не что иное как (x+y)’. Выпишем отдельно получившееся определение сложения:
По сути дела, мы последовательно учимся прибавлять к данному числу x все числа: 1, 2, 3, . . Правило (S1) показывает нам, как прибавить единицу. Чтобы прибавить двойку, т.е. число 1′, мы пользуемся правилом (S2), уже зная, что такое x+1. После этого мы знаем, что такое x+2 и по правилу (S2) находим x+3, т.е. x+2′. Тем самым сумму любых двух чисел мы определили.
Осталось определить операцию умножения, т.е. научиться находить произведение x*y любых натуральных чисел. Мы действуем аналогично. Сначала определим выражение x*1 (всем понятно, что оно равно x). Это приводит к правилу (P1) ниже. Далее мы должны предположить, что для каких-то чисел уже известно, что такое x*y, и требуется придать смысл выражению x*y’. Чему оно должно быть равно? Поскольку мы хотим построить обычную арифметику, то должны выполняться все привычные для нас законы. В частности, должно выполняться правило раскрытия скобок. Это значит, что x*y’=x*(y+1)=x*y+x*1=x*y+x. Заметим, что мы здесь не пользовались законом раскрытия скобок (он у нас не доказан), а лишь следовали нашей надежде, что он будет выполняться. В соответствии с ним произведение x*y’ должно быть определено именно так, как мы это сделали. Итак, вот определение умножения:
Обратим внимание на то, что выражение в правой части равенства (P2) имеет смысл. В самом деле, значение x*y для данных чисел определено, а складывать мы умеем какие угодно числа.
Теперь настал торжественный момент. Мы в состоянии доказать (т.е. вывести из аксиом) одно из самых знаменитых равенств: «дважды два — четыре». При этом, разумеется, мы вовсю будем пользоваться определениями: как самих конкретных чисел — 2, 3, 4, так и определениями для суммы и произведения, которые у нас выписаны в виде правил.
Теорема. 2*2 = 4.
Доказательство. Мы выпишем цепочку равенств, а затем объясним каждый из переходов: 2*2 = 2*1′ = 2*1+2 = 2+2 = 2+1′ = (2+1)’ = (2′)’ = 3′ = 4. Здесь было использовано восемь равенств. Отметим, что в процессе доказательства мы сначала пришли к выводу, что 2*2=2+2 и лишь затем к тому, что ответом будет 4.
Проанализируем каждое из равенств по отдельности. Сначала мы использовали определение двойки: 2=1′. Второй знак равенства использован на основании правила (P2) при x=2, y=1. Это естественно, так как перед нами стояла задача умножить 2 на 1′. Далее мы воспользовались правилом (P1) при x=2, заменяя 2*1 на 2. Теперь мы должны вычислить 2+2. Второе слагаемое по определению равно 1′, т.е. нужно выполнить действие 2+1′. В этом нам поможет правило (S2) при x=2, y=1. Теперь правило (S1) поможет нам вычислить сумму 2+1. Мы получим 2′, т.е. 3 в силуопределения тройки. Наконец, последний переход основан на использовании определения числа 4. Теорема доказана!
Вот какие «глубины» скрываются за столь простыми фактами. Ясно, что вся таблица умножения может быть получена таким же образом (т.е. каждое равенство из таблицы умножения — это отдельная теорема).
Возникает вопрос: а что же идёт дальше? На очереди — доказательство основных законов арифметики, а именно:
1. (a+b)+c=a+(b+c) — сочетательный (ассоциативный) закон сложения
2. a+b=b+a — переместительный (коммутативный) закон сложения
3. (a+b)*c=a*c + b*c — распределительный (дистрибутивный) закон
4. (a*b)*c=a*(b*c) — сочетательный (ассоциативный) закон умножения
5. a*b=b*a — переместительный (коммутативный) закон умножения
Заметим, что при кажущейся «простоте» последний закон имеет довольно длинное (хотя и вполне тривиальное) доказательство, основанное на предыдущих законах.
Все законы доказываются примерно по одной и той же схеме — методом математической индукции. Проиллюстрируем это на примере первого из них.
