Как построить спираль с помощью конструкторского квадрата

0

Как построить спираль с помощью конструкторского квадрата

II.3. Обозначение основных размеров лопастных нагнетателей:
1 — для центробежных (радиальных); 2 — для осевых

II.4. Выходные радиальные направляющие аппараты: 1 — плоский щит; 2 — лопастной аппарат

II.5. Построение спирального корпуса

Как сделать пружину в Компасе?

Пружины — важнейшие части различного рода механизмов и сборок. Создать ее трехмерную модель проще, чем может показаться на первый взгляд. В текущей статье речь пойдет про то, как сделать пружину в Компасе.

Так как основой пружины является спираль, то с создания ее эскиза и начинается моделирование.

Как создать спираль в Компас 3D?

Спираль как инструмент часто используется при построении геометрии определенного вида деталей, таких как пружины, шнеки или резьбы на болтах и винтах. В Компасе существует специально разработанный инструмент «Спираль», который без всяких проблем позволит воплотить мысль в модель.

Если Вы планируете обустройство водосточной системы в своем частном доме, то рекомендую обратиться к грамотным специалистам компании Roofkey. Они предложат грамотный подход к обустройству системы и реализуют ее по доступным ценам.

Спираль может быть как цилиндрической формы, так и конической, в которой противоположные стороны имеют различные размеры оснований. За их создание отвечают разные инструменты.

Как создать цилиндрическую спираль в Компас 3D?

Сделать пружину в Компасе без создания эскиза спирали не получится штатными способами. Чтобы создать цилиндрическую спираль в Компасе, нужно открыть новую деталь, на ленте инструментов найти вкладку «Элементы каркаса», а на ней кнопку «Цилиндрическая спираль» (рис. 1). После активации кнопки, откроется древо параметров (обычно, это панель слева от рабочего поля) с перечнем настроек для построения (рис. 2). Следует подробнее рассмотреть необходимые для построения спирали настройки.

• Базовая плоскость. В этом пункте происходит выбор той плоскости (или существующей грани детали) перпендикулярно которой будет строиться будущая спираль.
• Диаметр. Задание размеров для спирали.
• Способ построения. В этом пункте можно выбрать один из трех методов построения, для каждого из которых будут требоваться свои переменны для моделирования спирали. На выбор предлагаются: по числу витков и высоте, по шагу и высоте, по числу витков и шагу.
• Высота. В этом пункте указывается высота спирали, однако на выбор есть так же три метода построения: по расстоянию (просто указывается размер), по объекту (выбирается уже присутствующая в рабочем поле деталь), по плоской кривой (заранее создается эскиз с кривой, он и выбирается).
• Направление навивки. Можно выбрать как левое, так и правое построение спирали.
• Начальный угол. Поворот будущей спирали вокруг своей оси вращения.

После ввода этих исходных данных в рабочем поле появится фантом будущей спирали (рис. 3). Если все устраивает, нажимается зеленая галочка в верхней части панели параметров. Таким образом строится эскиз цилиндрической спирали в Компасе.

Как создать коническую спираль в Компас 3D?

Чтобы создать коническую спираль в Компас 3D нужно так же воспользоваться инструментом построения спирали (рис. 1). Только в этом случае необходимо в верхней части древа параметров переключить режим построения на коническую (рис. 4). В текущем варианте вводятся свои параметры для построения.

• Диаметр по объекту. Выбирается ранее созданный эскиз с окружностью.
• Способ построения. На выбор: по значению диаметра (указывается начальный и конечный размеры), по углу образующей (указывается угол наклона спирали).

После ввода исходных для построения спирали конической данных, в рабочем поле появится фантом, после чего нажимается зеленая галочка для завершения создания (рис. 5).

Как сделать пружину в Компас 3D?

Чтобы создать пружину в Компас 3D, необходимо придать толщину виткам ранее созданной спирали. Для этого нужно в начале спирали построить ортогонально направленный эскиз с окружностью с центром в начале спирали (рис. 6). Далее, активируем инструмент «Элемент по траектории» и последовательно указываем саму спираль и эскиз, так же фантом будущей детали покажет, как она будет выглядеть (рис. 7). После этого с помощью нажатия на зеленую галочку применяется создание пружины (рис. 8).

К слову, в Компасе так же можно сделать поперечный эскиз не только в виде окружности, но и любой другой формы, и сделать спираль более причудливой формы.

