Как изменится средняя длина свободного пробега молекул с увеличением давления

Глава 4. Явления переноса §1. Столкновение молекул и явления переноса

Столкновение между молекулами играют очень важную роль во всех процессах, происходящих в газах. В частности, столкновения молекул играют важную роль в механизме установления равновесия газа. Столкновения молекул являются результатом их взаимодействия. В общем случае взаимодействия молекул могут приводить к самым различным результатам. Молекулы могут отклоняться от своего прямолинейного движения (рассеяние), они могут распадаться на атомы. Мы будем интересоваться только рассеянием молекул. При рассмотрении столкновения между молекулами, мы их будем уподоблять упругим шарикам. В действительности молекулы являются сложными системами заряженных частиц, ядер и электронов, между которыми действуют силы притяжения и отталкивания, сложным образом зависящие от расстояния между молекулами. Во многих случаях рассеяния для количественной характеристики процесса вводят понятие эффективной площади сечения или сечения рассеяния.

Пусть частица В движется прямолинейно. Положим, что для того, чтобы произошел тот или иной из интересующихся нас процессов при взаимодействии этой частицы с другой частицей А, эта частица должна пролететь не дальше, чем расстояние r (рис.1). Если провести вокруг частицы А круг радиусом r, плоскость которого перпендикулярна направлению движения частицы В, то произойдет рассеяние частицы В, если она пройдет через этот круг. Площадь этого круга и носит название сечения рассеяния данного процесса.

Е сли рассмотреть столкновение молекул, как столкновение твердых шариков радиусом r, то сечение рассеяния будет , поскольку рассеяние произойдет только при непосредственном соприкосновении молекул (рис.2). В этом случае эффективное поперечное сечение молекул в 4 раза больше площади поперечного сечения молекулы.

§2. Среднее число столкновений в единицу времени и средняя длина свободного пробега молекул

Б удем считать газ идеальным, т.е. будем считать, что за исключением момента столкновения молекулы не взаимодействуют между собой и движутся прямолинейно. В момент столкновения направление скорости молекулы изменяется, после чего она снова движется прямолинейно. Путь молекулы в газе представляют собой ломаную линию (рис.3). Расстояние, пройденное молекулой между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега. Из-за большого числа молекул и их хаотичного движения длины свободного пробега молекулы будут различными.

Поэтому нас будет интересовать средняя длина свободного пробега. Точно также будут различными и число столкновений, испытываемых молекулой в единицу времени и следует говорить только о среднем значении этой величины. Эти две величины — средняя длина свободного пробега и среднее число столкновений в единицу времени — являются основными характеристиками процесса столкновения газовых молекул.

С реднее число столкновений, испытываемых молекулой газа в единицу времени, можно определить из следующих соображений. Молекулы будем считать твердыми шариками радиуса r (рис.4).

Пусть одна из молекул движется по прямой в газе, в котором частицы равномерно распределены по объему, так, что в единице объема находится n молекул.

Вначале предположим, что все молекулы, кроме одной, находятся в покое. Движущаяся молекула пройдет за 1 секунду расстояние , равное ее средней скорости ,

при этом она сталкивается со всеми молекулами, которые окажутся на ее пути. Это будут те молекулы, центры которых расположены в объеме цилиндра длиной и площадью основания, равной эффективному сечению . Объем этого цилиндра , а число молекул в нем . Таким же будет и число столкновений Z, которые испытывает движущаяся молекула. Z= .

Н адо отметить, что молекула не может двигаться прямолинейно, поскольку она сталкивается с другими молекулами. Путь, проходимый молекулой, зигзагообразный, как на рис.5. Это, однако, не изменяет результата расчета; пологая, что молекула движется прямолинейно, мы только мысленно выпрямляем ломаный цилиндр. Следует еще учесть, что движутся все молекулы газа. Это значит, в выражение для Z должна входить не абсолютная скорость молекулы, а скорость ее относительно тех молекул, с которыми она сталкивается .Можно показать, что относительные скорости связаны с абсолютной скоростью соотношением = . Тогда для среднего числа столкновений одной молекулы в единицу времени получим формулу:

Чтобы найти число столкновений, испытываемых всеми молекулами в единицу времени, нужно умножить Z на число молекул N в газе. Но так как в каждом столкновении участвуют две молекулы (одновременное столкновение трех и более молекул маловероятно), то это число нужно еще разделить на 2, чтобы не считать каждое столкновение два раза. Следовательно, полное число столкновений в газе, содержащем N молекул в единицу времени, равно:

Число столкновений в единице объема в единицу времени определится выражением:

Зная число столкновений, испытываемых одной молекулой в единицу времени, можно вычислить и среднюю длину свободного пробега. За время t молекула пройдет зигзагообразный путь, равный . Изломов на этом пути будет столько, сколько столкновений испытывала молекула на этом пути. Средняя длина свободного пробега, очевидно, равно отношению длины пути, пройденной молекулой, к числу, испытанных ею на этом пути, столкновений:

Поставив сюда значение Z из (4.1), получим:

Пользуясь формулами (4.1) и (4.2), найдем численные значения для и . Проведем такой расчет, например, для азота при нормальных условиях. Радиус r молекулы азота можно считать равным см, число частиц в единице объема , средняя скорость см/с. Расчеты показывают , см. Возникает вопрос, можно ли считать идеальным такой газ, в котором частицы каждую секунду сталкиваются миллиарды раз, а между столкновениями свободно проходят очень малые пути, не превосходящие нескольких стотысячных долей сантиметра. Да, можно, поскольку молекулы взаимодействуют друг с другом только в течение того времени, пока они находятся друг от друга на расстоянии порядка их диаметра см, остальное время движутся свободно. Так как при атмосферном давлении длина свободного пробега молекул см, что примерно в 1000 раз больше размеров молекул, то время пребывания молекулы под взаимным взаимодействием во столько же раз меньше их свободного движения. Другими словами, время столкновения молекул примерно 1000 раз меньше времени между столкновениями, т.е. подавляющую часть времени молекула движется свободно.

Рассмотрим, как зависит длина свободного пробега от термодинамических параметров температуры Т и давления Р. Как видно из формулы (4.2) . Учитывая, что , можно написать . С уменьшением давления длина свободного пробега возрастает. При определенном значении давления длина свободного пробега может стать равной размерам сосуда, в которой заключен газ, а при дальнейшем падении давления, превзойдет их. Когда длина свободного пробега становится равной или больше размеров сосуда, столкновение молекул в газе практически уже не происходит и весь путь от стенки до стенки молекула проходит двигаясь прямолинейно. Из формулы (4.2) следует, что длина свободного пробега не должна зависеть от температуры, поскольку число частиц в единице объема с изменением температуры не меняется. Но как показывает опыт, имеется определенная зависимость от температуры. Эта зависимость описывается эмпирической формулой Сюзерленда: , где — значение длины свободного пробега, определяемое по формуле (4.2), С — эмпирическая постоянная. Такая зависимость объясняется тем, что молекулы не являются твердыми шариками, и расстояние между молекулами при столкновении зависит от их кинетической энергии, соответственно и от температуры. Чем выше температура газа, тем больше кинетическая энергия молекул, соответственно молекулы, преодолевая силы отталкивания, могут приблизиться на близкое расстояние, т.е. в формуле (4.1), уменьшается. Это приводит к увеличению длины свободного пробега при повышении температуры.

Читать:

Где скачать прокси бесплатно

Как изменится средняя длина свободного пробега молекул с увеличением давления

Coня Баглаева

пожалуйста может кто то даст мне грамотный ответ. Почему длинна пробега молекулы газа уменьшается с увеличением давления? буду благодарна) ответ давление газ пробег увеличение молекула

С ростом давления растет концентрация молекул, следовательно длина свободного пробега уменьшается. Короче. если совсем простым языком — чем больше людей (в данном случае давления) в помещении (газовой среде), тем сложнее людям (молекулам газа) перемещаться в этой комнате.

Физическая кинетика Средняя длина свободного пробега молекул газа

Введём такие понятия, как среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул газа. Молекулы газа непрерывно сталкиваются друг с другом. Этому способствует огромная концентрация и конечные размеры молекул, совершающих тепловое хаотическое движение. Траектория движения каждой молекулы за счёт последовательных столкновений с другими молекулами представляет собой ломаную линию (рис. 40).

Молекулы идеального газа между столкновениями при отсутствии внешнего силового поля движутся прямолинейно и равномерно. Расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями, называется длиной свободного пробега I. Длина свободного пробега молекулы I является случайной величиной. Она может меняться в широких пределах. В кинетической теории газов большое значение имеет понятие средней длины свободного побега молекул /Л. Под средней длиной свободного пробега /Л молекул понимают среднее расстояние, которое проходит молекула от одного столкновения до другого.

Средняя длина свободного пробега /Л молекул является

характеристикой всей совокупности молекул газа при

рассматриваемых значениях температуры Т и давления Р. Она зависит от химической природы газа и условий, в которых он находится. Для вывода формулы, определяющей среднюю длину свободного пробега /Л молекул, используем модель идеального газа, в которой

приняты следующие положения.

Среднее число столкновений за единицу времени (1 с) движущейся молекулы с неподвижными молекулами обозначим (z) ? Молекула пролетает за единицу времени (1 с) расстояние, равное средней скорости (v’j согласно определению скорости _v = — • Тогда

средняя длина свободного пробега (у молекул равна

Введём понятие эффективного диаметра d молекулы, под ним понимают среднее расстояние, на которое сближаются центры масс сталкивающихся молекул. Если считать, что при соударении не происходит упругой деформации молекул, то эффективный диаметр является диаметром молекул, рассматриваемых в виде шариков. Модули скорости и направления движения сталкивающихся молекул изменяются в процессе взаимодействия.