Нам требуется доказать, что (a+b)+c = a+(b+c) для любых натуральных чисел a,b,c. Значения первых двух чисел зафиксируем, а третье число c будет последовательно принимать значения c=1, c=2, c=3, . и так далее. В соответствии с принципом математической индукции достаточно доказать два утверждения: «Базу» (c=1) и «Шаг» (от c к c’).
База. Здесь c=1. Требуется доказать, что (a+b)+1=a+(b+1). Действительно, (a+b)+1=(a+b)’=a+b’=a+(b+1). Здесь мы сначала использовали правило (S1) при x=a+b, поменяв местами правую и левую части. Второй переход основан на правиле (S2). Третий переход — это правило (S1) при x=b.
Шаг. Пусть дано, что (a+b)+c=a+(b+c) для некоторых чисел a,b,c. Требуется доказать, что (a+b)+c’=a+(b+c’). Доказательство: (a+b)+c’=((a+b)+c)’=(a+(b+c))’=a+(b+c)’=a+ (b+c’). Здесь сначала использовано (S2) при x=a+b, y=c, затем данное нам предположение о том, что (a+b)+c=a+(b+c), потом вновь правило (S2) при x=a, y=b+c и на последнем шаге — снова (S2) при x=b, y=c.
На этом пути доказываются и другие законы. Заметим, что при доказательстве «Базы» для случая второго из законов мы приходим к необходимости проверить равенство a+1=1+a. Оно само по себе содержит бесконечно много утверждений, и в таких случаях снова работает метод математической индукции. То есть наиболее простой путь состоит в том, чтобы сначала доказать лемму о том, что 1+a=a’ (при помощи индукции), а потом воспользоваться леммой в ходе доказательства переместительного закона сложения.
Этими законами всё не ограничивается. Так, часто используются следующие законы сокращения:
6. из условия a+c=b+c следует a=b — закон сокращения для сложения
7. из условия a*c=b*c следует a=b — закон сокращения для умножения
(Заметим, что закон 6 верен для любых чисел, а закон 7 — нет, так как на ноль сокращать нельзя. Но в нашей ситуации все числа положительны, и закон справедлив.) Кстати, мы очень часто использовали аксиому (A5); также мы использовали аксиомы (А1) и (А2), говоря о единице и о взятии следующего числа. Аксиомы (А3) и (А4) не использовались; они нужны для доказательства законов сокращения. Причём закон сокращения для умножения не так-то просто доказать «в лоб», и удобнее всего для начала ввести неравенства и доказать их основные свойства. Проиллюстрируем это на примере определения отношения «меньше». Что означает, что число x меньше числа y? Ясно, что большее из чисел равно сумме меньшего из чисел и ещё какого-то (положительного) числа. Поэтому определение выглядит так: считаем, что x меньше y, если найдётся такое (натуральное) число z, что x+z=y.
Вот так строится арифметика. Основные понятия, аксиомы, определения, теоремы. Отдельно заметим, что мы говорили лишь об элементарных свойствах чисел. А вообще-то теория чисел — наука очень сложная: в ней имеются открытые проблемы, поставленные несколько сотен лет назад, формулировка которых понятна любому школьнику. Они пока ждут своего решения.»
Просто, как дважды два четыре
Наверное, каждый из хабровчан хотя бы раз в жизни слышал это выражение. Действительно, что может быть проще? Однако я знавал преподавателя математического анализа, который, услыхав подобное, ехидно улыбался в усы и предлагал доказать этот факт. После этого у говорившего обычно случался когнитивный диссонанс.
И действительно, как же доказать, что 2 × 2 = 4? Ответ под хабракатом.
Дисклеймер
Начнём с начала
Что такое натуральные числа? Четверо из пяти людей, встреченных на улице, ответят:«Это один, два, три и так далее». Более строгая формулировка этого ответа, которую я встретил в школьном учебнике, гласит: натуральные числа — это члены арифметической прогрессии, начинающейся с 1 и имеющей разность 1. Другое определение из учебника: это числа, которые используются для обозначения количества объектов.