Таким образом, сделать пружину в Компасе без проблем можно даже с помощью штатного функционала программы.

Как построить спираль с помощью конструкторского квадрата

II.3. Обозначение основных размеров лопастных нагнетателей:
1 — для центробежных (радиальных); 2 — для осевых

II.4. Выходные радиальные направляющие аппараты: 1 — плоский щит; 2 — лопастной аппарат

II.5. Построение спирального корпуса

l = 0,8

r_I = 0,5D2 + 3,5a = 0,5 644 + 3,5 129 = 773,5 мм

r_II = 0,5D2 + 2,5a = 0,5 0,644 + 2,5 129 = 644 мм

r_III = 0,5D2 + 1,5a = 0,5 644 + 1,5 129 = 515,5 мм

r_IV = 0,5D2 + 0,5a = 0,5 644 + 0,5 129 = 386,5 мм

Z=

Z=3,14

Спираль из точек вектор

Мы уже широко использовали круги для создания различных сеток для нескольких шаблонов. В этом уроке мы используем круги ради них, а именно в двух типах конструкций: спирали и вписанные круги.

Спирали

Спирали бывают разных типов. Расстояние между поворотами и углом поворота определяет их внешний вид. Некоторые могут быть определены с помощью математического уравнения, которое переводит для конкретных спиралей в простые геометрические конструкции — приблизительные, но достаточно хорошие для глаза.

Обычная или архимедова спираль

Эта спираль определяется равным расстоянием между струнами, так что она имеет концентрический внешний вид. Она рисуется перемещением точки циркуля из одной точки в другую в базовой фигуре, которая может быть сегментом (двумя точками), треугольником, квадратом и т.д. Чем больше точек, тем плотнее и совершеннее спираль, но поскольку это также делает конструкцию более утомительной, шестиугольник является самым высоким, как правило.

Спираль, построенная по двум точкам

Шаг 1

На горизонтальной линии нарисуйте полукруг, маленький насколько это возможно. Это первый поворот спирали, и две точки, где он пересекает линию, являются точками построения.

Шаг 2

Поместите циркуль в одну из точек, откройте его, чтобы встретить другого, и нарисуйте полукруг на другой стороне линии. Две полуокружности образуют непрерывную кривую.

Шаг 3

Переместите циркуль назад к первой точке, откройте его, чтобы встретить конец кривой, и нарисуйте еще один полукруг.

Шаг 4

Продолжайте в этом ключе, перемещая циркуль из одной из точек построения в другую и каждый раз настраивая открытие, чтобы взять кривые, где вы остановились.

Продолжайте сколько угодно. Спираль будет выглядеть так:

Спираль, построенная на трех точках

Метод тот же, но мы начинаем с равностороннего треугольника, стороны которого расширены. Циркуль будет перемещаться из пункта 1 в 2 в 3, затем обратно в 1 и так далее. Если стороны вытянуты, как показано здесь, спираль поворачивается по часовой стрелке (и циркуль перемещается от точки к точке по часовой стрелке).

Шаг 1

Нарисуйте первую дугу.

Шаг 2

Переместитесь к следующей точке, отрегулируйте отверстие и нарисуйте следующую дугу.

Шаг 3

Переместитесь в третью точку и повторите.

После нескольких поворотов спираль выглядит так:

Спираль, построенная на четырех точках

Наша база теперь квадратная, и мы по-прежнему работаем по часовой стрелке. По мере того, как угол поворота уменьшается (сначала он составлял 180º для каждого, затем 120º, теперь для 90º), спираль становится более гладкой.

Шаг 1

Нарисуйте первый четверть круга.

Шаг 2

Перейдите ко второй точке, отрегулируйте раскрытие циркуля и нарисуйте следующий четверть круга.

Шаг 3

Повторите с третьей и четвертой точками.

Шаг 4

Как выглядит спираль за несколькими оборотами:

Спираль, построенная на шести точках

С шестиугольником в качестве основания, конструкция действительно такая же. Важнейшей составляющей является очень точное рисование оснований и расширение их сторон. Затем просто пробегите шесть пунктов:

Спираль через несколько оборотов:

Когда эти спирали располагаются бок о бок, мы можем оценить, насколько они более плавные и идеально круговые, когда база имеет большее количество точек.

