Как найти тангенциальное ускорение через угловое ускорение

9

11. Связь тангенциального и углового ускорения.

При вращении за время угловая скорость получит приращение, тогда (8) примет вид:

(14)

Разделим обе части на , получим:

(15)

(16)

(17)

Вектор тангенциального ускорения совпадает по направлению с векторным произведением . Векторное произведение всегда связано справилом правого винта: вращая головку винта по направлению вектора , стоящего на первом месте в (13), к вектору, стоящему на втором месте, определяем по поступательному движению винта направление третьего вектора.

12. Мгновенное угловое ускорение.

При получим мгновенное угловое ускорение:

, (18)

т.е. мгновенное угловое ускорение численно равно первой производной угловой скорости по времени или – второй производной углового перемещения по времени.

Приложение 1.

Движение тела, брошенного вертикально вниз

При

При

Движение тела, брошенного вертикально вверх

При

Движение тела, брошенного горизонтально

;

;

;

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Движение тела по окружности

Тангенциальное и нормальное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и ее направление, поэтому вектор ускорения представляют в виде двух составляющих: тангенциального () и нормального ().

Тангенциальное (касательное) ускорение – составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке. (Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю;

Направление вектора совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему).

Нормальное ускорение– составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории в данной точке. (Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Векторнаправлен по радиусу кривизны траектории).

Модуль полного ускорения при этом определяется соотношением:

.

Направление полного ускоренияопределяют правилом сложения векторов:

.

Основная литература.

1. Трофимова, Т. И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т. И. Трофимова. – М. : Издательский центр «Академия», 2006. – 560 с.

Дополнительная литература.

1. Савельев, И. В. Курс общей физики / И. В. Савельев. – М. : Наука, 2005. Т.1-5.

2. Курс общей физики / С. Э. Фриш, А. В. Тиморева. – СПб., М., Краснодар : «Лань», 2006. Т.1-3.

3. Сивухин, Д. В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. — М. : Физматлит, 2005. Т.1-5.

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

Формула для вычисления углового ускорения

Угловое ускорение \(\varepsilon\) – физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости при движении тела.

Единица измерения: \(\lbrack\varepsilon\rbrack=\frac1<с^2>\) или \(с^<-2>\)

Угловая скорость

Круговым движением точки вокруг оси называют движение, где траектория точки – окружность с центром, который лежит на оси вращения, перпендикулярной плоскости окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Угловая скорость \(\omega\) – векторная физическая величина, характеризующая скорость изменения угла поворота при круговом движении точки или твердого тела.

При движении по окружности (круговом движении) скорость меняет свое направление, значит такое движение не может считаться равномерным, оно ускоренное или равноускоренное (в частных случаях).

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения.

Основные формулы для вычисления угловой скорости

Для равномерного вращения (когда за равные отрезки времени тело поворачивается на один и тот же угол):

1. \(\omega=\frac nt\) , где \(n\) – количество оборотов за единицу времени \(t\) .
2. \(\omega=\frac\varphi t\) , где \(\varphi\) – угол поворота, \(t\) – время, за которое он совершен.
3. \(\omega=\frac<2\pi>T\) , где \(Т\) – период обращения (время, за которое тело/точка совершает один оборот).
4. \(\omega=2\pi\nu\) , где \(\nu\) – числом оборотов в единицу времени.

Единица измерения угловой скорости в СИ: \(\lbrack\omega\rbrack=\frac<рад>с\)

Связь между угловой скоростью и нормальным (центростремительным) ускорением

Центростремительное (нормальное) ускорение \(a_n\) – это составляющая полного ускорения, которая характеризует изменение направления вектора скорости при криволинейном движении. Другим компонентом полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно характеризует изменение величины скорости.

Центростремительное ускорение определяется по формуле:

где \(V\) – скорость движения, \(R\) – радиус окружности.

