Характеристики вектора: длина, направление, координаты
У любого вектора есть 2 главные характеристики:
- длина (математики говорят «модуль вектора»)
- направление (в какую сторону вектор на рисунке направлен)
Третья характеристика вектора – это его координаты.
Примечание:
Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.
Что такое координаты вектора
Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).
Координаты вектора указывают так:
\( a_
\( a_
Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:
«координата вектора» = «конец» — «начало»
Пример:
\( A \left( 1;1 \right) \) — начальная точка,
\( B \left( 4;3 \right) \) — конечная точка,
\[ \overrightarrow
\[ \begin
Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)
Длину вектора (его модуль) обозначают так:
Как вычислить длину вектора по его координатам
Когда известны координаты вектора, его длину считают так:
\( a_
Для двухмерного вектора:
Для трехмерного вектора:
Как вычислить длину вектора с помощью рисунка
Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:
1). Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:
— считаем количество клеточек.
Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.
2). Если вектор не лежит вдоль линий:
— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.
\( \Delta x \) — горизонталь; \( \Delta y \) — вертикаль;
— затем применяем формулу:
Как указать направление вектора
Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.
Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.
Для двумерного вектора
Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:
- угол \( \alpha \) между вектором и горизонталью (осью Ox),
- или угол \( \beta \) вежду вектором и вертикалью (осью Oy).
Словами указать направление вектора можно так:
- вектор длиной 5 единиц направлен под углом 30 градусов к горизонтали;
- Или же: вектор длиной 5 единиц направлен под углом 60 градусов к вертикали.
Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.
Для трехмерного вектора
Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.
- угол между вектором и осью Oz;
- и один из углов: между вектором и осью Oy, или между вектором и осью Ox;
Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.
Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).
Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.
Как найти направление вектора
Вектором называется упорядоченная пара точек и 
(то есть точно известно, какая из точек в этой паре первая).
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается 
| Задание | Проверить, является ли вектор  равна единице, значит, вектор является ортом.
Направляющими косинусами некоторого вектора Чтобы найти направляющие косинусы вектора
Умножение вектора на числоЧтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число. Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки $A\left(a_ Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. Задание. Найти координаты вектора $\overline$, если $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$ Решение. $\overline=(1-(-4) ;-3-2)=(5 ;-5)$ Направляющие косинусыНаправляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат. Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам. Здесь $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей $O x$, $O y$ и $O z$ соответственно.
предыдущая запись
Как найти налог в excel |
называются косинусы углов, которые вектор образует с положительными направлениями координатных осей.![\[\bar=\left(a_ <1>;\; a_ <2>;\; a_ <3>\right)\Rightarrow \cos \alpha =\frac<a_<1>><\left|\bar\right|> ,\; \cos \beta =\frac<a_<2>><\left|\bar\right|> ,\; \cos \gamma =\frac<a_<3>><\left|\bar\right|> \]» width=»454″ height=»39″ /></p>
<p><strong>Замечание</strong>. Координаты единичного вектора <img decoding=](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbc570332019fbe2d861af3382b96828_l3.png)