Золотая спираль

В отличие от регулярных спиралей выше, расстояние между последовательными поворотами в логарифмических спиралях растет в геометрической последовательности. Такие спирали, обнаруженные в росте многих организмов, являются автомодельными: размер спирали увеличивается, но ее форма не изменяется (для этого ее также называли спира мирабилис, «чудо-спираль»). Золотая спираль — это тип логарифмической спирали с фактором роста, связанным с Золотым числом.

Самый простой способ нарисовать такую спираль — начать с ее внешних границ, в отличие от предыдущей. Поэтому мы начнем с построения золотого прямоугольника (я объясню, что это такое, когда это сделано).

Шаг 1

Построить квадрат. (Забыл как? См. Раздел Работа с 4 и 8.)

Шаг 2

Растяните стороны AB и DC.

Шаг 3

С точкой на E и циркулем, открытым для EC, нарисуйте дугу, которая разрезает расширенный AB на G.

Шаг 4

Переместите черновую точку на F и нарисуйте дугу, которая разрезает расширенный CD на H.

Шаг 5

Соедините к GH, чтобы закончить прямоугольник.

Это называется золотым прямоугольником, потому что AB/AG = BG/AB, другими словами отношение длинной стороны ко всему сегменту такое же, как отношение более короткой стороны к более длинной.

Бумага формата A4 (или любой другой размер в серии A) является золотым прямоугольником, поэтому вы можете использовать его общую поверхность в качестве внешнего прямоугольника и перейти сразу к шагу 6.

Шаг 6.

Теперь нам нужно разбить этот прямоугольник на квадраты. У нас уже есть первый квадрат. Следующий будет выведен из прямоугольника BGHC.

Поместите черновую точку на B и откройте ее на длину короткого сегмента. Отметьте I в BC.

Переместите черновую точку в G и отметьте J на GH.

Шаг 7.

Соедините IJ: теперь у нас есть квадрат BGJI, и новый прямоугольник остался.

Шаг 8

Повторите эту операцию в каждом последующем прямоугольнике, всегда создавая квадрат относительно внешнего края прямоугольника.

Когда у нас будет достаточно квадратов или они станут слишком маленькими для работы, мы можем нарисовать спираль.

Шаг 9

Поместите черновую точку на C, пусть отверстие будет равняться стороне первого квадрата, и нарисуйте четверть окружности DB.

Шаг 10

Переместите черновую точку на I, уменьшите отверстие в сторону второго квадрата и нарисуйте дугу BJ.

И так далее по всем квадратам .

Чувство этой спирали сильно отличается от концентрического и даже статического появления регулярных спиралей: оно гораздо менее сложенное, с динамическим движением.

Вписанные круги

Круги могут быть вписаны, то есть втянуты внутрь фигуры таким образом, чтобы касаться ее сторон, под углами, многоугольниками или другими кругами. Это устройство является основой большей части декоративной геометрии Запада, например, в кельтском освещении или готических розовых окнах. Мы рассмотрим две базовые конструкции, которые мы можем использовать с любым многоугольником или любым количеством кругов внутри круга, а затем построить два полноценных окна с их узором.

Круг в секторе

Этот метод позволяет вам подбирать количество кругов по вашему выбору внутри круга. Начните с разделения круга равномерно на нужное количество разделов, затем для каждого сектора выполните следующее. Показанный здесь сектор состоит из круга, разделенного на шесть.

Шаг 1

Разделите сектор пополам. Биссектриса режет дугу в точке Q.

Шаг 2

Теперь нам нужно провести перпендикуляр к PQ в Q. С черновой точкой компаса на Q и любым отверстием нарисуйте дугу, которая разрезает биссектрису в точке A.

Шаг 3

Переместите сухую точку в A и нарисуйте еще одну дугу, разрезав первую на B.

Шаг 4

Соедините линию AB и немного растяните ее.

Шаг 5

При том же открытии циркуля и точке на B отметьте точку C.

Шаг 6.

CQ — перпендикуляр к PQ.

Шаг 7.

Расширьте одну сторону сектора, чтобы разрезать CQ в точке E.

Шаг 8

Распределите пополам угол QEP.

Эта биссектриса разрезает QP в точке O.

Шаг 9

Point O — центр круга, вписанного в этот сектор. Теперь круг можно нарисовать, с точкой циркуля на O и открытием, установленным на OQ.