Единица измерения в СИ: \(\lbrack a_n\rbrack=\frac м<с^2>\)

Итак, формула связывающая эти две величины:

Основные формулы для расчета углового ускорения

Значение углового ускорения в определенный момент времени вычисляется как первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Угловое ускорение маховика

\(\varepsilon=\frac\omega t=\frac<2\pi n>t\) , где \(n\) – количество оборотов за единицу времени \(t\) .

Среднее угловое ускорение

Средним угловым ускорением тела называют отношение изменения угловой скорости к отрезку времени, за который оно совершилось.

Тангенциальное ускорение

Тангенциальным (касательным) ускорением \(a_\tau\) называют ту составляющую полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения в данной точке. Тангенциальное ускорение описывает изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

\(a_\tau=\varepsilon r\) , где \(\varepsilon\) – угловое ускорение, \(r\) – радиус кривизны траектории в заданной точке.

Мгновенное угловое ускорение

Мгновенное угловое ускорение \(\alpha\) есть первая производная угловой скорости по времени или вторая производная углового перемещения по времени.

Связь между угловым и тангенциальным ускорением

Угловая скорость. Связь векторов линейной и угловой скоростей.

Угловая скорость. Связь векторов линейной и угловой скоростей.

Угловая скорость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

Легко найти связь между линейной скоростью точки v, ее угловой скоростью ω и радиусом r окружности, по которой она движется.

т. е. линейная скорость при движении по окружности равна угловой скорости, умноженной на радиус окружности.

При вращательном движении действуют: тангенциальное и центростремительное ускорения.

В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением.

Центробежное ускорение можно вычислить по формуле:

Угловое ускорение. Связь линейных и угловых величин.

Угловое ускорение — физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

Существует связь между тангенциальным и угловым ускорениями:

где R — радиус кривизны траектории точки в данный момент времени

Тангенциальное ускорение направлено по касательной в траектории движения тела, а нормальное — перпендикулярно ему.

13. Сформулируйте первый закон Ньютона.
Существуют такие системы отсчёта, относительно которых материальная точка, при отсутствии внешних воздействий, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Что такое замкнутая механическая система.

Замкнутая механическая система, потенциальная энергия которой имеет минимальное значение и в которой отсутствуют движения тел, находится в состоянии равновесия. Примером может служить тяжелый шар, неподвижно; лежащий на дне ямы: его потенциальная энергия Ер имеет минимальное значение, и он находится в равновесии; без воздействия извне шар не может выкатиться из ямы.

20. Радиус-вектор, скорость, импульс, закон движения центра масс.
Радиус-вектор точки — это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с данной точкой.
Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат.

Скорость — физическая величина, характеризующая движение тела в пространстве. Физический смысл — Изменение координаты в единицу времени.

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: . Специальных единиц измерения импульса нет. Размерность импульса — это просто произ- ведение размерности массы на размерность скорости: [p] = [m] · [v] = кг · м /с .

Воспользовавшись законом изменения импульса, получим закон движения центра масс:

dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi

Центр масс системы движется так же, как двигалась бы частица с массой, равной массе системы, под действием силы, равной векторной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы.

Энергия и работа. В чём разница?

Термин «работа» в механике имеет два смысла: работа как процесс, при котором сила перемещает тело, действуя под углом, отличном от 90°; работа — физическая величина, равная произведению силы, перемещения и косинуса угла между направлением действия силы и перемещением:

Работа равна нулю, когда тело движется по инерции (F = 0), когда нет перемещения (s = 0) или когда угол между перемещением и силой равен 90° (cos а = 0). Единицей работы в СИ служит джоуль (Дж).

1 джоуль — это такая работа, которая совершается силой 1 Н при перемещении тела на 1 м по линии действия силы. Для определения быстроты совершения работы вводят величину «мощность».

Мощность равняется отношению совершенной работы ко времени, за которое она выполнена:

Единицей мощности в СИ служит 1 ватт (Вт). 1 Вт — мощность, при которой совершается работа в 1 Дж за 1 секунду.

Сформулируйте закон Гука.

