Как найти проекцию вектора на подпространство

5.2. Ортогональное дополнение

Определение. Два множества F и G векторов евклидова пространства E называются ортогональными, если каждый вектор из F ортогонален каждому вектору из G.

Определение. Пусть F – подпространство E. Совокупность всех векторов подпространства E, ортогональных подпространству F, называется ортогональным дополнением подпространства F.

Всякое ортогональное дополнение является, в свою очередь, линейным подпространством.

Всякое произвольное евклидово пространство E разлагается в прямую сумму своего произвольного подпространства F и его ортогонального дополнения

1. Требуется найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы

Будем считать, что базис, относительно которого заданы векторы, ортонормированный. По определению, если , то . Далее, каждый вектор из должен быть ортогонален к . Для этого достаточно, чтобы . Расписывая скалярные произведения, получим три уравнения относительно координат вектора

Совокупность решений этой системы и образует ортогональное дополнение. За базис в можно принять любую фундаментальную систему решений. Например, вектор .

2. Линейное подпространство задано уравнениями

Требуется найти уравнения, которые задают ортогональное дополнение .

Пусть , . Тогда . Этому условию удовлетворяют два линейно независимых вектора и , которые образуют коэффициенты системы уравнений, задающей F. Далее, . Ранг системы равен 2. Значит и, так как , то . Поэтому найденные векторы можно принять за базис в , и есть линейная оболочка данных векторов. Далее задача решается так же как в примере из § 3. Дословно повторяя решение, получим следующую систему уравнений

которая и задает .

5.3. Проектирование вектора на подпространства

Пусть . Тогда всякий вектор можно представить в виде , где и . Вектор называется ортогональной проекцией вектора x на подпространство L, а вектор называется ортогональной составляющей вектора .

Пусть и — расстояние между векторами , тогда

Таким образом, ортогональная проекция есть ближайший к вектору подпространства L. Часто используются следующие обозначения , .

Укажем в заключение как вычисляются координаты вектора . Пусть — базис в L. Так как , то . Поэтому

Отсюда имеем, что в случае ортонормированного базиса

1. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство L, натянутое на векторы . Все векторы заданы координатами относительно ортонормированного базиса.

Нетрудно убедиться, что и что за базис можно принять векторы и . Нам будет удобно перейти к ортонормированному базису в L. Применяя процедуру ортогонализации к векторам и , получим ортонормированный базис в L:

Заметьте, что векторы и линейно выражаются через и и, значит, также принадлежат L. Имеем теперь

2. Требуется найти расстояние от точки, заданной вектором до плоскости (линейного многообразия), заданной системой уравнений

Расстояние между точкой и множеством L определится следующим образом

Для вычисления расстояния удобно перейти к параметрическому уравнению плоскости. Имеем и поэтому всякий вектор представляется в виде

где — фиксированный радиус-вектор точки плоскости; и — базис направляющего линейного подпространства, которое задается соответствующей однородной системой. Решая уравнение, получим, например,

Векторы и принадлежат направляющему подпространству M плоскости L. Вектор . Так как , а , то

Правая часть этого неравенства и есть искомое расстояние. Осталось вычислить вектор и найти его норму. Проделав для этого аналогичные вычисления и вычислив длину вектора, получим, что .

3. Пусть — ортонормированная система векторов евклидова пространства E_n. Нужно доказать, что для любого вектора имеет место неравенство Бесселя

с равенством тогда и только тогда, когда , т.е. векторы образуют ортонормированный базис в E_n.

Так как — ортонормированная система, то ее всегда можно векторами достроить до ортонормированного базиса в E_n. Разложим вектор по этому базису. Имеем

С равенством тогда и только тогда, когда . Исключение составляют случаи, когда или когда принадлежит линейной оболочке векторов .

Как найти проекцию вектора на подпространство

Пусть евклидово пространство, его подпространство. Для любого вектора определим его проекцию на подпространство как элемент пространства наименее удаленный от х. Дадим точное определение.

Элемент подпространства называется проекцией вектора х на это подпространство, если для любого имеет место неравенство

Теорема 1. Проекция вектора х на подпространство единственна, причем вектор ортогонален ко всем векторам подпространства

Доказательство. Докажем сначала, что ортогонален ко реем векторам подпространства Предположим противное. Пусть существует вектор такой, что

Обозначим где а — вещественное число. Ясно, что Покажем, что а можно подобрать так, что

Действительно, имеем на основании (4.2)

Положим Тогда получим

откуда следует (4.3). Но неравенство (4.3) противоречит определению проекции. Это противоречие и доказывает утверждение.

Докажем единственность проекции. Пусть и -две проекции вектора на подпространство Тогда и поэтому по доказанному

Вычитая эти равенства, получим

Таким образом, Теорема доказана.

Возникает вопрос, существует ли проекния вектора на подпространство Мы покажем сейчас, что это действительно так, если полное пространство (см. п. 4.8). Заметим, что при этом мы не требуем, чтобы пространство было полным. Например, если конечномерное подпространство пространства то является полным пространством независимо от полноты Если полное пространство, то любое его подпространство является полным

Теорема 2. Пусть подпространствп пространства являющееся полным пространством. Тогда для любого вектора существует его проекция на подпространство Доказательство. Обозначим

По определению точной нижней грани для любого натурального числа существует вектор такой, что

Отсюда и из (4.6) получаем

Воспользуемся равенством (3.3.4):

справедливым для любых двух векторов и у пространства Положим

Подстановка в (4.8) дает

Переходя здесь к пределу попят и пользуясь равенствами (4.6) и (4.7), получим

Таким образом, является фундаментальной последовательностью в пространстве Ввиду полноты этого пространства она сходится к некоторому элементу этого пространства

Мы можем теперь перейти к пределу под знаком нормы в (4.6) (см. п. 4.3):

Сравнивая это с (4.4), приходим к выводу, что имеет место неравенства для всех Следовательно, о есть проекция вектора на подпространство Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть о есть проекция вектора х на подпространство Тогда имеет место равенство

Доказательство. На основании теоремы Поэтому из равенства получаем откуда следует (4.13).

Следствие 2. Пусть конечномерное подпространство пространства и

— его ортонормированный базис. Тогда для любого вектора его проекция на подпространство имеет вид

Как найти проекцию вектора на подпространство

$$ \dim \mathbb V=\dim \left( \mathcal er (\mathcal A) \right) + \dim \left( \mathcalm (\mathcal A) \right) = \operatorname (\mathcal A )+ \operatorname (\mathcal A ) \ .$$

$$\mathcal A^ \mathcal A^=\mathcal A^\mathcal A^=\mathcal A^ \ .$$

$$ \mathcal A(X_1)=Y_1,\mathcal A(X_2)=Y_2, \dots,\mathcal A(X_n)=Y_n \ .$$

$$ \mathcal H(X)=X-2\, \langle X,C \rangle C=X-2\, C (C^X)= X-2\, C^XC \, . $$

_R = \mathbf _R^\mathrm \mathbf _R = \mathbf_R$$

$$ \mathbf _1 = \begin 1 \\ 0 \\ \dots \\ 0 \end , \mathbf _2 = \begin 0 \\ 1 \\ \dots \\ 0 \end , \dots, \mathbf _N = \begin 0 \\ 0 \\ \dots \\ 1 \end $$

$$ \mathbf _1 = \begin 1 \\ 0 \\ 0 \end , \mathbf _2 = \begin 0 \\ 1 \\ 0 \end , \mathbf _3 = \begin 0 \\ 0 \\ 1 \end $$

$$ \mathbf_1 = \begin \sqrt \\ 0.5 \\ 0.5 \end , \mathbf_2 = \begin -\sqrt \\ 0.5 \\ 0.5 \end , \mathbf_3 = \begin 0 \\ -\sqrt \\ \sqrt \end $$

$$\mathbf = \alpha_1\mathbf _1+ \alpha_2\mathbf _2+\dots+\alpha_K\mathbf _K$$

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Линейное пространство, проекция вектора на подпространство

Помогите пожалуйста с решением задачи
Найти проекцию данного вектора из -мерного
арифметического пространства на линейное подпространство параллельно линейному подпространству , где — линейная оболочка системы векторов , a — линейная оболочка системы векторов .

Если
3) — матричные столбцы
и , нашел только формулу для нахождения проекции без условия параллельности чему-либо. Подскажите плз.