Вот некоторые возможности, в зависимости от количества секторов, в которые был разбит круг. Обратите внимание: круги, которые касаются, дуги между их точками контакта могут быть опущены для создания розетки.

Круг в воздушном змее

Этот метод должен соответствовать числу кругов в полигоне, равному числу сторон этого многоугольника (три круга в треугольнике, пять в пятиугольнике, четыре или восемь в восьмиугольнике . ).

Сначала соедините центр каждой стороны с центром многоугольника, разделив полигон на змеи, а затем выполните следующие действия для каждого змея.

Шаг 1

Bisect ACB. Эта биссектриса разрезает AB на O.

O — центр нашей вписанной окружности, но чтобы точно определить радиус круга, нам нужно найти точку F на AD так, чтобы OF перпендикулярно AD. Это цель остальных шагов:

Шаг 2

Когда черновая точка на A и циркуль открыты для AO, нарисуйте дугу.

Шаг 3

Переместите черновую точку в D и повторите, чтобы найти точку E.

Шаг 4

Соедините к OE, чтобы разрезать AD на F.

Шаг 5

Вписанная окружность теперь может быть нарисована с центром O и радиусом OF.

Как и в предыдущей конструкции, разные полигоны приведут к разным формам, а внутренние дуги могут быть стерты для создания розетки.

Окно Трискеле (три круга)

Такие церковные окна, выдающие кельтское влияние, могут быть замечены во многих местах вокруг Британских островов.

Шаг 1

Начните с круга. Разделите его на шесть и нарисуйте диаметры.

Шаг 2

Соедините три из этих точек, чтобы создать равносторонний треугольник.

Шаг 3

С открытием циркуля ниже нарисуйте круг, вписанный в треугольник.

Шаг 4

Нарисуйте еще один треугольник, вписанный в этот круг.

Шаг 5

С раскрытием компаса ниже, нарисуйте три окружности, центрированные в точках треугольника.

Шаг 6.

С раскрытием циркуля ниже нарисуйте круг, в который вписаны три меньших.

Если вам просто нужен линейный рендеринг, вы можете остановиться здесь и покрасить следующие дуги:

Чтобы нарисовать узор окна, то есть дать этим линиям их собственную толщину и детализировать (где «линия», являющаяся оконной рамкой, имеет собственную толщину и детали), продолжайте .

Шаг 7.

Поместите черновую точку, где находится одно из пересечений диаметра с последним кругом, который мы нарисовали, и установите отверстие на разницу между двумя большими кругами. Нарисуйте небольшой круг.

Шаг 8

Верните сухую точку в исходный центр и откройте ее, как показано. Нарисуйте третий, самый внутренний большой круг.

Шаг 9

Теперь для каждого из трех кругов нарисуйте внутренний круг, используя отверстие, показанное ниже.

Шаг 10

Теперь измените отверстие, как показано, и для каждого из трех, нарисуйте эту дугу:

Шаг 11

Теперь вы можете чертить два внешних круга .

. тогда внутренние капли .

. и, наконец, центральные линии трискеле.

Окно Розетки (Восемь Кругов)

Это окно с западного фасада Шартрского собора и старейшее в здании.

Шаг 1

Начните с большого круга. Разделите его на восемь, выполнив шаги для рисования квадрата (нет необходимости рисовать сам квадрат, потому что нам нужны только его диагонали).

Шаг 2

Разделите половину секторов пополам, чтобы разделить круг на 16.

В настоящее время существует восемь диаметров. Число пунктов для ясности.

Шаг 3

Соедините точки с четными номерами, чтобы создать статический восьмиугольник.

Шаг 4

Стороны восьмиугольника разрезали диаметры в восьми точках. Соедините их, чтобы создать вписанный динамический восьмиугольник.

Шаг 5

Теперь нарисуйте еще один статический восьмиугольник, вписанный в предыдущий.

Шаг 6.

Теперь, возвращаясь к пронумерованным точкам, соедините следующие пары: 2-8 и 10-16, затем 4-14 и 6-12.

Шаг 7.

Соедините 2-12 и 4-10, и, наконец, 6-16 и 8-14.

Обратите внимание на следующие места, где пересекаются три линии: это центры восьми кругов, образующих розетку.

Шаг 8

С открытием циркуля ниже нарисуйте круг, центрированный по каждой из этих точек.

Покажите дуги, показанные здесь.