До конца XIX века натуральные числа определялись примерно так, либо не определялись вообще, полагаясь чем-то самим собой разумеющимся. А потом началась перестройка: здание математики стали переносить на фундамент теории множеств, и вещи, которые ранее казались элементарными, внезапно потребовали строгого обоснования.
Аксиоматика Пеано
Товарищ Джузеппе Пеано, большой озорник и затейник (чего стоит хотя бы латино-сине-флексионе), создал очень простую и компактную аксиоматику натуральных чисел, используемую и поныне. Натуральные числа в его интерпретации похожи на структуру данных «односвязный список» — правда, бесконечный.
Итак, натуральные числа — это множество ℕ с заданной на нём функцией следования a → a’, которые удовлетворяют следующим трём аксиомам:
Эта аксиома означает, что наш односвязный список бесконечен. Нет такого элемента, у которого в поле «next» записан null. Также это именно список, а не какое-нибудь бинарное дерево: у каждого элемента только один следующий.
У списка должна быть голова, причём только одна. Список не должен зацикливаться (за третьим элементом не может следовать второй).
Без этой аксиомы можно было бы, допустим, добавить к множеству натуральных чисел ещё одно число-уроборос, следующее за самим собой. Или ещё два числа, которые следуют друг за другом. Иначе говоря, аксиома 3 не допускает утечек памяти, которые могли бы возникнуть из-за изолированных кусков списка, до которых нельзя добраться по ссылкам, если идти от головы. Если из натуральных чисел можно что-то выкинуть — это не натуральные числа.
Сложение и умножение
Удивительно, но здесь нет ни слова о коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и прочих свойствах сложения и умножения, о которых рассказывают в школе. Все они выводятся из этих четырёх базовых.
2 × 2 = 4
Вооружившись знаниями, мы можем теперь перейти к доказательству. Однако сначала нужно понять две вещи: что такое 2 и что такое 4. Двойка следует за единицей, поэтому 2 = 1′. Четвёрка следует за тройкой, которая, в свою очередь, следует за двойкой, которая, как я уже говорил, следует за единицей — поэтому 4 = 1»’.
Итак, нам нужно доказать следующее: 1′ × 1′ = 1»’.
Сначала докажем, что дважды два — это два плюс два. Действительно,
Теперь докажем, что 2 + 2 = 4.
Заключение
Всякая простая вещь, если вглядываться в неё пристально, через какое-то время перестаёт казаться простой. Натуральные числа и операции над ними — не исключение, а скорее яркий пример. Ещё более сложным и интересным образом в современной математике строятся множества целых, рациональных и действительных чисел. Но это тема совсем другого разговора.
Пост скриптум
Как известно, одна и та же теория может опираться на совершенно разные системы аксиом. У той же аксиоматики Пеано существует куча вариантов, отличающихся по формулировке, но принципиально схожих. Так как же вводится аксиоматика натуральных чисел в школе?
Это не произносится вслух (да школьники к тому моменту и не знают ещё страшных слов типа «множество» и «функция»), но по сути множество натуральных чисел в школе определяется как множество строк специальных символов, называемых цифрами. Строки должны быть конечными, непустыми и не должны начинаться с символа, называемого нулём.
Отношения равенства и неравенства, сложение, вычитание, умножение и деление — всё это определяется через операции над строками символов. Для строк из одного символа (т.е. для отдельных цифр) существуют специальные таблицы — таблицы сложения и умножения. Для более длинных строк специальные правила позволяют свести действия над ними к действиям над отдельными цифрами. Эти правила и таблицы и являются школьной аксиоматикой натуральных чисел.
В таком понимании натуральных чисел «2 × 2 = 4» — часть аксиоматики, поскольку это тождество содержится в таблице умножения. Тогда, действительно, ничего проще быть не может. Но аксиоматику Пеано всё равно знать не вредно.
Почему квадрат не положительный?
«Это потому, что возвести число в квадрат означает просто умножить его само на себя. Например, (−2) в квадрате равно (−2)(−2)=4. Обратите внимание, что это положительный потому что при умножении двух отрицательных чисел получается положительный результат». – Это, конечно, прямо противоположно тому, что было задано, но это данный ответ.
Отсюда, почему в квадрате отрицательный?