Закон Гука — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. п.), пропорциональна приложенной к этому телу силе. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком.

Закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Угловая скорость. Связь векторов линейной и угловой скоростей.

Угловая скорость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

Легко найти связь между линейной скоростью точки v, ее угловой скоростью ω и радиусом r окружности, по которой она движется.

т. е. линейная скорость при движении по окружности равна угловой скорости, умноженной на радиус окружности.

При вращательном движении действуют: тангенциальное и центростремительное ускорения.

В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением.

Центробежное ускорение можно вычислить по формуле:

Последнее изменение этой страницы: 2016-04-20; Нарушение авторского права страницы

Связь между угловым и тангенциальным ускорением

«Физика — 10 класс»

Угловая скорость.

Каждая точка тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О, движется по окружности, и различные точки проходят за время Δt разные пути. Так, АА₁ > ВВ₁ (рис. 1.62), поэтому модуль скорости точки А больше, чем модуль скорости точки В. Но радиус-векторы, определяющие положение точек А и В, поворачиваются за время Δt на один и тот же угол Δφ.

Угол φ — угол между осью ОХ и радиус-вектором определяющим положение точки А (см. рис. 1.62).

Пусть тело вращается равномерно, т. е. за любые равные промежутки времени радиус-векторы поворачиваются на одинаковые углы.

Чем больше угол поворота радиус-вектора, определяющего положение какой-то точки твёрдого тела, за определённый промежуток времени, тем быстрее вращается тело и тем больше его угловая скорость.

Угловой скоростью тела при равномерном вращении называется величина, равная отношению угла поворота тела υφ к промежутку времени υt, за который этот поворот произошёл.

Будем обозначать угловую скорость греческой буквой ω (омега). Тогда по определению

Угловая скорость в СИ выражается в радианах в секунду (рад/с). Например, угловая скорость вращения Земли вокруг оси 0,0000727 рад/с, а точильного диска — около 140 рад/с.

Угловую скорость можно связать с частотой вращения.

Частота вращения — число полных оборотов за единицу времени (в СИ за 1 с).

Если тело совершает ν (греческая буква «ню») оборотов за 1 с, то время одного оборота равно 1/ν секунд.

Время, за которое тело совершает один полный оборот, называют периодом вращения и обозначают буквой Т.

Таким образом, связь между частотой и периодом вращения можно представить в виде

Полному обороту тела соответствует угол Δφ = 2π. Поэтому согласно формуле (1.26)

Если при равномерном вращении угловая скорость известна и в начальный момент времени t = 0 угол φ = 0, то угол поворота радиус-вектора за время t согласно уравнению (1.26)

Если φ ≠ 0, то φ — φ = ωt, или φ = φ ± ωt.

Радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, 1 рад = 57°17’48». В радианной мере угол равен отношению длины дуги окружности к её радиусу: φ = l/R.

Угловая скорость принимает положительные значения, если угол между радиус-вектором, определяющим положение одной из точек твёрдого тела, и осью ОХ увеличивается (рис. 1.63, а), и отрицательные, когда он уменьшается (рис. 1.63, б).

Тем самым мы можем найти положение точек вращающегося тела в любой момент времени.

Связь между линейной и угловой скоростями.

Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть её отличие от угловой скорости.

Мы уже отмечали, что при вращении абсолютно твёрдого тела разные его точки имеют неодинаковые линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.

Установим связь между линейной скоростью любой точки вращающегося тела и его угловой скоростью. Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдёт путь 2πR. Поскольку время одного оборота тела есть период Т, то модуль линейной скорости точки можно найти так:

Так как ω = 2πν, то

Из этой формулы видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше её линейная скорость. Для точек земного экватора υ = 463 м/с, а для точек на широте Санкт-Петербурга υ = 233 м/с. На полюсах Земли υ = 0.

Модуль центростремительного ускорения точки тела, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:

Запишем все возможные расчётные формулы для центростремительного ускорения:

Мы рассмотрели два простейших движения абсолютно твёрдого тела — поступательное и вращательное. Однако любое сложное движение абсолютно твёрдого тела можно представить как сумму двух независимых движений: поступательного и вращательного.

На основании закона независимости движений можно описать сложное движение абсолютно твёрдого тела.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Кинематика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Физика

Угловые характеристики движения

При рассмотрении движения материальной точки (тела) по окружности пользуются не только линейными характеристиками (перемещение, скорость и ускорение), но и угловыми (угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение).

Угловая скорость ω → — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту углового перемещения, численно равная отношению угла поворота ∆φ ко времени ∆ t , за которое этот поворот произошел:

Направление ω → определяется правилом правого винта.

Данное определение является корректным только для случая равномерного движения материальной точки по окружности. При неравномерном движении по окружности пользуются понятиями мгновенной угловой скорости и углового ускорения.

Угловое ускорение β → — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, численно равная отношению изменения угловой скорости ∆ω к тому интервалу времени ∆ t , за которой это изменение произошло:

Направление β → совпадает с направлением ω → , если угловая скорость увеличивается, и противоположно ω → , если угловая скорость уменьшается. Данное определение правомерно только для равнопеременного движения материальной точки по окружности.

В Международной системе единиц угловое перемещение (угол поворота) измеряется в радианах (1 рад), угловая скорость — в радианах в секунду (1 рад/с), угловое ускорение — в радианах в секунду за секунду (1 рад/с 2 ).

Связь угловых характеристик движения с линейными

Угловые и линейные характеристики движения связаны между собой.

При равномерном движении по окружности

координаты положения материальной точки в определенный момент времени x ( t ) и y ( t ) могут быть выражены через ее угловое положение в этот момент времени φ( t ) формулами (рис. 1.25):

x ( t ) = R cos φ ( t ) , y ( t ) = R sin φ ( t ) ; >

• модуль линейной скорости v может быть выражен через величину угловой скорости ω: v = ω R ;
• величина углового ускорения точки равна нулю: β = 0.

Специальные характеристики движения

При рассмотрении равномерного движения точки по окружности также вводятся специальные характеристики движения : период, частота, циклическая частота, центростремительное ускорение.

Период — время одного оборота — определяется с помощью выражения

где n — число оборотов материальной точки за время t . В Международной системе единиц период измеряется в секундах (1 с).

Частота — количество оборотов в единицу времени:

В Международной системе единиц частота измеряется в секундах в минус первой степени, или герцах (1 с −1 = 1 Гц).

Циклическая частота численно совпадает с угловой скоростью материальной точки и определяется как

В Международной системе единиц циклическая частота измеряется в радианах в секунду (1 рад/с).

Центростремительное ускорение определяется одной из трех формул:

a ц . с = v 2 R , a ц.с = ω 2 R , a ц.с = ω v .

В Международной системе единиц центростремительное ускорение измеряется в метрах в секунду за секунду (1 м/с 2 .)

Уравнения движения и зависимость угловой скорости от времени

При равномерном движении точки по окружности угловая скорость постоянна:

угловое положение материальной точки φ в произвольный момент времени t описывается уравнением, аналогичным уравнению равномерного прямолинейного движения ( x ( t ) = x 0 + vt ):

где φ 0 — угловое положение точки в начальный момент времени; ω — величина угловой скорости материальной точки.

При равноускоренном движении материальной точки по окружности уравнение движения (зависимость углового положения точки от времени φ( t )) и закон изменения угловой скорости с течением времени ω( t ) по форме совпадают с соответствующими уравнениями для равноускоренного прямолинейного движения:

φ ( t ) = φ 0 + ω 0 t + β t 2 2 , ω( t ) = ω 0 + β t ,

где φ 0 — угловое положение материальной точки в начальный момент времени; ω 0 — величина начальной угловой скорости; β — модуль углового ускорения.

При равнозамедленном движении материальной точки по окружности уравнение движения φ( t ) и закон изменения скорости ω( t ) записываются по аналогии с соответствующими уравнениями для равнозамедленного прямолинейного движения:

φ ( t ) = φ 0 + ω 0 t − β t 2 2 , ω( t ) = ω 0 − β t ,

где φ 0 — угловое положение материальной точки в начальный момент времени; ω 0 — величина начальной угловой скорости; β — модуль углового ускорения.

Пример 14. Небольшое тело начинает движение по окружности радиусом 80 м с постоянным по модулю тангенциальным ускорением 4,0 м/с 2 . Найти полное ускорение тела спустя 8,0 с после начала движения.

Решение. Движение тела является равнопеременным движением по окружности. Вычисление модуля полного ускорения произведем по формуле

| a → | = a τ 2 + a n 2 ,

где a τ = 4,0 м/с 2 — величина тангенциального ускорения тела (постоянная величина).

Величину нормального ускорения a n определим по формуле

a n ( t ) = v 2 ( t ) R ,

где R = 80 м — радиус окружности; v ( t ) = a τ t = 4,0 t — зависимость величины линейной скорости тела от времени при равнопеременном движении по окружности без начальной скорости.

Для вычисления модуля полного ускорения подставим в исходную формулу выражения, определяющие a τ и a n ( t ),

| a → | = a τ 2 + ( v 2 ( t ) R ) 2 = ( 4,0 ) 2 + ( ( 4,0 t ) 2 R ) 2 .

| a → | = 4,0 1 + ( 4,0 ) 2 ⋅ ( 8,0 ) 4 80 2 ≈ 13 м/с 2 .

Пример 15. Диск радиусом 1,0 м равномерно вращается относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно поверхности. На каком расстоянии друг от друга могут находиться точки диска, если отношение их линейных скоростей равно 2 ?

Решение. При равномерном вращении диска угловая скорость остается постоянной для всех его точек:

Значения линейных скоростей двух точек диска, находящихся на расстояниях l 1 и l 2 от его центра, определяются по формулам

v 1 = ω l 1 и v 2 = ω l 2 ,

где v 1 — величина линейной скорости точки A, расположенной на расстоянии l 1 от центра диска; v 2 — величина линейной скорости точки B, расположенной на расстоянии l 2 от центра диска.

Отношение линейных скоростей точек A и B по условию задачи составляет:

v 1 v 2 = l 1 l 2 = 2 .

Предположим, что одна из точек (точка A) находится на расстоянии радиуса от центра диска ( l 1 = R ).

Возможны два предельных варианта положения точек A и B, которые показаны на рис. а , б .

1) в первом случае (рис. а ) расстояние между точками является максимальным:

r max = l 1 + l 2 ,

2) во втором случае (рис. б ) расстояние между точками является минимальным:

r min = l 1 − l 2 ,

где l 1 = R ; l 2 = R / 2 .

Подстановка выражений для l 1 и l 2 в соответствующие формулы позволяет вычислить указанные расстояния:

r max = l 1 + l 2 = R + R 2 = R ( 1 + 1 2 ) = R ( 1 + 0,5 2 ) ≈ 1,7 м;

r min = l 1 − l 2 = R − R 2 = R ( 1 − 1 2 ) = R ( 1 − 0,5 2 ) ≈ 0,3 м.

Точки диска с заданным в условии соотношением линейных скоростей могут находиться на расстояниях от 0,3 м до 1,7 м друг от друга.

Пример 16. Угол поворота колеса радиусом 0,1 м изменяется с течением времени по закону φ = π t , где угол задан в радианах, время — в секундах. Найти угловую и линейную скорости, а также центростремительное ускорение точек обода колеса.

Решение. При равномерном движении точки по окружности ее угловое положение задается уравнением

где φ 0 — угловое положение точки в начальный момент времени; ω — модуль угловой скорости.

Приведенный в условии задачи угол поворота представляет собой угловое перемещение точки обода колеса и определяется формулой

∆φ = φ( t ) − φ(0) = ω t ,

где φ(0) = φ 0 — угловое положение точки обода колеса в начальный момент времени; φ( t ) = φ 0 + ω t — угловое положение точки обода колеса в момент времени t ; ω = π рад/с — модуль угловой скорости.

Таким образом, величина угловой скорости точки обода колеса составляет

Линейная скорость точки обода колеса определяется формулой

и имеет значение:

v = π ⋅ 0,1 ≈ 0,314 м/с = 31,4 см/с.

Центростремительное ускорение точки обода колеса вычислим по формуле

a ц . с = a n = ω 2 R ;

вычисление дает значение

a ц . с = π 2 ⋅ 0,1 ≈ 1,0 м/с 2 .

Пример 17. Найти линейную скорость и центростремительное ускорение точек земной поверхности на экваторе и на широте 45°. Радиус Земли считать равным 6,4 ⋅ 10 6 м.

Решение. 1) Точка экватора движется по окружности радиусом R и совершает один оборот за время, равное периоду обращения Земли вокруг своей оси (сутки):

где R = 6,4 ⋅ 10 6 м — радиус Земли; v 1 — модуль линейной скорости точки (искомая величина). Рисунок иллюстрирует данную ситуацию.

Из приведенной формулы следует, что модуль линейной скорости точки

v 1 = 2 π R T = 2 π ⋅ 6,4 ⋅ 10 6 24 ⋅ 3600 = 465 м/с.

2) Точка, находящаяся на широте 45°, движется по окружности радиусом r и совершает один оборот за время равное, как и в предыдущем случае, периоду обращения Земли вокруг своей оси (сутки):

где r = R cos 45° — радиус окружности для точки, находящейся на указанной широте; R — радиус Земли; v 2 — модуль линейной скорости точки, находящейся на указанной широте (искомая величина). Рисунок иллюстрирует данную ситуацию.

Из приведенной формулы следует, что модуль линейной скорости точки

v 2 = 2 π r T = 2 π R cos 45 ° T 2 = 2 π ⋅ 6,4 ⋅ 10 6 ⋅ 0,5 2 24 ⋅ 3600 = 328 м/с.

3) Центростремительное ускорение точки, находящейся на экваторе, определяется квадратом ее линейной скорости v 1 и радиусом окружности R , по которой она движется:

a ц . с 1 = v 1 2 R .

Центростремительное ускорение точки, находящейся на широте 45°, определяется квадратом ее линейной скорости v 2 и радиусом окружности r = R cos 45 ° , по которой она движется:

a ц . с 2 = v 2 2 r = v 2 2 R cos 45 ° .

Для вычисления модулей центростремительных ускорений воспользуемся полученными выше значениями линейных скоростей:

a ц . с 1 = ( 465 ) 2 6,4 ⋅ 10 6 ≈ 3,4 ⋅ 10 − 2 м/с 2 = 3,4 см/с 2 ;

a ц . с 2 = ( 328 ) 2 6,4 ⋅ 10 6 ⋅ 0,5 2 ≈ 2,4 ⋅ 10 − 2 м/с 2 = 2,4 см/с 2 .

Пример 18. К валу, радиус которого равен 10 см, прикреплена нить. Через 5,0 с от начала равномерного вращения вала на него намоталось 4,0 м нити. Определить частоту вращения вала.

Решение. Частота вращения вала определяется выражением

где T — период (время одного оборота), определяемый по формуле

где n — число оборотов вала; t — время, за которое происходит n оборотов.

По условию задачи указанное время составляет t = 5,0 с, а число оборотов вала определим как отношение длины намотанной на вал нити L = 4,0 м к длине окружности вала l = 2π R , т.е.

n = L l = L 2 π R ,

где R = 0,10 м — радиус вала.

Для расчета искомой частоты получим следующую формулу:

ν = 1 T = n t = L l t = L 2 π R t .

ν = 4,0 2 π ⋅ 0,10 ⋅ 5,0 ≈ 1,3 Гц.