Шаг 9

Измените открытие циркуля, как показано здесь, и повторите. Нет необходимости рисовать полные круги — вы можете остановить дуги, где они соответствуют диаметру, и закрасить их таким образом.

Шаг 10

Измените отверстие циркуля еще раз и повторите, снова останавливаясь на диаметре.

Шаг 11

Соедините открытые концы дуг.

Шаг 12.

Чертим линии между дугами; Они являются частями диаметров.

Шаг 13.

С последней настройкой циркуля, нарисуйте и закрасьте круг ниже.

Шаг 14.

Наконец, чертим на внешнем круге.

В этой главе о кругах мы закончили основную часть этих уроков по геометрическим проектам. Со следующего месяца мы сосредоточимся на полных моделях и мотивах все более сложной с Востока и Запада.

Упражнения

1. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 4 φ .

2. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = cos φ .

3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от де­картовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением

4. Докажите, что уравнение

задает эллипс, если 0 > 1.

5. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = — φ . Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?

6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?

7. Нарисуйте гиперболическую спираль , задаваемую уравнением r = .

8. Нарисуйте спираль Галилея , которая задается уравнением r = a 2 ( a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.

9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | |.

10. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

11. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.

1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.

2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.

3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.

4. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола / Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. — / Приложение к журналу «Квант» № 2/2001.

5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.

6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. — / Популярные лекции по математике, выпуск 4.

7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.

8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.

9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.

10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.

Как начертить правильную спираль

Спиралью называется плоская кривая, описываемая точкой, удаляющейся от центра при совершении кругового движения в плоскости чертежа вокруг центра спирали. На практике различают спирали с постоянным и постепенно возрастающим расстоянием между завитками. Обычно спирали строят по точкам и вычерчивают с помощью лекала.

Для того чтобы расчертить спираль, необходимо наметить не менее двух ее центров. Если вычерчивают спираль из трех или более центров, то обычно центрами спирали являются вершины правильного треугольника или правильного многоугольника. Каждую дугу проводят из последующей вершины до пересечения с лучом из угла треугольника или многоугольника. Радиус при этом каждый раз увеличивается на длину, равную длине стороны треугольника или многоугольника.

Рассмотрим, например, как начертить так называемую «архимедову спираль» (рис. 17, а ). Для этого нужно провести горизонтальную линию и отметить на ней две точки О 1 и О 2, отстоящие одна от другой примерно на 3 мм. Поставив ножку циркуля в одну из этих точек (О 1), проведите дугу радиусом 3 мм (R 1), равную половине окружности. Концы этой дуги должны опираться на горизонтальную ось (в данном примере – сверху).

Затем перенесите ножку циркуля во вторую из отмеченных точек и увеличьте его раствор так, чтобы карандаш попал в конец первой дуги. Снова проведите половину окружности радиусом R 2, опирающуюся на горизонтальную линию, но уже с противоположной стороны (снизу). Таким же образом, переставляя ножку циркуля то в первую, то во вторую точку и каждый раз увеличивая его раствор, продолжайте разворачивать спираль. На рис. 17, а , изображено четыре полных оборота.

Для построения спирали, имеющей три центра (рис. 17, б), находящихся на равных расстояниях один от другого, необходимо предварительно построить равносторонний треугольник 1–2–3 (заштрихован) и продолжить его стороны так, как это показано на рисунке (линии 1–1’, 2–2’ и 3–3’ ).

Из центра 1 проводим дугу 3–1’ радиусом R 1, равным длине стороны треугольника, до пересечения с продолжением стороны 1–1’ . Затем из центра 2 описываем дугу радиусом R 2 = 2R 1 до пересечения с продолжением стороны 2 (линия 2–2’ ). После этого из центра 3 проводим дугу радиусом R 3 = 3R 1 до пересечения с продолжением стороны 3 (линия 3–3’ ) в точке 3’ . После этого возвращаемся в центр 1 и продолжаем построение в такой же последовательности, каждый раз увеличивая радиус дуги на величину стороны треугольника.

Рис. 17. Построение спиралей: а – «архимедова спираль» с двумя центрами; б – трехцентровая спираль; в – эвольвента круга; г, д – ломаные (хордовые) спирали.

Аналогично выполняют спирали с четырьмя, пятью и т. д. центрами.