Почему квадрат 1 отрицательный? Это потому, что я определяется как квадратный корень из отрицательного, и когда вы умножаете i на себя или, другими словами, на квадрат i, вы умножаете два квадратных корня, чтобы получить квадрат. Квадрат в этом случае будет -1.
Похожие страницы:Блог
Сколько секунд в месяце? В некоторых месяцах разное количество секунд?
Какие есть 3 вида налогов?
Как найти среднюю точку между двумя точками?
Как вы делаете кадровые прогнозы?
Кроме того, является ли минус один в квадрате положительным? (-1)^2 = (-1) (-1) = 1. Квадрат любого отрицательного числа всегда положителен . Если вы не пытаетесь сказать отрицательное значение квадрата 1, которое равно — (1) ^ 2 и равно -1.
Может ли квадратный корень быть отрицательным? Итак, в стране действительных чисел, число под знаком квадратного корня не может быть отрицательным числом. Чтобы показать отрицательное значение квадратного корня, необходимо поставить отрицательный знак вне корня.
Почему 2 отрицательных, а не положительных?
С каждым числом связано «аддитивное обратное» (своего рода «противоположное» число), которое при добавлении к исходному числу дает ноль. … Тот факт, что произведение двух отрицаний является положительным, поэтому связан с тем фактом, что Обратное к положительному числу — это то же положительное число..
Можно ли возвести в квадрат? 1 в квадрате – это число, которое, при умножении на себя дает один. Это число равно 1, потому что 1 * 1 = 1.
Почему квадратный корень всегда положителен? Квадратный корень из любое число может быть положительным только потому, что оно говорит только число. Даже отрицательное число после возведения в квадрат становится положительным тождеством. Следовательно, квадратный корень — это число или математически только целое число или дробь. Оно не может быть положительным или отрицательным.
Можно 1 в квадрате?
Любое число, умноженное на 1, равно самому числу. Следовательно, 1. 1 квадрат это просто 1. 1 во второй степени эквивалентно умножению 2 на 1.
Также в чем разница между 1 в квадрате и (- 1 в квадрате?
Каков квадрат отрицательных 4?
-4 — отрицательное число. Поэтому его квадратный корень это невозможно, т.е. ✓-4 невозможно. Такие числа называются мнимыми числами.
Что такое отрицательный квадрат? Да, можно возвести в квадрат отрицательное число. … Это потому, что возвести число в квадрат означает просто умножить его само на себя. Например, (-2) в квадрате — это (-2) (- 2) = 4. Обратите внимание, что это положительное значение, потому что при умножении двух отрицательных чисел вы получаете положительный результат.
Квадратный корень положительный или отрицательный?
Квадратный корень из числа b является решением уравнения x2=b . Каждое число, кроме 0, имеет два квадратных корня, положительный и отрицательный. Чай положительный квадратный корень — главный квадратный корень и пишется √b . Чтобы обозначить отрицательный корень, напишите -√b, а чтобы указать оба корня, напишите ±√b.
Должны ли квадратные корни быть положительными?
Квадратный корень из любого числа может быть положительным только потому, что он говорит только о числе. Даже отрицательное число после возведения в квадрат становится положительным тождеством. Следовательно, квадратный корень — это число или математически только целое число или дробь. Оно не может быть положительным или отрицательным.
Является ли 0 положительным? Чай число ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Положительные и отрицательные числа иногда называют числами со знаком. в. Положительные числа можно записывать как со знаком плюс, так и без него.
Как доказать, что два отрицательных числа положительные? Когда вы умножаете отрицательное число на другое отрицательное число , результатом является положительное число.
.
где a и b могут быть:
- Числа (т.е. a = 5, b = 1/2)
- Константы.
- Переменные.
- Выражения [т.е. a = (y 2 + 6), b = (h − w + z)]
Какое наименьшее положительное целое число?
0 это наименьшее положительное целое число.
Является ли квадрат нуля неопределенным? Любое число, умноженное на ноль, дает ноль, оно никогда не может равняться 2. Поэтому мы говорим деление на ноль не определено. Возможного решения нет.
Что такое куб отрицательных 5?
