16 Координатная форма скалярного произведения
ТЕОРЕМА 16.1. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис 
, в котором 
. Тогда
Доказательство. По определению координат вектора в базисе имеем 
и 
, поэтому 
Используя доказанные свойства скалярного произведения, получаем 
Поскольку базис 
ортонормированный, то 
и 
, значит, окончательно получим 
Теорема доказана. Замечание 16.1. Если рассматривается множество векторов, параллельных некоторой плоскости (т.е. двумерное векторное подпространство пространства 
), то формула 
принимает вид
где 
в ортонормированном базисе двумерного подпространства 
.
17 Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения
Задача 17.1. Пусть даны координаты вектора 
в ортонормированном базисе. Найти длину вектора 
. Решение. Согласно свойству 4. скалярного произведения длина вектора находится по формуле 
, т.е. 
. Но скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе вычисляется по формуле 
. Поэтому получаем следующую формулу для нахождения длины вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе
Задача 17.2. Пусть даны координаты векторов 
и 
в ортонормированном базисе. Найти угол между векторами 
и 
. Решение. Из определения скалярного произведения получаем следующую формулу для нахождения косинуса угла между векторами:
С учетом формул 
и 
приходим к следующей формуле для нахождения угла между векторами, заданных своими координатами в ортонормированном базисе
Ортогональная проекция вектора на ось.
Задача 17.3. Пусть даны два вектора 
и 
. Найти ортогональную проекцию вектора 
на ось вектора 
. Решение. По формуле 
имеем 
Следовательно, получаем формулу для нахождения ортогональной проекции вектора 
на ось вектора 
Ортогональная проекция вектора на плоскость.
Определение 17.1. Пусть дан вектор 
и некоторая плоскость 
. Обозначим через 
ортогональные проекции точек 
на плоскость 
. Вектор 
называется ортогональной проекцией вектора 
на плоскость 
и обозначается 
. Задача 17.3. Найти ортогональную проекцию данного вектора 
на плоскость 
, перпендикулярную данному вектору 
. Решение. Пусть данный вектор 
. По определению ортогональной проекции вектора на плоскость имеем 
(см рисунок). По правилу многоугольника для сложения векторов, получаем равенство 
Заметим, что 
и 
, поэтому 
. По признаку коллинеарности векторов получаем равенство 
. Кроме того, 
, поэтому 
Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор 
. Имеем числовое равенство 
Учитывая, что 
Из последнего равенства находим, что 
Поэтому для нахождения ортогональной проекции вектора на плоскость, перпендикулярную заданному вектору имеем
18 Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе
Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис 
, в котором 
. Тогда 
. Умножим обе части этого равенства скалярно сначала на вектор 
, потом на 
и 
. Получаем 
Поскольку базис ортонормированный, то 
, а поэтому имеем равенства 
С учетом формулы 
имеем 
Из равенств 
получаем геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе: координаты вектора в ортонормированном базисе равны ортогональным проекциям данного вектора на оси соответствующих базисных векторов. Обозначим через 
. Тогда, используя формулу 
, равенства 
примут вид
Числа 
называются направляющими косинусами вектора 
в ОНБ 
. Подставим 
в 
получаем
Таким образом, сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна единице.
Заметим, что если 
— единичный, то его координаты в ОНБ равны направляющим косинусам этого вектора или, иначе, направляющие косинусы данного вектора 
равны координатам единичного вектора 
того же направления.
Как найти ортогональную проекцию вектора на плоскость
В. Г. Автор. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников
.Геометрическое определение вектора
.Алгебраические операции над направленными отрезками
..Сложение направленных отрезков
..Умножение направленных отрезков на число
..Параллельное проектирование вектора в пространстве
..Параллельное проектирование вектора в пространстве
. Проекция точки на плоскость
. Проекция вектора на плоскость
..Ортогональная проекция вектора в пространстве
. Ортогональная проекция вектора на плоскость
. Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось
..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве
..Линейная зависимость векторов и размерность пространства
..Различные формы записи векторов
..Линейные операции над векторами в координатной форме
. Свойства скалярного умножения
. Скалярное умножение в декартовых координатах
..Некоторые примеры использования скалярного умножения
..Площадь параллелограмма, построенного на векторах
..Задачи на применение определителей
..Определитель третьего порядка и его свойства
..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат
.Ковариантные и контравариантные координаты вектора
..Индексная форма записи для выражений с определителями
..Свойства символов Веблена
..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах
.Линейный оператор и его матрица
.Доказательство теоремы об определителе
.Общие определения алгебраических операций с тензорами
.Примеры на применение тензоров в физике
..Задачи на тождественные преобразования
..Параллельное проектирование вектора в пространстве
Проекция точки на плоскость
Проецирование точки на плоскость производится способом аналогичным проецированию точки на прямую в плоскости. Проекцией точки A на плоскость α в направлении вектора называется точка пересечения плоскости и прямой, проведенной через эту точку в направлении проецирования (рис. 7, а).
а) 
б) 
Рис. 7
Проекция вектора на плоскость
Проекцией вектора на плоскость α называется вектор (рис. 7, б), где точки и являются проекциями точек и соответственно.
Проекция вектора на прямую
Спроектировать вектор на прямую в пространстве аналогично тому, как это можно сделать на плоскости, нельзя.
Рис. 8
Для начала спроектируем вектор по направлению на некоторую плоскость, проходящую через прямую L . На рис. 8 эта плоскость обозначена α . Затем, полученную таким образом проекцию , спроектируем по направлению (вектор лежит в плоскости α ) на прямую L . В результате получим вектор , который и принимают за проекцию вектора на прямую. Из построения очевидно, что проекция вектора не зависит от положения проецируемого вектора в пространстве. Проще говоря: равные векторы имеют и равные проекции. Если бы это было не так, мы не имели права говорить о проекции вектора вообще.
Вектор (проекция вектора на ось L ) можно получить и более простым способом. В самом деле, точка является точкой пересечения плоскости, проходящей через точки , и и прямой L . Плоскость же, проходящая через эти точки параллельна векторам и . Назовем плоскость параллельную направлениям проецирования и проецирующей плоскостью.
Следовательно, можно дать следующее определение проекции вектора на прямую в пространстве.
Проекцией вектора на прямую L по направлению проецирующей плоскости α называется вектор, . Точки и при этом являются точками пересечения прямой L и плоскостей, проведенных через точки и параллельно проецирующей плоскости.
Для обозначения проекции вектора на прямую будем использовать следующее обозначение: или .
Проекция вектора на прямую – величина векторная. Совершенно аналогично тому, что мы имели на плоскости, и для пространственного случая мы можем ввести понятие алгебраического значения проекции вектора на направленную ось. Для обозначения алгебраического значения проекции мы будем (так же как и в "плоском" случае) использовать то же самое обозначение, только без "векторной" черты сверху: или . И, что очень приятно, теорема (1), которую мы доказали для "плоского" случая, справедлива и для обеих проекций в пространстве:
Доказательство полностью аналогично тому, что мы привели для случая на плоскости.
..Ортогональная проекция вектора в пространстве
О ртогональная проекция есть частный случай параллельной проекции и, поэтому для нее справедливы те общие результаты, которые мы уже получили. В то же время ортогональная проекция обладает рядом геометрических свойств, которые выгодно отличают ее от других видов проекции. Физика также имеет свой собственный интерес к этому виду проекции. Например, работа силового поля зависит именно от ортогональной проекции силы на направление перемещения. Можно, видимо, утверждать, что ортогональная проекция и, связанная с ней, ортогональная система координат, о которой мы будем говорить в дальнейшем, выделена самой природой.
Ортогональная проекция вектора на плоскость
Ортогональную проекцию мы получим, если вектор, задающий направление проектирования, ортогонален плоскости, на которую производится проектирование. Поскольку при ортогональном проектировании направление проектирования задается однозначно самой плоскостью, то в условном обозначении его можно опустить: .
Рис. 9
Для получения ортогональной проекции вектора на плоскость достаточно из начала и конца вектора опустить на эту плоскость перпендикуляры. Основания этих перпендикуляров и определяют проекцию вектора на плоскость (рис. 9): .
Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось
Для построения ортогональной проекции вектора на прямую или ось необходимо использовать проектирующую плоскость α ортогональную прямой, либо просто опустить на прямую перпендикуляры (, ) из начала и конца вектора (рис 10).
Рис. 10
В условных обозначениях это запишется так:
; и для алгебраической величины ортогональной проекции вектора на направленную ось – , где s – знак плюс или минус.
Теперь придется сказать несколько слов об употреблении термина "проекция". Мы уже ввели несколько понятий, каждое из которых претендует на это название: проекция вектора на плоскость, "векторная" проекция вектора на прямую, алгебраическое значение проекции вектора на направленную ось, ортогональная проекция вектора на плоскость, "векторная" ортогональная проекция вектора на прямую и алгебраическое значение ортогональной проекции вектора на направленную ось. Наиболее длинным и неудобным по названию и одновременно наиболее часто используемым является последнее понятие. В силу этого название "проекция" в векторной алгебре закрепилось именно за алгебраическим значением ортогональной проекции вектора на направленную ось. В дальнейшем мы также не будем отступать от этой традиции, тем более что из контекста обычно всегда ясно, о чем идет речь.
Итак, проекцией вектора на направленную ось будем называть алгебраическое значение его ортогональной проекции на эту ось.
Мы не будем считать это определением проекции вектора на направленную ось, а лишь удобным соглашением о названии.
Свойства ортогональной проекции вектора на направленную ось.
1. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций.
Для двух векторов:
и для любого их количества
2. Проекция произведения вектора на действительное число λ равна произведению числа λ на проекцию вектора .
Если первые два свойства справедливы для всех типов проекций, и мы их сформулировали более для порядка, то следующее свойство является "визитной карточкой" ортогональной проекции.
3. Проекция вектора на направленную ось равна произведению его модуля на , где угол – угол между вектором и направленной осью (рис. 11). Дадим этому свойству доказательство.
Рис. 11
Спроектируем точки и (конечно, ортогонально) на прямую . Вектор есть проекция вектора : . Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы точка совпала с точкой . Минимальный угол между векторами и принимается за угол принимается за угол φ между вектором и осью. Поскольку равные векторы имеют и равные проекции, то проекции векторов и одинаковы и равны . Алгебраическая величина проекции вектора , или просто проекция, в соответствии с соглашением о названиях, равна , где s означает знак "плюс" или "минус". А модуль вектора , в свою очередь, равен произведению модуля вектора на :
аналитическая-геометрия — Как найти ортогональную проекцию вектора?
Найти ортогональную проекцию вектора $%\overline
задан 9 Окт ’14 16:45
1 ответ
Проекция $%w$% вектора $%v$% обладает следующими свойствами: 1) она принадлежит плоскости, то есть представляется в виде $%xa+yb$% с некоторыми коэффициентами; 2) разность векторов $%v-w$% ортогональна плоскости, то есть скалярное произведение этого вектора на оба базисных равно нулю. Отсюда получаем два уравнения: $%(w,a)=(v,a)$% и $%(w,b)=(v,b)$%, то есть $%x(a,a)+y(a,b)=(v,a)=6$% и $%x(a,b)+y(b,b)=(v,b)=6$%. Ясно, что $%(a,b)=0$%, что облегчает вычисления; $%(a,a)=2$%, $%(b,b)=6$%, откуда $%x=3$%, $%y=1$%. В итоге $%w=3a+b=(4;2;2)$%.
отвечен 9 Окт ’14 18:15
Скажите, а почему, найдя вектор нормали n к плоскости и воспользовавшись ф-лой [v;n]/|n| — мы не придем к правильному ответу, хотя если рассуждать геометрически, то от этой ф-лы должно остаться |v|sin (a), что по прямоугольному треугольнику должно равняться, как раз нашей проекции. И почему тогда, в данном случае действует ф-ла [n,[v,n]]/|n|^2 ??
@alisainy1: в аналитической геометрии обычно можно решать задачи несколькими способами. Конечно, можно было применить векторное произведение и рассмотреть вектор нормали. Но я выбрал другой способ, где ответ можно было вычислить сразу, без черновика.
Нет, это понятно, что ваш способ уместен. Мой вопрос в том, почему это ф-ла [n,[v,n]]/|n|^2 верна для нахождения проекции, а эта нет [v;n]/|n|?
@alisainy1: я готовыми формулами почти не пользуюсь, а запоминаю лишь то, что сложно выводится, но при этом часто используется. В частности, мне в это всё надо вдумываться, то есть я бы начал с вывода самих формул. Если для Вас это важно, я могу посмотреть. Вторая формула явно не даёт нужного результата, так как там вектор перпендикулярен $%v$%, а проекция на плоскость может давать с ним какой угодно угол. Мы ведь находим вектор, а не длину.
Угол между векторами. Ортогональные проекции векторов
Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между равными им векторами, имеющими общее начало, не превосходящий по величине числа .
Пусть в пространстве даны два ненулевых вектора и и которого не превосходит , принимается за угол между векторами (если векторы противоположно направлены).
Ортогональные проекции векторов
Движение по любой прямой может быть в двух направлениях. Ориентированной прямой называется прямая, на которой выбрано направление, т.е. одно из направлений считается положительным, а противоположное — отрицательным. Для измерения длин отрезков на прямой задается масштабный отрезок, который принимается за единицу.
Ориентированная прямая с заданным масштабным отрезком называется осью.
Любой ненулевой вектор , принадлежащий прямой, называется направляющим вектором для данной прямой, поскольку задает на ней ориентацию. Направление вектора принимается за положительное, а направление противоположного вектора — за отрицательное. Кроме того, длину вектора — можно принять за величину масштабного отрезка на этой прямой. Поэтому можно сказать, что любой ненулевой вектор определяет ось — прямую, содержащую этот вектор, задавая на ней направление и масштабный отрезок.
Ортогональной проекцией вектора , называется его проекция на ось вдоль прямой (или вдоль плоскости), перпендикулярной данной оси. Ортогональную проекцию вектора , будем обозначать .
Ортогональную проекцию вектора .
Ортогональную проекцию вектора а на плоскость (см. разд. 1.2.2 и рис. 1.14) будем обозначать .
Разность между вектором — ортогональная составляющая вектора ;
— — ортогональная составляющая вектора — ортогональная составляющая вектора .
На рис. 1.23 изображены ортогональные проекции вектора ) вдоль прямой (рис.1.23,а);
— на прямую ) вдоль плоскости (рис.1.23,б);
— на плоскость вдоль прямой (рис.1.23,в).
На рис. 1.23 изображены ортогональные составляющие вектора ): (рис.1.23,а);
— относительно плоскости (рис.1.23,в).
Для ортогональных проекций справедлива следующая теорема (см. теорему 1.1 в разд. 1.5).
Теорема 1.2 (об ортогональных проекциях вектора).
1. Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые и , то любой вектор (рис. 1.24,а).
2. Если в пространстве заданы три попарно перпендикулярные прямые и , пересекающиеся в одной точке, то любой вектор (рис. 1.24,6).
3. Квадрат длины вектора на плоскости или в пространстве равен сумме квадратов длин своих ортогональных проекций, т.е.
Первые два утверждения представляют собой частные случаи теоремы 1.1. Третье утверждение следует из теоремы Пифагора (для треугольника (рис. 1.24,а) или треугольников и (рис. 1.24,6)).
В формулировке теоремы 1.2 прямые можно заменить осями, задаваемыми попарно ортогональными векторами.
На рис.1.24,а проекции вектора и . На рис. 1.24,6 вектор является проекцией вектора , содержащую прямые и : , а вектор является ортогональной составляющей вектора .
Алгебраическое значение длины проекции
Пусть – угол между ненулевым вектором , т.е. угол между ненулевыми векторами .
Алгебраическим значением длины ортогональной проекции вектора , называется длина его ортогональной проекции , взятая с положительным знаком, если угол не превышает , и с отрицательным знаком, если угол больше , т.е.:
Например, для проекций, изображенных на рис. 1.25, , поскольку угол между векторами острый, a , так как угол между векторами тупой.
Некоторые свойства проекций векторов переносятся на алгебраические значения их длин, в частности:
1. — алгебраическое значение длины ортогональной проекции суммы векторов равно сумме алгебраических значений длин ортогональных проекций слагаемых;
2. — алгебраическое значение длины ортогональной проекции произведения вектора на число равно произведению этого числа на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора
1. Из определения алгебраического значения длины ортогональной проекции следует (см. также рис.1.25), что , т.е. алгебраическое значение длины ортогональной проекции ненулевого вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью.
Ортогональную проекцию вектора , можно представить в виде
Если — единичный вектор, то .
2. Равенство можно использовать как определение косинуса угла между ненулевыми векторами
3. Углом между ненулевым вектором между вектором на прямую может быть найдена по формуле
4. Углом между ненулевым вектором называется угол между вектором на плоскость . Величина угла может быть найдена по формуле
Пример 1.7. Основания и Решение. Пусть — высота трапеции, . По свойству равнобокой трапеции ; из равенства треугольников и
Обозначим через искомые алгебраические значения длин ортогональных проекций.Тогда из равенств