Эвольвента круга (рис. 17, в ) – это плоская кривая, образуемая точкой на прямой, которая перемещается без скольжения по неподвижной окружности заданного радиуса. Эта кривая иногда называется разверткой окружности. Построение эвольвенты начинается с деления заданной окружности на произвольное число равных частей, например 12. В каждой точке деления проводим касательные к окружности. На каждой из этих касательных последовательно откладываем длину окружности, равную πd /12: в точке 1 – πd /12, в точке 2 – 2πd /12, в точке 3 – 3πd /12 и т. д. На касательной к точке 12 откладываем длину окружности, равную πd . Соединяя последовательно плавной кривой по лекалу полученные на касательных точки 1’, 2’, 3’ и т. д., получим кривую, называемую эвольвентой.

Схема построения ломаных спиралей показана на рис. 17, г, д . Они строятся так же, как и циркульные, но дуги заменяются соответствующими хордами.

Золотая спираль или спираль Фибоначчи — логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен φ 4 , где φ — золотое сечение. Коэффициент роста логарифмической спирали показывает во сколько раз изменился полярный радиус спирали при повороте на угол 360°. [1] Свое название эта спираль получила из-за связи с последовательностью вложенных друг в друга прямоугольников с отношением сторон, равным φ , которые принято называть золотыми. Золотую спираль можно как вписать в систему таких прямоугольников, так и описать вокруг нее. Популярность золотая спираль приобрела из-за того, что известная с начала XVI века и применяющаяся в искусстве [2] спираль, построенная по методу Дюрера [3] [4] , оказалась хорошей аппроксимацией для золотой спирали (см. рисунок)

Содержание

Формула [ править | править код ]

Уравнение для золотой спирали в полярной системе координат то же самое, что и для других логарифмических спиралей, но со специальным значением коэффициента роста – φ 4 :

где a — произвольная положительная вещественная константа, а φ = 5 + 1 2 >+1> >> — золотое сечение.

Основное свойство логарифмической спирали: угол между радиус-вектором, исходящим из полюса, и касательной к спирали – μ – постоянен, и для золотой спирали определяется формулой:

tg ⁡ μ = r r ′ = π 2 ln ⁡ φ mu = , где r ′ =”” d r d θ >> .

Приближения золотой спирали [ править | править код ]

Существует несколько похожих спиралей, которые близки, но не совпадают в точности с золотой спиралью [5] , с которой их часто путают.

Как уже было написано выше, при вписывании золотой спирали в последовательность вложенных друг в друга золотых прямоугольников, она аппроксимируется спиралью, построенной по методу Дюрера. Золотой прямоугольник можно разделить на квадрат и подобный ему прямоугольник, его, в свою очередь, разделить тем же образом, и продолжать этот процесс произвольное число раз. Если в эти квадраты вписать соединенные между собой четвертинки окружностей, то получается спираль, изображенная на первом рисунке.

Ещё одной аппроксимацией является спираль Фибоначчи, которая строится подобно вышеописанной спирали, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины. Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов (см. второй рисунок).

Спирали в природе [ править | править код ]

В природе встречаются приближения к логарифмическим спиралям с коэффициентом роста равным φ k . Так раковины моллюсков Nautilus pompilius и окаменелых аммонитов хорошо описываются при k = 2, а раковины некоторых улиток при k = 1. [6] Отношение длин трех витков спирали уха у человека равно φ [7] , что соответствует спирали с k = 1. Рукава спиральных галактик, несмотря на существующие утверждения [8] , если и описываются логарифмической, то не золотой спиралью. В данном случае, описание ею является проявлением случайной близости. Недавний анализ спиралей, встречающихся в роговичном эпителии мышей, показал, что там встречаются как золотая, так и другие логарифмические спирали. [9]

Построение спирали Архимеда.

Спираль Архимеда – это траектория точки, движущейся с постоянной скоростью от центра окружности по

радиусу, вращающемуся также с постоянной угловой скоростью.

1. Делим радиус окружности на одинаковое число равных частей (в примере на 8).

2. Делим окружность на такое же число равных частей.

3. Проводим лучи из центра через точки деления окружности.

4. На первом луче откладываем одно деление радиуса.

5. На втором луче откладываем два деления радиуса и т. д.

6. Если строить спираль дальше, то на луче 1 откладываем 8+1 деление радиуса (получаем точку IX ).

7. На втором луче откладываем 8+2 деления радиуса (получаем точку X) .

8. На третьем луче откладываем 8+3 деления радиуса (получаем точку XI) и т. д.