Путь, пройденный молекулой при движении по ломаной линии за секунду, представим в виде отрезка прямой. Молекула, двигаясь по этой прямой, столкнётся со всеми неподвижными молекулами, центры которых находятся от траектории движения на расстоянии меньше или равном диаметру молекулы (рис.41).

Область пространства, содержащая все неподвижные молекулы, с которыми сталкивается движущаяся молекула за единицу времени (t = 1с), представляет собой цилиндр длиной (v) и площадью

основания п ? d 1 . Общее число молекул N, центры которых находятся в цилиндре, равно

где V -объём цилиндра, п — концентрация молекул.

Среднее число столкновений (z) молекулы за единицу времени равно числу молекул N

Выведем формулу, связывающую среднюю скорость (у^ и

среднюю относительную скорость v Для этого рассмотрим две произвольно выбранные молекулы, которые до столкновения двигались со скоростями V/ и v’2. Относительная скорость движения этих молекул равна

Величина модулей векторов Vi , V2 и их направления, следовательно, и угол а между ними могут быть разными (рис.42).

По теореме косинусов имеем

Так как среднее значение суммы равно сумме средних значений слагаемых, то

Угол а между векторами скоростей может быть любым. С равной вероятностью он принимает все значения от 0 до к. Поэтому среднее значение суммы cos а равно нулю, и третье слагаемое формуле (6.50) при усреднении обращается в нуль. Среднее значение квадрата скорости у всех молекул одинаково, так что

из (6.52) следует или

Так как средние квадратичные скорости пропорциональны средним арифметическим, то

Среднюю скорость (у) молекул заменим в формуле, определяющей (z) на среднюю относительную скорость, с учётом уравнения (6.53)

Среднее число соударений (7)

‘ ‘ при учете движения всех молекул

увеличивается в л/2раз. Подставим значение (z^ в формулу,

определяющую среднюю длину свободного пробега

Отсюда следует, что средняя длина свободного пробега (7)

молекул обратно пропорциональна их концентрации п и величине эффективного диаметра d, зависящего от природы газа. Средняя длина свободного пробега молекул (/)не зависит от скорости движения,

следовательно, от температуры Г, если объём постоянный. С изменением температуры в одинаковое число раз изменяются, как путь, проходимый молекулой за единицу времени (у), так и среднее

число столкновений (z) на этом пути.

Зависимость средней длины свободного пробега молекул (/) от температуры и давления идеального газа

Концентрация молекул п идеального газа связана с температурой Т и давлением Р уравнением состояния

где к — постоянная Больцмана.

Из формулы (6.56) следует, при постоянной температуре Т (Т = с о п s t) средняя длина свободного пробега молекул (tj идеального газа обратно пропорциональна его давлению Р

Подставим эту формулу в (6.55)

С уменьшением давления газа Р при постоянной температуре Т величина (l • возрастает (газ становится более разряженным), поэтому произведение (jy Р = с о п s t. При нормальных условиях

(Т =273,15 К, Р = 760 мм pm. cm.) средняя длина свободного пробега молекул ^-идеального газа равна 6,63 -10 8 м, а среднее число

столкновений (z) молекул за 1 с при (v’j = 10 3 —

равно (г) = Ю 10 с 1 .

Средняя длина свободного пробега молекул (f) • идеального газа

при постоянном давлении Р (Р = с о п s t) прямо пропорциональна температуре Т. Скорость движения молекул с увеличением

температуры Т возрастает.

Молекулы не являются твёрдыми шариками и по мере повышения температуры Т увеличивается упругая деформация молекул при их столкновении.

Среднее расстояние, на которое сближаются центры молекул (эффективный диаметр d), уменьшается. Для идеального газа можно приближённо считать, что

Поэтому средняя длина свободного пробега молекул (у ? при

увеличении температуры Т растёт быстрее, чем возрастает температура Г, когда давление Р постоянно. Эффективный диаметр d молекул для большинства газов с изменением температуры от О до 100° С уменьшается на 4 — 8 %. Средняя длина свободного пробега молекул ^возрастает примерно в 2,3 раза, когда температура Т

увеличивается в два раза.

Если давление газа ниже нормального атмосферного давления, то газ называется разряженным. Степень разряжения газа определяется отношением средней длины свободного пробега молекул /Л к

линейным размерам сосуда, в котором находится газ. Состояние идеального газа, при котором молекулы движутся от одной стенки сосуда до другой, не сталкиваясь друг с другом, называется вакуумом.

Как изменится средняя длина свободного пробега молекул с увеличением давления

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Во сколько раз возрастает длина свободного пробега молекул двухатомного газа, если его давление падает вдвое при расширении газа: а) изотермически; б) адиабатически?

Дано: