2.3. Аналитический способ задания функции
Если функциональная зависимость такова, что f обозначает аналитическое выражение, т.е. совокупность математических операций, которые производятся в определенной последовательности над аргументом x, то говорят, что функция задана аналитически. Например: y = x 2 – 2; ; y = 3 – ln x 2 и т.п.
Каждое аналитическое выражение, содержащее аргумент x, имеет естественную область применения. Под этой областью понимают множество всех тех значений x, для которых выражение сохраняет смысл, т.е. имеет вполне определенное конечное действительное значение. Так, для выражения x 2 – 2 такой областью будет все множество R действительных чисел, т.е. бесконечный интервал (–∞ +∞ Для выражения эта область сведется к замкнутому промежутку за пределами которого значение его перестает быть действительным. Напротив, выражению придется в качестве естественной области применения отнести открытый промежуток (–1,1), ибо на концах его знаменатель обращается в нуль. Иногда область значений, для которых выражение сохраняет смысл, состоит из разрозненных промежутков: для это будут промежутки (–∞,–1] и [1,+∞), для – промежутки (–∞,–1], (–1, 1) и (1, +∞) и т.д.
Если функция задана аналитически, то она может быть изображена графически на координатной плоскости хOу.
В последующем изложении нам в большинстве случаев придется рассматривать функции, заданные аналитическим выражением для которых область определения функции распространяется на всю естественную область применимости аналитического выражения. Поэтому, если в дальнейшем нет специальной оговорки, то под областью определения функции, заданной аналитически, мы будем подразумевать естественную область применимости аналитического выражения. Если же по каким-либо причинам область определения функции, заданной аналитическим выражением, ограничена множеством Р, а выражение имеет смысл и вне множества Р, выходить за пределы области определения Р функции, разумеется, все же нельзя.
Такая ситуация может возникнуть, если функция задается не одной и той же формулой для всех значений аргумента х, но для одних – одной формулой, а для других – другой. Примером такой функции, в промежутке (–∞ +∞, может служить функция, определяемая следующими двумя формулами
Здесь естественная область применения каждого выражения выходит за пределы области определения Р, на котором данное выражение задает функцию.
Другая ситуация, которая типична для рассматриваемого случая, – это установление области определения сложной функции , для которой и внешняя y = f(u), и внутренняя u = (x) функции заданы аналитическими выражениями. Областью определения такой сложной функции является или вся область определения функции u = (x), или та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения внешней функции y = f(u). Например, областью определения функции ( , u = 1– x 2 ) является отрезок [–1,1], так как u < 0 при |x| > 1 и, следовательно, функция не определена при этих значениях x (хотя функция u = 1 – x 2 определена при всех значениях x).
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
(формула) — совокупность действий, к-рые нужно проделать в определенном порядке над значением аргумента и константами, чтобы получить значение функции. Каждая функция одного переменного ж с не более чем счетным числом точек разрыва допускает А. в. (х), построенное лишь из трех действий (сложение, умножение, переход к пределу по натуральным числам), употребленных не более чем в счетном числе, отправляясь от аргумента хи констант, напр.,
А. в., изображающих данную функцию, имеется бесконечно много, если существует хотя бы одно. Так, функция, тождественно равная нулю, пзобразима рядом:
и из любого А. в. (х).всегда можно получить другое, тождественно ему равное:
где В(х) — . произвольное А. в.
Лит.:[1] Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного. Общая часть, 2 изд., М., 1948.
Б. В. Кутузов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .
Смотреть что такое «АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ» в других словарях:
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — В математике: всякая связь между величинами, выраженная посредством условных математических знаков. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910 … Словарь иностранных слов русского языка
аналитическое выражение — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN analytical form … Справочник технического переводчика
аналитическое выражение — analizinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. analytic expression; analytical expression vok. analytischer Ausdruck, m rus. аналитическое выражение, n pranc. expression analytique, f … Fizikos terminų žodynas
неморфологическое выражение грамматических значений — Аналитическое выражение: буду работать … Термины и понятия общей морфологии: Словарь-справочник
неморфологическое выражение грамматических значений — Аналитическое выражение: буду работать … Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило
Математический анализ — У этого термина существуют и другие значения, см. Анализ. Математический анализ совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей… … Википедия
Дифференциальное и интегральное исчисление — Математический анализ совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с… … Википедия
Числовая функция — В математике числовая функция это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств как правило, множества вещественных чисел или множества комплексных чисел . Содержание 1 График функции … Википедия
Функция (математ.) — Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией аргумента … Большая советская энциклопедия
Функция — I Функция (от лат. functio совершение, исполнение) (философская), отношение двух (группы) объектов, в котором изменение одного из них ведёт к изменению другого. Ф. может рассматриваться с точки зрения следствий (благоприятных,… … Большая советская энциклопедия
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
(формула) — совокупность действий, к-рые нужно проделать в определенном порядке над значением аргумента и константами, чтобы получить значение функции. Каждая функция одного переменного ж с не более чем счетным числом точек разрыва допускает А. в. (х), построенное лишь из трех действий (сложение, умножение, переход к пределу по натуральным числам), употребленных не более чем в счетном числе, отправляясь от аргумента хи констант, напр.,
А. в., изображающих данную функцию, имеется бесконечно много, если существует хотя бы одно. Так, функция, тождественно равная нулю, пзобразима рядом:
и из любого А. в. (х).всегда можно получить другое, тождественно ему равное:
где В(х) —. произвольное А. в.
Лит.:[1] Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного. Общая часть, 2 изд., М., 1948.
Что такое аналитическое выражение
Предположим, что нам даны множества состоящие из некоторых элементов.
Если каждому элементу множества поставлен в соответствие некоторый вполне определенный элемент у множества то говорят, что на множестве задана функция и записывают это так:
Здесь у обозначает тот элемент множества который соответствует элементу множества
Символ обозначающий любой элемент множества называется аргументом функции
Элементы множества называют значениями аргумента а соответствующие им элементы множества значениями функции Множество называется областью определения функции или множеством допустимых значений аргумента. Множество соответствующих значений функции называется множеством значений функции.
Если каждой группе элементов принадлежащей некоторому множеству таких групп, поставлен в соответствие некоторый вполне определенный элемент у множества то говорят, что задана функция от переменных, и записывают это так:
В этом случае называют аргументами, а множество областью определения функции или множеством допустимых систем значений аргументов.
Если областью определения функции и множеством ее значений являются некоторые множества
чисел, то функцию называют числовой функцией числового аргумента. Аналогично функцию областью определения которой является некоторое множество систем чисел и множеством значений которой является некоторое множество чисел, называют числовой функцией числовых аргументов.
Как известно, числовые функции числовых аргументов задаются различными способами: табличным, графическим, посредством формул и др. Чаще всего они задаются с помощью формул или, как принято говорить, с помощью аналитических выражений.
Под формулой или аналитическим выражением, задающим функцию в современной математике подразумевают запись тех вычислительных операций, которые надо выполнить в определенной последовательности над постоянными числами и численными значениями аргументов чтобы получить соответствующее численное значение функции . К вычислительным (или аналитическим) операциям относят операции сложения, умножения, вычитания, деления и операцию перехода к пределу, т. е. нахождения по заданной последовательности чисел ее предела если он существует.
Примерами аналитических выражений являются:
Функции, которые можно задать с помощью аналитических выражений, называются аналитически изобразимыми.
Не следует отождествлять понятия функции и аналитического выражения. Всякое аналитическое выражение задает некоторую функцию, но не всякая функция является аналитически изобразимой.
Так как всякое аналитическое выражение задает некоторую функцию, то для записи аналитических выражений употребляют те же символы, что и для записи функций. Если аргументам, входящим в аналитическое выражение дать определенные численные
значения, например, затем выполнить все указанные в этом выражении действия, то получится определенное число, которое обозначают символом и называют значением этого выражения при значениях аргументов При рассмотрении аналитического выражения или функции, заданной с помощью аналитического выражения, указывается, какие именно системы числовых значений аргументов являются допустимыми.
В некоторых случаях из смысла аналитического выражения бывает понятно, какие значения аргумента или системы значений аргументов следует считать допустимыми. Например, длина окружности С задается формулой где радиус окружности. В аналитическом выражении радиус аргумент. Очевидно, что допустимыми значениями аргумента следует в этом случае считать положительные действительные числа.
Если дано аналитическое выражение от нескольких аргументов и не указано, какие системы значений аргументов являются допустимыми, то допустимой считается всякая система значений при которых выполнимы все математические действия, указанные в рассматриваемом выражении.
Например, для той же функции если нет указаний на геометрический смысл аргумента допустимыми следует считать все значения из рассматриваемого числового поля, поскольку для них всегда выполнима операция умножения на число . Для выражения допустимой будет всякая система значений удовлетворяющая условию
Два аналитических выражения от данных аргументов (а также функции, заданные этими выражениями) называются тождественно равными или тождественными, если их значения равны при любой допустимой системе значений аргументов.
Таким образом, если тождественные выражения, то при всех допустимых системах значений аргументов имеет место равенство
Это равенство называется тождеством.
Для обозначения тождества иногда применяют символ Примерами тождеств являются равенства
Заметим, что понятие тождественности двух выражений относительно; оно зависит от множества допустимых систем значений аргументов. Два выражения могут быть тождественны на одном множестве допустимых систем значений аргументов и не быть тождественными на другом, более широком множестве их.
Так, выражения тождественны на множестве неотрицательных действительных чисел и не тождественны на множестве всех действительных чисел, так как
Замену аналитического выражения другим, тождественным ему выражением называют тождественным преобразованием данного выражения.
При решении задач часто приходится записывать ту или иную задачу с помощью определенных соотношений между некоторыми аналитическими выражениями. Такую запись задачи называют аналитической.