Кубический корень из -5 равен отрицательному значению кубического корня из 5. Следовательно, ∛-5 = -(∛5) = -(1.71) = -1.71.
Квадратные корни положительные и отрицательные? Квадратный корень из числа b является решением уравнения x2=b . Все числа кроме 0 имеет два квадратных корня, положительный и отрицательный. Положительный квадратный корень является главным квадратным корнем и записывается √b .
Положителен ли квадрат каждого действительного числа?
Первоначальный ответ: Является ли квадрат каждого действительного числа положительным? Нет. Ноль — это единственное число, возводя которое в квадрат мы снова получаем нейтральное число (Ноль). Для любого другого действительного числа положительный или отрицательный, квадрат всегда положителен.
Квадратный корень из 4 равен минус 2? Значение корня 4 равно ровно 2. Но корни могут быть положительными или отрицательными, или мы можем сказать, что для любого заданного числа всегда есть два корня. Следовательно, корень 4 равен ±2 или +2 и -2 (положительные 2 и отрицательный 2).
.
Квадратный корень от 1 до 50.
Почему 2 в квадрате равно 4
2 в квадрате — это четыре; 3 в квадрате — это девять; 4 в квадрате — это 16; угол в квадрате — это ? квадрат угол
Квадрат — это прямоугольник, у которого равны все стороны и все внутренние углы. У квадрата четыре стороны и четыре внутренних угла. А это означает, что надо поделить 360 градусов на 4 и получится величина внутреннего угла, равная 90о. Если величину выражать в радианах, то величина внутреннего угла равна π/2. Если же вас интересует внешний угол, то он будет равен 360-90=270о. Или в радианах 2π−π/2=3π/2 радиан. Еще углы квадрата называют прямыми. Когда задают вопрос — чему равен угол в квадрате, то речь также может идти о о центральном угле (угол с вершиной в центре квадрата и сторонами угла, идущими к вершинам). Такой угол тоже равен девяносто градусов. Но, скорее всего вас интересует все таки величина внутреннего угла при вершине квадрата, поэтому на вопрос: чему равен угол в квадрате самый надежный ответ: угол в квадрате равен 90о.
Да, уж. Ты, наверное, не замужем.
а что , это что то меняет ?
Для меня ничего.
Вроде у квадрата все 4 угла были одинаковы и звали их прямыми. Или реформа образования уже и до них добралась и я многое упустил за 40 лет, пока прогуливал уроки?
. наказание.
. прямой (90 градусов,угол).
. грузинский (с учётом произношения) вариант- "уголь в печИ".
В одной сумке 6 яблок, в другой 7 груш, а в пакете — 1 литр молока. Сколько всего получается? А вообще-то это — 90º.
Задачки решать не хочу.. Любуюсь Вами,как талантливым,надеюсь.музыкантом.. Я тоже всю жизнь с музыкой!
Такого не бывает, есть cos2а или sin2a, но угла в квадрате не бывает. Есть факториал, чему равно 5!.
А в общем-то извини. Ты уже старый пенёк, времени много прошло, выветрились даже элементарные знания.
Да, Виктор, оскорблений наговорил, а формулу квадрата угла так и не написал. Либо ты провокатор, либо безграмотный. Есть квадраты cos и sin, две теоремы на них, но не слышал я про квадрат угла, так напиши формулу, а то выпендрился, дельного не сказал. Мальчонка.
Эх, . не в моих это правилах. Но уж нарушу специально для тебя. Во-первых: ты исказил текст вопроса — не квадрат угла, а угол в квадрате (так я написал в вопросе).А ты нарисуй квадрат и измерь в нём любой угол. Он будет равен 90 градусов. Вот и весь ответ, грамотей.
Да в последнем ответе, поменял слова местами, уж слишком много проблем решать за этот месяц приходилось. Да, как ты написал, сейчас сообразил, что не степень числа ты имел ввиду, а просто квадрат. Давай, умный ты наш, я одну букву поменяю, угадай загадку: Вышел месяц на крыльцо, там засеребрился. /Кто остался на крыльце, когда месяц скрылся. Поменяна одна буква. И чем отличается ромб от квадрата?