Пример 19. На вал радиусом 10 см намотана нить, к концу которой привязана гиря. Двигаясь равноускоренно, гиря за 20 с от начала движения опустилась на 2,0 м. Найти модуль углового ускорения и модуль угловой скорости вала в этот момент времени.

Решение. Гиря опускается вертикально вниз; ее движение вдоль координатной оси, направление которой совпадает с направлением движения гири, происходит по закону

где a — модуль ускорения гири; t — время.

Зависимость модуля скорости гири от времени при ее равноускоренном движении задается выражением

За интервал времени ∆ t = τ вертикальная координата гири изменяется на величину

Δ y = H = a τ 2 2 .

Следовательно, модуль ускорения гири определяется формулой

а величина ее скорости составляет

v ( τ ) = a τ = 2 H τ 2 τ = 2 H τ = 2 ⋅ 2,0 20 = 0,2 м/с = 20 см/с .

Считая, что величина линейной скорости точек вала совпадает с величиной скорости гири, определим угловую скорость вала для указанного в условии момента времени:

ω ( τ ) = v ( τ ) R = 0,2 0,1 = 2,0 рад/с.

Для нахождения углового ускорения установим зависимость угловой скорости вала от времени ω( t ), подставив зависимость v ( t ) в формулу связи угловой и линейной скорости:

ω ( t ) = v ( t ) R = a t R ,

где a = 2 H τ 2 , т.е.

ω ( t ) = 2 H t R τ 2 .

Сравнение этого выражения с ω ( t ) = β t дает формулу для вычисления модуля углового ускорения β:

β = 2 H R τ 2 = 2 ⋅ 2,0 0,10 ⋅ 20 2 = 0,10 рад/с 2 .

Физика Б1.Б8.

Электронное учебное пособие по разделу курса физики Механика

Механика – это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика дает математическое описание движения, не касаясь причин, которыми вызвано движение. Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил. Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.

Введение

Механика – это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механическое движение – это изменение во времени взаимного расположения тел или частей одного и того же тела. Причиной, вызывающей механическое движение тела или его изменение, является воздействие со стороны других тел.

Развитие механики началось еще в древние времена, однако, как наука она формировалась в средние века. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564-1642) и английским ученым И. Ньютоном (1643-1727).

Механику Галилея-Ньютона принято называть классической механикой. В ней изучается движение макроскопических тел, скорости которых значительно меньше скорости света с в вакууме. Законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света сформулированы А. Эйнштейном (1879-1955), они отличаются от законов классической механики. Теория Эйнштейна называется специальной теорией относительности и лежит в основе релятивистской механики. Законы классической механики неприемлемы к описанию движения микроскопических тел (элементарных частиц – электронов, протонов, нейтронов, атомных ядер, самих атомов и т.д.) их движение описывается законами квантовой механики.

Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика дает математическое описание движения, не касаясь причин, которыми вызвано движение. Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил. Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.

В механике для описания движения в зависимости от условий решаемой задачи пользуются различными упрощающими моделями: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело, и т.д. Выбор той или иной модели диктуется необходимостью учесть в задаче все существенные особенности реального движения и отбросить несущественные, усложняющие решение.

Материальная точка – это тело обладающее массой, размеры и форма которого несущественны в данной задаче. Любое твердое тело или систему тел можно рассматривать как систему материальных точек. Для этого любое тело или тела системы нужно мысленно разбить на большое число частей так, чтобы размеры каждой части были пренебрежимо малы по сравнению с размерами самих тел.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми точками которого остается неизменным в процессе движения или взаимодействия. Эта модель пригодна, когда можно пренебречь деформацией тел в процессе движения.

Абсолютно упругое и абсолютно неупругое тело – это два предельных случая реальных тел, деформациями которых можно и нельзя пренебречь в изучаемых процессах.

Любое движение рассматривается в пространстве и времени. В пространстве определяется местоположение тела, во времени происходит смена местоположений или состояний тела в пространстве, время выражает длительность состояния движения или процесса. Пространство и время –это два фундаментальных понятия, без которых теряется смысл понятия движения: движения не может быть вне времени и пространства.